EconometriaAula 7

Marta AreosaMarta Areosa

marta@econ.puc-rio.br

Resumo: regresses quando Xi

binrio (Xi = 0 ou Xi = 1)

Yi = 0 + 1Xi + ui Xi = 1, a observao est em um grupo; Xi = 0, se no pertence. 0 = mdia de Y quando X = 0

[ ] [ ] [ ] [ ] 001010 0.0|0| =+=++==++== iiiiiii uEuEXuXEXYE

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0 + 1 = media de Y quando X = 1

1 = diferena na media dos grupos, X =1 menos X = 0

[ ] [ ] [ ] [ ] 001010 0.0|0| =+=++==++== iiiiiii uEuEXuXEXYE

[ ] [ ] [ ] [ ] 10101010 1.1|1| +=++=++==++== iiiiiii uEuEXuXEXYE

[ ] [ ] ( ) 10101|1| =+=== iiii XYEXYE

Resumo: regresses quando Xi

binrio (Xi = 0 ou Xi = 1)

(diferena entre as mdias de cada grupo)

011

===

ii XXYY

( ) 2 02 1 == += ii XX ssEP

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Outra maneira de fazer a anlise de diferenas em mdia (fcil por que o EP da diferena de mdias j sai direto da regresso).

( )0

0

1

11

=

=

=

= +=i

i

i

i

X

X

X

X

n

s

n

sEP

Especificaes de Regresses com Logs

Caso Funo de regresso populacional

I. linear-log Yi = 0 + 1ln(Xi) + ui

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II. log-linear ln(Yi) = 0 + 1Xi + ui III. log-log ln(Yi) = 0 + 1ln(Xi) + ui

A interpretao do coeficiente da inclinao difere para cada caso.

I. Linear-log

Yi = 0 + 1ln(Xi) + ui para pequenas X,

1 /Y

X X

5

Agora 100 XX

= variao percentual em X, ento:

um aumento de 1% em X (multiplicar X por 1.01) est associado com uma variao de 0,011 em Y.

(1% de aumento em X 0,011 aumento em Y)

II. Log-linear

ln(Yi) = 0 + 1Xi + ui

Para X pequeno, 1 /Y YX

Ento 100 YY

= variao percentual em Y, assim a variao

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Yem X de uma unidade (X = 1) est associada com uma variao em Y de 1001%.

Aumento de 1 unidade de X 1001% aumento em Y

III. Log-log

ln(Yi) = 0 + 1ln(Xi) + ui

para X pequena,

1 //Y YX X

7

/X X

agora 100 YY

= variao percentual em Y, e 100 X

X

=

variao percentual em X, ento uma variao de 1% em X est associada com 1% de variao em Y.

Na especificao log-log 1 tem a interpretao de uma elasticidade.

Especificaes log-linear e log-log

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Nenhuma parece ter um ajuste to bom quanto a especificao linear-log

A funo de regresso linear-log

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Resumo: transformaes logartmicas

Trs casos, dependendo se Y, X, ou ambos so transformados em logs.

Regresses so lineares nas novas variveis, podem ser estimadas por MQO.

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estimadas por MQO. Podemos fazer testes de hiptesis e estimar intervalos de

confiana da mesma forma. Porm, a interpretao de 1 difere entre especificaes. A escolha da especificao deve ser guiada por bom senso,

testes e a anlise do dados em grficos.

Heterocedasticidade e Homocedasticidade

O que significa? Consequncias de homocedasticidade Implicao para o clculo de erros padro

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Heterocedasticidade e Homocedasticidade

O que significa? Consequncias de homocedasticidade Implicao para o clculo de erros padro

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O que significa? Se var(u|X=x) constante ou seja, se a varincia da distribuio condicional de u dado X no depende de X dizemos que u homocedstico. Caso contrrio, u heterocedstico.

Heterocedasticidade e Homocedasticidade

Note que, dados os pressupostos de MQO:

var(u|X=x)= var(Y|X=x)

(Note que var(u|X)= var(Y-E(Y|X) |X) )

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(Note que var(u|X)= var(Y-E(Y|X) |X) )

Ento a heterocedasticidade est presente sempre que var(Y|X=x) for uma funo de x (no constante).

Homocedasticidade

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E(u|X=x) = 0 (u satisfaz pressuposto de MQO) Varincia de u no depende de x

Heterocedasticidade

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E(u|X=x) = 0 (u satisfaz pressuposto de MQO) A varincia de u depende de x: u heterocedastico.

Exemplo: salrio vs. educao (dados EUA)

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Heterocedasticidade ou Homocedasticidade?

