Cerchi di Mohr

5/13/2018 Cerchi di Mohr - slidepdf.com

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CERCHI DI MOHRnel caso di stati di tensione piani o spaziali con una

tensione principale nota a

a Autore: Fabrizio Barpi, Gennaio 2006 (http://ulisse.polito.it/matdid/1ing aer B4600 TO 0/).

1 Determinazione grafica e analitica delle tensioni principali

I dati iniziali (in modulo), nel riferimento(x,y,z), sono (Fig. 1, sinistra):

σxx = 10 N/mm2

σyy = 2 N/mm2

τ xy = 2 N/mm2

σzz = 1.5 N/mm2

xx= 10

yy = 2

xy = 2

Figura 1: Stato di tensione iniziale (sinistra); vettori n e v (destra).

1.1 Trattazione grafica

La tensione σzz = 1.5 e principale in quanto, sul piano di normale z, non agiscono tensioni tangenziali. La costruzionegrafica (Fig. 2, in alto) e fatta seguendo le convenzioni di segno indicate:

• σxx, σyy : positive se di trazione,

• τ xy: positive se fanno ruotare in senso orario il cubetto elementare cui sono applicate,

• ϑ: positivo se antiorario,

da cui risultano σxx = +10N/mm2, σyy = −2N/mm2 e τ xy = +2N/mm2. Si posizionano i punti: P (σxx = +10, τ xy = +2)e P (σyy = −2,−τ xy = −2), si individua il polo P ∗ (tracciando la retta parallela all’asse delle σn da P e la parallela all’assedelle τ n da P ) e si trova (classificando, ad esempio, le tensioni principali in modo che σ1 > σ2 > σ3): σ1 ≈ 10.3, σ2 = 1.5 e

σ3 ≈ −2.3 (Fig. 2, in basso a sinistra).A questo punto e possibile calcolare le tensioni su una giacitura qualsiasi. Se, ad esempio, si desiderano le tensioni agentisulla faccia la cui normale n e inclinata di ϕ = 30◦ (Fig. 1, destra), si traccia una retta inclinata di 30◦ dalla fondamentaleP ∗P o di 2× 30◦ = 60◦ dalla fondamentale P P e si individua cosı il punto P 30 le cui coordinate danno σn e τ n. In manieraanaloga si procede per il punto P 120 (Fig. 2, in basso a destra).

1.2 Trattazione analitica

Le convenzioni di segno valide per la trattazione analitica dei cerchi di Mohr sono:

• σxx, σyy τ xy: positive se concordi con le direzioni (x,y,z),

• ϑ: positivo se antiorario,

quindi, con σxx = +10N/mm2

, σyy = −2N/mm2

e τ xy = −2N/mm2

2 τ xyσxx − σyy

2× (−2)

10− (−2)= −9.2◦, rotazione oraria,

2(σxx + σyy) ±

(σyy − σxx)2 + 4 τ xy2 = σn(C ) ± R =

2(10 + (−2)) ±

(−2− 10)2 + 4 × (−2)2 =

= 4± 6.33 =

σ1 = 10.33 N/mm2

σ3 = −2.33 N/mm2 .

Se ϕ = 30◦, indicando con n il versore della direzione e con v il versore normale a n (Fig. 1, destra):

cos ϕsin ϕ

cos(30◦)sin(30◦)

0.8660.500

=− sin ϕ

cos ϕ

=− sin(30◦)

cos(30◦)

=−0.5000.866

, da cui:

σn = nT tn = n

T σn =

σxx τ yxτ xy σyy

= σxxnx

2 + 2τ xynxny + σyyny2 =

= 10× 0.8662 + 2 × (−2) × 0.866× 0.500 + (−2) × 0.5002 = 5.27N/mm2 = σ30.

τ n = vT tn = v

T σn =

σxx τ yxτ xy σyy

= σxxnxvx + τ xy(nxvy + nyvx) + σyynyvy =

= 10× 0.866× (−0.500) + (−2)[0.866× 0.866 + 0.500× (−0.500)] + (−2) × 0.500× 0.866 = −6.20N/mm2 = τ 30.

Se, invece, ϕ = 30◦ + 90◦ = 120◦:

cos(ϕ + π

sin(ϕ + π2

cos(30◦ + 90◦)sin(30◦ + 90◦)

−0.5000.866

=− sin(ϕ + π

cos(ϕ + π2 )

=− sin(120◦)

cos(120◦)

=−0.866−0.500

, da cui:

σn = σxxnx2 + 2τ xynxny + σyyny

2 = 10× (−0.500)2 + 2 × (−2) × (−0.500)× 0.866+

+(−2) × 0.8662 = 2.73N/mm2 = σ120.

