Margulis e de Matos5-6 novembro 2012 # 1 Problema: descreva a propagação de um pulso ao longo de...

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Margulis e de Matos 5-6 novembro 2012 # 1 www.acreo.se lema : descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibr conhecendo o pulso inicial E (z=0, t) ção: determine ∂E / ∂z (i.e., como E varia ao longo de z) ρ f = 0 E = - ∂ B/ ∂t H = J f + ∂ D/ ∂t • ∆ D = • ∆ B = 0 Equações constitutivas: D = ε o E + P B = µ o H + M D, H fluxo elétrico e magnético descreve a resposta do material à presença do campo elétrico Óptica não-linear em fibras

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Problema: descreva a propagação de um pulso ao longo de uma fibra

conhecendo o pulso inicial E (z=0, t)

Solução: determine ∂E / ∂z (i.e., como E varia ao longo de z)

ρf = 0

E = - ∂ B/ ∂t

∆H = Jf + ∂ D/ ∂t

• ∆

D =

• ∆

B = 0

Equações constitutivas:

D = εo E + P

B = µo H + M

D, H fluxo elétrico e magnético

P descreve a resposta do material à presença do campo elétrico

Óptica não-linear em fibras

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E) = - ∂/∂t B = ( - ∂ / ∂t ( µo

H ) = - µo ∂2 / ∂t2(εo E + P)

(

E) = - 1/c2 ∂2 E /∂t2 - μo ∂2 P /∂t2

Elimina termos magnéticos B e H

∆Para resolver para P precisa-se de mecânica quântica. Longe de resonâncias,

vale a expansão de Taylor :

P = εo [ χ(1) E + χ(2) E•E + χ(3) E•E•E + …] Aproximação de dipolo elétrico

(termos do tipo B E, E. E, etc são desprezados)

Óptica não-linear em fibras

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E) = (

∆ ∆

•E) - 2 E(

∆ ∆

2 E - 1/c2 ∂2 E /∂t2 = μo ∂2 P /∂t2

∆Pulse propagation equation

Óptica não-linear em fibras

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-

∆2E Pµo=∂

2

∂ t2

1c2

E ∂2

∂ t2Equação de onda para luz em materiais

P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...

não-linearlinear

[1 + χ(1)]+∂2

∂ z2

E ω2

c2E = 0

Caso linear: P ~ E

Assuma modos transversais: autoestados de propagação

Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)

n2 (depende de ω = dispersão)

Óptica não-linear em fibras

∂2

∂ y2

E∂2

∂ x2

E + +

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Sellmeier equation

n

ωα/c ω

ω

ωo

Normal dispersion

Anomalous dispersion

n decreases with ω

Refractive index is well described far from resonances by:

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Equação de onda para luz em materiais

Solução:

Separa variáveis e elimina x e y: E (r,t) = F(x,y) A(z,t) exp [i(βz-ωt)] x

Equação transversal: ∂2 F /∂x2 + ∂2 F /∂y2 + [ε(ω)Ko2 - β2] F = 0

Condições de contorno fazem aparecer modos

F(x,y) são funções de Bessel, combinadas em HEmn e EHmn

LP01 LP11 LP02

+

∆2E Pµo=∂

∂ t2

n2ω2

c2

E ∂2

∂ t2

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P = o (1) E + o (3) E.E.E

Seja Etot = E (z) exp (iωt) + E* (z) exp (-iωt)

E.E.E = E 3 exp 3(iωt) + 3 E E* E exp (iωt) + 3 E* E E* exp (-iωt) + E *3 exp 3(-iωt)

ITHG

E.E.E = E 3 exp (i 3ω t) + 3 I E exp (iωt) + cc

O termo não-linear pode ser expresso como uma correção de n P = o (1) E + (3 o (3) I.) E

(n0 + n2I)Índice de refração depende da intensidade

Automodulação de fase

Assuma modos transversais: autoestados de propagação

I

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Consequências da automodulação de fase

• o índice de refração é alterado pelo próprio pulse de luz

• SPM depende da intensidade do pulso

• Na presença de SPM a onda se adianta ou se atrasa

• Isto se traduz na mudança da frequência do pulso

• O espectro se alarga: as caudas não sofrem SPM

o pico sofre SPM, λ muda

λ

λ

t

No SPM

SPM

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Pulso = cos (ωot-kz)Fase instantânea = (ωot-kz) = (ωot-2πnz/λ)Frequência instantânea ∂Φ/∂z = ωo if n = no