Candidatos vereador e salrio

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At agora assumimos (sem vocs saberem) que

u pode ser heterocedstico

Lembremos os trs pressupostos de MQO:

1. E(u|X = x) = 0 2. (Xi,Yi), i =1,,n, so i.i.d.

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3. Outliers so raros

Como no modelamos explicitamente var(u|X=x), permitimos de forma indireta que o termo de erro seja heterocedstico.

E se o erro for homocedstico?

Nesse caso, podemos provar que MQO tem a menor varincia dentre todos os estimadores que so lineares em Y.

Este resultado se chama Teorema de Gauss-Markov e voltaremos a ele em breve...

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voltaremos a ele em breve...

E se o erro for homocedstico?

Nesse caso, podemos provar que MQO tem a menor varincia dentre todos os estimadores que so lineares em Y.

Este resultado se chama Teorema de Gauss-Markov

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Vejamos o que acontece com a nossa frmula para var( 1 ). Para n grande:

1 ~

2

1 4,v

X

Nn

, onde vi = (Xi X)ui

E se o erro for homocedstico?

A frmula da varincia de 1 e do erro padro de MQO fica mais simples: se var(ui|Xi=x) = 2u , ento

var( 1 ) = 2 2var[( ) ]( )i x i

X

X un

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E se o erro for homocedstico?

A frmula da varincia de 1 e do erro padro de MQO fica mais simples: se var(ui|Xi=x) = 2u , ento

var( 1 ) = 2 2var[( ) ]( )i x i

X

X un

=

2 2

2 2[( ) ]

( )i x i

X

E X un

2

22

=

2

2u

Xn

E se o erro for homocedstico?

A frmula da varincia de 1 e do erro padro de MQO fica mais simples: se var(ui|Xi=x) = 2u , ento

var( 1 ) = 2 2var[( ) ]( )i x i

X

X un

=

2 2

2 2[( ) ]

( )i x i

X

E X un

2

23

=

2

2u

Xn

Nota: var( 1 ) inversamente proporcional a var(X), como discutimos anteriormente.

Formula para o EP( ) homocedstico1

EP( 1 ) = 2

1

2

1

1

1 21 ( )

n

ii

n

ii

un

n X Xn

=

=

.

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1in =

Formula para o EP( ) heterocedstico1

1

2

= 2

2 21 estimator of

(estimator of )v

Xn

=

2

12

2

1

1

1 21 ( )

n

ii

n

ii

vn

nX X

n

=

=

onde v = ( )X X u .

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onde iv = ( )i iX X u .

Temos ento duas frmulas para EP( )1

Erro padro homocedstico vlido somente quando o erro for homocedstico.

Erro padro heterocedstico erro padro robusto, vlido

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se erro for homo ou heterocedstico.

Todos os softwares tem uma opo para calcular EP robusto (tambm chamado de EP de White).

Implicaes prticas Se rodamos uma regresso e usamos a formula de EP

homocedstico quando o erro heterocedstico, EP estar errado => estatstica t estar errada => teste de hiptese e intervalo de confiana estaro errados.

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Implicaes prticas Se rodamos uma regresso e usamos a formula de EP

homocedstico quando o erro heterocedstico, EP estar errado => estatstica t estar errada => teste de hiptese e intervalo de confiana estaro errados.

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Tipicamente, assumir homocedasticidade (quando erro heterocedstico) nos levar a estimar EP que pequeno demais => estatstica t que grande demais.

Implicaes prticas Se rodamos uma regresso e usamos a formula de EP

homocedstico quando o erro heterocedstico, EP estar errado => estatstica t estar errada => teste de hiptese e intervalo de confiana estaro errados.

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Tipicamente, assumir homocedasticidade (quando erro heterocedstico) nos levar a estimar EP que pequeno demais => estatstica t que grande demais.

Quando n grande, as duas frmulas so muito prximas quando erro homocedstico. Usar sempre EP robusto !

Candidatos vereador e salrio

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Exemplo EP homocedstico

Linha de regresso: Cand_vaga= -23,4 + 4,07 Log(salrio)

Antes de falar do EP, como interpretamos a inclinao?

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Exemplo EP homocedstico

Linha de regresso: Cand_vaga= -23,4 + 4,07 Log(salrio)

Antes de falar do EP, como interpretamos a inclinao?

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Um aumento de 10% no salrio est associado a um aumento no nmero de candidatos por vaga de 0,4 candidatos.

