τ=3τ=5

τ=10

)/exp(1(5 τtq −−=

Circuito RC alimentado con cc

Cq

dtdqR

CqRi +=+=ε

ε

RCi

Ritenq ε=⇒== 000

0=+Ci

dtdiR dt

CRidi 1

−=CRt

eR

i−

=ε

tt

CRt

eCRR

dtiq00

)(∫

−==−ε

−=−CRt

eCq 1ε

)/exp(5,1 CRti −=

τ=3τ=5

τ=10

τ=RC: constante de tiempo RC

Curva de descarga del capacitor En determinado momen-to de la curva de carga se cortocicuita la fem, por ej. cuando q=q0

RC q0

+-

0' =+=+ Rdtdq

CqRi

Cq

CRdt

qdq

−= CRt

eqq−

= 0

CRt

eCRq

dtdqi

−

−== 0

i

i en sentido contrario)3/exp(5 tq −=

)3/exp(5,1 ti −=

Circuito RL alimentado con cc

ε

RLi dt

diLRi +=ε 02

2

=+dtidL

dtdiR

dtdis =

0=+dtdsLsR dt

LR

sds

−=

LtR

eL

s−

=ε

−=

−LtR

eR

i 1ε

tLR

sst

−==0

ln

En t=0, i=o y (di/dt)t=0 =st=o =ε /L

)1(5,1 3t

ei−

−=

Con CC

t = 0 C: cc L: cat = ∞ C: ca L: cc

Si en t’ se cc la fem

0=+dtdiLRi L

tR

eii−

= 0

τ=L/R: constante de tiempo RL

Circuito LC alimentado con cc

εi

CL

0=−−Cq

dtdiLε 01

2

2

=+ iCdt

idL

20cos00 0

πϕϕ ±=⇒==⇒== iiit

Oscilador armónico

simple

)(cos0 ϕω += tiiτππω 221

=== fCL

i0: amplitud; f: frecuencia natural circ. LC; ϕ: ángulo de fase; τ: período

000 ==⇒= iyqt

ϕωεϕωε 1

000

00 −

=

−=⇒−=

=⇒== sen

LisenLi

dtdiLqt

t

20

2 0

πϕπϕ −=⇒⟨⇒= isi

LC

Li ε

ωε

==0tsenL

tL

i ωωεπω

ωε

=

−=

2cos

En t=o todo ε en L; C descargado

En t=0, C es un cc y solo actúa L=> i(t=0)=0

)cos1( tCqVC ωε −==∆

Carga en el condensador

)cos1()cos1(sen0

20

tCtL

tL

dtiqt t

ωεωωεω

ωε

−=−=== ∫ ∫

Caída de potencial en el condensador

Caída de potencial en el inductor

tdtdiLVL ωε cos==∆ ε=∆+∆ LC VV

εi

CL

tL

i ωωε sen=

Suma de tensiones par-ciales instantáneas en cada elemento =ε, pero no de amplitudes pues no tienen la misma fase ∆ϕ =180°0 1 2 3 4 5 6 7