ωo-2πn2z/λ dI/dz if n = no + n2I

Chirp: varredura de frequências, Desenvolvido durante a 2a guerra para compressão de radar

Com SPM o espectro alarga mesmo se a forma do pulso permanecer constante (na ausência de dispersão)Depende de dI/dT, altas intensidades criam um chirp grande

Óptica não-linear em fibras

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A frente do pulso se torna avermelhada

A causa se desloca para o azul

Varredura linear onde o pulso é mais intenso

Varredura positiva: frequência aumenta

Pulsos quadrados só tem SPM durante as rampas

Qual é o chirp induzido por um laser CW de 200 W ao longo de uma fibra de 1 km-long devido a SPM?

frentecauda

ω+ δω ω

ωo

ω - δω

Time

Time

Automodulação de fase

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ω

Time

Mesma frequência, diferentes temposinterferência

Qualitativamente: porque oscilações?

Automodulação de fase

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Em fibras de vidro

P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) E.E.E + ...

Quando um campo DC é gravado (poling)

P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Erec Eappl E + ...

(2)eff

Quando um campo intenso é aplicado

P = o (1) E + o (2) E.E + o (3) Eappl Eappl E + ...

Kerr

effect

Outros efeitos não-lineares de 3a ordem

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Outros efeitos não-lineares de 3a ordem

SHG com campo gravado

Efeito eletro-óptico com um campo DC gravado

22==+++ 0(3)

0dc

22==+++ 0(3)(3)

0dc0dc0dc

=++0

0dc(3) =++0

0dc0dc0dc(3)(3)

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Poling

(2) = 0 in fibras(2) = 0 in fibras

Não exibe não-linearidade de segunda ordemNão exibe não-linearidade de segunda ordem

Vidro é um material simétricoVidro é um material simétrico

Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC!

Poling

Quebrando a simetria: Grava-se um campo permanente DC!

Poling

Apesar de (2) ainda ser zero, Apesar de (2) ainda ser zero,

(3) EDC . E . E ~ (2)eff E . E(3) EDC . E . E ~ (2)eff E . E

P

E

P

E

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Gravando o campo elétrico

IR, visible (optical poling)

Visible + electric field (optical-field assisted poling)

UV + electric field (UV poling)

Fs + electric field (fs poling)

-rays + electric field (gamma-ray poling)

Heat + electric field (thermal poling)

Ion implantation

Heat + electrostatic charging (thermal charging)

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Poling óptico

FiberNd:YAG laser

SH

IR.

Fiber

Seeded

Nd:YAG laser

SH

IR.KTP

P2ω ~ Eω Eω Erec

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Poling óptico

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 801E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

SH

Pow

er (

mW

)

Time (minutes)

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Optical poling

Fibra atacada com HF e examinada num microscópio

Rede com QPM é gerada pelo campo óptico

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++

--

silicasilica

280 280 ooCCR. Myers, S. Brueck et al, Opt. Lett. 16, 1732 (1991)

Strong recorded electric field~108 - 10 9 V/m !

Top layer < 15 µm

2 mm

Poling fused silica

Create an effective (2) Create an effective (2)

(3) Edc . E . E ~ (2)eff E . E(3) Edc . E . E ~ (2)eff E . E

Poling térmico

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Poling sobre um hot-plate

3 dB 3 dB

Active arm

Reference arm

HOT-PLATE~265 oC

High voltage

280 oC

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Fibras electroópticas

Índice depende fracamente do campo aplicadoÍndice depende fracamente do campo aplicado

Applied fieldLow amplitude

Small phase shift

Antes do polingSó efeito Kerr

P = PL + Eω Eappl Eappl

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Applied field

P = PL + Eω Erec Eappl

Low amplitudeSmall phase shift

Depois do polingSó efeito Kerr

Erecorded

P = PL + Eω Eappl Eappl

Antes do polingSó efeito Kerr

Índice depende do campo aplicadoÍndice depende do campo aplicado

Fibras electroópticas

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Applied field

P = PL + Eω Erec Eappl

Erecorded

P = PL + Eω Eappl Eappl

Large phase shiftLow amplitude

Índice depende do campo aplicadoÍndice depende do campo aplicado

Fibras electroópticas

Depois do polingSó efeito Kerr

Antes do polingSó efeito Kerr

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0,010 0,015 0,020 0,025 0,030

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0

2,5

3,0

Vo

lta

ge

[kV

]

Time [s]

