Coloration de carré Idées de la preuve

Coloration du carré des graphes planairessans C4

Ilkyoo Choi, Daniel W. Cranston, Théo Pierron

JGA 2018

Coloration de carré Idées de la preuve

Coloration traditionnelleColorier chaque sommet de sorte que deux sommets adjacentsreçoivent deux couleurs différentes :

Nombre minimum de couleurs = χ(G).

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Coloration de carré Idées de la preuve

Coloration de carréColorer le carré d’un graphe ⇔ tous les sommets à distance auplus 2 reçoivent des couleurs différentes.

Diamètre 2 ⇒ χ(G2) = 10.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Bornes naïves

Pour tout graphe G ,

∆(G) + 1 6 χ(G2)

6 ∆(G)2 + 1

• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Bornes naïves

Pour tout graphe G ,

∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1

• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Bornes naïves

Pour tout graphe G ,

∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1

• Borne supérieure atteinte par Petersen.

• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Bornes naïves

Pour tout graphe G ,

∆(G) + 1 6 χ(G2) 6 ∆(G)2 + 1

• Borne supérieure atteinte par Petersen.• Bon ordre de grandeur pour grand ∆.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le cas planaire – Borne supérieure

Meilleure borne actuelle (Molloy and Salavatipour) :

χ(G2) 6⌈53∆(G)

⌉+ 78

Quand ∆ est grand (Amini, Esperet, van den Heuvel),

χ(G2) 6(32 + o(1)

)∆

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le cas planaire – Borne supérieure

Meilleure borne actuelle (Molloy and Salavatipour) :

χ(G2) 6⌈53∆(G)

⌉+ 78

Quand ∆ est grand (Amini, Esperet, van den Heuvel),

χ(G2) 6(32 + o(1)

)∆

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le cas planaire – Borne inférieure

Figure : Construction de Wegner

⇒ χ(G2) =⌊

32∆(G)

⌋+ 1 ⇒

((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le problème

Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?

Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).

But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le problème

Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?

Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner).

, Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).

But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le problème

Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?

Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015).

, Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le problème

Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?

Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).

But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).

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Coloration de carré Idées de la preuve

Le problème

Pour quelles classes de graphes peut-on garantirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1) ?

Pour grand ∆(G) :/ Maille 4 : pas suffisant (Wegner)., Maille g > 7 : χ(G2) 6 ∆(G) + 1 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 6 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Borodin et al., 2004)., Maille g > 5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Bonamy et al., 2015)., Pas C4 ni C5 : χ(G2) 6 ∆(G) + 2 (Dong and Xu, 2017).

But : identifier les cycles à interdire pour obtenirχ(G2) 6 ∆(G) + O(1).

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Coloration de carré Idées de la preuve

Résultats

ThéorèmeEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :

• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /

• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,

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Coloration de carré Idées de la preuve

Idées de la preuve

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Coloration de carré Idées de la preuve

Déchargement sans décharger

Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ Déchargement

• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles

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Coloration de carré Idées de la preuve

Déchargement sans décharger

Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ Déchargement

• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles

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Coloration de carré Idées de la preuve

Déchargement sans décharger

Deux types de résultats :• Tout graphe sans C4 avec ∆ assez grand contientcertaines configurations.→ ((((((((hhhhhhhhDéchargement Tiroirs !

• Aucune configuration n’est présente dans un grapheminimal dont le carré n’est pas (∆ + 2)-coloriable.→ Étendre des colorations partielles

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Coloration de carré Idées de la preuve

Étape 1 : Réductibilité

Une configuration C est réductible si pour tout Gcontenant C ,

χ((G \ C)2) 6 ∆ + 2⇒ χ(G2) 6 ∆ + 2

Exemple : sommets de degré 1.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Premières réductions

v est petit si dG(v) <√

∆.

Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.

S

S

S S

S

S

2 2 S

2 2

B

S3

3

2

2BS

3

2

2B

S

S S SSS

2 2 222

B

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Coloration de carré Idées de la preuve

Premières réductions

v est petit si dG(v) <√

∆.Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.

