BAB 9DERET FOURIER

Oleh :Oleh :

Ir. A.Rachman Hasibuan dan

Naemah Mubarakah, ST

9.1 Pendahuluan

Gambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin ωtGambar 9.1 Fungsi-fungsi eksistesi (a) v = konstan ; (b) v = V sin ωt

Gambar 9.2 Gelombang gigi gergaji

Gelombang gergaji ini dapat dinyatakan sebagai f(t) = (V/T)t dalaminterval 0 < t < T dan oleh f(t) = (V/T)(t – T) dalam interval T < t < 2T.

9.2 Deret Fourier Trigonometri

Suatu fungsi f (t) dikatakan periodik apabila :

f(t) = f(t + nT)

dimana n adalah bilangan bulat/integer dan T adalah periode dari f (t),

Menurut teori Fourier setiap fungsi periodik dengan frekuensi ωo dapat di

ekspresikan sebagai perjumlahan dari fungsi sinus ataupun kosinus atau :

{44444 344444 21

ac

)tnsinbtncosa(

dc

a f(t)1n

onono

↓

↓

∑∞

=

ω+ω+=

ωo = 2π/T disebut sebagai frekuensi dasar

sin nωot atau cos nωot merupakan harmonisa yang ke-n dari f (t) dan bila n merupakan bilangan ganjil disebut harmonisa ganjil dan bila genap disebut harmonisa genap

Suatu fungsi f(t) dapat dinyatakan dengan sebuah deret Fourier apabila :

1. f(t) memiliki nilai tunggal untuk setiap t.

2. Jika f(t) tidak kontinyu maka hanya terdapat jumlah diskontinuitas

terbatas pada periode T.

3. Memiliki jumlah maksimum dan minimum yang terbatas dalam periode.

4. Untuk setiap t0.

syarat-syarat ini disebut sebagai syarat Dirichlet

∫+

∞<Tt

t

0

0

dt|)t(f

∫

∫

∫

→=ωω

≠→=ω

→=ω

T

T

0 o

T

0 o

)c(....m,nsemua0dttnncostnsin

)b(......................0nsemua0dtncos

)a(............................nsemua0dtnsin

Adapun proses untuk menentukan koefisien ao ; an dan bn

disebut sebagai analisa. Fourier, dimana dalam analisa Fourierini ada beberapa bentuk integral trigonometri yang sangatmembantu diantaranya :

∫

∫

∫

∫

∫

→=ω

→=ω

≠→=ωω

≠→=ωω

→=ωω

T

0o

2

T

0 o2

T

0oo

T

0 oo

T

0 oo

)g(.................msemua2/Tdttmcos

)f(....................nsemua2/Tdtncos

)e(................mn0dttmcosncos

)d(...................mn0dttnsinnsin

)c(....m,nsemua0dttnncostnsin

∫=T

0o dt)t(fT

1a ∫ ω=

T

0 on dttncos)t(fT

2a ∫ ω=

T

0on dttnsin)t(f

T

2b

Dari analisa Fourir, didapat :

∑∞

=

φ+ω+=1n

nono )tncos(Aa)t(f

∞∞

; dan

Maka :

∑∑∞

=

∞

=

ωφ−ωφ+=φ+ω+1n

onnonno

1n

ono tnsin)sinA(tncos)cosA(a)ntncos(Aa

nnn cosAa φ= )sinA(b nnn φ−= 2n

2nn baA +=

n

n1n

a

btan−−=φ

dalam bentuk kompleks : nnnn jbaA −=φ∠

Sehingga :

; ; ;

Carilah bentuk deret Fourier gelombang dibawah ini dan gambarkan juga spektrum amplitudo dan spektrum fasa dari gelombang tersebut.

Contoh :

Jawab :

Adapun deret Fourier :

∑∞

=

ω+ω+=1n

onono )tnsinbtncosa(a f(t)

Adapun bentuk persamaan gelombang diatas :

<<→

<<→=

2t10

1t01)t(f

2

1t

2

1dt0dt1

2

1dt)t(f

T

1a

0

12

0

1

0

T

0o ==

+== ∫∫∫

0

0

dttncos0

1

0tsin

n

1

dttncos12

2dttncos)t(f

T

2a

2

1

1

0

T

0 on =

π+

ππ

π=ω=

↓↓

∫∫∫44344214434421

0n π

)1n(cosn

1

0

dttnsin0

1

0tncos

n

1

dttnsin12

2dttnsin)t(f

T

2b

2

1

1

0

T

0 on −ππ

−=

π+

ππ

−

π=ω=

↓↓

∫∫∫443442143421

[ ]