-0,06

-0,04

-0,02

0,00

0,02

0,04

0,06

0,08

In

ten

sity [

mV

]

Caracterização

Mach-Zehnder

3 dB3 dB 3 dB3 dB

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Modulador de fase electroóptico

Componente a fibra polarizada

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Modulador eletroóptico a fibraModulador eletroóptico a fibra

-8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14-60

-40

-20

0

20

40

60

80

Phase

shift

( r

ad

ian

s

Applied voltage (kV)

110 π phase shiftΧ(2) = 0.25 pm/V

Vπ = 110 V

Phase modulator

Typical values @ 1 µm

Vπ ~ 100 V

Electrical bandwidth: 20 MHz

Loss: 1 dB (fast axis)

10 dB (slow axis)

Χ(2) = 0.25 pm/V

Typical values @ 1 µm

Vπ ~ 100 V

Electrical bandwidth: 20 MHz

Loss: 1 dB (fast axis)

10 dB (slow axis)

Χ(2) = 0.25 pm/V

Slow

Fast

OE 17, 1553 (2009)

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Depois do poling

1540 1545 1550 1555 1560-14

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

Tra

nsm

issi

on (

dB)

Wavelength (nm)

U = 0 V U = 38 V

ΔL = L2 – L1 ~ 200 µm

Vπ = 38 V

2x2 push-pullfiber switch/modulator

3 dB3 dB

Interferometro Mach-Zehnder a fibra

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Transmissão de vídeo

Poled fibre modulator for video transmission

Det.Det.

1V1V 15Vpp15VppVideosourceVideosource

fiber interf.fiber interf.ElectroopticalElectrooptical

Fiber linkFiber link

CW laserCW laser

TVTV

Acreo – ECOC 2004 exhibition

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Transmissão de vídeo

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Quasi-phase matching in poling óptico

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Length

Phase matched

QPM in Xtal

QPM by Erasure

SHG

Not phase matched

Coherencelength

Comprimento de coerência:

• em cristais ~5 µm • em fibras ~40 µm

Quasi phase-matching

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Apagamento periódico com UV

Poling creates a uniform (2) in the coreχ

Periodic UV erasure

Metal-filled contacted fiber

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Determinando o período necessário

FiberNd:YAG laser

SH

IR.

Fiber

Seeded

Nd:YAG laser

SH

IR.KTP

P2ω ~ Eω Eω Erec

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Optical poling

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70 75 801E-7

1E-6

1E-5

1E-4

1E-3

0.01

0.1

1

10

SH

Pow

er (

mW

)

Time (minutes)

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Optical poling

Etched fiber under microscope

36.1 µm

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500 510 520 530 540 550 5600

10

20

30

40

50

60

70

80

Sig

nal (

nW)

Wavelength (nm)500 510 520 530 540 550 5600

20406080

100120140160180200

Sig

nal (

nW)

Wavelength (nm)

Two sets of gratings

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500 510 520 530 540 550 5600

20406080

100120140160180200

S

ign

al (

nW

)

Wavelength (nm)

Reproducibility in wavelength

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510 515 520 525 530 535 540 545 550

34.0

34.5

35.0

35.5

36.0

36.5

37.0

37.5

38.0

Q

PM

per

iod

(µm

)

Wavelength (nm)

531.0 nm - 36.276 m532.0 nm - 36.400 m532.2 nm - 36.429 m

Linearidade: período para QPM

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High-average-power second-harmonic generationfrom periodically poled silica fibers, A. Canagasabey et al, Opt Lett, 15 Aug 2009

Fibra poled periodicamente

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Stimulated Raman scattering (Blillouin…)

Energy is lost to vibrations (in silica peak ~440 cm-1)

Shift from 1.06 µm to 1.12 µm, and then 1.18 µm, 1.24 µm…

Shift at 1.48 µm is to 1.58 µm

At room temperature, most atoms are in their vibrational ground state

Laser excites vibrations (Stokes)

Laser de-excites vibrations extremely unlikely (no anti-Stokes peak seen)

Espalhamento Raman

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Espalhamento Raman

Espalhamento Raman estimuladoGanho do espalhamento Raman

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Espalhamento Raman estimulado

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Na aproximação de envelope variando lentamente

∂A/∂z + β1 ∂A/∂t + i/2 β2 ∂2A/∂t2 + αA/2 = + i γ |A|2 A

Redefine time origin (travel with pulse referential)

i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A

γ = n2ωo/cAeff nonlinear coefficient of the fiber (in STF γ ~2/W km)

β1 = 1/vG

β2 = GVD parameter

Equação de onda para luz em materiais2

+

∆2E Pµo=∂

∂ t2

n2ω2

c2

E ∂2

∂ t2

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i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A

AbsorptionDispersion

Nonlinearity

Como estimar a importância destes efeitos?

