Post on 23-Jan-2021
Coloration de carré Idées de la preuve
Coloration du carré des graphes planairessans C4
Ilkyoo Choi, Daniel W. Cranston, Théo Pierron
JGA 2018
Coloration de carré Idées de la preuve
Coloration traditionnelleColorier chaque sommet de sorte que deux sommets adjacentsreçoivent deux couleurs différentes :
Nombre minimum de couleurs = χ(G).
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Coloration de carré Idées de la preuve
Coloration de carréColorer le carré d’un graphe ⇔ tous les sommets à distance auplus 2 reçoivent des couleurs différentes.
Diamètre 2 ⇒ χ(G2) = 10.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2)
6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.
• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Bornes naïves
Pour tout graphe G ,
∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1
• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le cas planaire – Borne supérieure
Meilleure borne actuelle (Molloy and Salavatipour) :
χ(G2) 6⌈53∆(G)
⌉+ 78
Quand ∆ est grand (Amini, Esperet, van den Heuvel),
χ(G2) 6(32 + o(1)
)∆
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le cas planaire – Borne supérieure
Meilleure borne actuelle (Molloy and Salavatipour) :
χ(G2) 6⌈53∆(G)
⌉+ 78
Quand ∆ est grand (Amini, Esperet, van den Heuvel),
χ(G2) 6(32 + o(1)
)∆
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le cas planaire – Borne inférieure
Figure : Construction de Wegner
⇒ χ(G2) =⌊
32∆(G)
⌋+ 1 ⇒
((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner).
, Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015).
, Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
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Coloration de carré Idées de la preuve
Le problème
Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?
Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).
But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).
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Coloration de carré Idées de la preuve
Résultats
ThéorèmeEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :
• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,
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Coloration de carré Idées de la preuve
Idées de la preuve
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Coloration de carré Idées de la preuve
Déchargement sans décharger
Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ Déchargement
• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles
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Coloration de carré Idées de la preuve
Déchargement sans décharger
Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ Déchargement
• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles
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Coloration de carré Idées de la preuve
Déchargement sans décharger
Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ ((((((((hhhhhhhhDéchargement Tiroirs !
• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles
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Coloration de carré Idées de la preuve
Étape 1 : Réductibilité
Une configuration C est réductible si pour tout Gcontenant C ,
χ((G \ C)2) 6 ∆ + 2⇒ χ(G2) 6 ∆ + 2
Exemple : sommets de degré 1.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Premières réductions
v est petit si dG(v) <√
∆.
Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.
S
S
S S
S
S
2 2 S
2 2
B
S3
3
2
2BS
3
2
2B
S
S S SSS
2 2 222
B
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Coloration de carré Idées de la preuve
Premières réductions
v est petit si dG(v) <√
∆.Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.
S
S
S S
S
S
2 2 S
2 2
B
S3
3
2
2BS
3
2
2B
S
S S SSS
2 2 222
B
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Coloration de carré Idées de la preuve
Premières réductions
v est petit si dG(v) <√
∆.Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.
S
S
S S
S
S
2 2 S
2 2
B
S3
3
2
2BS
3
2
2B
S
S S SSS
2 2 222
B
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Coloration de carré Idées de la preuve
Régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
Figure : Une région de taille 5
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Coloration de carré Idées de la preuve
Réductibilité des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
NG(B1) NG(B2)
cliqu
e d
···
G planaire ⇒ d 6 11.Si |région| > f (d), alors la région est réductible.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Réductibilité des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
NG(B1) NG(B2)
cliqu
e d
···
G planaire ⇒ d 6 11.
Si |région| > f (d), alors la région est réductible.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Réductibilité des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
NG(B1) NG(B2)
cliqu
e d
···
G planaire ⇒ d 6 11.Si |région| > f (d), alors la région est réductible.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Étape 2 : Trouver une grande régionSoit G sans C4 avec grand ∆.
G 7→ G ′
2 7→
B S
S
S
7→ B
S
S
···
···
G ′ 7→ H7→
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Étape 2 : Trouver une grande régionSoit G sans C4 avec grand ∆.
G 7→ G ′
2 7→
B S
S
S
7→ B
S
S
···
···
G ′ 7→ H7→
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Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
2
2
2
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B
S
S
S
S
S
S
S
S
S
S
B
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B B
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
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Coloration de carré Idées de la preuve
Transformation des régions
B B
Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.
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• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5.
Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
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• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /
• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
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• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !
• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
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• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,
• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
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• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
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• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.
G contient une grande région !
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ConclusionRésultatsEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :
• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,
• Extension aux colorations par liste/par correspondance.
• Meilleure borne sur ∆ ?• Améliorer ∆ + 73 ?• Quid d’interdire un nombre infini de longueurs de cycles ?(Autoriser C4 ⇒ interdire tous les C4k+2 via Wegner.)
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ConclusionRésultatsEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :
• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /
• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,
• Extension aux colorations par liste/par correspondance.
• Meilleure borne sur ∆ ?• Améliorer ∆ + 73 ?• Quid d’interdire un nombre infini de longueurs de cycles ?(Autoriser C4 ⇒ interdire tous les C4k+2 via Wegner.)
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Merci pour votre attention.
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