Bab 6 Analisa Spektrum - Belajar, Belajar, Bekerja Untuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal...

download Bab 6 Analisa Spektrum - Belajar, Belajar, Bekerja Untuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal waktu

of 6

  • date post

    19-Feb-2020
  • Category

    Documents

  • view

    5
  • download

    0

Embed Size (px)

Transcript of Bab 6 Analisa Spektrum - Belajar, Belajar, Bekerja Untuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal...

  • BAB 6 Analisa Spektrum

    VI-1

    Bab 6: Analisa Spektrum

    1 Analisa Spektrum Dengan DFT

    Tujuan Belajar 1

    Peserta dapat menghubungkan DFT dengan spektrum dari sinyal hasil sampling sinyal waktu kontinue.

    N-point DFT dari sinyal x(n) adalah X(ω) yang dievaluasi pada frekuensi-frekuensi ωk = 2πk/N untuk k=0,1,…,N-1 Contoh :

    Sinyal dengan durasi sepanjang L diberikan sebagai berikut :

    ( )    −≤≤

    = lainnya

    Ln nx

    0 10,1

    Transformasi Fourier dari sinyal ini adalah

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) 21

    1

    0

    1

    0 2sin 2sin

    1 1 −−

    −−=

    =

    − −=

    =

    − = − −

    === ∑∑ Ljj LjLn

    n

    nj Ln

    n

    nj e l

    e e

    eenxX ωω ω

    ωω

    ω ω

    ω

    0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10

    omega

    |X (o

    m eg

    a) |

    0 pi/2 pi 3pi/2 2pi -pi

    -pi/2

    0

    pi/2

    pi

    Gambar 6.1 : Karakteristik magnituda dan fasa hasil transformasi Fourier

    N-point DFT dari sinyal diatas adalah

    ( ) ( )( ) ( ) NLkj

    NkLj

    NkLjLn

    n

    NkLj e Nk NkL

    e e

    ekX 12 21

    0

    2

    sin sin

    1 1 −−

    −−=

    =

    − = − −

    == ∑ ππ π

    π

    π π

    0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10 N = 50

    0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    7

    8

    9

    10 N = 100

  • BAB 6 Analisa Spektrum

    VI-2

    0 pi/2 pi 3pi/2 2pi -2.5

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    2.5 N = 50

    0 pi/2 pi 3pi/2 2pi -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3 N = 100

    Gambar 6.2 : Magnituda dan fasa N-point DFT untuk N=50 dan N=100

    Tujuan Belajar 2

    Peserta dapat melakukan analisa spektrum dengan DFT, termasuk konsep windowing

    Untuk menghitung spektrum sinyal, baik sinyal waktu kontinyu maupun sinyal waktu diskrit, maka perlu diketahui besarnya sinyal setiap saat. Namun, secara praktis, kita mengamati sinyal hanya dalam selang waktu tertentu. Akibatnya, spektrum sinyal harus didekati menggunakan sejumlah data yang berhingga.

    Misalkan, 1. 2. Durasi xa(t) = To ≥ T dimana T = 1/Fs

    ⇒ kemampuan membedakan frekuensi terbatas ke sF

    F 1

    =∆

    bila xa(t) lebih panjang dari To, tetapi kita "memaksa" diri menggunakan blok sebesar L samples, maka gunakan window ω(n) berdurasi L

    )()()(ˆ nnxnx ω=

    misal    −≤≤

    = lainnya

    Ln n

    0 101

    )(ω

    maka )(ˆ nx berdurasi L, gunakan pada DFT Misalkan x(n) mengandung frekuensi tunggal ω0

    x(n) = cos ω0 n

    maka transformasi Fourier x(n) dapat dinyatakan

    ( ) ( ) ( )[ ]0021ˆ ωωωωω ++−= WWX

    xa(n) L samples

    B

    anti aliasing

    filter

    sampling xa(t)

    Fs≥2B

  • BAB 6 Analisa Spektrum

    VI-3

    dimana W(ω) adalah transformasi Fourier dari sekuen window, dimana untuk rectangular window

    2/)1(

    )2/sin( )2/sin(

    )( −−= lje L

    W ω ω ω

    ω

    Tujuan Belajar 3

    Peserta mengerti zero padding dan persamaan/perbedaan akibatnya dibanding dengan menaikkan point DFT.

