Post on 21-Jul-2015
τ=3τ=5
τ=10
)/exp(1(5 τtq −−=
Circuito RC alimentado con cc
Cq
dtdqR
CqRi +=+=ε
ε
RCi
Ritenq ε=⇒== 000
0=+Ci
dtdiR dt
CRidi 1
−=CRt
eR
i−
=ε
tt
CRt
eCRR
dtiq00
)(∫
−==−ε
−=−CRt
eCq 1ε
)/exp(5,1 CRti −=
τ=3τ=5
τ=10
τ=RC: constante de tiempo RC
Curva de descarga del capacitor En determinado momen-to de la curva de carga se cortocicuita la fem, por ej. cuando q=q0
RC q0
+-
0' =+=+ Rdtdq
CqRi
Cq
CRdt
qdq
−= CRt
eqq−
= 0
CRt
eCRq
dtdqi
−
−== 0
i
i en sentido contrario)3/exp(5 tq −=
)3/exp(5,1 ti −=
Circuito RL alimentado con cc
ε
RLi dt
diLRi +=ε 02
2
=+dtidL
dtdiR
dtdis =
0=+dtdsLsR dt
LR
sds
−=
LtR
eL
s−
=ε
−=
−LtR
eR
i 1ε
tLR
sst
−==0
ln
En t=0, i=o y (di/dt)t=0 =st=o =ε /L
)1(5,1 3t
ei−
−=
Con CC
t = 0 C: cc L: cat = ∞ C: ca L: cc
Si en t’ se cc la fem
0=+dtdiLRi L
tR
eii−
= 0
τ=L/R: constante de tiempo RL
Circuito LC alimentado con cc
εi
CL
0=−−Cq
dtdiLε 01
2
2
=+ iCdt
idL
20cos00 0
πϕϕ ±=⇒==⇒== iiit
Oscilador armónico
simple
)(cos0 ϕω += tiiτππω 221
=== fCL
i0: amplitud; f: frecuencia natural circ. LC; ϕ: ángulo de fase; τ: período
000 ==⇒= iyqt
ϕωεϕωε 1
000
00 −
=
−=⇒−=
=⇒== sen
LisenLi
dtdiLqt
t
20
2 0
πϕπϕ −=⇒⟨⇒= isi
LC
Li ε
ωε
==0tsenL
tL
i ωωεπω
ωε
=
−=
2cos
En t=o todo ε en L; C descargado
En t=0, C es un cc y solo actúa L=> i(t=0)=0
)cos1( tCqVC ωε −==∆
Carga en el condensador
)cos1()cos1(sen0
20
tCtL
tL
dtiqt t
ωεωωεω
ωε
−=−=== ∫ ∫
Caída de potencial en el condensador
Caída de potencial en el inductor
tdtdiLVL ωε cos==∆ ε=∆+∆ LC VV
εi
CL
tL
i ωωε sen=
Suma de tensiones par-ciales instantáneas en cada elemento =ε, pero no de amplitudes pues no tienen la misma fase ∆ϕ =180°0 1 2 3 4 5 6 7
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Tiempo
Ten
sión
-Cor
rient
e
LV∆
CV∆
i
2ε
εi
CL
tL
i ωωε sen= )cos1( t
CqVC ωε −==∆
tdtdiLVL ωε cos==∆
)cos1( tCq ωε −=
Potencia suministrada tLCt
LiP ωεω
ωεε sensen 2
2
===
222
)cos1(22
tCCqUC ωε
−== ttCdtdUP C
C ωωωε sen)cos1(22
2
−==
tL
iLUL ωωε 2
2
22
sen22
== ttLdt
dUP LL ωωω
ωε cossen2
2
2
==
ttLCPC ωωε sen)cos1(2 −=
ttLCPL ωωε cossen2=
LC PPP +=t
0 1 2 3 4 5 6 7-7
-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
PL
PCP
Pot
enci
a
222
222
0 iLCq
CqUUU LC +==+=
Cq0
L00
2
2
=+⇒=+Cq
dtqdL
Cq
dtdiL
)(cos0 ϕω += tqqCL1=ω
0,0 0 =⇒== ϕqqtSi tqq ωcos0=
tqdtdqi ωω sen0−==
tCq
CqVC ωcos0==∆
)(coscos 00 πωω −=−==∆ tCqt
Cq
dtdiLVL