Exemplo EP homocedstico

Linha de regresso: Cand_vaga= -23,4 + 4,07 Log(salrio) Software nos d o EP:

EP( 0 ) = 0,56 EP( 1 ) = 0,077

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EP( 0 ) = 0,56 EP( 1 ) = 0,077

Estatstica -t 1,0 = 0 = 1 1,01

( )SE

=

Exemplo EP homocedstico

Linha de regresso: Cand_vaga= -23,4 + 4,07 Log(salrio) Software nos d o EP:

EP( 0 ) = 0,56 EP( 1 ) = 0,077

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EP( 0 ) = 0,56 EP( 1 ) = 0,077

Estatstica -t 1,0 = 0 = 1 1,01

( )SE

= 4,07/ 0,077= 52.81

p-valor=0,00

Exemplo EP heterocedstico

Linha de regresso: Cand_vaga= -23,4 + 4,07 Log(salrio) Software nos d o EP:

EP( 0 ) = 0,725 EP( 1 ) = 0,102

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EP( 0 ) = 0,725 EP( 1 ) = 0,102

Estatstica -t 1,0 = 0 = 1 1,01

( )SE

= 4,07/ 0,102= 40.03

p-valor=0,00

Regresso Mltipla At agora assumimos que a nossa varivel Y estava explicada

somente por uma varivel X.

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Regresso Mltipla At agora assumimos que a nossa varivel Y estava explicada

somente por uma varivel X. Na maioria das aplicaes de regresses na realidade, a

varivel Y estar determinada por muitas coisas:

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o Nota de alunos em prova depende de tamanho da turma, mas tambm de caractersticas scio-econmicas das famlias.

Regresso Mltipla At agora assumimos que a nossa varivel Y estava explicada

somente por uma varivel X. Na maioria das aplicaes de regresses na realidade, a

varivel Y estar determinada por muitas coisas:

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o Nota de alunos em prova depende de tamanho da turma, mas tambm de caractersticas scio-econmicas das famlias.

o Salrio depende de educao, mas tambm da experincia no mercado de trabalho.

Regresso Mltipla At agora assumimos que a nossa varivel Y estava explicada

somente por uma varivel X. Na maioria das aplicaes de regresses na realidade, a

varivel Y estar determinada por muitas coisas:

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o Nota de alunos em prova depende de tamanho da turma, mas tambm de caractersticas scio-econmicas das famlias.

o Salrio depende de educao, mas tambm da experincia no mercado de trabalho.

o Nmero de candidatos a vereador depende de salrio pago, mas tambm dos recursos disponveis para fazer poltica.

Regresso Mltipla O que acontece quando no inclumos estas outras variveis

na regresso? Esses fatores vo para no termo de erro u.

O erro aparece exatamente por que h outros fatores que afetam Y que no foram includos na regresso.

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afetam Y que no foram includos na regresso.

Regresso Mltipla O que acontece quando no inclumos estas outras variveis

na regresso? Esses fatores vo para no termo de erro u.

O erro aparece exatamente por que h outros fatores que afetam Y que no foram includos na regresso.

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afetam Y que no foram includos na regresso.

Chamamos estes fatores de variveis omitidas.

Regresso Mltipla O que acontece quando no inclumos estas outras variveis

na regresso? Esses fatores vo para no termo de erro u.

O erro aparece exatamente por que h outros fatores que afetam Y que no foram includos na regresso.

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afetam Y que no foram includos na regresso.

Chamamos estes fatores de variveis omitidas.

s vezes, a omisso destas variveis pode viesar os estimadores de MQO.

Vis de Varivel Omitida

O vis no estimador de MQO que resulta de fatores omitidos na regresso se chama vis de varivel omitida. Para que ele ocorra, a varivel omitida Z tem que ser:

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Vis de Varivel Omitida

O vis no estimador de MQO que resulta de fatores omitidos na regresso se chama vis de varivel omitida. Para que ele ocorra, a varivel omitida Z tem que ser:

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1. Um determinante de Y (ou seja Z parte de u); e

Vis de Varivel Omitida

O vis no estimador de MQO que resulta de fatores omitidos na regresso se chama vis de varivel omitida. Para que ele ocorra, a varivel omitida Z tem que ser:

45

1. Um determinante de Y (ou seja Z parte de u); e

2. Correlacionada com o regressor X (ou seja, corr(Z,X) 0)

Vis de Varivel Omitida

O vis no estimador de MQO que resulta de fatores omitidos na regresso se chama vis de varivel omitida. Para que ele ocorra, a varivel omitida Z tem que ser:

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1. Um determinante de Y (ou seja Z parte de u); e

2. Correlacionada com o regressor X (ou seja, corr(Z,X) 0)

Ambas condies tem que ser verdadeiras para a omisso de Z resultar em vis de varivel omitida.