cimentaciones 2-1
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ESFUERZOS EN EL SUELO
DENIS AVON
ECUACION DE BOUSSINESQ PARA UNA CARGA PUNTUAL LOCALIZADA EN LA SUPERFICIE
25
2
2 12
+
3=∆
zrz
P
π
σ
22 yxr +=σ∆
P
x
y zA(x,y,z)
INCREMENTO DEL ESFUERZO DEBIDO A UN AREA CIRCULAR CARGADA UNFORMEMENTE
θrdrddAqdAdP
==
( )2
52
2 12
3
+
=
zrπz
qrdrd θΔσd
( )∫ ∫ ∫
+
=∆=∆π
π
θσσ
2
0 0 25
22
2
12
3B
zrz
qrdrdd
drdθ
r
B/2
r
A
σ∆
q
+
−=∆ 232
21
11
zB
qσ
Para el punto A debajo del centro del círculo
Iq=∆σ
∆σ
(∆σ/q)
(∆σ/q)
INCREMENTO DEL ESFUERZO DEBIDO A UN AREA RECTANGULAR UNIFORMEMENTE CARGADA BAJO UNA ESQUINA
( )2
52
2
222 12
3
++
=∆
zyxz
qdxdyd
π
σ
( )∫ ∫ =++
=∆L B
qIzyx
qdxdyz
0 0 25222
3
2
3
πσ
dxdydAqdAdP
==
( ) 25222
3
23)(
zyxqdxdyzd
++=∆
πσ
Para el punto A debajo de la esquina del rectángulo
q
z
x
y
B
L
A
dy
dx
y
x
−++++
+
++++
+++++
= −2222
221
22
22
2222
22
nm1nm1nmmn2Tan
1nm2nm.
1nmnm1nmmn2
π41I
( ) 0 Tan Si -1 <
+
−++++
+
++++
+++++
= − πnm1nm1nmmn2Tan
1nm2nm
1nmnm1nmmn2
π41I 2222
221
22
22
2222
22
zBm =
zLn =
2222 1 cuando Ocurre nmnm <++
Factor de influencia I para un área rectangular uniformemente cargada
mn
0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 1 1,2 1,4
0,1 0,0046963 0,0091685 0,0132351 0,0167839 0,0197752 0,0222280 0,0241980 0,0257574 0,0269805 0,0279351 0,0292593 0,0300699
0,2 0,0091685 0,0179034 0,0258529 0,0327983 0,0386609 0,0434753 0,0473479 0,0504181 0,0528296 0,0547142 0,0573330 0,0589392
0,3 0,0132351 0,0258529 0,0373512 0,0474151 0,0559282 0,0629355 0,0685856 0,0730755 0,0766100 0,0793782 0,0832349 0,0856080
0,4 0,0167839 0,0327983 0,0474151 0,0602368 0,0711116 0,0800888 0,0873492 0,0931359 0,0977045 0,1012921 0,1063083 0,1094077
0,5 0,0197752 0,0386609 0,0559282 0,0711116 0,0840269 0,0947233 0,1034033 0,1103451 0,1158437 0,1201753 0,1262567 0,1300329
0,6 0,0222280 0,0434753 0,0629355 0,0800888 0,0947233 0,1068839 0,1167871 0,1247354 0,1310536 0,1360477 0,1430907 0,1474883
0,7 0,0241980 0,0473479 0,0685856 0,0873492 0,1034033 0,1167871 0,1277242 0,1365340 0,1435619 0,1491363 0,1570347 0,1619952
0,8 0,0257574 0,0504181 0,0730755 0,0931359 0,1103451 0,1247354 0,1365340 0,1460704 0,1537043 0,1597801 0,1684294 0,1738939
0,9 0,0269805 0,0528296 0,0766100 0,0977045 0,1158437 0,1310536 0,1435619 0,1537043 0,1618499 0,1683542 0,1776558 0,1835670
1 0,0279351 0,0547142 0,0793782 0,1012921 0,1201753 0,1360477 0,1491363 0,1597801 0,1683542 0,1752215 0,1850848 0,1913886
1,2 0,0292593 0,0573330 0,0832349 0,1063083 0,1262567 0,1430907 0,1570347 0,1684294 0,1776558 0,1850848 0,1958374 0,2027814
1,4 0,0300699 0,0589392 0,0856080 0,1094077 0,1300329 0,1474883 0,1619952 0,1738939 0,1835670 0,1913886 0,2027814 0,2102042
1,6 0,0305751 0,0599418 0,0870930 0,1113538 0,1324137 0,1502738 0,1651528 0,1773903 0,1873690 0,1954639 0,2073143 0,2150913
1,8 0,0308972 0,0605820 0,0880432 0,1126025 0,1339464 0,1520737 0,1672018 0,1796690 0,1898580 0,1981439 0,2103214 0,2183596
2 0,0311078 0,0610009 0,0886659 0,1134227 0,1349559 0,1532629 0,1685602 0,1811853 0,1915205 0,1999411 0,2123535 0,2205844
