ESFUERZOS EN EL SUELO

DENIS AVON

ECUACION DE BOUSSINESQ PARA UNA CARGA PUNTUAL LOCALIZADA EN LA SUPERFICIE

25

2

2 12

+

3=∆

zrz

P

π

σ

22 yxr +=σ∆

P

x

y zA(x,y,z)

INCREMENTO DEL ESFUERZO DEBIDO A UN AREA CIRCULAR CARGADA UNFORMEMENTE

θrdrddAqdAdP

==

( )2

52

2 12

3

+

=

zrπz

qrdrd θΔσd

( )∫ ∫ ∫

+

=∆=∆π

π

θσσ

2

0 0 25

22

2

12

3B

zrz

qrdrdd

drdθ

r

B/2

r

A

σ∆

q

+

−=∆ 232

21

11

zB

qσ

Para el punto A debajo del centro del círculo

Iq=∆σ

∆σ

(∆σ/q)

(∆σ/q)

INCREMENTO DEL ESFUERZO DEBIDO A UN AREA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA BAJO UNA ESQUINA

( )2

52

2

222 12

3

++

=∆

zyxz

qdxdyd

π

σ

( )∫ ∫ =++

=∆L B

qIzyx

qdxdyz

0 0 25222

3

2

3

πσ

dxdydAqdAdP

==

( ) 25222

3

23)(

zyxqdxdyzd

++=∆

πσ

Para el punto A debajo de la esquina del rectángulo

q

z

x

y

B

L

A

dy

dx

y

x

−++++

+

++++

+++++

= −2222

221

22

22

2222

22

nm1nm1nmmn2Tan

1nm2nm.

1nmnm1nmmn2

π41I

( ) 0 Tan Si -1 <

+

−++++

+

++++

+++++

= − πnm1nm1nmmn2Tan

1nm2nm

1nmnm1nmmn2

π41I 2222

221

22

22

2222

22

zBm =

zLn =

2222 1 cuando Ocurre nmnm <++

Factor de influencia I para un área rectangular uniformemente cargada

mn

0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,2 1,4

0,1 0,0046963 0,0091685 0,0132351 0,0167839 0,0197752 0,0222280 0,0241980 0,0257574 0,0269805 0,0279351 0,0292593 0,0300699

0,2 0,0091685 0,0179034 0,0258529 0,0327983 0,0386609 0,0434753 0,0473479 0,0504181 0,0528296 0,0547142 0,0573330 0,0589392

0,3 0,0132351 0,0258529 0,0373512 0,0474151 0,0559282 0,0629355 0,0685856 0,0730755 0,0766100 0,0793782 0,0832349 0,0856080

0,4 0,0167839 0,0327983 0,0474151 0,0602368 0,0711116 0,0800888 0,0873492 0,0931359 0,0977045 0,1012921 0,1063083 0,1094077

0,5 0,0197752 0,0386609 0,0559282 0,0711116 0,0840269 0,0947233 0,1034033 0,1103451 0,1158437 0,1201753 0,1262567 0,1300329

0,6 0,0222280 0,0434753 0,0629355 0,0800888 0,0947233 0,1068839 0,1167871 0,1247354 0,1310536 0,1360477 0,1430907 0,1474883

0,7 0,0241980 0,0473479 0,0685856 0,0873492 0,1034033 0,1167871 0,1277242 0,1365340 0,1435619 0,1491363 0,1570347 0,1619952

0,8 0,0257574 0,0504181 0,0730755 0,0931359 0,1103451 0,1247354 0,1365340 0,1460704 0,1537043 0,1597801 0,1684294 0,1738939

0,9 0,0269805 0,0528296 0,0766100 0,0977045 0,1158437 0,1310536 0,1435619 0,1537043 0,1618499 0,1683542 0,1776558 0,1835670

1 0,0279351 0,0547142 0,0793782 0,1012921 0,1201753 0,1360477 0,1491363 0,1597801 0,1683542 0,1752215 0,1850848 0,1913886

1,2 0,0292593 0,0573330 0,0832349 0,1063083 0,1262567 0,1430907 0,1570347 0,1684294 0,1776558 0,1850848 0,1958374 0,2027814

1,4 0,0300699 0,0589392 0,0856080 0,1094077 0,1300329 0,1474883 0,1619952 0,1738939 0,1835670 0,1913886 0,2027814 0,2102042

1,6 0,0305751 0,0599418 0,0870930 0,1113538 0,1324137 0,1502738 0,1651528 0,1773903 0,1873690 0,1954639 0,2073143 0,2150913

