Calcolo differenziale per funzioni di piuvariabili

Riccarda Rossi

Universita di Brescia

Analisi Matematica B

Derivate direzionali e parziali

Consideriamo un insieme aperto Ω ⊆ Rn e un campo scalare

f : Ω→ R.

Sia v ∈ Rn un versore, cioe un vettore di lungheza unitaria:‖v‖ = 1.

DefinizioneSia x0 ∈ Ω. Chiamiamo il rapporto incrementale di f nelladirezione v e nel punto x0 la quantita

f (x0 + tv)− f (x0)

tt ∈ R.

Derivate direzionali e parziali

DefinizioneSe esiste finito, il limite

limt→0

f (x0 + tv)− f (x0)

t

e detto derivata direzionale di f in x0 nella direzione v e si indicacon

∂f

∂v(x0), Dv f (x0).

In questo caso f si dice derivabile in x0 nella direzione v .

Nella definizione precedente intervengono solo i valori di f lungola retta x0 + tv . Dunque l’esistenza della derivata in una direzionenon garantisce l’esistenza della derivata in un’altra direzione!

Derivate direzionali e parziali

DefinizioneSe v = ei (il versore i−esimo della base canonica), la derivatadirezionale e detta derivata parziale di f rispetto a xi e si indicacon

∂f

∂xi(x0), Di f (x0).

In Di f varia solo la variabile xi . Quindi per il calcolo si puopensare alle altre variabili come a delle costanti ed applicare leregole di derivazione valide per le funzioni di una sola variabile.

Il caso di funzioni di due variabili

Il caso di funzioni di due variabili

Interpretazione geometrica

Interpretazione geometrica

Interpretazione geometrica

Derivate direzionali e parziali: esempi1. Sia f : R2 → R data da

f (x , y) = x3 sin(y2).

2. Sia f : R3 → R data da

f (x , y , z) = x3 − 5x y2 + 4 sin(x + ez) + z cos y .

3. Sia f : R2 → R definita da

f (x , y) =

x y

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

Attenzione! Sarebbe sbagliato calcolare le derivate parziali nelpunto (0, 0) come limiti delle derivate ∂f

∂x (x , y) e ∂f∂y (x , y). In

generale non vale

∂f

∂x(0, 0) = lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x(x , y) NO!

∂f

∂y(0, 0) = lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y(x , y) NO!

perche a priori non abbiamo nessuna informazione circa lacontinuita delle derivate parziali nel punto (0, 0). In effetto,nell’esempio precedente si ha

lim(x ,y)→(0,0)

∂f

∂x(x , y) @ lim

(x ,y)→(0,0)

∂f

∂y(x , y) @

Derivabilita direzionale e continuita

A differenza delle funzioni di una sola variabile, nel caso di funzionidi piu variabili l’esistenza delle derivate parziali non garantisce lacontinuita : abbiamo visto che la funzione

f (x , y) =

x yx2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

ammette entrambe le derivate parziali nel punto (0, 0). D’altraparte si vede facilmente che f non e continua in (0, 0):

Nemmeno l’esistenza di tutte le derivate direzionali garantisce lacontinuita :

Esempio

Sia f : R2 → R definita da

f (x , y) =

0 se y ≤ 0 oppure y > x2

1 se 0 < y ≤ x2.

Risulta che f ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), manon e continua in (0, 0).

Percio e necessario introdurre una nozione piu forte delladerivabilita direzionale: la differenziabilita.

Funzioni differenziabili

Consideriamo per semplicita solo i campi scalari.

DefinizioneSia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Siainoltre x ∈ Ω e supponiamo che f ammetta tutte le derivateparziali in x . Il vettore

∇f (x) = grad f (x) =

(∂f

∂x1(x),

∂f

∂x2(x), . . . ,

∂f

∂xn(x)

)si chiama gradiente di f nel punto x .

Notiamo che∇f : Ω→ Rn.