(Govind rules ok!)

LD = To2 /|β2| Comprimento de dispersão

LNL = 1/γPo Comprimento de não-linearidade

Equação não-linear de Schroedinger (when α~0)

i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A

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i∂A/∂z = 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A

Normalizing for pulse duration and power

t = T/To

A(z,t) = √Po exp(-αz/2)U(z,t)

i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂T2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U

(sign of β2)

Third order dispersionn(I) leads to ∆β(ω)Self-steepening

Delayed material responseRaman SFS

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Four regimes:

1) L<<LD and L<<LNL no dispersion, no nonlinearity

2) L>LD and L<<LNL dispersion, no nonlinearity

3) L<<LD and L>LNL no dispersion, nonlinearity

4) L>LD and L>LNL dispersion, nonlinearity

Quatro regimes de pulsos

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LD = To2/β2 large: long pulse (or low dispersion)

LNL =1/γPo large: low power (or low nonlinearity)

i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL exp(-αz) |U|2 U

i∂A/∂z = -iαA/2

A = Ao exp(- αz)

i∂A/∂z = -iαA/2 + 1/2 β2 ∂2A/∂T2 - γ |A|2 A

Caso 1

Pulso apenas se atenua

time

λ

time

λ

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No nonlinearity (intensity or γ too low)

For example, To = 1 ps, Po = 1 mW

L>LD and L<<LNL dispersion, no nonlinearity

GVD governs propagation: i∂U/∂z = β2/2 ∂2U/∂T2

Solve using Fourier transform

The phase depends on the frequency (and propagated distance)

Red and blue are phase shifted by different amounts

Caso 2: dispersão

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dispersiontime time

λ λ

redblue

What happens to a chirped pulse when it propagates under a regime dominated by GVD? Predispersed

If the pulse is chirped to start with, the pulse duration can narrow due to GVD

Caso 2: dispersão

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Chromatic dispersion

Dispersão cromática

Broadband optical input

Broadband optical output

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Problema em telecom

Input

Output

1 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0

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No dispersion but SPM; L<<LD and L>LNL α = 0

∂U/∂z = i/LNL |U|2 U

Typically for SMF: LNL ~1 km (at 1W power)

Solution: U gains a nonlinear phase along z

U(z,T) = U(0,T) exp (iΦNL(z,T))

where

ΦNL(z,T) = 1/LNL |U(0,T)|2

How does the shape of the pulse change under SPM only?

|U(z,T)|2 = |U(0,T)|2 exp(iΦNL(z,T) exp(-iΦNL(z,T)

No change!

zeff

Caso 3: não-linearidade (SPM)

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Caso 3: não-linearidade (SPM)

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SPM broadens spectrum of unchirped pulse

New frequencies appear on front and trailing edges

The pulse becomes less coherent

In the absence of dispersion, no change in pulse shape in time

SPMtimetime

λλ

Caso 3: não-linearidade (SPM)

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SPM and Dispersion; L>LD and L>LNL

i∂U/∂z = ± 1/2LD ∂2U/∂t2 – 1/LNL |U|2 U

The sign of β2 is decisive:

- the effects of dispersion and SPM add to each other (normal regime)

+ the effects of dispersion and SPM can cancel each other (anomalous)

Soliton!

Caso 4: dispersão e não-linearidade

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Regime de dispersão normal, β2 positivo (D negativo)

Pulso alarga

Espectro alarga

Caso 4: dispersão e não-linearidade

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Dispersão anômala, β2 negativo (D positivo)

Pulso e espectro atingem

Um regime estacionário

Forma do pulso U(t) = sech (t)

Caso 4: dispersão e não-linearidade

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Dispersion

No dispersionSoliton

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Cross-phase modulation

Refractive index at λ1 is affected by the presence of pulse at λ2

PNL(ω1) = χeff ( |E1|2 + 2|E2|2)E1

PNL(ω2) = χeff ( |E2|2 + 2|E1|2)E2

PNL(2ω1- ω2) = χeff E12 E2*

PNL(2ω2- ω1) = χeff E22 E1*

Parametric mixing, four-photon mixing

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Parametric amplification

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The end