1,8 0,0308972 0,0605820 0,0880432 0,1126025 0,1339464 0,1520737 0,1672018 0,1796690 0,1898580 0,1981439 0,2103214 0,2183596

2 0,0311078 0,0610009 0,0886659 0,1134227 0,1349559 0,1532629 0,1685602 0,1811853 0,1915205 0,1999411 0,2123535 0,2205844

2,5 0,0313824 0,0615478 0,0894805 0,1144983 0,1362840 0,1548335 0,1703617 0,1832055 0,1937463 0,2023591 0,2151158 0,2236391

3 0,0314972 0,0617766 0,0898220 0,1149505 0,1368443 0,1554988 0,1711285 0,1840699 0,1947040 0,2034056 0,2163260 0,2249942

4 0,0315785 0,0619390 0,0900649 0,1152728 0,1372448 0,1559759 0,1716805 0,1846947 0,1953994 0,2041693 0,2172186 0,2260050

5 0,0316028 0,0619875 0,0901373 0,1153692 0,1373648 0,1561193 0,1718469 0,1848837 0,1956107 0,2044023 0,2174936 0,2263197

6 0,0316119 0,0620056 0,0901645 0,1154054 0,1374100 0,1561733 0,1719097 0,1849552 0,1956907 0,2044908 0,2175985 0,2264405

8 0,0316178 0,0620175 0,0901824 0,1154291 0,1374396 0,1562089 0,1719510 0,1850023 0,1957436 0,2045493 0,2176682 0,2265211

10 0,0316195 0,0620209 0,0901874 0,1154358 0,1374479 0,1562188 0,1719626 0,1850156 0,1957584 0,2045658 0,2176879 0,2265440

∞ 0,0316200 0,0620200 0,0901900 0,1154400 0,1374500 0,1562300 0,1719700 0,1850200 0,1957700 0,2045800 0,2177000 0,2265600

Factor de influencia I para un área rectangular uniformemente cargada

mn

1,6 1,8 2 2,5 3 4 5 6 8 10 ∞

0,1 0,030575 0,030897 0,031108 0,031382 0,031497 0,031579 0,031603 0,031612 0,031618 0,031619 0,031620

0,2 0,059942 0,060582 0,061001 0,061548 0,061777 0,061939 0,061987 0,062006 0,062018 0,062021 0,062020

0,3 0,087093 0,088043 0,088666 0,089481 0,089822 0,090065 0,090137 0,090165 0,090182 0,090187 0,090190

0,4 0,111354 0,112602 0,113423 0,114498 0,114951 0,115273 0,115369 0,115405 0,115429 0,115436 0,115440

0,5 0,132414 0,133946 0,134956 0,136284 0,136844 0,137245 0,137365 0,137410 0,137440 0,137448 0,137450

0,6 0,150274 0,152074 0,153263 0,154833 0,155499 0,155976 0,156119 0,156173 0,156209 0,156219 0,156230

0,7 0,165153 0,167202 0,168560 0,170362 0,171129 0,171680 0,171847 0,171910 0,171951 0,171963 0,171970

0,8 0,177390 0,179669 0,181185 0,183206 0,184070 0,184695 0,184884 0,184955 0,185002 0,185016 0,185020

0,9 0,187369 0,189858 0,191521 0,193746 0,194704 0,195399 0,195611 0,195691 0,195744 0,195758 0,195770

1 0,195464 0,198144 0,199941 0,202359 0,203406 0,204169 0,204402 0,204491 0,204549 0,204566 0,204580

1,2 0,207314 0,210321 0,212354 0,215116 0,216326 0,217219 0,217494 0,217599 0,217668 0,217688 0,217700

1,4 0,215091 0,218360 0,220584 0,223639 0,224994 0,226005 0,226320 0,226441 0,226521 0,226544 0,226560

1,6 0,220249 0,223723 0,226104 0,229403 0,230885 0,232003 0,232355 0,232491 0,232582 0,232608 0,232630

1,8 0,223723 0,227357 0,229862 0,233364 0,234956 0,236170 0,236557 0,236707 0,236809 0,236838 0,236860

2 0,226104 0,229862 0,232466 0,236135 0,237820 0,239121 0,239540 0,239704 0,239815 0,239847 0,239870

2,5 0,229403 0,233364 0,236135 0,240099 0,241961 0,243436 0,243925 0,244120 0,244254 0,244293 0,244320