Funzioni differenziabili

DefinizioneSia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Siainoltre x0 ∈ Ω. Diciamo che f e differenziabile in x0 se esisteλ(x0) ∈ Rn tale che

f (x) = f (x0) + λ(x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (1)

Diciamo che f e differenziabile in Ω se e differenziabile in ognipunto di Ω.

Ricordiamo il significato della notazione o(‖x − x0‖) :

h(x) = o(‖x − x0‖) per x → x0 ⇔ limx→x0

h(x)

‖x − x0‖= 0.

Funzioni differenziabili

Teorema (Caratterizzazione della differenziabilita)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R un campo scalare. Siainoltre x0 ∈ Ω. Allora f e differenziabile in x0 se e solo se fammette tutte le derivate parziali in x0 e se

limx→x0

f (x)− f (x0)−∇f (x0) · (x − x0)

‖x − x0‖= 0. (2)

Quindi f e differenziabile in x0 se vale (1) con λ(x0) = ∇f (x0):

f (x) = f (x0) +∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖), x → x0, (3)

Differenziabilita per funzioni di una variabile

Differenziabilita per funzioni di due variabili

Proprieta delle funzioni differenziabili

Teorema (Differenziabilita e continuita )

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e continua in x0.

Il viceversa e in generale falso: la continuita non implica ladifferenziabilita !

Dimostrazione:

Teorema (Differenziabilita e derivabilita )

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia f : Ω→ R. Sia inoltre x0 ∈ Ω. Se f edifferenziabile in x0, allora f e derivabile in x0 lungo ogni direzionev e vale

Dv f (x0) = ∇f (x0) · v

Dimostrazione:

Proprieta delle funzioni differenziabiliAnche in questo caso non vale il viceversa: derivabilita in ognidirezione non implica differenziabilita .

Esempio

La funzione

f (x , y) =

x2 y

x2+y2 (x , y) 6= (0, 0)

0 (x , y) = (0, 0)

ammette tutte le derivate direzionali in (0, 0), ma non edifferenziabile in (0, 0).

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di una variabile

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di una variabile

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di DUE variabili

Interpretazione geometrica della differenziabilita perfunzioni di DUE variabilI

Teorema (Differenziabilita di somme e prodotti)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Siano f , g : Ω→ R duefunzioni differenziabili in x0. Allora sono differenziabili in x0 anchele funzioni somma f + g e prodotto f g .

Teorema (Differenziabilita della composizione)

Sia Ω ⊆ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzionedifferenziabile in x0. Sia inoltre ϕ : R→ R una funzionedifferenziabile in f (x0) ∈ R. Allora la funzione compostaϕ f : Ω→ R e differenziabile in x0 e vale

ϕ(f (x)) = ϕ(f (x0)) + ϕ′(f (x0))∇f (x0) · (x − x0) + o(‖x − x0‖),

per x → x0.

Teorema (Teorema del differenziale totale)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia x0 ∈ Ω. Sia f : Ω→ R una funzione.Supponiamo che f ammetta in Ω tutte le derivate parzialiDi f , i = 1, .., n, e che esse siano continue in x0. Allora f edifferenziabile in x0.

Non vale il viceversa

Definizione (Funzioni di classe C 1)

Sia Ω ⊂ Rn un aperto e sia f : Ω→ R una funzione. Diciamo chef e di classe C 1 se esistono le derivate parziali di f in Ω ed essesono funzioni continue. L’insieme delle funzioni di classe C 1 da Ωin R si indica con il simbolo C 1(Ω).

Nel loro dominio naturale sono di classe C 1 tutte le funzionielementari e le loro composizioni; per esempio polinomi, funzionirazionali fratte, logaritmi etc.

Dal Teorema del differenziale totale segue che ogni funzione diclasse C 1(Ω) e differenziabile in Ω. Piu in generale abbiamo ilseguente schema riassuntivo:

f ∈ C 1(Ω) ⇒ f differenziabile in Ω ⇒

f continua in Ω

∀ v ∈ Rn : ∃Dv f