Post on 17-Sep-2018
Die Ausbreitung von elektromagnetischen Wellen in Materie kann ähnlich zur Ausbreitung im Vakuum formuliert werden, indem man die Eigenschaften der Materie pauschal mit den Konstanten ε und μ in den Maxwellgleichungen berücksichtigt.
ε und μ ändern die Ausbreitungsgeschwindigkeit und Wellenlänge.
Aufgrund der atomaren Struktur der Materie werden ε und μ frequenzabhängig.
Beim Übergang einer Welle durch die Grenzfläche zwischen zwei Medien mitunterschiedlichen Konstanten tritt Reflexion und Brechung auf.
Man verwendet üblicherweise den Brechungsindex anstatt vonε und μ. Der Brechungsindex ist auch frequenzabhängig (→ Dispersion).
Zusätzlich kann Absorption stattfinden.
246
Elektromagnetische Wellen in Materie
εμ=n
Atomares Modell für ε
Die dielektrische Verschiebungsdichte D in Materie setzt sich zusammen ausder äußeren Feldstärke E0 und der Polarisation P
Jedes Atom ist ein Dipol mit einer Eigenfrequenz.
Bei langsamen Änderungen von E folgt es der äußeren Feldstärke.
Bei Frequenzen nahe der Eigenfrequenz ändert sich die Phase der erzwungenen Schwingung von 0° auf –180°.
Jedes Atom emittiert wieder eine Welle, die zur äußeren Welle wegen derPhasenverschiebung verzögert ist.
Dies führt zur Verlangsamung der Welle beim Durchgang durch Materie247
PEEDrrrr
+== 000 εεε +– +–+– +–+–+– +–+– +–+–+– +–+– +–+–+– +–+– +–+–+– +–+– +–+–+– +–+– +–+–+– +–+– +–+–
0Er
Wegen der Frequenzabhängigkeit nennt man ε auch Dielektrische Funktionε(ω).
Die Frequenzabhängigkeit wird erst im Bereich der Lichtfrequenzen relevant.
Durch die Kopplung der Welle an die gedämpften Schwingungen der Dipolegeht der Welle Energie verloren → Absorption
Dieser Effekt kann durch einen zusätzlichen Imaginärteil bei ε(ω)berücksichtigt werden.
Bei komplexem ε ist E-Feld und B-Feld nicht mehr in Phase zueinander
Die Atome besitzen mehrere Eigenfrequenzen, sodass die Dielektrische Funktion im Allgemeinen eine komplizierte Frequenzabhängigkeit besitzt
248
Phasengeschwindigkeit im Medium
In einem Material mit den Materialkonstante ε und μ erhält man aus den Maxwellgleichungen
die Phasengeschwindigkeit
d.h. die Lichtgeschwindigkeit ist um den Faktor langsamer als im Vakuum (c0):
0div =Er
0div =Br
249
tEB∂∂
=r
r00rot εεμμ
tBE∂∂
−=r
rrot
00
1εεμμ
=c
με1
με0cc =
Brechungsindex
Außer bei ferromagnetischen Materialien ist μ ≈ 1. Es spielt daher für den Brechungsindex keine wichtige Rolle. (Ferromagnetische Materialien sindmetallisch und daher i.A. undurchsichtig).
Der Brechungsindex ist definiert als
Die Phasengeschwindigkeit von Licht in Material mit dem Brechungsindex nist
Da die Phasengeschwindigkeit gleich dem Verhältnis aus ω und k ist, verkürzt sich die Wellenlänge im Medium
250
εμε ≈=n
ncc 0=
nncc
kkncc 11222
000 λ
ωπ
ωππλω
====⇒==
Wellen an Grenzflächen
Trifft eine Welle auf eine Grenzfläche zwischen zwei Medien mit unterschiedlichem Brechungsindex, wird sie teilweise reflektiert und teilweise gebrochen.
Der Brechungswinkel ergibt sich wegen der Änderung der Wellenlänge:
251
Ohne Brechung passen die Phasenan der Grenzfläche nicht.