    ( )ωX̂ dihitung menggunakna DFT. Jika diinginkan menghitung N-points DFT dimana N > L maka dapat dilakukan zero padding, yaitu dengan menyisipkan sejumlah (N–L) buah nol pada sekuen { ( )nx̂ }. Gambar dibawah memperlihatkan magnituda spektrum untuk L=25 dan N=2048. Seperti terlihat pada gambar tersebut, spektrum ( )ωX̂ tidak terlokalisir pada satu frekuensi tetapi menyebar ke seluruh range frekuensi. Jadi, daya dari sinyal x(n) yang sebelumnya terkonsentrasi pada satu frekuensi sekarang tersebar ke seluruh range frekuensi, atau disebut leakage.

    0 pi/2 pi 3pi/2 2pi 0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16 L = 32, N = 2048

    Tujuan Belajar 4

    Peserta dapat mengurangi kebocoran spektrum (spektral leakage)

    Windowing, selain menyebabkan kesalahan estimasi spektrum sinyal karena leakage, juga mengurangi resolusi spektrum. Misalkan terdapat sinyal terdiri dari dua frekuensi :

    x(n) = cosω1n + cosω2n dengan menggunakan windowing, maka

    )()(ˆ nxnx nω=→ dimana transformasi Fouriernya adalah :

    [ ])()()()( 2 1

    )( 2121 ωωωωωωωωω ++++−+−= WWWWX

  • BAB 6 Analisa Spektrum

    VI-4

    Zero crossing W(ω) terjadi pada ω = 2π/L, bila |ω1-ω2| < 2π/L maka terjadi overlap pada W(ω-ω1) dan W(ω-ω2), jika |ω1-ω2| ≥ 2π/L maka muncul 2 lobe. Jadi kemampuan meresolusi garis spektrum ditentukan oleh lebar main-lobe dari window. Contoh :

    x(n) = cos 0.2πn + cos 0.22πn + cos 0.6πn

    Terdapat dua frekuensi yang saling berdekatan, yaitu 0.2π dan 0.22π. Kedua frekuensi tidak bisa dipisahkan menggunakan L=25 dan L=50, kedua frekuensi baru terpisah menggunakan L = 100.

    Untuk mengurangi kebocoran dapat digunakan window w(n) dengan side-lobe yang rendah yang berakibat main-lobe melebar (resolusi meningkat). Bila spektrum window relatif sempit dibanding X(ω) maka efek smoothing kecil, sebaliknya bila spektrum window relatif lebar maka efek W(ω) lebih dominan sehingga harus dihindari. Contoh :

    Hanning Window 

      

    −≤≤  

      

    − −=

    otherwise

    Lnn Ln

    0

    10 1

    2 cos1

    2 1

    )( π

    ω

    yang digunakan pada sinyal seperti diatas. Perhatikan gambar dibawah, menggunakan Hanning window.

  • BAB 6 Analisa Spektrum

    VI-5

    2 Menghitung DFT Dengan bantuan Filter

    Tujuan Belajar 5

    Peserta dapat menghitung DFT dengan bantuan filter linier dan diterapkan dalam kasus Goertzel Algorithm untuk DMTF.

    Algoritma Goertzel memanfaatkan sifat periodik sudut fasa { }kNW sehingga perhitungan DFT dapat dinyatakan sebagai operasi linear filtering dengan resonator pada ωk= 2πk/N Karena 1=−kNNW , maka dapat digunakan sebagai faktor pengali, sehingga

    ∑ ∑ −

    =

    =

    −== 1

    0

    1

    0

    )()()( N

    m

    km N

    N

    m

    kN N

    km N WmxWWmxkX

    Nnk N

    m

    mNk N nyWmx =

    =

    −− == ∑ )()( 1

    0

    )(

    bila ∑ −

    =

    −= 1

    0

    )()()( N

    m kk mnhmxny

    )()( nuWnh knNk −≡

    x(m) yk(n) → tunggu sampai n = N

    Hk(n)

  • BAB 6 Analisa Spektrum

    VI-6

    → yk(N) = X(k) Ctt.

    11 1

    )( −−− =

    zW zH k

    N k

    )()1()( nxnyWny k k

    Nk +−=⇒ − y(-1) = 0

    Untuk menghindari bilangan kompleks akibat kNW − , buat komplex conjugate →

    ( ) ( ) )(1 1

    1

    1

    zH zW zW

    kk N

    k N

    − −×

    sehingga ( ) 21

    1

    2cos21

    1 −−

    +  

      −

    − =

    zz N k zW

    kH k

    N

    π

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) NkNNkX

    nvWnvny

    nxnvnv N

    k nv

    k k

    Nkk

    kkk

    2log valuesMuntuk baik realinput 1

    21 2

    cos2

    ≤−=→ −−=

    +−−−= π

    sehingga cukup menghitung

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )12cos21

    1

    22

    22

    −  

      −−+=

    −−⇒

    Nv N k

    NvNv

    NvWNvny

    kkk

    k k

    Nkk

    π