2,5 0,0313824 0,0615478 0,0894805 0,1144983 0,1362840 0,1548335 0,1703617 0,1832055 0,1937463 0,2023591 0,2151158 0,2236391
3 0,0314972 0,0617766 0,0898220 0,1149505 0,1368443 0,1554988 0,1711285 0,1840699 0,1947040 0,2034056 0,2163260 0,2249942
4 0,0315785 0,0619390 0,0900649 0,1152728 0,1372448 0,1559759 0,1716805 0,1846947 0,1953994 0,2041693 0,2172186 0,2260050
5 0,0316028 0,0619875 0,0901373 0,1153692 0,1373648 0,1561193 0,1718469 0,1848837 0,1956107 0,2044023 0,2174936 0,2263197
6 0,0316119 0,0620056 0,0901645 0,1154054 0,1374100 0,1561733 0,1719097 0,1849552 0,1956907 0,2044908 0,2175985 0,2264405
8 0,0316178 0,0620175 0,0901824 0,1154291 0,1374396 0,1562089 0,1719510 0,1850023 0,1957436 0,2045493 0,2176682 0,2265211
10 0,0316195 0,0620209 0,0901874 0,1154358 0,1374479 0,1562188 0,1719626 0,1850156 0,1957584 0,2045658 0,2176879 0,2265440
∞ 0,0316200 0,0620200 0,0901900 0,1154400 0,1374500 0,1562300 0,1719700 0,1850200 0,1957700 0,2045800 0,2177000 0,2265600
Factor de influencia I para un área rectangular uniformemente cargada
mn
1,6 1,8 2 2,5 3 4 5 6 8 10 ∞
0,1 0,030575 0,030897 0,031108 0,031382 0,031497 0,031579 0,031603 0,031612 0,031618 0,031619 0,031620
0,2 0,059942 0,060582 0,061001 0,061548 0,061777 0,061939 0,061987 0,062006 0,062018 0,062021 0,062020
0,3 0,087093 0,088043 0,088666 0,089481 0,089822 0,090065 0,090137 0,090165 0,090182 0,090187 0,090190
0,4 0,111354 0,112602 0,113423 0,114498 0,114951 0,115273 0,115369 0,115405 0,115429 0,115436 0,115440
0,5 0,132414 0,133946 0,134956 0,136284 0,136844 0,137245 0,137365 0,137410 0,137440 0,137448 0,137450
0,6 0,150274 0,152074 0,153263 0,154833 0,155499 0,155976 0,156119 0,156173 0,156209 0,156219 0,156230
0,7 0,165153 0,167202 0,168560 0,170362 0,171129 0,171680 0,171847 0,171910 0,171951 0,171963 0,171970
0,8 0,177390 0,179669 0,181185 0,183206 0,184070 0,184695 0,184884 0,184955 0,185002 0,185016 0,185020
0,9 0,187369 0,189858 0,191521 0,193746 0,194704 0,195399 0,195611 0,195691 0,195744 0,195758 0,195770
1 0,195464 0,198144 0,199941 0,202359 0,203406 0,204169 0,204402 0,204491 0,204549 0,204566 0,204580
1,2 0,207314 0,210321 0,212354 0,215116 0,216326 0,217219 0,217494 0,217599 0,217668 0,217688 0,217700
1,4 0,215091 0,218360 0,220584 0,223639 0,224994 0,226005 0,226320 0,226441 0,226521 0,226544 0,226560
1,6 0,220249 0,223723 0,226104 0,229403 0,230885 0,232003 0,232355 0,232491 0,232582 0,232608 0,232630
1,8 0,223723 0,227357 0,229862 0,233364 0,234956 0,236170 0,236557 0,236707 0,236809 0,236838 0,236860
2 0,226104 0,229862 0,232466 0,236135 0,237820 0,239121 0,239540 0,239704 0,239815 0,239847 0,239870
2,5 0,229403 0,233364 0,236135 0,240099 0,241961 0,243436 0,243925 0,244120 0,244254 0,244293 0,244320
3 0,230885 0,234956 0,237820 0,241961 0,243940 0,245539 0,246083 0,246304 0,246459 0,246505 0,246540
4 0,232003 0,236170 0,239121 0,243436 0,245539 0,247290 0,247910 0,248170 0,248358 0,248415 0,248460
5 0,232355 0,236557 0,239540 0,243925 0,246083 0,247910 0,248574 0,248860 0,249072 0,249138 0,249190
6 0,232491 0,236707 0,239704 0,244120 0,246304 0,248170 0,248860 0,249162 0,249391 0,249465 0,249520