Die atomaren Dipole an der Grenzfläche werden von der einfallenden Wellemit der Frequenz ω angeregt und schwingen mit dieser Frequenz mit. Sie strahlen nach innen (Brechung) und außen (Reflektion) mit der gleichen Frequenz ω ab. Innen ist die Wellenlänge kürzer. Die Überlagerung aller abgestrahlten Wellenergibt eine ebene Welle in anderer Richtung.
252
1λ
2λ
1α
2α
1n
2n
11sin λα =d 22sin λα =d
d
2112 sinsin αλαλ =
Die Phasen der äußeren und inneren Welle passen also an der Grenzflächenur dann zusammen, wenn
Mit der Wellenlänge im Vakuum.
Für die Winkel folgt
Beim Übergang in ein Medium mit höherem Brechungsindex, ändert sichdie Ausbreitungsrichtung zum Lot hin (α wird kleiner, wenn n größer wird.)
2112 sinsin
253
αλαλ =
21
01
2
0 sinsin αλαλnn
=
0λ
1
2
2
1
sinsin
αα
=nn
Snelliussches Brechungsgesetz
Auch die reflektierte Welle muss an der Grenzfläche die passenden Phasenzur einfallenden Welle haben
Wegen
ergibt sich „Einfallswinkel gleich Ausfallswinkel“
254
2111 sinsin αλαλ =
21 αα =
1α 2α1n
255
Stetigkeitsbedingungen an der Grenzfläche für E und B
Die Maxwellgleichungen in Materie besagen, dass
An der Grenzfläche ist keine Ladung vorhanden, so dass die Ableitungin der Richtung senkrecht zur Oberfläche gleich Null ist.
Also ändert sich Dz nicht beim Durchtritt durch die Grenzfläche.Da sich ε sprunghaft ändert, muss sich Ez ebenfalls sprunghaft ändern
ρ=Dr
div
0=∂∂
zDz
z
constED zz == 0εε
2211 zz EE εε =
256
Die Komponente des elektrischen Feldes senkrecht zur Oberfläche E⊥ ist unstetig.
Aus der Maxwell-Gleichung
lässt sich herleiten, dass die Komponente des elektrischen Feldes parallel zur Grenzfläche E|| stetig ist.
Beim Magnetfeld ist es umgekehrt:
Aus der Maxwell-Gleichung
leitet man ganz analog her, dass die Komponente B⊥ stetig sein muss.
tBE∂∂
−=r
rrot
0div =Br
.0 constBzB
zz =⇒=
∂∂
Aus der Maxwell-Gleichung
folgt, dass die Komponente von H parallel zur Grenzfläche H|| stetig sein muss.
Da B mit H über die Beziehung
verknüpft ist, muss B|| einen Sprung an der Grenzfläche machen, um den Sprung von μ auszugleichen.
Zusammenfassung:
stetig: D⊥ E|| B⊥ H||
unstetig: E⊥ D|| H⊥ B||
tDH∂∂
=r
rrot
257
constHB zz == 0μμ
258
Amplituden der reflektierten und gebrochenen Wellen
Aus den Stetigkeitsbedingungen können nun die Amplituden der reflektierten und der gebrochenen Wellen hergeleitet werden. Daraus erhält man die Reflexions- und Transmissionskoeffizienten (Fresnel‘schen Formeln).
x
y
z
Grenzfläche
Einfallsebene
259
Parallel- und senkrecht polarisiertes Licht
Licht mit Polarisation parallel zur Einfallsebeneund solches mit Polarisation senkrecht zur Einfallsebene beeinflussen sich nicht gegenseitig an der Grenzfläche. Man kann also jedebeliebig polarisierte Welle in diese zwei Anteile zerlegen und diese separat berechnen.
x
y
z
Grenzfläche
Einfallsebene
),0,( zx EEE =r
)0,,0( yEE =r
260
Schreibt man die elektrische und magnetische Feldstärke des Wellenfeldesals Summe aus einfallender, reflektierter und gebrochener Welle,
dann müssen für die Feldstärken an der Grenzfläche die Stetigkeits-bedingungen erfüllt sein.