0=∆+∆ LC VV
0 1 2 3 4 5 6 7-6
-4
-2
0
2
4
6
Tens
ión-
Corri
ente
Tiempo
i
CV∆LV∆
∆ϕ
tCqUC ω2
2
0 cos2
=
tqLUL ωω 22
02
sen2
=
0 1 2 3 4 5 6
C
B
qo /2C
Pot
enci
a
T iem po
UC
UL
2
0 1 2 3 4 5 6 7
-2
0
2
4
6
Corri
ente
Tiempo
Régimen amortiguadoC
LR 2<
Circuito RLC alimentado por cc
Lε
Ci R
CqiR
dtdiL ++=ε
Ci
dtdiR
dtidL ++= 2
2
0
+−
−= ϕt
LR
CLtLRii
2
2
0 41cos
2exp
Solución solo válida para R chicas tal que CLL
R 14 2
2
<
CLR 2> Régimen sobreamortiguado
CLR 2= Régimen crítico
RL
tLRii
2
)2
(exp0
=
−=
τ
i adelanta ε en π/2
i atrasa ε en π/2
R, C y L alimentadas con ca
ε R
tωεε sen0=
tRR
i ωεε sen0==
tCVCq ωε sen0==
tCdtdqi ωωε cos0==
)2(sen0 πω += tii
εL
ε C
∫=⇒= dtL
idtdiL εε
tL
i ωωε cos0−=
)2(sen0 πω −= tii
0 1 2 3 4 5 6 7-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Te
nsi
ón
-Co
rrie
nte ε i
0 1 2 3 4 5 6 7-6
-5
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
4
5
6
Te
ns
ión
-Co
rrie
nte ε
i
0 1 2 3 4 5 6 7-6
-4
-2
0
2
4
6
Ten
sión
-Cor
rient
e
T iempo
ε
i
i yε en fase
tii ωsen0=
)1(00 Ci ωε = CXC ω
1= Reactancia
capacitiva
Li ωε 00 = LX L ω=Reactancia inductiva
Ri00 =ε
tωεε sen0=tsen
Ri ωε 0=
tsenR
iP ωεε 22
0==
tsenR
RiPR ωε 22
02 ==
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
Po
ten
cia
tCdtdqi ωωε cos0==
tCVCq ωε sen0==
ttsenCiP ωωωεε cos2
0==
tsenCCqUC ωε 2
2
02
22== ttsenC
dtdUP C
C ωωωε cos2
0==
tL
i ωωε cos0−= ttsen
LiP ωω
ωεε cos
2
0−==
tL
LiLUL ωωε 2
2
2
02
cos)(22
== ttsenLdt
dUP LL ωω
ωε cos
2
0−−==
C
R
L
Circuito RC alimentado con ca
ε RC C
qRi +=ε
tωεε sen0=)(sen0 ϕω += tii
∫ +−== )(cos0 ϕωω
tidtiq
)(cos)( 000 ϕω
ωϕωωε +−+= t
CitsenRitsen
)cos(cos)coscos(
0
00
ϕωϕωω
ϕωϕωωεsentsent
Ci
senttsenRitsen−
−+=
⇒=− 0)cossen(cos 00 ϕ
ωϕω
CiiRt
RCωϕ 1tg =
⇒=++− 0)sencos(sen 000 ϕ
ωϕεω
CiiRt
ϕ Cω/1R
)sen1cos(00 ϕω
ϕεC
Ri +=
ZiCRi 022
00 )1( =+= ωε
Comportamiento capa-citivo, i adelanta a ε
Z: Impedancia)(sen)( 0 ϕωε +==∆ tZRRiVR
)(cos)( 0 ϕωωε +−==∆ tCZCqVC
ε=∆+∆ CR VVi0
∆VR0=i0R
∆VC0=i0XC i0Z
ϕ
2222 )/1(/1)/1(/cos CRC
senCRR ωω
ϕωϕ +
=+=
Circuito RL alimentado con ca
ε RL
tωεε sen0=
dtdiLRi +=ε )(sen0 ϕω += tii
)(cos)(sensen 000 ϕωωϕωωε +++= tiLtRit
)cos(cos)coscos(
0
00ϕωϕωω
ϕωϕωωεsentsentiL
senttsenRitsen−
++=
⇒=+ 0)cossen(cos 00 ϕωϕω iLiRtRLωϕ −=tg
Comportamiento in-ductivo, ε adelanta a i
ϕR
Lω
⇒=−+− 0)sencos(sen 000 ϕωϕεω iLiRt )sencos(00 ϕωϕε LRi −=
ZiLRi 022