→

→π=−−

π=

genapnhargauntuk0

ganjilnhargauntukn

2

)1(1n

1b n

n

Harga-harga a0, an dan bn yang telah diperoleh disubstitusikan ke

persamaan umum deret fourier, maka deret Fourier dari bentuk

gelombang diatas adalah :

...t5sin5

2t3sin

3

2tsin

2

2

1)t(f +π

π+π

π+π

π+=

1k2n:inihaldalamtnsinn

12

2

1)t(f

1k

−=→ππ

+= ∑∞

=

untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa :untuk mendapatkan spektrum amplitudo dan spektrum fasa :

{ {

→

→π==

→π

=

+=↓↓ genapn0

ganjilnn

2

b

ganjilnn

2nb

b

0

aAn n2

n2

n

→°

→°−=−=φ −

ganjiln0

genapn90

a

btan

n

n1n

Telah diketahui didepan bahwa ω0 = π dan harga An dan φn untukbeberapa harga n maka hasilnya seperti pada tabel dibawah ini.

maka spektrum amplitudo :

π2

π32

2

nφ

oωπ π2 π3 π4 π5 π6

π3

π52

oωπ π2 π3 π4 π5 π6

9.3 Kesimetrisan

9.3.1 Simetris Genap

f(t) = f(-t) → untuk semua harga t

TT−

2

T

2

T−

Gambar 9.3 Fungsi Genap

)2/T(f)2/T(f:makaT/2 thargauntuk A - f(t)

T/2 thargauntuk A - f(t)−=

−=→=

=→=

Adapun sifat yang utama dari fungsi genap ini adalah :

∫∫ =−

2/T

0

e

2/T

2/T

e dt)t(f2dt)t(f

dimana notasi e pada fe(t) untuk melambangkan fungsi genap (even).

didapat koefisien-koefisien Fourier-nya :

∫=2/T

0

0 dt)t(fT

2a

∫ ω=2/T

0

0n dttncos)t(fT

4a

bn = 0

didapat koefisien-koefisien Fourier-nya :

9.3.2 Simetris Ganjil

f(-t) = -f(t) → untuk semua harga t

4

T−

Gambar 9.4 Fungsi Ganjil

4

T

4 Gambar 9.4 Fungsi Ganjil

)4

T(f)

4

T(f:maka

4

T thargauntuk A - f(t)

4

T thargauntuk A f(t)

=−

−=→=

=→=

Adapun bentuk umum fungsi ini adalah :

0dt)t(f

2/T

2/T

o =∫−

dimana fo(t) hanya berupa simbol dari fungsi ganjil (Odd).

Untuk fungsi ganjil ini harga-harga :

A0 = 0

an = 0 an = 0

∫ ω=2/T

0

0n dttnsin)t(fT

4b

Setiap fungsi periodik f(t) dapat merupakan gabungan fungsi-fungsi

genap atau ganjil saja ataupun gabungan fungsi genap atau ganjil

)t(f)t(f

ganjil

tnsinb

genap

tnsinaa)t(f oe

1n

0n

1n

0n0 +=ω+ω+=

↓↓

∑∑∞

=

∞

= 44 344 21444 3444 21

9.3.3 Simetris Gelombang Setengah

Suatu fungsi dikatakan simetris gelombang setengah apabila :

)ganjil()t(f)2

Tt(f →−=−

Gambar 9.5 Contoh gelombang setengah simetris (ganjil)

Koefisien Fourier nya :

+== ∫∫∫

−−

2/T

0

0

2/T

2/T

2/T

0 dt)t(fdt)t(fT

1dt)t(f

T

1a 0dt)t(fdx)x(f

T

1a

2/T

0

2/T

0

0 =

+−= ∫∫→

ω+ω= ∫∫

−

2/T

0

0

0

2/T

0n dttncos)t(fdttncos)t(fT

2a

− 02/TT

[ ]

ω

=ω−−= ∫∫genapnuntuk.........................................0

ganjilnuntuk...........dttncos)t(fT

4

dttncos)t(f)1(1T

2a

2/T

0

0

2/T

0

0n

n

ω

= ∫genapnuntuk.........................................0

ganjilnuntuk...........dttnsin)t(fT

4

b

2/T

0

0n

Contoh :Carilah deret Fourir dari f(t) yang tergambar di bawah ini :

Jawab :Fungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana

22 πππFungsi ini adalah fungsi ganjil sehingga a0 = 0 = an dimana

periodenya T = 4 sehingga24

2

T

20

π=

π=

π=ω , maka :

∫ ω=2/T

0

0n dttnsin)t(fT

4b

π+

π= ∫∫

2

1

1

0

n dtt2

nsin0dtt2

nsin14

4b→

π−

π=

π

π−=

2

ncos1

n

2

2

tncos

n

2b

1

0n ∑

∞

=

π

π−

π=

1n 2

nsin

2

ncos1

n

12)t(f→

maka terlihat bahwa deret merupakan deret Fourir sinus.

