Propagação em Meios Anisotrópicos

Jorge Manuel Torres Pereira IST, 2002

1

PROPAGAÇÃO EM MEIOS ANISOTRÓPICOS

1. O Tensor Permitividade Eléctrica

Em meios lineares o vector deslocamento eléctrico D e o vector campo eléctrico E

estão relacionados através da equação:

= εD E (1.1)

em que ε é a permitividade eléctrica que, para meios isotrópicos é uma grandeza escalar e,.

para meios anisotrópicos, é um tensor. De igual modo a relação entre o vector da polarização

P e o vector campo eléctrico E pode ser escrita como

0= ε χP E (1.2)

com 0ε a permitividade eléctrica do vazio e χ a susceptibilidade eléctrica, também

representada por um tensor para meios anisotrópicos. É de realçar que quando ε ou χ são

escalares os vectores D, E e P têm a mesma direcção, enquanto que se forem tensores os

vectores D, E e P possuem em geral direcções diferentes.

O tensor ε pode ser escrito com generalidade como:

0 xx xy xz

yx yy yz

zx zy zz

⎡ ⎤ε = ε ε ε ε⎢ ⎥ε ε ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε ε ε⎣ ⎦

(1.3)

em que os elementos ijε da matriz são números adimensionais. Quando tomam valores reais o

tensor é simétrico, isto é,

2

ij jiε = ε (1.4)

e terá, em geral, seis elementos independentes. Para meios sem perdas, mas em que os

elementos do tensor são números complexos ter-se-á

*ij jiε = ε (1.5)

em que *jiε é o complexo conjugado de jiε . A conservação de energia obriga a que o tensor

seja hermitiano.

O tensor pode ser escrito na sua forma mais simples quando está diagonalizado. Ao

sistema de eixos que permite representar o tensor ε na forma diagonal designa-se por sistema

de eixos principal.

Num sistema de eixos principal os meios isotrópicos são caracterizados por um tensor

ε com os três elementos da diagonal iguais, os meios uniaxiais com dois elementos da

diagonal iguais e os meios biaxiais com os três elementos da diagonal diferentes.

Meios isotrópicos 0

0 00 00 0

ε⎡ ⎤⎢ ⎥→ ε = ε ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

(1.6)

Meios uniaxiais 0

0 00 00 0

x

x

z

ε⎡ ⎤⎢ ⎥→ ε = ε ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

(1.7)

Meios biaxiais 0

0 00 0

0 0

x

y

z

⎡ ⎤ε⎢ ⎥

→ ε = ε ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

(1.8)

O meio uniaxial designa-se por uniaxial positivo se z xε > ε e uniaxial negativo se

z xε < ε . Ao eixo dos z é usual chamar-se eixo óptico.

Na Tabela 1.1 indica-se, para alguns materiais, o sistema cristalográfico e tipo de

anisotropia correspondente.

3

Tabela 1.1 –Relação entre o sistema cristalográfico e o tipo de anisotropia para vários materiais.

Sistema Cristalográfico Anisotropia Materiais

Cúbico Isotrópico (*) CdTe, NaCl, GaAs, diamante ( C ),

fluorite…

Trigonal, Tetragonal, Hexagonal Uniaxial

Quartzo (SiO2), ZnS, BeO, gelo,

LiNbO3, BaTiO3, Calcite (CaCO3),

ADP, KDP…

Monoclínico, Triclínico, Ortorrômbico Biaxial Giz, feldspato, mica, topázio,

YAlO3, SbSI, NaNO2…

(*) O conceito de isotropia só se aplica correctamente a materiais com simetria esférica.

2. Propagação em Meios Anisotrópicos

A propagação da luz em meios anisotrópicos tem como ponto de partida as equações

de Maxwell que, para este caso, se escrevem como:

rott

∂=

∂DH (1.9)

rott

∂= −

∂BE (1.10)

e

0= μB H (1.11)

partindo do princípio que os meios não exibem propriedades magnéticas.

Considerando que as ondas são planas, podem-se escrever E, H e D na forma:

( ){ }0Real j te − ⋅ +ω= k rE E (1.12)

( ){ }0Real j te − ⋅ +ω= k rH H (1.13)

( ){ }0Real j te − ⋅ +ω= k rD D (1.14)

4

Substituindo (1.12), (1.13) e (1.14) em (1.9) e (1.10) obtém-se, em termos das

amplitudes complexas:

rot j= − ×E k E (1.15)

rot j= − ×H k H (1.16)

jt

∂≡ ω

∂H H (1.17)

jt

∂≡ ω

∂D D (1.18)

Sendo

0rot j= − ωμE H (1.19)

e atendendo a (1.15) ter-se-á:

ω = ×B k E (1.20)

Por sua vez

rot j= ωH D (1.21)

portanto

−ω = ×D k H (1.22)

De (1.20) e (1.22) conclui-se que os vectores D, H e k são perpendicular entre si.

Como se admite uma situação geral, os vectores D e E não têm necessariamente a mesma

direcção, mas devem estar contidos no plano definido por D e k. Por sua vez o vector de

Poynting S, definido como

= ×S E H (1.23)

5

que é interpretado como o vector da densidade de fluxo de energia no campo

electromagnético, deverá ser perpendicular a E e H. Assim, os vectores E, H e S são

perpendiculares entre si. Na Fig. 9.1 mostra-se a posição relativa dos vectores D, E, H, k e S.

Fig 1.1 - Posição relativa dos vectores , , ,D E H k e S num meio anisotrópico.

Como se vê na Fig 1.1 a propagação da onda faz-se segundo uma direcção diferente da do

fluxo de energia.

Substituindo (1.20) em (1.22) ter-se-á:

( )0

1⎡ ⎤−ω = × ×⎢ ⎥ωμ⎣ ⎦

D k k E (1.24)

isto é

( )20

1− = × ×

ω μD k k E (1.25)

O vector k pode escrever-se na forma:

v kω

=k u (1.26)

em que v é a velocidade de propagação no meio e ku é o vector unitário segundo a direcção

de propagação. A relação (1.25) pode então ser escrita como:

D

E

H

k

S

6

( )20

1v

k k− = × ×μ

D u u E (1.27)

ou, atendendo a que v c n= em que n é o índice de refracção do meio na direcção de

propagação,

( )20

1k kn n

c⎡ ⎤− = × ×⎣ ⎦μ

D u u E (1.28)

Aplicando a relação

( ) ( ) ( )A B C A C B A B C× × = ⋅ − ⋅ (1.29)

tem-se:

( )2 20 k kc n n n−μ = ⋅ −D u E u E (1.30)

Se se introduzir a notação

ˆ kn=k u (1.31)

pode escrever-se, relativamente a um dado sistema de eixos xyz:

( ) ( )ˆ , ,k i ii

n k E i x y z⋅ = =∑u E (1.32)

Atendendo a (1.3):

[ ]0 r= ε εD E (1.33)

e assim ter-se-á:

0j ji ii

D E= ε ε∑ (1.34)

A relação (1.30) pode ser reescrita, em termos de cada componente, como:

2 20

ˆ ˆj i i j j

ic D k E k n E

⎛ ⎞μ + =⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠∑ (1.35)

7

ou ainda, substituindo (1.34) em (1.35):

( ) 2ˆ ˆji i j i j

ik k E n E⎡ ⎤ε + ⋅ =⎣ ⎦∑ (1.36)

A equação (1.36) designa-se por equação de Fresnel e descreve a propagação da luz

num meio anisotrópico. Esta equação é uma equação de valores próprios em que 2n são os

valores próprios e jE os vectores próprios.

2.1. Propagação em Meios Uniaxiais

Como exemplo de aplicação da equação de Fresnel considere-se um cristal uniaxial

em que

0 0 0

0 00 0

x

x

z

ε = ε ε⎡ ⎤⎢ ⎥ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

(1.37)

Vamos admitir que k, e por isso k̂ , está dirigido segundo y. Deste modo ter-se-á:

2

ˆ ˆ 0 0 0

0 00 0 0

i jk k

n

⎡ ⎤=⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.38)

A equação de Fresnel pode então escrever-se como:

2

2 2

2

0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0

x xx

x y y

z z z

n EEn E n E

E En

⎡ ⎤ε =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε +⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.39)

ou

2

2

0 0 00 0

0 0

x x

x y

z

n EE

Ezn

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε − =⎢ ⎥ ⎢ ⎥

ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ε −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.40)

8

A solução desta equação, admitindo ondas transversais, dará os vectores próprios

0yE = , xE e zE e os valores próprios xε indeterminado, 2 21 2,x zn n= ε = ε .

Neste caso os vectores próprios xE e zE são ortogonais e as velocidades de fase

respectivas são dadas por 1vx c n= e 2vz c n= . O eixo a que corresponde uma velocidade

de propagação maior designa-se por eixo rápido, enquanto que o outro eixo é o eixo lento.

Uma situação mais complexa resulta, por exemplo, de se admitir que o vector k tem

componentes segundo y e segundo z, i.e., está no plano yoz, Fig. 1.2. O meio uniaxial definido

por (1.37) é invariante sob o efeito da rotação em torno do eixo dos zz pelo que é sempre

possível, sem perda de generalidade, escolher o eixo dos yy de modo a que k se encontre no

plano yz.

Fig 1.2 – Vector de propagação no plano yOz.

Deste modo, pode escrever-se

cos senz y z yk k= + = θ + θk k k u u

Seguindo o tratamento descrito nos parágrafos anteriores, obter-se-á então

ˆ cos senz yn n= θ + θk u u .