3 0,230885 0,234956 0,237820 0,241961 0,243940 0,245539 0,246083 0,246304 0,246459 0,246505 0,246540

4 0,232003 0,236170 0,239121 0,243436 0,245539 0,247290 0,247910 0,248170 0,248358 0,248415 0,248460

5 0,232355 0,236557 0,239540 0,243925 0,246083 0,247910 0,248574 0,248860 0,249072 0,249138 0,249190

6 0,232491 0,236707 0,239704 0,244120 0,246304 0,248170 0,248860 0,249162 0,249391 0,249465 0,249520

8 0,232582 0,236809 0,239815 0,244254 0,246459 0,248358 0,249072 0,249391 0,249641 0,249725 0,249800

10 0,232608 0,236838 0,239847 0,244293 0,246505 0,248415 0,249138 0,249465 0,249725 0,249815 0,249890

∞ 0,232630 0,236860 0,239870 0,244320 0,246540 0,248460 0,249190 0,249520 0,249800 0,249890 0,250000

UN PUNTO DIFERENTE DE LA ESQUINA

( )4321 IIIIq +++=∆σ

( )21 IIq −=∆σ

UN PUNTO FUERA DEL RECTANGULO

1L 2L

1

2

3

4

1B

2B

1I 2I

= -

- +

METODO 2:1 PARA DETERMINAR EL INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL A UNA PROFUNDIDAD z

B+z

1

2

BxL

q

σ∆z ( ) ( )( )zLzBLBq+×+

××=∆σ

INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA RECTANGULAR CARGADA UNIFORMEMENTE

∫ ==∆H

aIqdzIqH 0

00prom ****1 esquina unaEn σ

z

A

A

B

L

qo

H

promσ∆

σ∆

dz

HBm =

HLn =

( )

−

−=∆

12

)(1)(212prom

12**

*/ HH

IHIHqHH HaHa

oσ

z

A

A’

qo

1H

2H

INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA RECTANGULAR CARGADA UNIFORMEMENTE EN UN ESTRATO DADO

z

( )12prom / HHσ∆

σ∆

INCREMENTO DEL ESFUERZO BAJ O UN TERRAPLEN (sobrecarga trapezoidal)

( )

−+

+=∆ 2

2

121

2

210 *** αααπ

σBB

BBBq

Hq *0 γ=

( )

( )

=

−

+

=

−

−−

zBrad

zB

zBBrad

112

112111

tan

tantan

α

α

´* Iqo=∆σ

q0

2B 1B

H

z

1α2α

CARTA DE NEW MARK

INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA CUALQUIERA CARGADA UNIFORMEMENTE

CARTA DE NEW MARK

+

−=∆ 2/32

*21

11.

zB

qσ

2/13/2

11zR

−

∆−=

−

qσ

Despejando de la ecuación para áreas circulares:

INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA CUALQUIERA CARGADA UNIFORMEMENTE

Donde: 2BR =

Se obtiene:

∆σ/q R/z0 0,0000

0,1 0,26980,2 0,40050,3 0,51810,4 0,63700,5 0,76640,6 0,91740,7 1,10970,8 1,38710,9 1,90841 ∞

Se genera la tabla:

Se dibujan círculos concéntricos de Radio R haciendo constante un valor de z (segmento AB). Luego se divide en sectores iguales y se obtiene la carta de Newmark:

CARTA DE NEW MARK

El factor de influencia es el inverso del número de cuadros presentes en la carta. En este caso IN = 1/160= 0.00625

PASOS PARA UTILIZAR LA CARTA DE NEWMARK

1. Identificar la profundidad z bajo la superficie cargadadonde va a determinarse el esfuerzo.

NqI N=∆σ

2. Adoptar una escala de z = AB ( es decir, longitud unitariade acuerdo con la carta)

3. Dibujar la planta de la superficie cargada con base a laescala adoptada en el paso 2.

4. Colocar la planta dibujada en el paso 3 sobre la carta demanera que el punto bajo el cual el esfuerzo va serdeterminado, quede directamente en el centro la carta.

5. Contar el numero de elementos de la carta que caen dentrode la planta. Sean estos igual a N

6. Calcular el incremento de esfuerzo como:

DIAGRAMAS HORIZONTALES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO

σ∆

σ∆

q

DIAGRAMAS VERTICALES

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO

σ∆ σ∆

En el centro

En el borde

ISOBARAS DE BOUSSINESQ

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO

Franja infinita, carga uniformemente repartida

ISOBARAS DE BOUSSINESQ

REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO