Aula 2Aula 2A matemática do movimento ondulatórioA matemática do movimento ondulatório

Referência: E. Hecht, óptica, Fundação Calouste Gulbekian, segunda edição portuguesa (2002);

Muitos fenômenos físicos, aparentemente distintos, podem ser descritosmatematicamente em termos de ondas.

O aspecto essencial da propagação de uma é que esta consiste numaperturbação auto-sustentada do meio através do qual se propaga.

Se há propagação, a perturbação deve ser expressa como função do espaço e do tempo:

),( txf=ψ(ψ lê-se psi)

A forma da perturbação em qualquer instante, obtem-se particularizando o valor da variável tempo: (por exemplo t =0)

)()0,(|),( 0 xfxftx t ===ψ

Representa a forma (perfil) da onda

0 2 4 6 8 10

0,0

0,2

0,4

0,6

0,8

1,0

F1

0,1010101010101

S S'

vt

x'

vS’ se desloca com o pulso com a mesmaVelocidade v. Neste sistemaψ (psi) não é função do tempo, ψ = f(x’)

S é um sistemafixo

Considere um pulso caminhando para a direita

x

X’= X -Vt

x X’

Com base no slide anterior

)()'(),( vtxfxftx −==ψ

Esta equação representa a forma mais geral da função de onda emuma dimensão.

Basta apenas escolher a forma f(x,o) =f(x) e substituir x por (x-vt) em

f(x)!

Do mesmo modo, se a onda se desloca para a esquerda:

)(),( vtxftx +=ψ Com v > 0

Isto permite obter a forma geral da equação de ondas a uma dimensão:

'

'

' x

f

x

x

x

f

x ∂∂

=∂∂

∂∂

=∂∂ψ

x’= x ±vt

= 1

Se x se mantiver constante, a derivada parcial de ψ(x,t) no tempo é:

'

'

' x

fv

t

x

x

f

t ∂∂

±=∂∂

∂∂

=∂∂ψ

±v

Combinando ambas as equações:

xv

t ∂∂

±=∂∂ ψψ

Mas como são necessárias duas constantes para especificar totalmente umaonda , a equação mais geral deve ser de segunda ordem. Calculando assegundas derivadas parciais:segundas derivadas parciais:

2

2

2

2

'x

f

x ∂∂

=∂∂ ψ

∂∂

∂∂

±=

∂∂

±∂∂

=∂∂

t

f

xv

x

fv

tt ''2

2ψ

Uma vez que

dt

df

dt

d=

ψ

xv

t ∂∂

±=∂∂ ψψ

E lembrando que

xv

t ∂±=

∂

2'

22

2

2

x

fv

t ∂∂

=∂∂ ψ

Então

Combinando estas equações, obtemos:

2

2

22

2 1

tvx ∂∂

=∂∂ ψψ

A equação de ondas!

Que admite soluções da forma

)()( vtxBgvtxAf ++−=ψ

FASE E VELOCIDADE DE FASEFASE E VELOCIDADE DE FASE

ψ (x,t) = A sen (kx±ωt +ε)

Fase ϕ = kx±ωt +εωϕ=

∂∂

Variação da fase com o tempo Fase ϕ = kx±ωt +ε

Constante de fase

kv

dt

dx

dt

dxk

dt

d

kx

t

ω

ωϕ

ϕ

ω

±==

=±=

=∂∂

=∂

0

Variação da fase com o tempo

Variação da fase com a posição

fase constante

velocidade de fase

VELOCIDADE DE GRUPOVELOCIDADE DE GRUPO

Em meios dispersivos a velocidade de fase depende do comprimento de onda .

dk

dvg

ω=

dk

A moduladora, ou sinal, propaga-se a uma velocidade vg , que pode ser superior, igual ou inferior à velocidade de fase da transportadora, v

dk

dvkvv

kv

g +=

=ωcomo

então

Em particular em meios não dispersivos em que v não

depende de λ,

dv/dk =0 e vg = v

Em meios dispersivos onde n = n(k) , ω =kv =kc/nvg pode ser escrito na forma:vg pode ser escrito na forma:

−=

−=

dk

dn

n

kvv

dk

dn

n

kc

n

cv

g

g

1

2

−=

−=

dk

dn

n

kvv

dk

dn

n

kc

n

cv

g

g

1

2

Em meios óticos e em regimes de dispersão normal, o índice de refração aumenta com a frequência(dn/dk > 0 ), logo vg < v. (dn/dk > 0 ), logo vg < v.

Podemos definir então um índice de refração de grupo,

ng = c/vg

A relatividade restrita não permite a propagação de sinais com velocidade superior a c. Todavia, em certas circunstâncias a velocidade de fase pode ser maior do que c. A contradição é apenas aparente, e resulta do fato de uma onda monocromática, apesar de se poder propagar a uma velocidade superior à da luz no vácuo, c, não poder transportar informação.

Dispersão em grupos bicromáticos de ondas. O ponto vermelho move-se com velocidade de fase enquanto que o ponto verde se propaga com velocidade de grupo. Neste caso, a velocidade de fase é duas vezes a velocidade de grupo. O ponto vermelho ultrapassa dois pontos verdes.

A velocidade de grupo é frequentemente vista como avelocidade na qual a energia e a informação são transportadasna onda.

No entanto, se a onda está atravessando um meio absorverdor,isto nem sempre é verdade. Vários experimentos mostram queé possível que a velocidade de grupo de uma luz laser em certosmateriais podem exceder a velocidade da luz no vácuo!

Mas a comunicação superluminal não é possível, pois aMas a comunicação superluminal não é possível, pois avelocidade do sinal permanece menor do que a velocidade daluz. É possível também reduzir a velocidade de grupo da luz azero, parando o pulso, ou ter uma velocidade de grupo negativa,parecendo que o pulso se propaga para trás.

Mas, em todos estes casos, os fótons continuam se propagandocom a velocidade da luz no meio.

Atenção!Atenção!

REPRESENTAÇÃO COMPLEXAREPRESENTAÇÃO COMPLEXA

Im(z)

y z = x + iy

Re(z)x

θ i2 = -1

REPRESENTAÇÃO COMPLEXAREPRESENTAÇÃO COMPLEXA

Im(z)

y

x = r cosθ

y = r senθ

z = r(cosθ + i senθ)

z

r

Re(z)x

θ

r

z = r(cosθ + i senθ)

dz = r(-senθ +i cosθ) dθ

dz =i r(isenθ+cosθ)dθ

dz =izdθ

diferenciando

Colocando i em evidência

Re-escrevendo em termos de z dz =izdθ

dz/z=idθ

lnz=iθ

z= reiθ

Re-escrevendo em termos de z

Fórmula de Euler

z= reiθ

Módulo de z |z| = r|z| = r

Complexo conjugado

z* = re-iθ

z* = x -iy

Adição e subtração:

z1 ± z2 = (x1 + x2 ) ± i(y1 + y2)

Multiplicação e divisão:

Z1 .Z2 = r1 r2 ei(θ1

+θ2

)

Z1 /Z2 = (r1 /r2 )ei(θ1

-θ2

)

Temos ainda:

ii

zzzz

isenee

zzz

eee

−=+==

=

=

−

+

ππ ππ 1cos

*

2121

0

ziziz

i

ii

eeee

ie

isenee

==

±=

−=+==

+

±

−

ππ

π

ππ ππ

22

2

1cos

Z = Re(z)+i Im(z)

Re(z) = ½ (z + z*)

Im(z)= (1/2i)(z - z*)

Então, quer a parte real, quer a parte imaginária podem representar ondas harmônicas. É habitual escolher a parte real, e descrever a onda como...

( )[ ]( ) ϕ

εω

εωψ

ψi

kxti

AekxtAtx

Aetx

=+−=

= +−

cos),(

Re),(

Apenas no final dos cálculos se extrairá a parte real das equações.

ONDAS PLANASONDAS PLANAS

Constituem provavelmente os mais simples exemplos de ondas tridimensionais.

Para ondas planas, as superfícies de igual fase são planos, em geral perpendiculares à direção de propagação da perturbação

kr

(x,y,z)

rr

orr

(xo ,yo ,zo )

( )orrrr

−

( ) 0=−⋅ orrkrrr

A forma mais reduzida da equação do plano perpendincular à k é

k.rk.r =constante = a

É possível construir um conjunto de planos para os quais ψ(rr) dependa senoidalmente das variáveis espaciais:senoidalmente das variáveis espaciais:

rkiAer

rkAr

rkAsenr

rrr

rrr

rrr

.)(

).cos()(

).()(

=

=

=

ψ

ψ

ψ

A natureza periódica das funções harmônicas no espaço pode ser expressa na forma:

)ˆ()( krr λψψ +=rr

λrr

kr

λ

kk

k ˆˆ

λλ =

r

( )

πλ

λψψ

πλ

λλ

2

1

)ˆ()(

2

.ˆ..

=

==

==

+=+

k

ee

eAeAeAe

krr

iki

kirkikrkirkirrrrrr

rr

λππλ

2

2

=

=

k

k

Para que os planos de igual fase se propaguem é necessário que ψ (rr) varie no tempo, o que se consegue introduzindo a dependência temporal :

[ ]

[ ].

)( .

=

±=

= ±

φωφ

ψ ω

const

trk

Aer trki

rr

r rr

fase

0

0

=±=

=

=

ωφ

φφ

dt

drk

dt

d

dt

d

const

dr

dt

drk

dt

d

ω

ωφ

=±= 0

kv

dt

drfase

ω±==

( )tzkykxki zyxAetzyxωψ ±++=),,,(

Uma onda plana harmônica é representada em coordenadas cartesianas, na forma:

ou

( )[ ]tzyxkiAetzyx ωγβαψ ±++=),,,(

ou

Onde α,β, e γ são os co-senos diretores de kk

kr

z

1222

222

=++

++==

γβα

zyx kkkkkr

kr

x

y

θ

ϕ

Problema 2.19 (Hecht)

ONDAS ESFÉRICASONDAS ESFÉRICAS

z

θ

r

rr

θθθθθθθθ

x = r senθ cosϕy = r senθ senϕz = r cosθ

x

yϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

2

2

222

2

2

2 111

φθθθ

θθ ∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇senr

sensenrr

rrr

O laplaciano em coordenadas esféricas:

Procura-se construir uma descrição de ondas esféricas, ou seja,

ψ ( rr ) = ψ (r, θ, φ) = ψ ( r)

2

2

222

2

2

2 111

φθθθ

θθ ∂∂

+

∂∂

∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇senr

sensenrr

rrr

0 0

∂∂

∂∂

=∇r

rrr

ψψ 2

2

2 1

Onda esférica harmônica:

)(cos),( vtrkr

Atr ±

=ψ

ONDAS CILÍNDRICASONDAS CILÍNDRICAS

coordenadas cilindricasz

ρ ρρρρρρρρ

zz

x = θρ cos

x

yθθθθθθθθ

θ

zz

seny

=

= θρ

ONDAS CILÍNDRICASONDAS CILÍNDRICAS

O Laplaciano em coordenadas cilindricas é

2

2

2

2

2

2 11

z∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇ψ

θψ

ρρψ

ρρρ

ψ

A simetria cilíndrica traduz-se pela seguinte exigência:

ψ(rr) = ψ(ρ,θ, z) =ψ (ρ)

2

2

2

2

2

2 11

z∂∂

+∂∂

+

∂∂

∂∂

=∇ψ

θψ

ρρψ

ρρρ

ψ

0 0

2

2

2

2 11

tv ∂∂

=

∂∂

∂∂

=∇ψ

ρψ

ρρρ

ψ

Equação de onda em coordenadas cilíndricas

Qual deve ser a forma de ψ (rr) das soluções desta equação ?

( ) ( )vtriker

Atr m≈,ψ

Esta equação representa um conjunto de cilindros coaxiais que preenchem todo o espaço e que se afastam ou se aproximam de um fonte linear de comprimento infinito situada no eixo.

ONDAS ESCALARES E ONDAS VETORIAISONDAS ESCALARES E ONDAS VETORIAIS

Ondas longitudinais

As ondas classificam-se em

Ondas transversais

classificam-se em

Dependendo da direção ao longo do qual a perturbação ocorre e a direção dekk

A luz é uma onda transversa e a compreensão correta da sua natureza vetorial é de importância extrema. A polarização da luz é um fenômeno que só pode ser descrito em termos deste modelo de onda vetorial.

Emissão e absorção de ondas: Impedância Emissão e absorção de ondas: Impedância

Vamos examinar o mecanismos pelos quais ondas são emitidas por umtransmissor e refletidas quando encontram uma descontinuidade no meio.

u(t) → velocidade de saída do transmissor

Velocidade transversal da mão

Velocidade longitudinal da mão

-

-

-

-

Velocidade de oscilação das cargasem uma antena

Z-

-

No caso de ondas eletromagnéticas em linhas de transmissão, ou circuitos, a velocidade das cargas do gerador é proporcional à corrente :

u(t) ∝ i(t)

i(t)

Impedância caracteristíca (no caso eletromagnético)

V(t)

)(

)(

ti

tVZ =

No caso mecânico:

)(

)(

tu

tFZ =

[Z] = Ω

[Z] ≠ Ω

Força impulsora

Veremos que a impedância característica depende das mesmas duas propriedades do meio assim como a velocidade de propagação, v, ou seja, a propriedade tipo “inércia” e a propriedade tipo “força de retorno” .