A matriz ˆ ˆj ik k terá então a forma:

2 2 2

2 2

ˆ ˆ 0 0 0

0 sen sen cos

0 sen cos cos

j ik k

n n

n n

=

θ θ θ

θ θ θ

(1.41)

θ

0y

z

zk

yk

k

9

e a equação de Fresnel pode escrever-se como

2

2 2 2 2

2 2 2 2

0 0 0 0

0 sen sen cos 0 0

0 sen cos cos 0 0

x x x

x y y

z zz

nE En n E n E

E En n n

⎡ ⎤ε⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε + θ θ θ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ θ ε + θ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.42)

ou

2

2 2 2

2 2 2

0 0 00 (sen 1) sen cos

0 sen cos (cos 1)

x x

x y

zz

n En n E

En n

⎡ ⎤ε − ⎡ ⎤ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε + θ − θ θ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥θ θ ε + θ −⎢ ⎥ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.43)

Determinação dos valores próprios

Os valores próprios 2n são obtidos igualando o determinante da matriz a zero e

resolvendo a equação correspondente:

( ) ( ){ }2 2 2 2 2 4 2 2( ) sen 1 cos 1 sen cos 0x x zn n n n⎡ ⎤ ⎡ ⎤ε − ε + θ − ε + θ − − θ θ =⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦ (1.44)

Uma solução é

21 xn = ε (1.45)

e a outra verifica a relação

2 2 2 22 2sen cos 1

z x

n nθ θ+ =

ε ε (1.46)

ou seja

2 2

22

1 sen cos

z xnθ θ

= +ε ε

(1.47)

Para os cristais uniaxiais, com o eixo óptico segundo z, é normal utilizar a seguinte

notação

o xn = ε (1.48)

10

e zn = ε (1.49)

em que “o” designa ordinário e “e” extraordinário, o que será justificado mais adiante.

Os valores próprios, expressos nestas grandezas são dados por:

2 21 on n= (1.50)

2 2

2 2 22

1 sen cos

e on n nθ θ

= + (1.51)

Ao índice 2( )n θ costuma chamar-se índice extraordinário e depende da direcção de

propagação.

É de realçar que 2n varia entre on e en quando k varia de zk para yk . A propagação

segundo x e y ou z são casos particulares deste resultado para 2θ = π ou 0θ =

respectivamente.

No plano ˆ ˆ,y zk k , a relação (1.50) é representada por uma circunferência de raio on

enquanto que (1.51) é representada por uma elipse, Fig. 1.3.

Fig 1.3 - (a) Meio uniaxial positivo ( )e on n> . (b) Meio uniaxial negativo ( )e on n< .

Os valores de 1n e 2n , característicos da propagação em meios uniaxiais, são obtidos

como se mostra na referida figura para a direcção de propagação k desejada. Em virtude do

meio uniaxial possuir simetria relativamente ao eixo óptico (z) e admitindo que, no caso geral,

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

ˆzk

k̂no

n2

n1θ

ˆyk

ne

EeDe

noEoDo

-ne -no 0

( )e on n>

eSoS

(a)

ˆyk

ˆzk

n1

n2

ne

( )e on n<

no

no

θ

(b)

k

11

k possui componentes segundo x, y e z, a circunferência e a elipse da Fig. 8.3 passam a ser

uma superfície esférica e um elipsóide de revolução obtidos pela rotação da circunferência e

da elipse em torno do eixo óptico.

Determinação das componentes do campo eléctrico

Para a solução (1.45), obtém-se de (1.43) que xE pode tomar um valor arbitrário

(excepto zero) e que

0y zE E= = . (1.52)

O campo eléctrico está polarizado segundo x, perpendicular ao plano definido pela

direcção de propagação e o eixo óptico z. O número de ondas k é dado por onkc

= ω em que

o xn = ε . Das equações (1.21) e (1.22) conclui-se também que neste caso E, k, e H são

perpendiculares entre si e ||D E . O vector de Poynting ||S k . Esta solução para os campos dá

as ondas ordinárias que possuem características idênticas às que se obtêm para as ondas que

se propagam em meios isotrópicos com permitividade eléctrica xε .

A outra solução, expressa por (1.47), permite obter

00 e 0

x

y z

EE E

=≠ ≠

(1.53)

isto é, o campo eléctrico deve estar no plano definido pelo vector de propagação k e o eixo

dos zz.

Atendendo a que = εD E , isto é:

0 0 0 0

0 00 0

x x

y x y

zz z

DD E

D E

⎡ ⎤ ⎡ ⎤= ε ε⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.54)

ter-se-á 00;x y x yD D E= = ε ε e 0z z zD E= ε ε , isto é, o vector D também está no plano yz mas

como xx zzε ≠ ε ter-se-á que os vectores D e E não possuem a mesma direcção. Como de

(1.22) ⊥D k então E não é perpendicular a k. para esta situação ⊥ ⊥D k H e o vector de

12

Poynting S não está dirigido segundo k embora esteja no plano definido por k e o eixo dos zz.

É usual designar estas ondas electromagnéticas como ondas extraordinárias.

Para além da situação particular já anteriormente estudada, correspondente à

propagação na direcção perpendicular ao eixo óptico, analisar-se-á no caso especial em que a

direcção de propagação coincide com o eixo óptico. Neste caso é fácil de verificar que

existem duas soluções para o campo eléctrico: campo eléctrico polarizado segundo x (onda

ordinária) e campo eléctrico polarizado segundo y (onda extraordinária), propagando-se com

o mesmo número de ondas ok n c= ω e perpendiculares à direcção de propagação. Ambas as

ondas comportam-se como ordinárias.

3. Elipsóide de Índices

O elipsóide de índices contém informação acerca dos índices de refracção das

polarizações características e permite por si só definir o meio de propagação. Este conceito

será usado mais adiante no estudo dos efeitos electroópticos.

O elipsóide de índices do cristal é definido por:

3

0, 1

1ij i ji j

K x x=

ε =∑ (1.55)

em que ijK são os elementos da matriz K designada por impermeabilidade e definida como o

inverso da matriz ε, isto é:

1K −= ε (1.56)

e 1 2,x x x y= = e 3x z= por conveniência.

Admitindo ε na forma diagonal (1.8) ter-se-á:

1

0 1

1

1 0 0

0 0

0 0

x

y

z

K−

−

−

⎡ ⎤ε= ⎢ ⎥ε⎢ ⎥ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

(1.57)

ou, em termos dos índices de refracção,

13

2 10

2 1

2 1

( ) 0 0

0 ( ) 0

0 0 ( )

x

y

z

nKn

n

−

−

−

⎡ ⎤ε = ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.58)

O elipsóide de índices será então escrito como

2 2 2

2 2 2 1x y z

x y zn n n

+ + = (1.59)

que, para um meio uniaxial tomando o eixo z como eixo óptico, será escrito como:

2 2 2

2 2 2 1o o e

x y zn n n

+ + = (1.60)

e está representado na Fig. 1.4.

Fig 1.4 - Elipsóide de índices para um meio uniaxial positivo ( )e on n> .

z

y

x

no

no

no

no

ne

ne

14

4. Actividade Óptica

Um material sólido, líquido ou gasoso que, quando atravessado por uma onda

electromagnética, faz rodar o campo eléctrico correspondente designa-se por opticamente

activo. Estes materiais têm que possuir um arranjo helicoidal de átomos. Um dos materiais

mais conhecidos é o quartzo cristalino sendo possível observar actividade óptica quando a

onda incidente se propaga ao longo do eixo óptico do cristal. Olhando na direcção da fonte, a

rotação pode ser dextrógera ou levógera, isto é, no sentido do movimento dos ponteiros do

relógio ou no sentido contrário, respectivamente. No quartzo podem observar-se estes dois

tipos de rotação que correspondem a duas estruturas cristalográficas diferentes, Fig. 8.5.

Fig 8.5 - Cristais de quartzo que dão origem a rotação (a) dextrógira, (b) levógira.

Estas duas estruturas cristalográficas, por serem a imagem uma da outra, designam-se

enantiomorfas. Todas as substâncias transparentes enantiomorfas são opticamente activas.

A actividade óptica foi explicada por Fresnel em 1825 com base na ideia de que a luz

incidente polarizada linearmente, é o resultado da sobreposição de duas ondas com

polarização circular, uma dextrógira e a outra levógira. Sugeriu então que as duas ondas com

polarização circular se propagavam, no interior do material opticamente activo, com

velocidades diferentes, isto é, admitia que o material possuía birefringência circular. Ao

saírem do cristal estas duas ondas estariam desfasadas pelo que, ao combinarem-se, dariam

origem a uma onda com polarização linear mas rodada relativamente à onda incidente. Esta

teoria foi comprovada experimentalmente por Fresnel, utilizando um prisma de quartzo

constituído por vários elementos em que parte dos elementos eram responsáveis pela rotação

levógira e os restantes pela rotação dextrógira, Fig. 1.6.

Eixo

ópt

ico

Eixo

ópt

ico

(a) (b)

15

Fig 1.6 - Prisma de Fresnel.

Para o meio opticamente activo, se se obrigar a luz a regressar ao ponto de partida, isto

é, a passar num sentido e no sentido inverso, a onda electromagnética possuirá à chegada as

mesmas características da onda inicial, isto é, a rotação total é zero. É usual exprimir esta

propriedade do meio dizendo que o sentido de rotação da polarização está fixo ao sentido de

propagação de luz. O ângulo de rotação é proporcional à distância que a luz percorre no meio

opticamente activo e depende do comprimento de onda de luz incidente e do tipo de material

utilizado.

Mostrar-se-á agora que o modelo de Fresnel permite justificar a rotação do plano de

polarização da luz quando esta atravessa o meio opticamente activo.

Admita-se que a luz incidente na amostra se propaga segundo z. No material as

componentes da luz correspondentes à polarização circular levógira podem escrever-se como

( 2)

L

L

jk zx x

j k zy y

Ae

Ae

−

− +π

=

=

E u

E u (1.61)

e as componentes correspondentes à polarização circular dextrógira são dadas por

( 2)

R

R

jk zx x

j k zy y

Ae

Ae

−

− −π

=

=

E u

E u (1.62)

em que Lk e Rk são o número de ondas associado a cada uma das polarizações consideradas.

Sendo assim, o campo associado à polarização circular levógira é

( 2)L Ljk z j k zL x yA e e− − +π⎡ ⎤= +⎣ ⎦E u u (1.63)

Luz incidente linearmente polarizada

eixo óptico

Levógira

Polarizaçãocircular

Dextrógira

D D DL

L

16

e à polarização circular dextrógira

( 2)R Rjk z j k zR x yA e e− − −π⎡ ⎤= +⎣ ⎦E u u (1.64)

pelo que a amplitude complexa do campo é dada por

( ){ }( 2) ( 2L R L Rjk z jk z j k z j k zL R x yA e e e e− − − +π − −π⎡ ⎤= + = + + +⎣ ⎦E E E u u (1.65)

ou

( ) ( )L R L Rjk z jk z jk z jk zx yA e e j e e− − − −⎡ ⎤= + − −⎢ ⎥⎣ ⎦

E u u (1.66)

Atendendo a que:

2 2

2 2

R L R LR

L R L RL

k k k kz z k z

k k k kz z k z

− ++ =

− ++ =

(1.67)

a expressão anterior pode escrever-se como:

22 cos sen2 2

R Lk kj z R L R Lx y

k k k kAe z z+

⎡ − − ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦E u u (1.68)

Desta expressão conclui-se que a onda electromagnética se propaga segundo z com um

vector de onda cujo valor é

2

R Lk k+ (1.69)

e que, se o campo em 0z = está dirigido segundo x, ao fim de uma distância z estará rodado

de um ângulo dado por:

2

R Lk kz

−α = . (1.70)

Uma rotação de 2π corresponderá pois a um comprimento

17

R L

zk k

π=

− (1.71)

Se R Lk k> a rotação é no sentido contrário ao dos ponteiros do relógio e para R Lk k< a

rotação é no sentido dos ponteiros do relógio.

Define-se potência de rotação:

2

R Lk kz

−α = (1.72)

ou, atendendo a que 2 2,R LR L

k kπ π= =

λ λ e

R LR L

c cT Tn n

λ = ⋅ λ = ⋅ (1.73)

pode escrever-se:

R Lz n nπα = −

λ (1.74)

Como os índices de refracção são dependentes do comprimento de onda, zα também

o será. Na Tabela 1.2 indica-se, para vários materiais e comprimentos de onda, o ângulo de

rotação por unidade de comprimento do plano de polarização da luz incidente.

A teoria da actividade óptica não pode ser descrita através da equação do meio (1.1)

pelo que é necessário generalizar aquela equação para este caso. O efeito da estrutura

helicoidal da molécula no valor do momento dipolar induzido aparece associado a um

parâmetro β que, para moléculas lineares, tem o valor zero. Deste modo (3.10) deve ser

escrita como:

t

∂= α −β

∂Hp E (1.75)

em que H é o campo magnético.

Para ondas planas em meios homogéneos opticamente activos a equação do meio é

escrita como:

18

Tabela 1.2 - Ângulos de rotação por unidade de comprimento para meios opticamente activos

Material λ (μm) Ângulo por unidade de comprimento (graus/mm)

Quartzo

0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65

49 37 31 26 22 17

AlGaS2

0,485 0,490 0,495 0,500 0,505

950 700 600 500 430

Se 0,75 1,00

180 30

Te 6,0 10,0

40 15

TeO2

0,3698 0,4382 0,5300 0,6328 1,0

587 271 143 87 30

( )0j= ε + ε ×D E G E (1.76)

em que ε é o tensor dieléctrico do meio sem actividade óptica e G é um vector designado por

vector de giração e tem uma direcção paralela à do vector de propagação.

Como é sempre possível representar

[ ]G× =G E E (1.77)

com [ ]G um tensor antisimétrico, ter-se-á

[ ]( )0j G= ε + εD E (1.78)

19

podendo definir-se um novo tensor dieléctrico ε´ dado por:

[ ]0' j Gε = ε + ε (1.79)

de modo a poder escrever-se para o meio opticamente activo

'= εD E (1.80)

Esta formulação permite analisar, de forma semelhante à descrita anteriormente, a

propagação em meios opticamente activos partindo do princípio que se conhecem os

elementos dos tensores ε e G.

É de realçar ainda que embora os elementos de 'ε sejam números complexos, não lhes

está associado a dissipação de energia, como em situações já referidas no Capítulo 3, em

virtude do tensor ser hermitiano.

5. Efeitos Electro-Ópticos

Um campo eléctrico aplicado a um cristal é susceptível de alterar as características da

radiação que o atravessa devido aos efeitos que pode ter sobre os índices de refracção do

material. Estes efeitos podem ser contabilizados em termos da alteração do elipsóide de

índices na presença do campo eléctrico E e, porque estão associados ao campo eléctrico,

designam-se por efeitos electro-ópticos.

Os elementos ijK passam a tomar o valor ij ijK K+ Δ em que a relação entre ijKΔ e o

campo eléctrico pode ser expressa pela equação:

3 3

01 , 1

ij ijk k ijk kk k

K r E S E E= =

ε Δ = +∑ ∑ (1.81)

O segundo membro da equação possui dois termos: o primeiro evidencia o efeito

electroóptico linear, usualmente designado por efeito de Pockels, e o segundo termo dá conta

do efeito electroóptico quadrático, também referido como efeito de Kerr. Os coeficientes rijk e

ijklS são os coeficientes de Pockels e de Kerr respectivamente. Para os materiais em que os

20

dois efeitos coexistem, é o efeito de Pockels que domina (e.g. GaAs). Contudo há materiais

para os quais 0ijkr = e por isso o efeito electro-óptico dominante é o efeito de Kerr, e.g. Si.

5.1 . Efeito de Pockels

O efeito de Pockels pode ser descrito pela equação:

3

01

ij ijk kk

K r E=

ε Δ = ∑ (1.82)

em que aos índices i, j, e k estão associados as três direcções do espaço definidas pelo sistema

de eixos utilizado. Assim:

, ,, ,, ,

i x y zj x y zk x y z

≡≡≡

(1.83)

Deste modo ijkr é um elemento de um tensor com 27 elementos. Contudo, como o tensor é

invariante quando se troca i com j, isto é,

ijk jikr r= (1.84)

o tensor só possui 18 termos independentes. É costume utilizar uma notação contraída

mr com 1, 2,3, 4,5,61, 2,3m

=⎧⎨ =⎩

(1.85)

A contracção resulta de se estabelecer a correspondência

, 1,1; 2, 2; 3,3; 2,3; 3,1; 1,2

1; 2; 3; 4; 5; 6

i j =↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ (1.86)

A relação (1.82) pode então escrever-se de forma explícita como

21

11 11 12 130

22 21 22 23

33 31 32 33

4 41 42 43

5 51 52 53

6 61 62 63

( )( )( )( )( )( )

EK r r rEK r r rEK r r r

K r r rK r r rK r r r

Δε = ⎡ ⎤⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ ⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.87)

Os 18 elementos não são todos diferentes de zero, devido a simetrias do cristal. Na Tabela 1.3

referem-se os valores dos elementos da matriz diferentes de zero, para alguns materiais de

interesse.

Tabela 1.3 – Parâmetros característicos de alguns materiais electro-ópticos.

Material on en 0( )mλ μ Coeficientes electro-ópticos

(10-12m/V)

GaAs 3,60

3,42

on

on

0,9

1,0 41 52 63

41 52 63

1,11,5

r r rr r r

= = == = =

InP 3,29

3,20

on

on

1,06

1,35 41 52 63

41 52 63

1,451,3

r r rr r r

= = == = =

Quartzo (SiO2) 1,544 1,553 0,589 41 52

62 21 11

0, 20,93

r rr r r

= − == = − =

LiNbO3 2,297 2,208 0,633

13 23

33

42 51

22

12 61 22

8,630,8

283,4

r rrr rrr r r

= === === = −

KH2PO4 (KDP) 1,5115 1,4698 0,546 41 52

63

8,7710,3

r rr

= ==

Calcite (CaCO3) 1,658 1,486 0,589

Tome-se como exemplo o fosfato dihidrogenado de potássio (KDP) que é um cristal

uniaxial. Na ausência de campo aplicado ter-se-á:

22

2 2 2

0 2 2 2 1ij i jij o o e

x y zK x xn n n

ε = + + =∑ (1.88)

e os coeficientes electroópticos a considerar são 41 52r r= e 63r .

Sob a acção do campo aplicado a relação (1.87) pode escrever-se como

10

2

3

4 41

5 52

6 63

( ) 0 0 0( ) 0 0 0( ) 0 0 0( ) 0 0( ) 0 0( ) 0 0

x

y

z

EKEK

K EK rK rK r

⎡ ⎤Δε =⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ ⎣ ⎦⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

Δ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

(1.89)

isto é

0 4 41

0 5 52

0 6 63

( )( )

( )

x

y

z

K r EK r E

K r E

ε Δ =ε Δ =

ε Δ =

(1.90)

Ter-se-á então

0 0 4 0 5 0 62 ( ) 2 ( ) 2 ( )ij i jij

K x x K yz K xz K xyε Δ = ε Δ + ε Δ + ε Δ∑ (1.91)

em que o factor 2 tem em linha de conta a propriedade de simetria da matriz ijKΔ .

Substituindo (1.90) em (1.91) vem:

0 41 52 632 2 2ij i j x y zij

K x x r E yz r E xz r E xyε Δ = + +∑ (1.92)

Deste modo, devido ao campo eléctrico aplicado, o novo elipsóide é definido por:

( )0 1ij ij i jji

K K x xε + Δ =∑ (1.93)

isto é:

2 2 2

41 52 632 2 2 2 2 2 1x y zo o e

x y z r E yz r E xz r E xyn n n

+ + + + + = (1.94)

Esta equação (1.94) mostra que os eixos do elipsóide podem não estar segundo as direcções x,

23

y ou z.