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Tiempo

Ten

sión

-Cor

rient

e

LV∆

CV∆

i

2ε

εi

CL

tL

i ωωε sen= )cos1( t

CqVC ωε −==∆

tdtdiLVL ωε cos==∆

)cos1( tCq ωε −=

Potencia suministrada tLCt

LiP ωεω

ωεε sensen 2

2

===

222

)cos1(22

tCCqUC ωε

−== ttCdtdUP C

C ωωωε sen)cos1(22

2

−==

tL

iLUL ωωε 2

2

22

sen22

== ttLdt

dUP LL ωωω

ωε cossen2

2

2

==

ttLCPC ωωε sen)cos1(2 −=

ttLCPL ωωε cossen2=

LC PPP +=t

0 1 2 3 4 5 6 7-7

-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

7

PL

PCP

Pot

enci

a

222

222

0 iLCq

CqUUU LC +==+=

Cq0

L00

2

2

=+⇒=+Cq

dtqdL

Cq

dtdiL

)(cos0 ϕω += tqqCL1=ω

0,0 0 =⇒== ϕqqtSi tqq ωcos0=

tqdtdqi ωω sen0−==

tCq

CqVC ωcos0==∆

)(coscos 00 πωω −=−==∆ tCqt

Cq

dtdiLVL

0=∆+∆ LC VV

0 1 2 3 4 5 6 7-6

-4

-2

0

2

4

6

Tens

ión-

Corri

ente

Tiempo

i

CV∆LV∆

∆ϕ

tCqUC ω2

2

0 cos2

=

tqLUL ωω 22

02

sen2

=

0 1 2 3 4 5 6

C

B

qo /2C

Pot

enci

a

T iem po

UC

UL

2

0 1 2 3 4 5 6 7

-2

0

2

4

6

Corri

ente

Tiempo

Régimen amortiguadoC

LR 2<

Circuito RLC alimentado por cc

Lε

Ci R

CqiR

dtdiL ++=ε

Ci

dtdiR

dtidL ++= 2

2

0

+−

−= ϕt

LR

CLtLRii

2

2

0 41cos

2exp

Solución solo válida para R chicas tal que CLL

R 14 2

2

<

CLR 2> Régimen sobreamortiguado

CLR 2= Régimen crítico

RL

tLRii

2

)2

(exp0

=

−=

τ

i adelanta ε en π/2

i atrasa ε en π/2

R, C y L alimentadas con ca

ε R

tωεε sen0=

tRR

i ωεε sen0==

tCVCq ωε sen0==

tCdtdqi ωωε cos0==

)2(sen0 πω += tii

εL

ε C

∫=⇒= dtL

idtdiL εε

tL

i ωωε cos0−=

)2(sen0 πω −= tii

0 1 2 3 4 5 6 7-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Te

nsi

ón

-Co

rrie

nte ε i

0 1 2 3 4 5 6 7-6

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

6

Te

ns

ión

-Co

rrie

nte ε

i

0 1 2 3 4 5 6 7-6

-4

-2

0

2

4

6

Ten

sión

-Cor

rient

e

T iempo

ε

i

i yε en fase

tii ωsen0=

)1(00 Ci ωε = CXC ω

1= Reactancia

capacitiva

Li ωε 00 = LX L ω=Reactancia inductiva

Ri00 =ε

tωεε sen0=tsen

Ri ωε 0=

tsenR

iP ωεε 22

0==

tsenR

RiPR ωε 22

02 ==

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 120

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

Po

ten

cia

tCdtdqi ωωε cos0==

tCVCq ωε sen0==

ttsenCiP ωωωεε cos2

0==

tsenCCqUC ωε 2

2

02

22== ttsenC

dtdUP C

C ωωωε cos2

0==

tL

i ωωε cos0−= ttsen

LiP ωω

ωεε cos

2

0−==

tL

LiLUL ωωε 2

2

2

02

cos)(22

== ttsenLdt

dUP LL ωω

ωε cos

2

0−−==

C

R

L

Circuito RC alimentado con ca

ε RC C

qRi +=ε

tωεε sen0=)(sen0 ϕω += tii

∫ +−== )(cos0 ϕωω

tidtiq

)(cos)( 000 ϕω

ωϕωωε +−+= t

CitsenRitsen

)cos(cos)coscos(

0

00

ϕωϕωω

ϕωϕωωεsentsent

Ci

senttsenRitsen−

−+=

⇒=− 0)cossen(cos 00 ϕ

ωϕω

CiiRt

RCωϕ 1tg =

⇒=++− 0)sencos(sen 000 ϕ

ωϕεω

CiiRt

ϕ Cω/1R

)sen1cos(00 ϕω