τ n = σxxnxvx + τ xy(nxvy + nyvx) + σyynyvy =

= 10× (−0.500) × (−0.866) + (−2)[(−0.500) × (−0.500) + 0.866× (−0.866)]+

+(−2) × 0.866× (−0.500) = +6.20N/mm2 = τ 120.

Va notato che i segni di σn e τ n risultano positivi o negativi a seconda siano concordi o discordi con i versori n e v.I valori trovati coincidono con quelli misurati sul cerchio di Mohr (Fig. 2) in corrispondenza dei punti P 30 e P 120.

Si puo risolvere per altra via il problema anche imponendo il parallelismo tra il vettore tensione tn e la normale n:

tn = σn = σnn, da cui si ottiene il sistema lineare ed omogeneo (σ − σnI )n = 0.

Per avere soluzioni diverse da n = 0 (la cosidetta soluzione banale, non accettabile in quanto nx2 + ny2 + nz2 = 1) deve

essere det(σ − σnI ) = 0:

σxx − σn τ yx τ zx

τ xy σyy − σn τ zyτ xz τ yz σzz − σn

10− σn −2 0

−2 −2 − σn 00 0 1.5− σn

Risolvendo rispetto a σn si ricavano le tre tensioni principali σ1, σ2 e σ3:

(1.5 − σn)(σn2 − 8σn − 24) = 0,

σ1 = 10.33 N/mm2

σ2 = 1.5 N/mm2

σ3 = −2.33 N/mm2

Risolvendo il sistema (σ − σnI )n = 0 in corrispondenza dei tre valori σ1, σ2 e σ3 si ottengono i tre autovettori del sistema.Ricordando che nx

2 + ny2 + nz

2 = 1, si ricava:σxx − σ1 τ yx τ zx

τ xy σyy − σ1 τ zyτ xz τ yz σzz − σ1

10− 10.33 −2 0

−2 −2 − 10.33 00 0 1.5 − 10.33

da cui: n1 =

±0.9870.1630.000

, ϑ1 = −9.4◦ ± 180◦;

σxx − σ2 τ yx τ zx

τ xy σyy − σ2 τ zyτ xz τ yz σzz − σ2

10− 1.5 −2 0

−2 −2− 1.5 00 0 1.5 − 1.5

da cui: n2 =

0.0000.000±1.000

σxx − σ3 τ yx τ zxτ xy σyy − σ3 τ zyτ xz τ yz σzz − σ3

10− (−2.33) −2 0−2 −2 − (−2.33) 00 0 1.5 − (−2.33)

da cui: n3 =

±0.163±0.9870.000

, ϑ3 = 80.6◦ ± 180◦.

Naturalmente n2 coincide con l’asse z. Inoltre, le tensioni e le direzioni principali coincidono con quelle trovate in Fig. 2. Si

puo verificare che che le tre direzioni principali sono ortogonali tra loro.

La scelta del segno nelle componenti dei tre versori n1, n

2 e n3 puo essere fatta imponendo che la terna principale sia

destrorsa (n1 ×n2 ·n3 = +1).

2 OSSERVAZIONI

• Va ricordato che i cerchi di Mohr sono tre.

• La tensioni trovate con il cerchio di Mohr (trattazione grafica e analitica) sono agenti sulla faccia normale alla direzionein esame.

• Il polo P ∗ va scelto in modo tale che, tracciando le direzioni delle normali alle facce del cubetto dal polo, si ritrovino letensioni agenti su quelle stesse facce. Quindi, tracciando da P ∗ la retta parallela all’asse delle σn si devono ritrovare, inmodulo e segno, le tensioni agenti sulla faccia verticale (σxx e τ xy) mentre, tracciando da P ∗ la retta parallela all’assedelle τ n si devono ritrovare, in modulo e segno, le tensioni agenti sulla faccia orizzontale (σyy e τ yx).

• La massima tensione tangenziale τ max coincide con il raggio R del cerchio (6.33N/mm2 nell’esempio).

30 = 5.27

30 = 6.20

120 = 2.732

Tensioni agenti nel riferimento

ruotato di +30° (in senso antiorario)

120 = 6.20

1 = 10.33

3 = –2.33

2 =1.5

Tensioni agenti nel riferimento principale

2 =1.5

P (10, 2)P*

2 N/mm2

120 = 2.73

3 = –2.33 1= 10.33

30 = 6.20

120 = –6.20P' (–2, –2)

2= zz=1.5

P120 (2.73, –6.20)

30 = 5.27 R = 6.33

C (4, 0)

= 9.2°

2 = 60°

= 18.4°

= 30°

P30 (5.27, 6.20)

max= 6.33

Fondamentali per

la misura degli angoli

Figura 2: Costruzione grafica dei tre cerchi di Mohr (in alto); riferimento e tensioni principali (in basso a sinistra); riferimentoe tensioni nel sistema ruotato di +30◦(in basso a destra).

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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