Considere-se o caso particular em que o campo eléctrico está dirigido segundo z, isto

é,:

z zE=E u (1.95)

Ter-se-á então:

2 2 2

632 2 22 1zo o e

x y zr E xyn n n

+ + + = (1.96)

Devido ao termo cruzado as direcções x, y são rodadas, mantendo-se a direcção z. É

necessário encontrar os novos eixos principais ', 'x y que permitem escrever (1.96) como:

'2 '2 2

'2 '2 2 1x y e

x y zn n n

+ + = (1.97)

isto é,

2 2 '2 '2

632 2 '2 '22 zo o x y

x y x yr E xyn n n n

+ + + + (1.98)

A transformação de rotação que relaciona as coordenadas num sistema de eixos xy

com as dum sistema de eixos x’y’, rodados de um ângulo φ, Fig. 1.7, é dada por

cos ' sen '

sen ' cos 'x x yy x y

= φ + φ⎧⎨ = − φ + φ⎩

(1.99)

Fig. 1.7 – Sistema de eixos xy rodado dum ângulo φ relativamente ao sistema de eixos x’y’.

x

y

z'x

'y

φ

24

Substituindo no 1º membro de (1.98) os valores de x, y dados por (1.99) ter-se-á

( ) ( )'2 '2 2 '2 '2 2 22 2 2 6363

2 2

2 sen cos cos sen ' '2 o zo z

o o

x y r n E y x x yx y r n E xyn n

⎡ ⎤+ + φ φ − + φ − φ+ + ⎢ ⎥⎣ ⎦= (1.100)

atendendo a que

2 2 '2 2 '2

2 2 '2 2 '2

2 '2 2 '2

cos sen 2sen cos ' '

sen cos 2sen cos ' '

cos ' ' sen cos sen ' ' sen cos

x x y x y

y x y x y

xy x y x x y y

⎧ = φ + φ + φ φ⎪⎪ = φ + φ − φ φ⎨⎪

= φ − φ φ − φ + φ φ⎪⎩

(1.101)

Para que se possa escrever (1.100) na forma do 2º membro da equação (1.98) deve-se

garantir que:

( )2 2cos sen ' ' 0x yφ − φ = (1.102)

ou seja

cos senφ = φ (1.103)

isto é 45ºφ = .

Como 1sen cos2

φ = φ = obtém-se:

( )'2 '2 2 '2 '22 2 63

632 2 22o z

zo o o

x y r n E y xx y r E xyn n n

+ + −+ + = (1.104)

e então

( ) ( )'2 2 '2 2 263 63

2 2 2

1 11

o z o z

o o e

x r n E y r n E zn n n

− ++ + = (1.105)

ou seja

'2 '2 2

'2 '2 '2 1x y e

x y zn n n

+ + = (1.106)

com

25

' '2 2

63 631 1o o

x yo z o z

n nn nr n E r n E

= =− +

(1.107)

Atendendo a que 263 1o zr n E << , pode-se escrever:

3

' 632o z

x or n En n≅ + e

3' 63

2o z

y or n En n≅ − (1.108)

A variação do índice de refracção

' ' 363x y o zn n n r n EΔ = − = (1.109)

pode-se escrever como:

p zn C EΔ = (1.110)

em que pC é designado por coeficiente electroóptico de Pockels.

Para o KDP, em que

1263 11 10 / ( 0,633 )

1,5074o

o

r m V mn

−⎧ = × λ = μ⎪⎨

=⎪⎩

ter-se-á:

113,7677 10 /pC m V−= × .

A observação do efeito de Pockels é feita alinhando o campo eléctrico aplicado com a

direcção de propagação da luz, Fig. 1.8.

Quando a luz se propaga segundo o eixo óptico, eixo dos zz, se à entrada do cristal a

polarização é circular, ter-se-á na saída de polarização elíptica, havendo uma variação da

desfasagem dada por:

n Lc

ΔΔφ = ω (1.111)

em que 0

2 cπω =

λ, c a velocidade de propagação de luz no vácuo e L o comprimento do cristal.

26

Atendendo a (1.109) pode-se ainda escrever:

363

0

2o zr n E Lπ

Δφ =λ

(1.112)

Fig. 1.8 - Observação do efeito de Pockels.

Para um cristal de KPD com 1L mm= de comprimento, se se pretender uma variação

4Δφ = π , quando 0 0,633 mλ = μ , será necessário aplicar uma tensão:

03

638z

oU E L

r nλ

= = (1.113)

2,1U KV=

ou seja um campo eléctrico

62,1 10zE V m= ×

yzk y’

x

yz

k

L

aE

Polarização circular Polarização elíptica− +aU

x x’45º

Eixoóptico

27

5.2. Efeito de Kerr

Aplicar-se-ão os conceitos desenvolvidos para o efeito electro-óptico linear (efeito de

Pockels) ao efeito electro-óptico não linear da segunda ordem (efeito de Kerr). Os

coeficientes electroópticos de segunda ordem foram referidos com ijkS e constituem um

tensor com 81 elementos. Em virtude dos coeficientes ,k também poderem ser permutados

só haverá 36 coeficientes independentes. É possível e desejável adoptar uma notação

compacta para os coeficientes ijkS , pqS com 1,2, ,5,6p = … e 1, 2, ,5,6q = … .

Supondo que o campo aplicado é expresso genericamente por:

x x y y z zE E E= + +E u u u (1.114)

e que só está presente o efeito de Kerr, a equação geral para o elipsóide de índices será:

( )

( )

( )

2 2 22 2 2 2

11 12 13 14 15 162 2 2

2 2 2 221 22 23 24 25 26

2 2 2 231 32 33 34 35 36

2 2 241 42 43

2

2

2

2 2

x y z y z z x x yx y z

x y z y z z x x y

x y z y z z x x y

x y z

x y z S E S E S E S E E S E E S E E xn n n

S E S E S E S E E S E E S E E y

S E S E S E S E E S E E S E E z

S E S E S E

⎡ ⎤+ + + + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + + +⎣ ⎦

+ + + + ( )

( )

( )

44 45 46

2 2 251 52 53 54 55 56

2 2 261 62 63 64 65 66

2 2

2 2 1

y z z x x y

x y z y z z x x y

x y z y z z x x y

S E E S E E S E E yz

S E S E S E S E E S E E S E E zx

S E S E S E S E E S E E S E E xy

⎡ ⎤+ + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + + +⎣ ⎦

⎡ ⎤+ + + + + + =⎣ ⎦

(1.115)

Considere-se a título de exemplo o GaAs cujos coeficientes diferentes de zero são:

11 22 33

12 13 21 31 32 23

44 55 66

S S SS S S S S SS S S

= == = = = == =

(1.116)

Por sua vez x y z on n n n= = = e admitindo que:

28

z zE=E u (1.117)

ter-se-á:

2 2 2

2 2 2 2 2 213 33 232 2 2 1z z z

o o o

x y z S E x S E z S E yn n n

+ + + + + = (1.118)

ou:

2 2 2 2 2 213 23 332 2 2

1 1 1 1z z zo o o

x S E y S E z S En n n

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + + + =⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.119)

Sendo 13 23S S= vem:

2 2 2

2 2 1e

x y zn n+

+ = (1.120)

com 2 3 2

2 132 2

13 21o o z

oo z

n S n En n nS n E

= → ≅ −+

(1.121)

e 2 3 2

2 332 2

33 21o o z

e e oo z

n S n En n nS n E

= → ≅ −+

(1.122)

Verifica-se pois que, sendo o material isotrópico, a aplicação do campo dá origem a

anisotropia uniaxial, com o eixo óptico definido pela direcção do campo aplicado.

Neste caso

3 213 332e o z

S Sn n n n E−⎛ ⎞Δ = − = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.123)

podendo ser escrito genericamente como:

20 zn K EΔ = λ (1.124)

em que K é a constante de Kerr e 0λ o comprimento de onda no vazio.

Comparando as expressões (1.123) e (1.124) obtém-se:

3

213 33

0 2on S SK m V−⎛ ⎞ ⎡ ⎤= ⎜ ⎟ ⎣ ⎦λ ⎝ ⎠

(1.125)

29

Na Tabela 1.4 indicam-se os valores da constante de Kerr para vários materiais e

vários comprimentos de onda. É de realçar que este efeito electroóptico se manifesta de forma

mais pronunciada em líquidos ou cristais com uma certa simetria.

Tabela 1.4 – Constante de Kerr para várias substâncias.

Material ( )mλ μ no ( )2K m V

Benzeno 0,546 1,503 154,9 10−×

Nitrobenzeno 0,589 ____ 122, 44 10−×

CS2 1,000 0,546

1,596 1,633

141,84 10−× 143,88 10−×

CCl4 0,546 1,46 168, 6 10−×

Água 0,546 145,1 10−×

Para se observar o efeito de Kerr faz-se incidir a luz segundo uma direcção

perpendicular ao campo eléctrico aplicado, Fig. 1.9.

Fig. 1.9 - Efeito de Kerr.

6. Efeitos Magneto-ópticos

Os efeitos magneto-ópticos resultam da interacção entre a radiação luminosa e o meio

material na presença de um campo magnético aplicado. Sob a acção dum campo de indução

yzk

x

y

z

L

aE

Polarização circular Polarização elíptica

− +

aUx

k

30

magnética B estático, um cristal opticamente isotrópico pode deixar de o ser pelo que a

polarização de radiação incidente pode sofrer alterações significativas durante a sua passagem

através do meio material.

Utilizando um modelo clássico é possível deduzir o tensor da permitividade eléctrica e

caracterizar o efeito magneto-óptico linear, designado por efeito de Faraday. Parte-se da

equação do movimento para electrões submetidos a um campo eléctrico e magnético

simultâneos:

( )2

2 fdm k qdt

+ = − + ×⎡ ⎤⎣ ⎦x x E v B (1.126)

em que d dt=v x , o= μB H , com oμ a permeabilidade magnética do vazio e kf a constante

da força.