Unter Verwendung des Brechungsgesetzes lassen sich aus diesen Bedingungen (nach längerer Rechnung) die Fresnelschen Formeln herleiten:Man bezeichnet das Amplitudenverhältnis von einfallender zu reflektiertenWelle als Reflexionskoeffizent r und das Amplitudenverhältnis von einfallender zu gebrochener Welle als Transmissionskoeffizienten t.
)()()( rktig
rktir
rktie
gre eAeAeAErrrrrr rrrr ⋅−⋅−⋅− ++= ωωω
gxrxex EEE =+
gyryey EEE =+
gxrxex HHH =+
gyryey HHH =+
261
Fresnelsche Formeln
Für senkrecht polarisiertes Licht ergibt sich
Für parallel polarisiertes Licht ergibt sich
)sin()sin(
coscoscoscos
21
21
2211
2211
αααα
αααα
+−
−=+−
==nnnn
AAr
e
r
)sin()cos()sin(2
coscoscos2
21
12
2211
11
αααα
ααα
+=
+==
nnn
AAt
e
t
)tan()tan(
coscoscoscos
21
21
2112
2112
αααα
αααα
+−
−=+−
==nnnn
AAr
e
r
)cos()sin()cos()sin(2
coscoscos2
2121
12
2112
11
αααααα
ααα
−+=
+==
nnn
AAt
e
t
262
Reflexions- und Transmissionsvermögen
Die Amplitudenverhältnisse r und t geben nicht den Anteil der reflektierten bzw. transmittierten Intensität an.
Das Intensitätsverhältnis aus reflektierter zu einfallender Intensität ist dasReflexionsvermögen R
Beim Transmissionsvermögen muss berücksichtigt werden, dass der gebrochene Strahl eine größere Fläche beleuchtet. Man erhält:
22
2
rAA
IIR
e
r
e
r ===
breiter !2
11
222
11
222
1
2
coscos
coscos
coscos
tnn
AnAn
II
Te
g
e
g
αα
αα
αα
===
263
Reflexionsvermögen
Beispiel Grenzfläche zwischen Luft (n1=1) und Glas (n2=1.5)
senkrechter Einfall
streifender Einfall
BrewsterWinkel
s-pol
p-pol
264
Transmissionsvermögen
Beispiel Grenzfläche zwischen Luft (n1=1) und Glas (n2=1.5)
senkrechter Einfall
streifender Einfall
BrewsterWinkel
s-polp-pol
265
Senkrechter Einfall:
Bei senkrechtem Einfall ist parallel und senkrecht polarisiertes Licht äquivalent.Das Reflexionsvermögen ist
Bei Übergang von Luft (n = 1.0) in Glas (n = 1.5) ist R = 0.04.Es werden 4% der Intensität reflektiert.Beim Übergang von Glas in Luft ergibt sich der selbe Wert.
Licht das senkrecht durch eine Glasscheibe fällt wird zu jeweils 4% an derVorderseite und Rückseite der Glasscheibe reflektiert.
Streifender Einfall:
Bei extrem streifendem Einfall werden 100% der Intensität reflektiert.
2
21
21⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+−
=nnnnR
266
Brewsterwinkel:
Für parallel polarisiertes Licht gibt es einen Winkel, bei dem kein Licht reflektiert wird, den Brewsterwinkel.
Die an der Oberfläche schwingenden atomaren Dipole emittieren nicht entlang ihrer Achse:
1
2arctannn
B =α
90°
Keine longitudinale Welle möglich.
Keine Emission der Dipole in dieseRichtungBα
267
Totalreflexion:
Fällt Licht aus einem optisch dichteren (n1) in ein optisch dünneres Medium (n2<n1), dann gibt es einen Winkel αg so dass für Winkel α1>αg das Licht vollständig in das dichtere Medium zurückreflektiert wird.