A impedância característica Z, existe somente, porque o transmissor está acoplado a um meio aberto e está emitindo ondas. O meio aberto atua como uma “impedância resistiva de carga”.

Potência irradiada: Potência irradiada:

P(t) = F(t)×u(t) = Z × u(t)2 = F(t)2 /Z (mecânica)

P(t) = V(t) × I(t) = Z × I(t)2 = V(t)2 /Z (eletromagnética)

fonte

x = 0

x= + ∞Meio aberto

(Não há reflexão )ZentradaZ

fonte

x = 0

ZentradaZ

Zsaida = Z

Casamento de impedância(Não há reflexão)

Equivale à

fonte

x = 0

Zentrada

Z

Zsaida ≠ Z

sem casamento de impedância(há reflexão)

ZZ −=

21

2112

ZZ

ZZR

+−

=

Coeficiente de reflexão Z1 Z2

Emissão e absorção de ondas em uma corda contínuaEmissão e absorção de ondas em uma corda contínua

y

y

x∆x

T-T

1

yTTtgTsen∂

=≈

<<

θθ

θ

y

x

T

T

θ(x +∆x)

θ(x )

x x +∆x

2

2

2

2

2

2

0

),(),(

),(),(),(

lim),(),(

t

txyx

x

txyxT

amF

x

txyxT

x

txx

ytzx

x

y

xTtxx

yTtzx

x

yT

x

yTTtgTsen

x

∂∂

∆=∂

∂∆

•∆=

∂∂

∆=

∆∂∂

−∆+∂∂

∆=∂∂

−∆+∂∂

∂∂

=≈

→∆

µ

θθ

µ

θθ

θ

txyx

txyxT

amF

x

txyxT

x

txx

ytzx

x

y

xTtxx

yTtzx

x

yT

x

yTTtgTsen

x

∂∆=

∂∆

•∆=

∂∂

∆=

∆∂∂

−∆+∂∂

∆=∂∂

−∆+∂∂

∂∂

=≈

<<

→∆

),(),(

),(),(),(

lim),(),(

1

22

2

2

0

Segunda Lei de Newton

Força resultante vertical

µ

µ

µ

Tv

t

txy

vx

txy

t

txy

Tx

txy

t

txyx

x

txyxT

=

=∂

∂−

∂∂

=∂

∂−

∂∂

∂∂

∆=∂

∂∆

0),(1),(

0),(),(

),(),(

2

2

22

2

2

2

2

2

22

Divindo por ∆x, temos:

Comparando com a Equação de onda

Temos:

θ(x)

y

x

∆y

∆x

v

ty

tx

ty

x

ytg ∂

∂=

∆∆∆

∆=

∆∆

=θ

µµ

θ

Tvv

TZ

t

yZ

v

ty

TTtgtF

===

∂∂

=∂∂

==)(

Reflexão de uma onda em um meio não casadoReflexão de uma onda em um meio não casado

Z1

u

velocidade

x=0x=-∞

)cos( kxtAy −= ω

Pistão(força de arrasto)

F = -Z2 u

Z2u)cos( kxtAyincidente −= ω

)cos(12 kxtARyrefletida += ω

)cos()cos(),( 12 kxtARkxtAtxy ++−= ωωµ1 µ2

y

x

Condições de contorno em x=0

A corda exerce uma força na carga dada por:

∂

∂−=

x

tyTaccordaF

),0()arg/(

A força exercida pela carga na corda é:

∂ ty ),0(

∂

∂−=

t

tyZcordaacF

),0()/arg( 2

Mas, de acordo com a terceira lei de Newton:

02 =∂∂

+∂∂

t

yZ

z

yT

F12 = - F21

Inserindo a função de onda na equação acima, temos:

Tksen(ωt)-TkR12 sen(ωt) – Z2ω sen(ωt)- Z2ωR12 sen(ωt)=0

Onde k=ω/v

ZZZT −−

21

21

2

2

12ZZ

ZZ

Zv

T

Zv

T

R+−

=+

−=

Casos limites:

Casamento de impedância:

Z1 = Z2 → R12 = 0

extremidade fixa

Z2 = ∞ → R12 = -1 21

2112

ZZ

ZZR

+−

=

Ondas de somOndas de som

xx = 0

p = po , ρ = ρo

D(t)

p = po + ∆p

Velocidade do pistão = u(t) = dD(t)/dt

ψ(x,t) = ∆x(x,t) → representa o deslocamento instantâneo na direção x de uma pequena quantidade de gás (x representa a posição de equilíbrio)

o

o

PvZ

Pv

ργρ

ργ

==

=

ooo PvZ ργρ ==

Zar = (1,29 × 10-3 g/cm3 ) ×(3,32 ×104 cm/s) = 42,8 g/cm2 . s

Z é a quantidade de massa por unidade de área por unidade de tempo que é varrida pela frente de onda.