Para um meio material a massa m dos electrões deve ser substituída pela massa eficaz

dos electrões, *m . Atendendo a que o campo eléctrico, associado à luz incidente, se pode

escrever em termos da sua amplitude complexa, a equação (1.126) no domínio da frequência

terá a forma:

( ) ( )2fm k q j⎡ ⎤−ω + = − + ω − ×⎣ ⎦x E x B (1.127)

em que x é a amplitude complexa vectorial de x.

A polarização pode ser escrita como:

q N= −p x (1.128)

em que N é o número de dipolos por unidade de volume.

Substituindo (1.128) em (1.127) obtém-se

( ) ( )2 2fk m N q qj− ω = − ω ×P E P B (1.129)

Admitindo z zB=B u ter-se-á então:

31

2 2

2

2

0

0

0 0

f z x x

z f y y

z zf

k m j qB P Nq Ej qB k m P E

P Ek m

⎡ ⎤− ω ω ⎡ ⎤ ⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥− ω − ω ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦− ω⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.130)

pelo que

2

2z zf

NqP Ek m

⎛ ⎞⎜ ⎟=⎜ ⎟− ω⎝ ⎠

(1.131)

e

( )

22

2 22 2 2 2

x xf z

z ff zy y

P Ek m j qBNq

j qB k mk m q BP E

⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤− ω − ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥=⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎡ ⎤ ω − ω⎢ ⎥ ⎢ ⎥− ω − ω ⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎣ ⎦

(1.132)

Atendendo a que:

0= ε χP E (1.133)

obtém-se para o tensor susceptibilidade:

0

0

0 0

xx xy

yx yy

zz

χ χ⎡ ⎤χ =⎢ ⎥χ χ⎢ ⎥

⎢ ⎥χ⎣ ⎦

(1.134)

que, separada em parte real e imaginária se pode escrever

'''

' ''

'

0 00 0

0 0 0 0

0 0 00 0

yxxx

xx yx

zz

j⎡ ⎤⎡ ⎤ χχχ = + ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥χ χ⎢ ⎥⎢ ⎥⎢ ⎥χ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.135)

A parte real de χ é um tensor simétrico e a parte imaginária é um tensor antisimétrico.

Pode-se escrever o tensor de permitividade eléctrica a partir do tensor χ , verificando

que:

( )0 1ε = ε + χ (1.136)

32

Tem-se então:

''

''0

1 0

1 0

0 0 1

xx yx

yx yy

zz

j

j

⎡ ⎤+ χ − χ⎢ ⎥⎢ ⎥ε = ε χ + χ⎢ ⎥⎢ ⎥+ χ⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.137)

Com base no tratamento feito é fácil de verificar que xx yyχ = χ e é proporcional a 2B , dá

origem a dupla refracção linear (efeito de Cotton-Mouton) enquanto que os termos

imaginários são proporcionais a B e determinam o efeito de Faraday.

6.1. Efeito de Faraday Desprezando os termos de ordem superior a B, ter-se-á

( ) ( )

2 2

2 2 20 0

xx yy zzf o

Nq Nq

k m mχ = χ = χ = =

ε − ω ε ω − ω (1.138)

com

2 fo

km

ω = (1.139)

e

( ) ( )

3 3''

2 22 2 2 20 0

yx yx

f o

j Nq B j Nq Bjk m m

ω ωχ = χ = =

ε − ω ε ω − ω (1.140)

Pode então escrever-se:

( )

2

0 2 20

1xx yy zzo

Nq

m

⎛ ⎞⎜ ⎟ε = ε = ε = ε +⎜ ⎟ε ω − ω⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.141)

( )

2

22 2xy yx xy

o

j Nq c

m

ω ωε = ε = −ε

ω − ω (1.142)

Diagonalizando a matriz ε, obter-se-ão os valores próprios λ e os vectores próprios E

⎧⎪⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎪⎩

33

do meio

ij j ij

E Eε = λ∑ (1.143)

Ter-se-á

''xx yx ±λ = ε ± ε = ε (1.144)

( )12 x yi± ±= ± =E u u u (1.145)

3xx zλ = ε =E u (1.146)

Os vectores unitários ±u representam luz polarizada circularmente, o sinal “+”

corresponde a polarização dextrógira e o “−“ a polarização levógira. As correspondentes

constantes de propagação são:

''

0 0 12

yxxx

xxk

c c±

±

⎛ ⎞εω ε ε ω ε ε ⎜ ⎟= ≈ ±⎜ ⎟ε⎝ ⎠

(1.147)

Uma onda arbitrária polarizada circularmente que se propaga segundo z terá então a

forma:

02

jk zE e ±−± ±=E u (1.148)

Para uma onda incidente polarizada segundo x,

( ) ( )000

2xEz E + −= = = +E u u u (1.149)

ou seja:

( 0) ( 0) ( 0)z z z+ −= = = + =E E E (1.150)

isto é, pode ser olhada como o resultado da sobreposição de duas polarizações circulares, uma

levógera e outra dextrógera, como já foi referido anteriormente. Então, para 0z >

34

( )0( ) ( ) ( )2

jk z jk zEz z z e e+ −− −+ − + −= + = +E E E u u (1.151)

Substituindo (1.145) na expressão anterior e utilizando as relações (1.67) obter-se-á:

_

20( ) cos sen

2 2

k kjz

x yk k k kz E e z z

+ +⎛ ⎞− ⎜ ⎟

+ − + −⎝ ⎠

⎧ ⎫⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥− −⎪ ⎪⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢ ⎥= +⎨ ⎬⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎪ ⎪δ δ⎣ ⎦ ⎣ ⎦⎩ ⎭

E u u (1.152)

com

2

k kz + −−⎛ ⎞δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.153)

e

21 0

k kj zE E e

+ −+⎛ ⎞− ⎜ ⎟⎝ ⎠= (1.154)

pode escrever-se

( )1( ) cos senx yz E= δ + δE u u (1.155)

isto é,

1

1

( ) cos

( ) sen

x

y

E z E

E z E

⎧ = δ⎪⎨⎪ = δ⎩

(1.156)

Conclui-se portanto que, se o meio tiver comprimento L na direcção de propagação, a

onda à saída está também polarizada linearmente mas com o plano de polarização rodado de

um ângulo δ, dado por:

2

k kL + −−⎛ ⎞δ = ⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.157)

Substituindo as expressões para k+ e k− , (1.147), vem:

35

''

02yx

xx

Lc

εωδ =

ε ε (1.158)

Para valores de B pequenos xxε não depende de B e ''yxε é proporcional a B. Deste

modo δ é proporcional a LB e é usual escrever-se:

VLBδ = (1.159)

em que V é a constante de Verdet que, para cada material depende da frequência e da

temperatura.

Combinando (1.158) e (1.159) obtém-se

''

02yx

xxV

c B

εω=

ε ε (1.160)

em que

( )

'' 3

22 2 20

yx

o

NqB m

ε ω=

ε ω − ω (1.161)

e

( )

2

0 0 2 20

1xxo

Nq

mε ε = ε +

ε ω − ω (1.162)

Na Tabela 1.5 estão os valores da constante de Verdet para vários materiais.

Por convenção uma constante de Verdet positiva dá origem a uma rotação levógira

quando o vector de propagação e B têm o mesmo sentido e dextrógira quando têm sentidos

opostos. Deste modo, se a luz polarizada linearmente passa duas vezes pelo meio considerado,

o seu plano de polarização será rodado de um ângulo que é o dobro do que experimentou em

cada um dos trajectos. Este facto permite afirmar que no efeito de Faraday o sentido de

rotação do plano de polarização está fixo ao sentido de B e não ao sentido da propagação de

luz como foi referido para a actividade óptica.

Para a observação do efeito de Faraday o campo magnético é aplicado numa direcção

36

paralela à direcção de propagação, Fig. 1.10, pelo que o campo E e as suas componentes são

perpendiculares a B.

Tabela 1.5 – Constante de Verdet para vários materiais ( 0,5893 )mλ = μ .

Material Temperatura (ºC) V (10 3 min. de arco/(T.m)

H20 0 13,11

Acetona 15,1 11,09

CH3Cl 18 12,9

C2H5OH 25 11,12

C6H6 20 29,7

CS2 0 43,41

ZnS 16 225

NaCl 16 35,85

KCl 16 28,58

PbO SiO2 (vidro) 16 77,90

Fig. 1.10 - Efeito de Faraday.

Em virtude das semelhanças entre o efeito de Faraday e a actividade óptica é possível

efectuar a sua análise teórica utilizando modelos semelhantes, como aliás já foi feito nos

parágrafos anteriores.

O efeito de Faraday também pode ser descrito pela equação do meio (1.76) em que o

Ex

yzk E

x

yz

kδ

L

B

i

Polarização linear Polarização linear

37

vector de giração é dado por:

= γG B (1.163)

sendo γ designado por coeficiente de magnetogiração do meio. Deste modo, a relação material

pode escrever-se como:

( )0j= ε + ε γ ×D E B E (1.164)

com o coeficiente de magnetogiração γ é dado por:

( )

3

22 2 20 o

Nq

m

ωγ =

ε ω − ω , (1.165)

ver equação (1.140).

6.2. Efeito de Voigt e Cotton-Mouton

Os efeitos de Voigt e de Cotton-Mouton são análogos ao efeito electro-óptico de Kerr

em materiais isotrópicos. Para que estes efeitos se manifestem a direcção de propagação da

luz e o campo de indução magnética B, devem ser perpendiculares. Por aplicação de B o meio

comporta-se como uniaxial positivo com o eixo óptico alinhado segundo a direcção do campo

B, isto é, perpendicular à direcção de propagação da luz. O efeito de Voigt manifesta-se em

gases e o de Cotton-Mouton, bastante mais forte, em líquidos. Em ambos os casos pode

escrever-se:

2n C BΔ = λ (1.166)

em que C é uma constante e λ o comprimento de onda da radiação no vazio. A título de

exemplo, para o nitrobenzeno, quando λ = 600 nm a constante 10 1 24, 2 10C mm G− − −≅ × .