ϕεC

Ri +=

ZiCRi 022

00 )1( =+= ωε

Comportamiento capa-citivo, i adelanta a ε

Z: Impedancia)(sen)( 0 ϕωε +==∆ tZRRiVR

)(cos)( 0 ϕωωε +−==∆ tCZCqVC

ε=∆+∆ CR VVi0

∆VR0=i0R

∆VC0=i0XC i0Z

ϕ

2222 )/1(/1)/1(/cos CRC

senCRR ωω

ϕωϕ +

=+=

Circuito RL alimentado con ca

ε RL

tωεε sen0=

dtdiLRi +=ε )(sen0 ϕω += tii

)(cos)(sensen 000 ϕωωϕωωε +++= tiLtRit

)cos(cos)coscos(

0

00ϕωϕωω

ϕωϕωωεsentsentiL

senttsenRitsen−

++=

⇒=+ 0)cossen(cos 00 ϕωϕω iLiRtRLωϕ −=tg

Comportamiento in-ductivo, ε adelanta a i

ϕR

Lω

⇒=−+− 0)sencos(sen 000 ϕωϕεω iLiRt )sencos(00 ϕωϕε LRi −=

ZiLRi 022

00 )( =+= ωε Z: Impedancia

)(sen)( 0 ϕωε +==∆ tZRRiVR)(cos0 ϕωεω +==∆ t

ZL

dtdiLVL ε=∆+∆ LR VV

i0∆VR0=i0R

∆VL0=i0XL i0Zϕ

))()(

(22220 LR

LLLR

RRiω

ωωω

ε+−

−+

=

Circito LC alimentado con ca

CεL dt

diLCq+=ε

tωεε sen0=

)(sen0 ϕω += tii

)(cos)cos)((cos)/(

0

00ϕωωϕϕωωωε

++−+−=tiL

tCitsen∫ −+−==t

tidtiq0

0 )cos)((cos ϕϕωω

)cos(cos)coscos(cos)/(

0

00ϕωϕωωϕϕωϕωωωε

sentsentiLsentsentCitsen

−+−−−=

⇒=−+− 0)sensen)/((sen 000 ϕωϕωεω iLCit1;0cos

2±==⇒±= ϕϕπϕ sen

−=⇒= L

Ci ω

ωεϕ 11sen 00

0i

−=⇒−=

CLi

ωωεϕ 11sen 00 Circuito inductivo 0i

Zi00 =ε

Circuito capacitivo

Circuito RLC serie alimentado con ca

R LC

i dtdiL

CqRi ++=ε

tωεε sen0=

iCdt

diRdtidLt 1cos2

2

0 ++=ωωε

)(0 ϕω += tsenii

)()cos()(cos 00

200 ϕωϕωωϕωωωωε +++++−= tsen

CitiRtseniLt

)coscos()cos(cos)coscos(cos

0

02

00

ϕωϕωϕωϕωωϕωϕωωωωεsenttsen

Cisentsent

RisenttsenLit++−

++−=

0)cos(cos 00

200 =++−− ϕϕωϕωωεω sen

CiiRseniLt

0)coscos( 00

20 =+−− ϕϕωϕωω

CiseniRiLtsen

ZiC

LRi 0

22

00

1=

−+=

ωωε

RCLtg )/1( ωωϕ −

=

Zi /00 ε=

R

ϕ ωL-(1/ ωC)

ωL 1/ ωC

i0

Zi00 =ε

Circuito RLC paralelo alimentado con ca

LC

R

i

tωεε sen0=

)(0 ϕω += tseniiLCR iiii ++=

tsenR

iR ωε 0=

tC

tsenC

iC ωωεπω

ωε cos

)/1()

2(

)/1(00 =+=

tL

tsenL

iL ωωεπω

ωε cos)

2( 00 −=−=

tL

tC

tsenR

tseni ωωεω

ωεωεϕω coscos

)/1()( 000

0 −+=+

0)cos( 00 =+−

Ritsen εϕω

0))/1(

(cos 000 =−+−

LCsenit

ωε

ωεϕω

Ri00cos εϕ =

)1(0

0

LC

isen

ωωεϕ −=

22 )/1(()/1(/1sen

LCRLCωω

ωωϕ−+

−=

RLCtg

/1/1 ωωϕ −

=

2200 )/1(()/1(1

LCRi

ωωε

−+=

ε0

1/R

ωC 1/ωL

ϕ

Resonancia en circuito RLC

22

00 1

−+

=

CLR

i

ωω

εC

LR

imáx ωωε 10 =⇒=

CL1

=ω

0 20 40 60 80 100 1200,00

0,05

0,10

0,15

0,20

0,25

0,30

0,35

0,40

0,45

0,50

0,55

0,60

0,65

V= 200 VL 20 HC=0,4 microF

R=10 Ohms

R=500 Ohms

R=1000 OhmsCor

rient

e m

áxim

a

Frecuencia (f)

fπω 2=

-2 0 2 4 6

-6

-4

-2

0

2

4

6

Cor

rient

e

Tiempo

cteω

)(0 ϕω += tseniitωεε sen0=

Circuito tanque (CT) RLC serie presenta algunas desventajas técni-cas como sintonizador (allí resonancia es i max)

En CT sintonía con i mínimo. Como VR será entonces mínimo, la V sobre // LC es máximaL