8 0,232582 0,236809 0,239815 0,244254 0,246459 0,248358 0,249072 0,249391 0,249641 0,249725 0,249800
10 0,232608 0,236838 0,239847 0,244293 0,246505 0,248415 0,249138 0,249465 0,249725 0,249815 0,249890
∞ 0,232630 0,236860 0,239870 0,244320 0,246540 0,248460 0,249190 0,249520 0,249800 0,249890 0,250000
UN PUNTO DIFERENTE DE LA ESQUINA
( )4321 IIIIq +++=∆σ
( )21 IIq −=∆σ
UN PUNTO FUERA DEL RECTANGULO
1L 2L
1
2
3
4
1B
2B
1I 2I
= -
- +
METODO 2:1 PARA DETERMINAR EL INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL A UNA PROFUNDIDAD z
B+z
1
2
BxL
q
σ∆z ( ) ( )( )zLzBLBq+×+
××=∆σ
INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA RECTANGULAR CARGADA UNIFORMEMENTE
∫ ==∆H
aIqdzIqH 0
00prom ****1 esquina unaEn σ
z
A
A
B
L
qo
H
promσ∆
σ∆
dz
HBm =
HLn =
( )
−
−=∆
12
)(1)(212prom
12**
*/ HH
IHIHqHH HaHa
oσ
z
A
A’
qo
1H
2H
INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA RECTANGULAR CARGADA UNIFORMEMENTE EN UN ESTRATO DADO
z
( )12prom / HHσ∆
σ∆
INCREMENTO DEL ESFUERZO BAJ O UN TERRAPLEN (sobrecarga trapezoidal)
( )
−+
+=∆ 2
2
121
2
210 *** αααπ
σBB
BBBq
Hq *0 γ=
( )
( )
=
−
+
=
−
−−
zBrad
zB
zBBrad
112
112111
tan
tantan
α
α
´* Iqo=∆σ
q0
2B 1B
H
z
1α2α
CARTA DE NEW MARK
INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA CUALQUIERA CARGADA UNIFORMEMENTE
CARTA DE NEW MARK
+
−=∆ 2/32
*21
11.
zB
qσ
2/13/2
11zR
−
∆−=
−
qσ
Despejando de la ecuación para áreas circulares:
INCREMENTO DEL ESFUERZO VERTICAL PROMEDIO DEBIDO A UN AREA CUALQUIERA CARGADA UNIFORMEMENTE
Donde: 2BR =
Se obtiene:
∆σ/q R/z0 0,0000
0,1 0,26980,2 0,40050,3 0,51810,4 0,63700,5 0,76640,6 0,91740,7 1,10970,8 1,38710,9 1,90841 ∞
Se genera la tabla:
Se dibujan círculos concéntricos de Radio R haciendo constante un valor de z (segmento AB). Luego se divide en sectores iguales y se obtiene la carta de Newmark:
CARTA DE NEW MARK
El factor de influencia es el inverso del número de cuadros presentes en la carta. En este caso IN = 1/160= 0.00625
PASOS PARA UTILIZAR LA CARTA DE NEWMARK
1. Identificar la profundidad z bajo la superficie cargadadonde va a determinarse el esfuerzo.
NqI N=∆σ
2. Adoptar una escala de z = AB ( es decir, longitud unitariade acuerdo con la carta)
3. Dibujar la planta de la superficie cargada con base a laescala adoptada en el paso 2.
4. Colocar la planta dibujada en el paso 3 sobre la carta demanera que el punto bajo el cual el esfuerzo va serdeterminado, quede directamente en el centro la carta.
5. Contar el numero de elementos de la carta que caen dentrode la planta. Sean estos igual a N
6. Calcular el incremento de esfuerzo como:
DIAGRAMAS HORIZONTALES
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO
σ∆
σ∆
q
DIAGRAMAS VERTICALES
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO
σ∆ σ∆
En el centro
En el borde
ISOBARAS DE BOUSSINESQ
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO
Franja infinita, carga uniformemente repartida
ISOBARAS DE BOUSSINESQ
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE LOS INCREMENTOS DE ESFUERZOS VERTICALES EN EL SUELO