Wegen folgt
1n2n
gα
gnn
nn ααα sin1sinsin
1
22
1
21 =⋅<=
1
2arcsinnn
g =α
Totalreflexion
Brechung
teilweise Reflexion
Grenz-winkel
268
Reflexion an Metalloberflächen:
Metalle sind in der Regel stark absorbierend für sichtbares Licht.
Die Absorption beschreibt man durch einen komplexen Brechungsindex
Für das Reflexionsvermögen bei senkrechtem Einfall von Luft (n=1) in Metall gilt analog
Beispiele:
κinn +=~
22
2222
)1()1(
)(1)(1
~1
~1κκ
κκ
+++−
=+++−
=+−
=nn
inin
nnR
n κλ R
500 nm 1.03 2.78 0.65
1000 nm 0.147 6.93 0.99
500 nm 0.17 2.94 0.93
1000 nm 0.13 6.83 0.99
500 nm 0.84 1.84 0.50
1000 nm 0.18 6.04 0.98Gold
Silber
Kupfer
269
Doppelbrechung
Es gibt durchsichtige Materialien, bei denen die Polarisierbarkeit in verschiedenen Richtungen des Kristallgitters unterschiedlich ist.(z.B. Kalkspat CaCO3) Ursache sind Asymmetrien in der Kristallstruktur.
Je nach Polarisation der einfallenden Strahlung ist die Wechselwirkungmit dem Material unterschiedlich und damit ε und n unterschiedlich.Dadurch werden unterschiedlich polarisierte Strahlen unterschiedlich gebrochen.Ein unpolarisierter Strahl wird in zwei Strahlen mit verschiedener Polarisation aufgespalten → Doppelbrechung
269b
λ/4 - Plättchen
Bei geeigneter Ausbreitungsrichtung des Lichtes bezüglich der Kristallrichtung laufen die beiden unterschiedlich polarisierten Strahlen in die selbe Richtung,aber mit unterschiedlicher Geschwindigkeit. Wählt man die Dicke einer Kalkspatplatte so, dass nach Durchlaufen beideStrahlen einen Phasenunterschied von λ/4 haben, dann wird aus linearpolarisiertem Licht vor der Platte zirkular-polarisiertes Licht hinter der Platte.
Erschneller Anteil
der Welle
langsamer Anteil der Welle
t = 0T/8
T/4
3/8 T
T/8
3/8 T
Er
Linear polarisiert vor dem Kristall zirkular polarisiert hinter dem Kristall
270
Erzeugung von polarisiertem Licht mit doppelbrechendem Prisma
Schneidet man einen doppeltbrechenden Körper so, dass der eine von beidenStrahlen durch Totalreflexion beim Austritt abgelenkt wird, dann verbleibt einvollständig polarisierter Strahl.
Bei hohen Laserintensitäten werden solche Polarisatoren verwendet, daAnisotrop absorbierende Polarisatoren durch die hohe Lichtleistung imLaserstrahl verbrennen.
polarisierter Strahl
Verklebt
271
Optische Aktivität
Lösungen von chiralen Molekülen können die Polarisationsebene einer Lichtwelle drehen.Chirale Moleküle sind spiralförmig aufgebaut und kommen rechtsdrehendund linksdrehend vor (Milchsäure, Zucker, etc.).Die Substanzen werden als optisch aktiv bezeichnet.
Der Winkel, um den die Polarisationsebene gedreht wird, ist proportionalzur Konzentration und durchlaufenen Länge.
Ausbreitungsrichtung
Er
Länge sehr groß gegen die Wellenlänge
272
Spannungsdoppelbrechung
Die Symmetrie eines Kristallgitters wird durch Verspannungen reduziert.Weil die Polarisierbarkeit dadurch in verschiedenen Richtungen unterschiedlich wird entsteht Doppelbrechung.
Die Verspannungen in einem durchsichtigen Werkstück können durchdiesen Effekt sichtbar gemacht werden.
Kraft