Ci R

iC iLdtdiLRiitsen L

CL ++= )(0 ωε

2

2

dtidLCi

Cq

dtdiL L

CCL =⇒= L

LL RidtdiL

dtidLRCtsen ++= 2

2

0 ωε

)(0 ϕω += tsenii LL

)coscos()cos(cos)coscos(

0

02

00ϕωϕωϕω

ϕωωϕωϕωωωεsenttsenRisentsen

tLisenttsenLRCitsenL

LL++−

++−=

0)coscos( 002

00 =+−−− ϕϕωϕωεω LLL RisenLiLRCitsen

0)cos(cos 002

0 =++− ϕϕωϕωω senRiLisenLRCit LLL

]cos)[( 200 ϕωϕωε senLRLRCi L −+−=

2tg

ωωϕLRCRL

−−

=

2ωLRCR −Lω

2/1222 ])()[(sen

LLRCRL

ωωωϕ

+−−

= 2/1222

2

])()[(cos

LLRCRLRCR

ωωωϕ+−

−=

LLL ZiLLRCRi 02/1222

00 ])()[( =+−= ωωεL

L Zi 0

0

ε=

)sen(202

2

ϕωω +−== tLCidtidLCi LL

C)(0 ϕω += tsenii LL

)sen()sen()1( 02

0 ϕωϕωω +=+−=+= titLCiiii LLC

Z

CL

CLRLLRCRLCi 0

2

222

02/1222

20

0

)1(

/])()[()1( ε

ωω

εωω

ωε=

−+

=+−

−=

01=⇒= i

LCsiω No hay caída en R y todo la tensión en //

Potencia en circuitos de alterna tωεε sen0= )(0 ϕω += tsenii

)sen(sen)( 00 ϕωωεε +== ttiitP

0 2 4 6 8 1 0 1 2 1 4 1 60

2

4

6

8

1 0

Po

ten

cia

en

tre

ga

da

T ie m p o

Sentido de potencia instantánea?

∫∫

∫∫+

=+==TT

TT

ttttTi

ttiT

dtiT

P

00

00

000

0

)sencossencossensen(

)sen(sen11

ϕωωϕωωεϕωωεε

Función impar

ϕε cos2

00iP =2/

2/

0

0

εε =

=

ef

ef ii Valores constantes de i y V que producen la misma potencia me-dia que la tensión de alterna

ϕcos Factor de potencia

220 V de línea es Vef: 310 de pico Al circuito inductivo o capacitivo (ϕ±π/2) no se le entrega potencia

ϕε cosefefa iP = Potencia activa (la que se disipa en R)ϕε seniP efefr = Potencia reactiva (la que oscila)

efefap iP ε= Potencia aparente Para una P requerida, a > cos ϕ < i. Multas por bajo cos ϕ. Se cobre VA

RiZRi efefef

2=ε

Elementos en serie ∑= )()( tVtV k

Tratamiento con números complejos

Elementos en paralelo )()( titi k∑=

jbasenje j +=+==Ε 10100 cos1 ϕεϕεε ϕ

jdcsenjiieiI j +=+== 20200 cos2 ϕϕϕ

Se definen tensión y corriente complejas

220 baE +== ε a

barctg=1ϕ

220 dciI +== )/(2 dcarctg=ϕ

)Re( tjEeV ω=

)Re( tjIei ω=

∑≠ 00 kVV ∑≠ 00 kii

En R joeR

I 0ε=

En C )2/(0

πωε jCeI =

En L )2/(0 π

ωε jeL

I −=

tωεε cos0=Si

L

C

RY*Z*YZ

RI /0ε=

CjI ωε 0=

)/( 0 LjI ωε−=

Cω/1

R RR/1 R/1

Cω Cj

ω−

Ljω

Cjω

LωLω

1Lj

ω−

])Re[( 2121tjeIIii ω+=+

22

2

)/1(cos

CRR

ZRVR

ωϕ

ε +==

Pasa altos y pasa bajosVR

VC

tωεε sen0=

)(sen0 ϕω += tii 2200 )1( CRi ωε +=

RCωϕ 1tg =

)(sen)( 0 ϕωε +==∆ tZRiRVR

∫ +−== )(cos0 ϕωω

tidtiq

)cos()( 0 ϕωωε +−==∆ tCZCqVC

+= ∫ ∫τ τ

ϕωω

ϕωετ

εε 0 00

0 sencotsen

cossen)( dttgdtt

tZRVR

−

−= ∫ ∫

τ τ

ωϕω

ωϕω

ετωε

ε 0 00

0

sensensen

sencoscos)( dt

ttdt

ttCZVC

00 →ωsi

∞→ωsi1

22

2

)/1()/1(sen/1CR

CZCVC

ωωϕω

ε +==

01 →ωsi

∞→ωsi0

0 2 4 6 80,3

0 ,4

0 ,5

0 ,6

0 ,7

0 ,8

0 ,9

1 ,0

Ga

na

nci

a

F recuencia

0 2 4 6 8

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

Gan

anci

aFrecuencia

Filtro Pasa Alto

FiltroPasaBajo