Se a direcção de propagação da luz fizer com a direcção de B um ângulo entre 0 e

2π , podem manifestar-se os efeitos de Faraday e de Cotton-Mouton. Contudo, em geral, o

efeito de Faraday é dominante.

38

6.3. Efeito magnético de Kerr O efeito magnético de Kerr está associado à alteração da polarização da onda

reflectida, para incidência normal, quando da aplicação de um campo magnético B

transversal, contido num plano paralelo à superfície, ou longitudinal, contido num plano

perpendicular à superfície.

O efeito de Kerr traduz-se na rotação da direcção da polarização, envolvendo contudo,

ângulos muito pequenos. Mesmo assim este efeito está na origem do princípio de

funcionamento associado à leitura dos discos magneto-ópticos. Estes discos possuem uma

película fina de material magnético caracterizado por campos coercivos elevados e

temperaturas de Curie baixas. A informação está associada a um dado estado de magnetização

e pode ser gravada ou apagada através da operação conjunta de um campo magnético aplicado

e do aquecimento obtido a partir dum laser. A leitura da informação contida no disco obtém-

se fazendo incidir a luz de um laser, polarizada linearmente, na superfície do material

magnético.

Diferentes estados de magnetização conduzem a diferentes alterações da polarização

da onda reflectida devido ao efeito de Kerr magnético.

A detecção do estado de polarização da onda reflectida fornece a informação

necessária para a determinação da natureza dos dados registados.

7. Aplicações

7.1. Polarizadores Lineares

Há vários métodos para obtenção de luz polarizada. De entre eles, e no contexto deste

capítulo, analisar-se-á a utilização de cristais uniaxiais como polarizadores lineares. Os

cristais uniaxiais mais importantes são o quartzo (SiO2) e a calcite (CaCO3) sendo a calcite o

material mais utilizado no fabrico de polarizadores lineares para serem usados com lasers de

potência elevada. Ambos os materiais são transparentes na gama do visível e ultravioleta.

Os cristais uniaxiais são caracterizados por possuírem dois índices de refracção

diferentes, en e on , pelo que muitas vezes são designados por birefringentes. A diferença

e on n nΔ = − é uma medida da birefringência do material. No caso da calcite que é um meio

39

uniaxial negativo 0,172nΔ = − para 0,5892 mλ = μ .

A estrutura cristalina do material determina se um cristal é ou não birefringente. Para

os meios uniaxiais só existe uma direcção em torno da qual os átomos se encontram

distribuídos de forma simétrica e que se designa por eixo óptico. Esta é a única direcção de

propagação de luz para a qual não se verifica a dupla refracção. Neste caso o índice de

refracção para ambas as polarizações é on . Se no entanto a direcção de propagação não for

paralela ao eixo óptico, ter-se-á em geral que uma das polarizações (com a direcção

perpendicular ao eixo óptico) está associado o índice de refracção on e a outra (com a

direcção do eixo óptico) o índice de refracção en , pelo que se manifestará a dupla refracção.

A análise da dupla refracção pode ser feita, para casos relativamente simples mas

importantes, utilizando a construção de Huygens e partindo da ideia de superfície de onda.

Uma superfície de onda é o lugar geométrico dos pontos que estão em fase relativos às ondas

emitidas por um dado ponto de luz monocromática e envolve completamente esse ponto de

luz. Para um meio isotrópico essa superfície é uma esfera em virtude de velocidade de fase da

onda ser constante em todas as direcções. Para meios uniaxiais a velocidade segundo o eixo

óptico é diferente de velocidade na direcção perpendicular pelo que devem considerar-se duas

superfícies, a superfície da onda ordinária e a superfície de onda extraordinária. Para a calcite

e o quartzo a superfície de onda ordinária é uma esfera e a de onda extraordinária é um

elipsóide de revolução. Na Fig. 1.11 mostram-se os diagramas correspondentes às superfícies

de onda ordinária e extraordinária num plano que contém o eixo óptico para meios uniaxiais

positivos e negativos.

Fig. 1.11 - Superfícies de onda para meios uniaxiais: (a) negativos e (b) positivos.

( )e on n< ( )e on n>

eixo óptico eixo óptico

P Pv⊥ v

v v⊥

(a) (b)

40

Nesta figura a distância do ponto P à superfície é proporcional à velocidade de fase. A

direcção da vibração na superfície esférica é perpendicular ao plano do papel e na superfície

do elipsóide de revolução é paralela ao plano do papel.

Analisar-se-á agora a dupla refracção de luz supondo que luz não polarizada incide

normalmente no cristal, no ponto A, e que o eixo óptico está no plano do papel, Fig. 8.12. De

acordo com o princípio de Huygens podem-se escolher quaisquer pontos na frente de onda

como novas fontes de luz pontuais, B. As superfícies de onda correspondentes aparecem como

se mostra na figura, onde se representam as tangentes comuns às várias fontes de luz

consideradas relativas à superfície de onda ordinária e extraordinária. Uma das tangentes

traduz por isso a frente de onda da onda ordinária e a outra é a frente de onda da onda

extraordinária. O raio ordinário e extraordinário são obtidos unindo o ponto em que a radiação

passa do ar para o cristal, A ou B, ao ponto de tangência com as superfícies de onda

respectivas.

Na Fig. 1.12 representam-se também a posição relativa do vector de propagação e do

vector de Poynting para as ondas ordinária e extraordinária. A propagação relativa a

incidência normal nos casos em que o eixo óptico está paralelo ou perpendicular à superfície

mostra-se na Fig. 1.13.

Fig. 1.12 - Construção de Huygens para uma onda plana com incidência normal num cristal uniaxial negativo. O raio incidente e o eixo óptico estão no mesmo plano (plano do papel).

eS

Frente de onda da onda ordinária

Frente de onda da onda extraordinária

ok

Direcção do eixo óptico

Onda plana incidente não polarizada

E raio ordinário

raio extraordinário

B

AoS

ek

41

Fig. 1.13 - Propagação em meio uniaxial negativo para várias direcções do eixo óptico.

Para um cristal de calcite a sua forma de clivagem, isto é, o sólido obtido por clivagem

de modo a que duas faces opostas são paralelas, está representado na Fig. 1.14. A direcção do

eixo óptico está definida pela linha que passa entre os dois vértices opostos em que cada um

dos três ângulos vale 102º.

Eixo óptico paralelo à superfície (perpendicular ao plano do papel)

e k B

A e S

ok

oS

Eixo óptico perpendicular à superfície (no plano do papel)

eo = kk B

A eo = SS

oS

Eixo óptico paralelo à superfície (no plano do papel)

ek B

A eS

ok

42

Fig. 1.14 - Forma de clivagem de um cristal de calcite. A direcção do eixo óptico está representada

pela linha a traço-ponto.

Define-se plano principal, qualquer plano que contém o eixo óptico e secção principal

o plano principal perpendicular a duas faces opostas da forma de clivagem. Para a calcite há

portanto três secções principais, uma por cada par de faces opostas. Uma secção principal tem

a forma de um paralelograma com ângulos de 71º e 109 como se mostra na Fig. 1.15. É

importante relembrar que a secção principal contém o eixo óptico. Para que se possam

descrever as direcções de vibração não é, em geral, suficiente conhecer a secção principal.

Será necessário utilizar dois planos principais: o plano principal do raio ordinário que contém

o raio ordinário e o eixo óptico e o plano principal do raio extraordinário que contém o raio

extraordinário e o eixo óptico. O raio ordinário está sempre no plano de incidência que não é

em geral verdade para o raio extraordinário. Deste modo os planos principais relativos ao raio

ordinário e raio extraordinário nem sempre coincidem, excepto na situação em que o plano de

incidência coincide com uma secção principal. Neste caso o plano de incidência, secção

principal e os planos principais do raio ordinário e extraordinário coincidem, Fig. 1.15.

Quando se faz incidir um feixe de luz não polarizada num material birefringente

aparecem dois feixes de luz à saída do cristal, em vez de um só, como no caso do vidro. Para

além disso, cada um dos feixes de luz está polarizado linearmente. O comportamento dos dois

feixes não é contudo idêntico porque, ao fazerem-se as medições adequadas, um deles verifica

a lei de Snell e o outro não. Pelo que já foi referido anteriormente é natural associar a um dos

feixes uma onda electromagnética ordinária e ao outro uma onda electromagnética

extraordinária. Embora os dois raios luminosos no interior do cristal possuam direcções

102 º

102 º

102 º

78 º78 º

43

diferentes, à saída são paralelos entre si e paralelos ao raio incidente, Fig. 1.15.

Fig. 1.15 - Dupla refracção dum cristal de calcite para incidência oblíqua.

A luz incidente não polarizada é olhada como sendo constituída por luz polarizada

linearmente na direcção perpendicular ao plano da figura, que constitui o raio ordinário, e por

luz polarizada linearmente com a direcção contida no plano do papel, que constitui o raio

extraordinário. O cristal analisará a luz incidente em termos destas duas componentes fazendo

com que cada tipo de vibração efectue um dado trajecto. Na Fig. 8.16 mostra-se o trajecto do

raio de luz para incidência normal em duas situações: luz incidente da esquerda e luz

incidente de topo.

Fig. 1.16 - Dupla refracção dum cristal de calcite para incidência normal: (a) luz incidente da esquerda; (b) luz incidente de topo.

Há várias configurações para prismas de calcite que permitem obter, a partir de luz

não polarizada, luz polarizada linearmente. Estão nesse caso os prismas Nicol, Foucault Glan-

Thompson, Rochon e Wollaston.