00 )( =+= ωε Z: Impedancia
)(sen)( 0 ϕωε +==∆ tZRRiVR)(cos0 ϕωεω +==∆ t
ZL
dtdiLVL ε=∆+∆ LR VV
i0∆VR0=i0R
∆VL0=i0XL i0Zϕ
))()(
(22220 LR
LLLR
RRiω
ωωω
ε+−
−+
=
Circito LC alimentado con ca
CεL dt
diLCq+=ε
tωεε sen0=
)(sen0 ϕω += tii
)(cos)cos)((cos)/(
0
00ϕωωϕϕωωωε
++−+−=tiL
tCitsen∫ −+−==t
tidtiq0
0 )cos)((cos ϕϕωω
)cos(cos)coscos(cos)/(
0
00ϕωϕωωϕϕωϕωωωε
sentsentiLsentsentCitsen
−+−−−=
⇒=−+− 0)sensen)/((sen 000 ϕωϕωεω iLCit1;0cos
2±==⇒±= ϕϕπϕ sen
−=⇒= L
Ci ω
ωεϕ 11sen 00
0i
−=⇒−=
CLi
ωωεϕ 11sen 00 Circuito inductivo 0i
Zi00 =ε
Circuito capacitivo
Circuito RLC serie alimentado con ca
R LC
i dtdiL
CqRi ++=ε
tωεε sen0=
iCdt
diRdtidLt 1cos2
2
0 ++=ωωε
)(0 ϕω += tsenii
)()cos()(cos 00
200 ϕωϕωωϕωωωωε +++++−= tsen
CitiRtseniLt
)coscos()cos(cos)coscos(cos
0
02
00
ϕωϕωϕωϕωωϕωϕωωωωεsenttsen
Cisentsent
RisenttsenLit++−
++−=
0)cos(cos 00
200 =++−− ϕϕωϕωωεω sen
CiiRseniLt
0)coscos( 00
20 =+−− ϕϕωϕωω
CiseniRiLtsen
ZiC
LRi 0
22
00
1=
−+=
ωωε
RCLtg )/1( ωωϕ −
=
Zi /00 ε=
R
ϕ ωL-(1/ ωC)
ωL 1/ ωC
i0
Zi00 =ε
Circuito RLC paralelo alimentado con ca
LC
R
i
tωεε sen0=
)(0 ϕω += tseniiLCR iiii ++=
tsenR
iR ωε 0=
tC
tsenC
iC ωωεπω
ωε cos
)/1()
2(
)/1(00 =+=
tL
tsenL
iL ωωεπω
ωε cos)
2( 00 −=−=
tL
tC
tsenR
tseni ωωεω
ωεωεϕω coscos
)/1()( 000
0 −+=+
0)cos( 00 =+−
Ritsen εϕω
0))/1(
(cos 000 =−+−
LCsenit
ωε
ωεϕω
Ri00cos εϕ =
)1(0
0
LC
isen
ωωεϕ −=
22 )/1(()/1(/1sen
LCRLCωω
ωωϕ−+
−=
RLCtg
/1/1 ωωϕ −
=
2200 )/1(()/1(1
LCRi
ωωε
−+=
ε0
1/R
ωC 1/ωL
ϕ
Resonancia en circuito RLC
22
00 1
−+
=
CLR
i
ωω
εC
LR
imáx ωωε 10 =⇒=
CL1
=ω
0 20 40 60 80 100 1200,00
0,05
0,10
0,15
0,20
0,25
0,30
0,35
0,40
0,45
0,50
0,55
0,60
0,65
V= 200 VL 20 HC=0,4 microF
R=10 Ohms
R=500 Ohms
R=1000 OhmsCor
rient
e m
áxim
a
Frecuencia (f)
fπω 2=
-2 0 2 4 6
-6
-4
-2
0
2
4
6
Cor
rient
e
Tiempo
cteω
)(0 ϕω += tseniitωεε sen0=
Circuito tanque (CT) RLC serie presenta algunas desventajas técni-cas como sintonizador (allí resonancia es i max)
En CT sintonía con i mínimo. Como VR será entonces mínimo, la V sobre // LC es máximaL
Ci R
iC iLdtdiLRiitsen L
CL ++= )(0 ωε
2
2
dtidLCi
Cq
dtdiL L
CCL =⇒= L
LL RidtdiL
dtidLRCtsen ++= 2
2
0 ωε
)(0 ϕω += tsenii LL
)coscos()cos(cos)coscos(
0
02
00ϕωϕωϕω
ϕωωϕωϕωωωεsenttsenRisentsen
tLisenttsenLRCitsenL
LL++−
++−=
0)coscos( 002
00 =+−−− ϕϕωϕωεω LLL RisenLiLRCitsen
0)cos(cos 002
0 =++− ϕϕωϕωω senRiLisenLRCit LLL