Cabos coaxiaisCabos coaxiais

=a

buL ln

2π[H/m]

=

a

bC

ln

2πε[F/m]

Circuito equivalente de uma unidade de linha de transmissão

Cabo ideal

Cabo real

t

tzIzLtzzIRtzV

∂∂

∆−∆−=∆),(

),(),(

tzV∂ ),(

t

tzVzCtzzVGtzI

∂∂

∆−∆−=∆),(

),(),(

Dividindo por ∆Z e levando no limite ∆Z→ 0, encontramos as equações diferenciais

t

ILRI

z

V

∂∂

−−=∂∂

VI ∂∂t

VCGV

z

I

∂∂

−−=∂∂

Diferenciando com respeito a z e t, e substituindo, as equações podem ser desacopladas e resulta em

RGVt

VRCLG

t

VLC

z

V+

∂∂

++∂∂

=∂∂

)(2

2

2

2

O cabo ideal sem perdas (R = G =0 )

2

2

2

2

t

VLC

z

V

∂∂

=∂∂

)(

2

)(

1)( kztikzti eVeVzV +− += ωω

LCv

1==

κω

Velocidade de propagação

LC = µε

A velocidade de propagação do sinal éA velocidade de propagação do sinal éfreqüentemente expressa em termos de seu inverso,o tempo de propagação por unidade de comprimentoT=T= vv--11 == (LC)(LC)11//22. Esta quantidade é conhecida comoo atrasoatraso (delay) do cabo e é tipicamenteda ordem de 55 ns/mns/m para um cabo padrão de 50 Ω.

Impedância Característica

I

VZo =

C

LZo =

R

Z

R

Z

Zs

Vs

osos IZVV +=

oo ZIV =

Interface z = 0

oo ZIV =

ZZ

ZVV

s

so +=

( ) ( )kzwti

r

kzwti

o eVeVtzV −+ +=),(

( ) ( )kzwtirkzwtio eZ

Ve

Z

Vtzi −− −=),(

),(),( toRitoV =

na interface z = 0

R

Z

R

Z

Zs

Vs

Interface z = 0

),(),( toRitoV =

( ) ( ) ( ) ( )[ ]wti

r

wti

o

wti

r

wti

o eVeVZ

ReVeV −=+

( ) ttroro RIVVVZ

RVV ==−=+

ZR

ZR

I

I

V

VR

o

r

o

r

+−

=−==12

ZR

R

V

VT

o

t

+==

2

Casador de impedâncias

Lista

Hecht capítulo 2 –

Exercícios segundo a sequência de Fibonacci

PURPOSE: To demonstrate the relationship between the phase velocity and the group velocity of a wavepacket.

DESCRIPTION: Two transparencies contain a series of equally spaced parallel lines. One transparency has a line spacing five percent smaller than the other. Place one transparency stationary onto the overhead, as shown in the photo above at left. Place the second transparency on top of the first and tilt it to create a small angle. Observe an interfernce pattern between the two overlapping transparencies, as shown above in the middle photo. The smaller the angle between the two transparencies the better the effect.Keeping the first transpareny stationary, slide the second transparency across the OHD projector. The group velocity is seen to move rapidly across the picture, as shown in the photo at right. The movement of the phase velocity (motion of each transparency) is much slower than the fast moving group velocity.

EQUIPMENT: Transparencies, overhead projector.

SETUP NOTES: None.

To make your own transparencies, here is a jpg file of the parallel lines. To make your own demo, download this file and print it on your printer. Next, use a copy machine to make a one 1:1 transparency. Lastly, adjust the copy machine to zoom a 5% reduction, and make a second transparency. Now you have the demo!References:Robert Katz, Group-Phase Velocity Demonstrator, AJP 21, 388-389 (1953). Eric Mendoza, Storm at Sea - An Illustration of Group Velocity, AJP 22, 208-211 (1954). P. T. Demos, Device for the Visual Presentation of Group Velocity, AJP 25, 383-384 (1957). N. F. Barber, Phase Velocity and Group Velocity, AJP 27, 120 (1959). J. Mawdsely, Demonstrating Phase Velocity and Group Velocity, AJP 37, 842-843 (1969).

John Coenraads, notes: Phase and group velocity, TPT 11, 36-37 (1973).