(b)

E

raio ordinário

109º

71º

(a)

raio extraordinário

raio ordinário

raio extraordinário

eixo óptico

eα oα

Onda reflectida

E Onda incidente não polarizada Onda extraordinária

polarizada linearmente

Onda ordináriapolarizada linearmente

direcção do eixo óptico109º

71º

44

O prisma de Nicol foi inventado no início do século XIX pelo físico escocês William

Nicol. Este polarizador linear é obtido a partir de um cristal de calcite clivado de modo a que

o comprimento seja três vezes a largura. O prisma é então cortado em diagonal e as

superfícies são cimentadas uma à outra com um material transparente de índice de refracção

e on n n< < designado por bálsamo do Canadá. Deste modo é possível separar eficazmente o

raio extraordinário do raio ordinário, obrigando este último a sofrer reflexão total na interface.

Na Fig. 1.17 mostra-se um diagrama do prisma de Nicol.

Fig. 1.17 - Prisma de Nicol.

O bálsamo de Canadá utilizado no prisma de Nicol absorve radiação ultravioleta pelo

que limita a utilização deste polarizador. O feixe à saída, embora paralelo ao feixe incidente,

aparece deslocado. Com vista a obviar este problema o bálsamo do Canadá pode ser

substituído por ar, sendo o polarizador designado por prisma de Foucault. No entanto há

desvantagens ligadas com menor ângulo de abertura e com o aparecimento de interferências

na película de ar.

Alguns prismas polarizadores são fabricados com as faces cortadas

perpendicularmente aos lados de modo a que a luz entre e saia normalmente à superfície. O

mais popular é o prisma de Glan-Thompson com um ângulo de abertura inferior ao de Nicol,

Fig. 1.18. Estes prismas são contudo mais caros e desperdiçam calcite que, é difícil de obter,

em cristais de tamanho elevado.

raio extraordinário polarizado

90º 48º

68º 90º

Eixo óptico

raio ordinário polarizado

Luz não polarizada

E

45

Fig. 8.18 - Prisma de Glan-Thompson, em que o eixo óptico é perpendicular ao plano do papel.

Em certas aplicações é desejável manter os dois feixes de luz polarizada linearmente.

Nesse sentido implementaram-se os prismas de Rochon e Wollaston, que podem ser

fabricados com quartzo ou calcite, cortados segundo determinados ângulos e colados com

glicerina ou óleo de castor.

No prisma de Rochon a luz incide perpendicularmente na face do elemento do prisma

que possui o eixo óptico na direcção de propagação. Não há portanto dupla refracção neste

elemento. O segundo elemento possui o eixo óptico numa direcção perpendicular à da

propagação e dá-se a dupla refracção com separação dos raios ordinário e extraordinário, Fig.

1.19.

Fig. 1.19 - Prisma de Rochon: (a) quartzo ( )e on n> ; (b) calcite ( )e on n< .

No prisma de Wollaston a luz também entra normalmente à superfície mas o primeiro

elemento possui o eixo óptico perpendicular à direcção de propagação, Fig. 1.20. As duas

componentes do raio propagam-se no primeiro elemento com velocidades diferentes, sem

sofrerem desvio. É na interface entre os dois elementos que o raio extraordinário e ordinário

se separam. Aqui o raio extraordinário passa a raio ordinário e vice-versa com a alteração do

raioextraordinário

raio ordinário

(a)

E

raioordinário

raioextraordinário (b)

E

raioordinário

raioextraordinário

46

índice de refracção respectivo. No quartzo em que e on n> , o raio ordinário afasta-se do

normal. O ângulo de desvio dos raios emergentes é determinado pelo ângulo θ.

Fig. 1.20 - Prisma de Wollaston (a) quartzo; (b) calcite.

Lei de Malus

Um polarizador linear possui uma direcção, designada por eixo de transmissão, que

deixa passar sem modificação a componente do campo segundo essa direcção. Se se fizer

incidir luz não polarizada num polarizador linear só serão transmitidas as componentes do

campo dirigidas segundo o seu eixo de transmissão. Um detector não permite determinar a

polarização de luz transmitida porque faz medidas de intensidade e, ao rodar o polarizador,

esse valor mantém-se constante em virtude da fonte de luz não estar polarizada.

Contudo, se utilizar um outro polarizador linear em série com o primeiro, a que se

chamará analisador, a variação de posição relativa dos respectivos eixos de transmissão

permite variar a intensidade de luz que chega ao detector. Em particular verifica-se que

quando os eixos de transmissão são perpendiculares a intensidade da radiação no detector é

zero. Se se admitir que a amplitude do campo E transmitido pelo polarizador é A, e o ângulo

entre os eixos de transmissão do polarizador e analisador é θ, só a componente cosA θ

passará para o detector. Deste modo, a intensidade da radiação no detector é dada por:

2 2 2cos cosoI A I= θ = θ (1.167)

em que oI é a intensidade de luz polarizada que incide no analisador e que vale metade da

intensidade da luz não polarizada que chega ao polarizador. A relação entre a intensidade de

luz transmitida e o quadrado do coseno designa-se por lei de Malus e, desde que os

polarizadores sejam lineares, verifica-se sempre mesmo quando há reflexões ou absorção de

luz. Nestes casos só o factor oI será afectado.

(a)

E raioordinário

raioextraordinário (b)

E

raioordinário

raioextraordinário

θ θ

47

7.2. Placas retardadoras As placas retardadoras permitem alterar a polarização da radiação incidente e podem

classificar-se em placas de meio comprimento de onda ou quarto comprimento de onda.

Considere-se um meio uniaxial com o eixo óptico segundo z. Em ambos os casos

admite-se que a luz se propaga segundo x e que à entrada do meio está polarizada linearmente

com o campo eléctrico fazendo um ângulo de 45º com o eixo dos yy, Fig. 1.21.

Fig. 1.21 - Sistema de eixos e orientação do vector campo eléctrico à entrada dum cristal uniaxial

que possui o eixo óptico segundo z.

O campo eléctrico pode escrever-se, à entrada do cristal uniaxial, como:

( )002

jk xy z

E e= +E u u (1.168)

em que 0k é o número de ondas, isto é 0 02k = π λ sendo 0λ o comprimento de onda no

vazio.

No interior do cristal as componentes do campo segundo y e z propagam-se com

velocidades diferentes e o campo eléctrico será expresso por:

( )0( )2

y zjk x jk xx z

Ex e e= +E u u . (1.169)

Sendo 0y ok k n= e 0z ek k n= , e x d= ter-se-á:

( )0 00( )2

o ejk n d jk n dx z

Ex d e e= = +E u u (1.170)

E x

y

z

45º

eixoóptico

placaretardadora

d

48

Placa retardadora de quarto comprimento de onda

Se se pretender que à saída do cristal as componentes do campo estejam desfasadas de

2π ou um múltiplo ímpar de 2π , isto é, o campo esteja polarizado circularmente, dever-se-

-á ter, para o en n> ,

0( ) (2 1) 2 0,1,2,o en n k d p p− = + π = … (1.171)

Este resultado consegue-se com placas retardadoras com espessuras d, dadas por

0 (2 1) 0,1, 2,4( )o e

d p pn n

λ= + =

−… (1.172)

Definindo 0( )d

o en nλ

λ =−

, a espessura d pode ser escrita como:

(2 1) 0,1,2,4dd p pλ

= + = … (1.173)

Estas placas retardadoras designam-se por placas de quarto comprimento de onda e

como se viu permitem modificar a luz polarizada linearmente para luz polarizada

circularmente. Para os meios em que o en n> as conclusões são idênticas devendo-se só

substituir nas equações anteriores o termo o e e on n por n n− − . É costume designar por eixo

rápido o eixo a que está associado o menor índice de refracção. No caso de se ter o en n> , o

eixo dos yy é o eixo lento e o eixo dos zz é o eixo rápido.

Placa retardadora de meio comprimento de onda

Se se pretender à saída do cristal, nas condições da Fig. 8.21, que as componentes do

campo estejam desfasadas de π ou um múltiplo impar de π, isto é, campo polarizado

linearmente mas rodado de 2π relativamente à entrada, ter-se-á, para o en n> ,

0( ) (2 1) 0,1, 2,o en n k d p p− = π + = … (1.174)

Deste modo a espessura d é dada por:

(2 1) 0,1,2,2dd p pλ

= + = … (1.175)

49

Estas placas retardadoras designam-se por placas retardadoras de meio comprimento

de onda e fazem com que o plano de polarização rode de 2π , mantendo-se a polarização

linear associada à radiação incidente.

7.3. Modulador longitudinal de amplitude Na Fig. 1.22 mostra-se um cristal uniaxial ao qual foi aplicado um campo eléctrico,

segundo a direcção de propagação de luz. Referem-se os eixos do elipsóide x, y, z sem campo

aplicado e os eixos ', 'x y correspondentes à situação de campo aplicado.

Fig. 1.22 - Modulador longitudinal de amplitude.

No sistema de coordenadas ', ', 'x y z é de notar que o tensor de permitividade eléctrica

é expresso por:

'

'

'

0 0

0 0

0 0

x

o y

z

⎡ ⎤ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε = ε ε⎢ ⎥⎢ ⎥ε⎣ ⎦

. (1.176)

Uma onda plana que se propaga segundo z está polarizada na direcção 'xu (vector

unitário segundo 'x+ ), pode ser descrita, no cristal, por:

0 'j z

xE e β=E u (1.177)

em que β é a constante de propagação dada por:

y

x’

y

x’

y’

E y

z k

d

z zE u

Polarização linearsegundo x

Polarização elíptica ( )U t

x

y’ 45

~

z

x

y

eixo de transmissão

Polarizador com o eixo detransmissão segundo y

E

x

Polarização linearsegundo y

zx

eixo óptico

50

' ''

00

0

com 2x x

x

nk n

k

= εβ = π

=λ

(1.178)

sendo 0λ o comprimento de onda no vazio.