]cos)[( 200 ϕωϕωε senLRLRCi L −+−=
2tg
ωωϕLRCRL
−−
=
2ωLRCR −Lω
2/1222 ])()[(sen
LLRCRL
ωωωϕ
+−−
= 2/1222
2
])()[(cos
LLRCRLRCR
ωωωϕ+−
−=
LLL ZiLLRCRi 02/1222
00 ])()[( =+−= ωωεL
L Zi 0
0
ε=
)sen(202
2
ϕωω +−== tLCidtidLCi LL
C)(0 ϕω += tsenii LL
)sen()sen()1( 02
0 ϕωϕωω +=+−=+= titLCiiii LLC
Z
CL
CLRLLRCRLCi 0
2
222
02/1222
20
0
)1(
/])()[()1( ε
ωω
εωω
ωε=
−+
=+−
−=
01=⇒= i
LCsiω No hay caída en R y todo la tensión en //
Potencia en circuitos de alterna tωεε sen0= )(0 ϕω += tsenii
)sen(sen)( 00 ϕωωεε +== ttiitP
0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 60
2
4
6
8
1 0
Po
ten
cia
en
tre
ga
da
T ie m p o
Sentido de potencia instantánea?
∫∫
∫∫+
=+==TT
TT
ttttTi
ttiT
dtiT
P
00
00
000
0
)sencossencossensen(
)sen(sen11
ϕωωϕωωεϕωωεε
Función impar
ϕε cos2
00iP =2/
2/
0
0
εε =
=
ef
ef ii Valores constantes de i y V que producen la misma potencia me-dia que la tensión de alterna
ϕcos Factor de potencia
220 V de línea es Vef: 310 de pico Al circuito inductivo o capacitivo (ϕ±π/2) no se le entrega potencia
ϕε cosefefa iP = Potencia activa (la que se disipa en R)ϕε seniP efefr = Potencia reactiva (la que oscila)
efefap iP ε= Potencia aparente Para una P requerida, a > cos ϕ < i. Multas por bajo cos ϕ. Se cobre VA
RiZRi efefef
2=ε
Elementos en serie ∑= )()( tVtV k
Tratamiento con números complejos
Elementos en paralelo )()( titi k∑=
jbasenje j +=+==Ε 10100 cos1 ϕεϕεε ϕ
jdcsenjiieiI j +=+== 20200 cos2 ϕϕϕ
Se definen tensión y corriente complejas
220 baE +== ε a
barctg=1ϕ
220 dciI +== )/(2 dcarctg=ϕ
)Re( tjEeV ω=
)Re( tjIei ω=
∑≠ 00 kVV ∑≠ 00 kii
En R joeR
I 0ε=
En C )2/(0
πωε jCeI =
En L )2/(0 π
ωε jeL
I −=
tωεε cos0=Si
L
C
RY*Z*YZ
RI /0ε=
CjI ωε 0=
)/( 0 LjI ωε−=
Cω/1
R RR/1 R/1
Cω Cj
ω−
Ljω
Cjω
LωLω
1Lj
ω−
])Re[( 2121tjeIIii ω+=+
22
2
)/1(cos
CRR
ZRVR
ωϕ
ε +==
Pasa altos y pasa bajosVR
VC
tωεε sen0=
)(sen0 ϕω += tii 2200 )1( CRi ωε +=
RCωϕ 1tg =
)(sen)( 0 ϕωε +==∆ tZRiRVR
∫ +−== )(cos0 ϕωω
tidtiq
)cos()( 0 ϕωωε +−==∆ tCZCqVC
+= ∫ ∫τ τ
ϕωω
ϕωετ
εε 0 00
0 sencotsen
cossen)( dttgdtt
tZRVR
−
−= ∫ ∫
τ τ
ωϕω
ωϕω
ετωε
ε 0 00
0
sensensen
sencoscos)( dt
ttdt
ttCZVC
00 →ωsi
∞→ωsi1
22
2
)/1()/1(sen/1CR
CZCVC
ωωϕω
ε +==
01 →ωsi
∞→ωsi0
0 2 4 6 80,3
0 ,4
0 ,5
0 ,6
0 ,7
0 ,8
0 ,9
1 ,0
Ga
na
nci
a
F recuencia
0 2 4 6 8
0,0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
Gan
anci
aFrecuencia
Filtro Pasa Alto
FiltroPasaBajo