ENGC34 – ELETROMAGNETISMO APLICADO…

Propagação em Meios com Perda

Prof. Dr. Vitaly F. Rodríguez‐Esquerre

Considere um meio com perdas caracterizado pela sua condutividade σ poremConsidere um meio com perdas, caracterizado pela sua condutividade σ, poremsem cargas livres.As equações de Maxwell para campos harmônicos são escritos da seguinteforma:

Aplicando o rotacional na Eq (10.13)

Fazendo uso da identidade vetorial

e da Eq. (10.14)

Obtem‐se

Ou

Onde

γ é conhecida como constante de propagação, e será uma variável complexa,P d d fPodendo ser expressa na forma,

de forma similar pode ser obtida uma equação para o campo magnético,

Para obtermos os valores de α e β na Eq. (10.20) faremos o seguinte:

Resolvendo o sistema de equações (10 21) e (10 22) obtem seResolvendo o sistema de equações (10.21) e (10.22) obtem‐se

Consideremos um campo propagando na direção +z, com apenas uma componente em x,

Substituindo na Eq. (10.17), obtem‐se

Colocando em evidencia o operador laplaciano, lembrando que não existe variação na direção x e ydireção x e y

Obtem‐se a equação diferencial, 

Cuja solução tem a forma,

Como o campo deve ser finito em z=infinito, considera‐se apenas a exponencial negativa, o campo E(r,t) pode ser então escrito como,

Resultando em ,

( ) ( )0 ˆ, coszE z t E e t z xα ω β−= −

( ) 0 ˆzSE z E e xγ−=

( ) ˆ ˆ ˆd⎛ ⎞( )

( ) ( )

0 0 0ˆ ˆ ˆˆz z zS

dE z E e x z E e x E e ydz

E z j H z

γ γ γγ

ωμ

− − −⎛ ⎞∇× = ∇× = × = −⎜ ⎟⎝ ⎠

∇× =( ) ( )( )

0

0 ˆS

zS

E z j H z

E e y j H zγ

ωμ

γ ωμ−

∇× = −

− = −

( ) 0z

ySE eH zj

γγωμ

−−=

−

( ) zj j E e γωμ σ ωε −+( )

( ) 0yS

j j E eH z

j

ωμ σ ωε

ωμ

+=

( ) 00

zz

ySE ejH z E e

j

γγσ ωε

ωμ η

−−+

= =

De forma analoga, pode ser obtida a solução da Eq. (10.19)

OndeOnde

ηé conhecida como impedância do meio e será complexaηé conhecida como impedância do meio e será complexa

Onde

O ângulo θ varia entre 0 e 45 graus.

Substituindo (10.31) e (10.32) em (10.30)

( ) ( )0E( ) ( )0 ˆ, coszEH z t e t z yαηω β θ

η−= − −

Observe a defasagem entre os campos,

( ) ( )0 ˆcoszE z t E e t z xα ω β−= −

As propriedades de propagação são calculadas usando

( ) ( )0, cosE z t E e t z xω β

P d t bé E (10 14)Podemos também re‐escrever a Eq (10.14)

ondeonde

Ou

onde

Questão 1 (3,5 pontos)Faça um gráfico em escala logarítmica da distância de penetração vs frequência paraFaça um gráfico em escala logarítmica da distância de penetração vs. frequência para água do mar considerando os seguintes parâmetros: er=80, mr=1, s=4 S/m e f [1 KHz, 10 GHz]. Comente seus resultados.

(m)

de P

enet

raçã

o (

Dis

tânc

ia d

103 104 105 106 107 108 109 1010

Frequência (Hz)

Em 1 MHz, determine a impedância intrínseca, defasagem entre E e H, e velocidade d f d dde fase da onda. A que profundidade a densidade de potência média será 1% do valor presente logo abaixo da superfície da água?

EXEMPLOEXEMPLO

Considere um campo que incide na água do mar

Z=0

Determinar, constante de atenuação, constante de propagação, constante de fase Impedancia intrínseca velocidade de fase comprimento de ondafase,  Impedancia intrínseca, velocidade de fase, comprimento de onda, distancia de penetração

Determinar a distancia em que o campo é 1 V/m

Escrever as expressões de E(0,8, t) e H(0,8, t)

Determinar a distancia em que o campo é 1 V/m

Uma equipe de cientistas está projetando um radar paraUma equipe de cientistas está projetando um radar paramedir a espessura do gelo sobre a terra. Para detectar oeco na interface gelo‐terra, a espessura do gelo deve ser deno máximo 3 vezes a distância de penetração da onda nogelo. Sabendo que a máxima espessura de gelo é 1,2 km,Determinar qual é a faixa de freqüências que pode serDeterminar qual é a faixa de freqüências que pode serusada (εr = 3 – j 0,01)

Gelo0 8h K

TERRA

max 0,8h Km=

Deseja‐se enviar um sinal de rádio para o receptor damergulhadoramergulhadora.Se a densidade de potência mínima que pode ser detectadapelo receptor da mergulhadora é de 1 uW/m2, determine op p g / ,valor mínimo do campo elétrico logo acima da superfície daágua.

/' 80ε =Em f = 1 KHz; e a condutividade é 1,0 S/m.Considere incidência normal na interface ar‐água.

0 AR

80rε =

-2

0 AR

AGUA

-4

m)

8

-6z (m

-10

-8

0 m0 5 V/zE α−− 0 0628 N / 7 mz 0 774 mV/mE−

0 0,774 mV/mE T+ = 0,000471T = 0 1,64 V/mE+ =

0 =0,5 mV/m zE e α− 0,0628 Np/mα = 7 mz = − 0 0,774 mV/mE =

0

80r j σεωε

= − 0,063 0,063jη = +

21 1 E{ }1 1Re * cos 1,0 W2 2av n

ES E H θ μ

η= × = =‐7 m 0,088 45η = ∠ ° 0,5 mV/mE =

Se o campo elétrico de um sinal acima da superfície da água éSe o campo elétrico de um sinal acima da superfície da água éde 1 V/m, quais submarinos conseguem receber esse sinal se omínimo campo elétrico que pode ser detectado é |E|= 0,01 V/m? Escreva as expressões do campo e para o submarino quedetecta o sinal com menor amplitude.Em f 1 4 MHz a permissividade relativa da água do mar éEm f = 1,4 MHz; a permissividade relativa da água do mar é .Explique todas as considerações realizadas. 74,83 56,01r jε = −

1.4×1068.79646×106/2500000

f=1.4 10^6w=2 Pi fu0=4 Pi 10^ 7

p/25000008.85×10‐12376.8196 62245×10‐10 4 95688×10‐10 ju0=4 Pi 10^‐7

e0 = 8.85 10^‐12n0=Sqrt[u0/ e0]e1=e0 (74 83‐I 56 01)

6.62245×10‐10‐4.95688×10‐10 j36.9818?+12.3075 j18.40740 819648+0 0541209 je1=e0 (74.83 I 56.01)

n1=Sqrt[u0/e1]Arg[n1] 180 / PiR=(n1‐n0)/(n1+n0)

‐0.819648+0.0541209 j0.180352?+0.0541209 j0.1882970 269099?‐0 0895556 jR (n1 n0)/(n1 n0)

T = 1 + RT = Abs [T]k1=w Sqrt[u0 e1]

0.269099? 0.0895556 j0.188297 Exp[‐0.0895556 z]

z=32.7778q [ ]El=T Exp[‐0.08955563803396899 z]Solve[El==0.01,z]Plot[El,{z,0,100},PlotRange‐>All]

0.15

56*w*e0

005

0.10

20 40 60 80 100

0.05