S

S

S S

S

S

2 2 S

2 2

B

S3

3

2

2BS

3

2

2B

S

S S SSS

2 2 222

B

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Coloration de carré Idées de la preuve

Premières réductions

v est petit si dG(v) <√

∆.Les petits sommets sont faciles à colorier ⇒ ils sont éloignésdans un contre-exemple minimum.

S

S

S S

S

S

2 2 S

2 2

B

S3

3

2

2BS

3

2

2B

S

S S SSS

2 2 222

B

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Coloration de carré Idées de la preuve

Régions

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

B

2

2

2

Figure : Une région de taille 5

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Coloration de carré Idées de la preuve

Réductibilité des régions

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

B

2

2

2

NG(B1) NG(B2)

cliqu

e d

···

G planaire ⇒ d 6 11.Si |région| > f (d), alors la région est réductible.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Réductibilité des régions

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

B

2

2

2

NG(B1) NG(B2)

cliqu

e d

···

G planaire ⇒ d 6 11.

Si |région| > f (d), alors la région est réductible.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Réductibilité des régions

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

B

2

2

2

NG(B1) NG(B2)

cliqu

e d

···

G planaire ⇒ d 6 11.Si |région| > f (d), alors la région est réductible.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Étape 2 : Trouver une grande régionSoit G sans C4 avec grand ∆.

G 7→ G ′

2 7→

B S

S

S

7→ B

S

S

···

···

G ′ 7→ H7→

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Coloration de carré Idées de la preuve

Étape 2 : Trouver une grande régionSoit G sans C4 avec grand ∆.

G 7→ G ′

2 7→

B S

S

S

7→ B

S

S

···

···

G ′ 7→ H7→

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Coloration de carré Idées de la preuve

Transformation des régions

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

B

2

2

2

Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Transformation des régions

B

S

S

S

S

S

S

S

S

S

S

B

Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Transformation des régions

B B

Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.

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Coloration de carré Idées de la preuve

Transformation des régions

B B

Région dans G ⇔ Multi-arêtes dans G ′.

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Coloration de carré Idées de la preuve

• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5.

Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.

G contient une grande région !

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Coloration de carré Idées de la preuve

• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /

• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.

G contient une grande région !

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Coloration de carré Idées de la preuve

• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !

• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.

G contient une grande région !

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Coloration de carré Idées de la preuve

• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,

• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.

G contient une grande région !

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Coloration de carré Idées de la preuve

• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.

G contient une grande région !

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Coloration de carré Idées de la preuve

• H planaire ⇒ ∃u, dH(u) 6 5. Mais si u est petit ? /• Dans G ′, il y a plus de structure !• ⇒ ∃u grand avec dH(u) 6 40 ! ,• Tiroirs ⇒ u partage beaucoup d’arêtes dans G ′ avec unde ses voisins.

G contient une grande région !

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Coloration de carré Idées de la preuve

ConclusionRésultatsEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :

• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /

• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,

• Extension aux colorations par liste/par correspondance.

• Meilleure borne sur ∆ ?• Améliorer ∆ + 73 ?• Quid d’interdire un nombre infini de longueurs de cycles ?(Autoriser C4 ⇒ interdire tous les C4k+2 via Wegner.)

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Coloration de carré Idées de la preuve

ConclusionRésultatsEn interdisant un nombre fini de longueurs de cycles :

• Si C4 est autorisé, alors((((((((((((hhhhhhhhhhhhχ(G2) 6 ∆(G) + O(1). /

• Si C4 est interdit, alors χ(G2) 6 ∆(G) + 73. ,• Si G est sans C4 et ∆(G) est assez grand, alorsχ(G2) 6 ∆(G) + 2.,,,

• Extension aux colorations par liste/par correspondance.

• Meilleure borne sur ∆ ?• Améliorer ∆ + 73 ?• Quid d’interdire un nombre infini de longueurs de cycles ?(Autoriser C4 ⇒ interdire tous les C4k+2 via Wegner.)

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Merci pour votre attention.

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