Contoh :Carilah deret Fourir dari fungsi di bawah ini :

Jawab :Fungsi adalah gelombang ganjil setengah simetris, sehingga a0 = 0 = an

dengan periode T = 4 dan24

2

T

20

π=

π=

π=ω

f(t) = 1 → -1 < t < 1

. Maka :

∫ ω=2/T

0

0n dttnsin)t(fT

4b

Maka :

→2

ncos

n

4

2

nsin

n

8b

22n

π

π−

π

π=

karena sin (-x) = - sin x pada fungsi ganjil dan cos (-x) = cos x padafungsi genap, maka :

==−π

==−π=

+

−

...,6,4,2genapnuntuk)1(n

4

...,5,3,1ganjilnuntuk)1(n

8

b2/)2n(

2/)1n(

22

n

πn

sehingga :

∑∞

=

π=

1n

n t2

nsinb)t(f

9.4 Pemakaian Pada Rangkaian Listrik

Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya :

Untuk mendapatkan respons steady state rangkaian terhadap eksitasi

non-sinusoidal periodik ini diperlukan pemakaian deret Fourier,

analisis fasor ac dan prinsip superposisi.

Adapun langkah-langkah yang diperlukan diantaranya :

1. Nyatakan eksitasi dalam deret Fourier.

2. Transformasikan rangkaian dari bentuk wawasan waktu menjadi

wawasan frekuensi.

3. Cari resonse komponen dc dan ac dalam deret Fourier.

4. Jumlahkan masing-masing response secara superposisi.

)t1cos(v 101 θ+ω

)t2cos(v 202 θ+ω

)tncos(v n0n θ+ω

0v

Gambar 9.6 a) Rangkaian linier dengan sumber tegangan periodik

b) Merepresentasekan deret Fourier (wawasaan waktu)

adapun pernyataan deret Fourier-nya :

∑∞

=

θ+ω+=1n

n0n0 )tn(cosVV)t(v

0v

11v θ∠

Gambar 9.7 a) Respons steady state komponen dc

b) Respons steady state komponen ac (wawasan frekuensi)

nnv θ∠

22v θ∠

∑∞

=

Ψ+ω+=1n

n00 )tn(cosIni)t(i

Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :

Bilamana sumber tegangan vs(t) pada rangkaian berbentuk :

1k2ntnsinn

12

2

1)t(v

1k

s −=→ππ

+= ∑∞

=

Carilah v0(t).

(*)

Jawab :

ssn

n0 V

n2j5

n2jV

LjR

LjV

π+

π=

ω+

ω=

( )ππ+

=

→

π+

π= n2j

n2j5

1

V

1V:atau

n2j5

n2j

V

V

s0

s

0

)902(n

1)2j(

n

1

2j

1

n

1

n2j

1V:ataun2j

V

1s

s

°−∠π

=−π

=

π=

π=→π=

°−∠= 902

Vs

°−∠

ππ+

π= 90

n

2

n2j5

n2jV0→°−∠

π= 90

nVs

°−∠ππ+

= 90nn2j5

V0

22

1

0

n425

5

n2tan4

V

π+

π−∠

=

−

→

dan dalam wawasan waktu :

1k2n:untuk5

n2tantncos

n425

4)t(V 1

1k22

0 −=→

π−π

π+= −

∞

=∑

maka dengan mensubstitusikan harga ( k = 1, 2, 3, … atau

n = 1, 3, 5,…) untuk harmonisa ganjil akan diperoleh :

Volt...