Se a onda plana estiver polarizada segundo 'yu então

0 'j z

yE e β=E u (1.179)

com

'0 yk nβ = . (1.180)

Uma onda incidente polarizada segundo x, pode ser decomposta nas suas componentes

segundo 'x e 'y e, dentro do cristal, pode ser representada por:

''0 0

' '2 2yx j zj z

x yE Ee e ββ= +E u u (1.181)

com

' ' ' '0 0x x y yk n k nβ = β = (1.182)

Admitindo que o cristal tem a dimensão d segundo z, e desprezando as reflexões nas

interfaces 0z = e z d= , pode escrever-se o campo óptico em z d= como

''

000 0' '( )

2 2yx jk n djk n d

x yE Ez d e e= = +E u u (1.183)

Nas situações de interesse coloca-se à saída um polarizador que retém somente a componente

do campo segundo y e interessa analisar a relação entre a potência transmitida e a potência

incidente, designada por factor de transmissão:

2

20

yt

i

EPTP E

= = (1.184)

51

A componente yE pode ser obtida da expressão acima, utilizando a equação (1.99)

que permite escrever:

' 'e2 2

x y x yx y

− += =

u u u uu u (1.185)

Deste modo:

''

000 0( )2 2

yx jk n djk n dy

E EE z d e e= = − + (1.186)

''

000( )2

yx jk n djk n dy

EE z d e e⎛ ⎞= = − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.187)

' ' ' ' ' '

0 0 02 2 20( )2

x y x y x yn n n n n njk d jk d jk d

yEE z d e e e

⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟−⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

⎡ ⎤⎢ ⎥⎢ ⎥= = − +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

(1.188)

Assim é fácil de verificar que

' '

0sen2

x yy o

n nE E k d

⎡ ⎤⎛ ⎞−⎢ ⎥⎜ ⎟=

⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ (1.189)

pelo que:

02 ( )sen

2pt

i

k C U tPTP

⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.190)

em que Cp é o coeficiente de Pockels e ( ) zU t E d= .

Pode exprimir-se a relação anterior, de forma mais compacta, em termos da tensão

Uπ , que representa o valor que faz com que, à saída, as duas polarizações estejam desfasadas

de π, isto é,

' '0 0x yk n d k n d− = π (1.191)

52

ou seja:

0 2

o

p pU

k C Cπλπ

= = (1.192)

e portanto:

2 ( )sen2U tTUπ

⎛ ⎞π= ⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.193)

A Fig.1.23 mostra a evolução do factor de transmissão em função de ( )U t .

Fig. 1.23 - Evolução do factor de transmissão em função de ( )U t .

Por variação de ( )U t haverá modulação de intensidade de luz na saída. Para que a

resposta seja o mais linear possível deve-se polarizar o cristal em 2Uπ , quando 0,5T = .

Neste caso

( )sen2 o m

UU U tπ= + ω (1.194)

e

( )2msen sen

4 2oUT t

Uπ

⎡ ⎤ππ= + ω⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.195)

Atendendo a que

T

1

0,5

Uπ2Uπ( )U t

53

2 1 1sen sen4 2 2π⎛ ⎞+ β = + β⎜ ⎟

⎝ ⎠ (1.196)

vem:

( )1 1 sen sen2

om

UT tUπ

⎧ ⎫⎡ ⎤π⎪ ⎪= + ω⎨ ⎬⎢ ⎥⎪ ⎪⎣ ⎦⎩ ⎭

(1.197)

Se oU Uππ << virá

( )1 1 sen2

om

UT tUπ

⎡ ⎤π+ ω⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.198)

e portanto haverá uma relação aproximadamente linear entre o sinal e T em torno de 0,5T = ,

Fig.1.24.

Fig. 1.24 - Modulação do factor de transmissão.

O valor de Uπ é em geral muito elevado. Como exemplo, consideremos o cristal já

mencionado de KDP. De (1.109) e (1.110) tira-se

363p oC r n= (1.199)

Atendendo a que 1263 11 10r m V−= × quando 0,633o mλ = μ e 1,5074on = ,

UπUπ/2 U(t)

1,0

0,5

T

t

T

54

8,4U kVπ =

A forma mais simples de obviar à utilização destas tensões de polarização é de

introduzir uma desfasagem adicional de 2π entre as componentes 'x e 'y de (1.183) por

intermédio de uma placa retardadora de um quarto de comprimento de onda. Esta placa é

colocada à saída do cristal, antes do polarizador, e está orientada de modo a ter os seus eixos

principais alinhados com as direcções 'x e 'y . Neste caso a relação para T é dada por (1.195),

com ( ) seno mU t U t= ω , eliminando assim a componente contínua.

7.4. Modulador transversal de amplitude O campo eléctrico aplicado está dirigido segundo a direcção perpendicular à de

propagação da luz, Fig. 1.25.

Fig. 1.25 - Modulador transversal de amplitude

O modulador transversal consiste num cristal uniaxial orientado de modo a que a

direcção de propagação de luz coincide com 'y e à onda incidente está associado um campo

eléctrico no plano 'x Oz que faz um ângulo de 45º com o eixo dos zz e 'x . O campo eléctrico

aplicado está dirigido segundo z. A onda incidente é descrita por:

( ) 0 '0'( ' 0)

2jk y

x zEy e= = +E u u (1.200)

À saída do cristal:

E

x’

y’kx’

z

z zE u

Polarização linear Polarização elíptica

z

45º y

z

x’

z

x’

Et

z

x45º

Polarização linearsegundo o eixo detransmissão

Polarizador

Eixo de transmissão

55

'

0 00 0'( ' )

2 2x ejk n d jk n d

x zE Ey d e e= = +E u u (1.201)

Ao passar no polarizador de saída segundo a direcção indicada, dá origem a um campo

transmitido cuja componente vale

'u( ' )2

x ztE y d − +⎛ ⎞= = ⎜ ⎟

⎝ ⎠

uE i (1.202)

ou

'

0 002

x ejk n d jk n dt

EE e e⎛ ⎞= − +⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.203)

que pode ser escrita como

' ' '

0 0 0( ) ( ) ( )

0 2 2 22

x e x e x en n n n n nik d jk d jk dt

EE e e e+ − −

+ −⎛ ⎞⎜ ⎟= − +⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠

(1.204)

e assim:

'

0( )sen

2x e

t on nE E k d

⎡ ⎤−= ⎢ ⎥

⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.205)

e o factor de transmissão T

2senT = φ com '

0( )

2x en nk d −

φ = (1.206)

Tomando ainda como exemplo o KDP, ter-se-à

' 3632x o o z

rn n n E+ (1.207)

pelo que

30 632 2o e o z

k d rn n n E⎡ ⎤φ = − +⎢ ⎥⎣ ⎦ (1.208)

56

ou

( ) 30 0632 4o e o z

k d k dn n r n Eφ = − + (1.209)

Definindo Uπ como a tensão necessária para introduzir um desvio de fase adicional de

π,

03 3

0 63 63

2

o o

t tUd dk n r n r

πλπ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞= =⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ (1.210)

e ter-se-á:

0 ( )( )2 2o e

k d U tn nUπ

πφ = − + (1.211)

pelo que

2 0 ( )sen ( )2 2o e

k d U tT n nUπ

⎡ ⎤π= − +⎢ ⎥

⎣ ⎦ (1.212)

Obtém-se uma resposta linear se se escolher

0 ( )2 4o e

k d n n π− = (1.213)

e se se verificar também a relação oU Uπ<< . De acordo com (1.210) é possível escolher uma

relação td

⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

que permita obter valores mais baixos para Uπ que aqueles que são exigidos

para a configuração anterior, relativa ao campo longitudinal.

7.5. Modulação de fase Considere-se um cristal orientado de acordo com a montagem da Fig. 8.22. Supõe-se

que a luz incidente vinda da esquerda está polarizada segundo 'x e se propaga segundo z, isto

é,

57

00 'jk z

xE e=E u (1.214)

O campo à saída do cristal é dado por:

'

00 'xjk n dt xE e=E u (1.215)

ou, no caso particular do KDP

30 63

0

( )2

o zo

jk dn r E tjk n d

t oE e e=E (1.216)

em que:

( )( ) senz o mE t E t= ω (1.217)

No domínio do tempo ter-se-á então

( ) '( ) cost o xt E t= ω + αE u (1.218)

com

( )0 o mk n d e sen tα = + β β = δ ω (1.219)

em que.

3

0 632

o ok d n r Eδ = (1.220)

A fase de ( )t tE , α, é modulada através do termo β.

7.6. Isolador óptico Nalgumas aplicações a luz emitida pelo laser, ao ser reflectida pode reentrar na sua

cavidade podendo alterar de forma significativa o seu funcionamento e portanto o

funcionamento do sistema a que se encontra ligado. Isolar opticamente é modificar a

polarização da luz por forma a que a luz reflectida esteja, à entrada do laser, em quadratura

com a luz emitida. Podem-se utilizar placas retardadoras de um quarto de comprimento de

onda ou um dispositivo de Faraday.

58

No caso do dispositivo de Faraday, o cristal é dimensionado para que o plano de

polarização rode de 4π quando se dá uma passagem da luz polarizada linearmente. A luz

reflectida, ao passar pelo isolador, sofre uma rotação adicional de 4π pelo que, à entrada do

laser está em quadratura com a luz emitida, Fig. 1.26.

Fig. 1.26 - Isolador óptico. Separaram-se os trajectos do raio incidente e reflectido por razões de clareza.

Bibliografia

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Prentice Hall, 1976.

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− F.A. Jenkins, H.E. White, “Fundamentals of Optics”, McGraw-Hill, 1981.

− E. G. Sauter, “Nonlinear Optics”, Wiley, 1996.

x

yz

45º

Polarizadorvertical

EE

E ELuz incidente

B

45º

Célula deFaraday

Polarizador com eixo detransmissão a 45º

Supe

rfíc

ie re

flect

ora