)96,80t5(cos1257,0)14,75t3(cos2051,0)49,51t1(cos4981,0)t(0V

+

°−π+°−π+°−π=

dan kalau digambarkan spektrum amplitudo-nya :

ωπ π2 π3 π4 π5 π6 π7

0V

9.5 Daya Rata-rata dan RMS

Untuk mendapatkan harga daya rata-rata yang diserap oleh suatu

rangkaian dengan sumber suatu fungsi periodik , yaitu :

∑∞

=

θω+=1n

n0ndc )-tn(cosVV)t(v

∑∞

=

φω+= m0mdc )-tm(cosVI)t(i ∑=1m

sedangkan sebagaimana diketahui bahwa daya rata-rata adalah :

∫=T

0dtvi

T

1P ∑

∞

=

φθ+=1n

nnnndcdc )-(cosIV2

1IVP

harga efektif (rms) dari suatu f(t) adalah :

∫=T

0

2rms dt)t(f

T

1F ( )∑

∞

=

++=1n

2n

2n

20rms ba

2

1aF

→

→

Contoh :Rangkaian seperti di bawah ini :

Carilah daya rata-rata yang diberikan oleh sumber ke rangkaian bilamana :

A)35t3cos(6)10tcos(102)t(i °++°++=

dan cari pula Vrms.

Jawab :Impedansi rangkaian :

ω+=

ω

+ω

ω=

ω+

ω=

+=

20j1

10

2j

120j

2j

10

2j

110

2j

110

XR

X.RZ

C

C

maka :

ω∠ω+=

ω∠ω+

=ω+

=ω+

==−− 20tan4001

I.10

1

20tan)20(1

I.10

20j1

I.10

20j1

10.IZ.IV

12122

untuk komponen dc (ω = 0) :1

untuk komponen dc (ω = 0) :

I = 2 A → v20

)0(20tan)0(4001

)2(10V

12=

∠+=

−

untuk ω = 1 rad/det, maka :

°−∠=°∠

°∠=

∠+

°∠=→°∠=

−14,775

14,8720

10100

)1(20tan)1(4001

)1010(10Vdan1010I

12

untuk ω = 3 rad/det, maka :

°−∠=°∠

°∠=

∠+

°∠=→°∠=

−04,541

04,8960

3560

)3(20tan)3(4001

)356(10Vdan356I

12

sehingga dalam wawasan waktu :

V)04,54t3cos(1)14,77tcos(520)t(v °−+°−+=

Adapun daya rata-rata dapat dihitung dengan :

∑∞

=

φθ+=1n

nnnndcdc )-(cosIV2

1IVP

[ ] [ ])35(04,54cos)6)(1(1

)10(14,77cos)10)(5(1

)2(20P °−−°+°−−°+= [ ] [ ])35(04,54cos)6)(1(2

1)10(14,77cos)10)(5(

2

1)2(20P °−−°+°−−°+=

P = 40 + 1,247 + 0,05 = 41,297 W

cara lain :

W30,4106,025,14010

1

2

1

10

5

2

1

10

20

R

V

2

1

R

VP

222

1n

2n

2dc =++=++=+= ∑

∞

=

Contoh :Suatu tegangan diekspresikan dengan :

...)7,78t4cos(4851,0

)56,71t3cos(6345,0)45,63t2cos(8944,0)45tcos(414,11)t(v

+°+−

+°+−°++°+−=

carilah harga rms dari tegangan ini.

Jawab :Jawab :

Dengan menggunakan :

∑∞

=

+=1n

2n

20rms A

2

1aF

maka :

[ ] V649,1)4851,0()6345,0()8944,0()414,1(2

11V 22222

rms =−+−++−+=

9.6 Bentuk Eksponensial Deret Fourier

∑∞

−∞=

ω=n

tjnn

oec)t(f

Untuk mendapatkan harga rms

∑∞ +

+=2

n2

n2 baaF

→ ∫ω−=

T

0

tjnn dte)t(f

T

1c o

∑=

++=

1n

nn20rms

2

baaF

2

bac

2n

2n

n+

=2

02

0 ac =

∑∞

=

+=1n

2n

20rms c2cF

Karena :

Maka :

dan

Contoh :Carilah bentuk eksponensial deret Fourier dari :

)t(f)2t(f:dengan2t0;e)t(f t =π+π<<=

Jawab :

1T

2maka2TKarena 0 =

π=ω→π=

maka :

∫∫π −ω− ==

2 jnttT tjn 11π

−=2

t)jn1(e11

c→∫∫π −ω−

π==

2

0

jnttT

0

tjnn dtee

2

1dte)t(f

T

1c o

−

−π=

0

t)jn1(n e

jn1

1

2

1c

[ ]1ee)jn1(2

1c n2j2

n −−π

= π−π 10j1n2sinjn2cose n2j =−=π−π=π−

[ ])jn1(

51,851e

)jn1(2

1c 2

n −=−

−π= π

sehingga deret Fourier-nya : jnte)jn1(

51,85)t(f ∑

∞

∞− −=

→

→