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Leonardo Flores Corona
23 de julio de 2019, Aguascalientes, Ags.
Análisis con el método
de columna ancha
2Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Método simplificado (hasta las NTCM-2004)
Para estructuras a base de muros
Limitaciones (HTot ≤ 13 m, L/B ≤ 2,…etc.)
Suma de resistencias de muros en una
planta en cada dirección ΣVR,i
Revisión Vu ≤ ΣVR,i
Método estático
V0 = WT c/Q’, usar acc. espectral a=f(T)
distribuir fuerzas por piso Fi
Métodos dinámicos
Modal espectral
Análisis Paso a paso
Métodos para análisis sísmicos
3Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Muros regulares: columnas anchas.
Distribución compleja: elementos finitos, puntales y
tensores, etc...
Muros diafragma: como diagonal equivalente o como
paneles unidos en las esquinas con el marco.
Prototipo Columna ancha Elemento finito
Métodos de análisis refinados
4Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
www.smie.org.mx
Análisis de estructuras de mampostería
Acciones de diseño
Fenómeno sísmico
6Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Tiempo t, sAceleración del terreno
-200
-100
100
200
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Acele
ració
n
0
F=m·a
m
V
Aceleración del terreno m
k
a
Aceleración del terreno
Efecto del sismo en las estructuras
7Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Fm = m·a
Fc = c·v
Fk = k·u
k
Fk
u
1
c
Fc
v
1
m a + c v + k u = 0
Ecuación de equilibrio dinámico
Ecuación de equilibrio dinámico
m
Fk
Fa
Movimiento del terreno
Fc
u
s
c
k
8Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Terreno (T 0 s)
T1
T2
T3
T1 T2 T3
Periodo de vibrar, seg
Re
sp
ue
sta
(a
, v,
d, e
tc.)
k3
m3
k2
m2
k1
m1
T =2 m/k
Espectro de respuesta
9Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
-400
-300
-200
-100
100
200
300
400
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo t, s
Ac
ele
rac
ión
-400
-300
-200
-100
100
200
300
400
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200
Tiempo t, s
Ac
ele
rac
ión T = 1.4 s
Terreno (T 0 s)m
V
F=m·a
Espectro
de respuesta
0
200
400
600
800
1000
0 0.5 1 1.5 2Periodo T, s
Sa
, cm
/s²
0
0
Aceleración espectral
10Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
0
0.2
0.4
0.6
0.8
0 1 2 3 4 5
Periodo T, s
Ace
lera
ció
n S
a/g
(Reinoso y Jaimes, 2009)
Espectro de diseño
11Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
si {u} vector de desplazamientos
{ u} vector de velocidades
{ü} vector de aceleraciones s aceleración del terreno
Sistema de múltiples grados de
libertad.- Ecuación de equilibrio
dinámico
𝑴 𝒖 + 𝑪 𝒖 + 𝑲 𝒖 = −[𝑴]{𝑱} 𝒔
[M] matriz de masas
[C] matriz de amortiguamientos
[K] matriz de rigideces
{J} vector de unos en los grados de libertad
mn
m2
m1
kn
k2
k1
1
2
n…
GDL
12Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Solución ecuación matricial, caso
vibración libre no amortiguada
𝑴 𝒖 + 𝑲 𝒖 = {𝟎}
La solución es una configuración de desplazamientos (forma
modal) con una frecuencia particular para cada modo.
1er 2° 3er
El movimiento es armónico simple:
u = a sen ωt
ü = –ω² a sen ωtLa aceleración es:
Sustituyendo:
𝑲 𝒂 − ω² 𝑴 𝒂 = {𝟎}
a
Que tiene solución no trivial cuando:
| 𝑲 − ω² 𝑴 | = 𝟎 (el determinante sea cero)
13Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
1er modo
T1
2° modo
T2
3er modo
T3
Análisis dinámico: formas modales
14Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
1er modo + 2° modo + 3er modo +… Σ = Final
Análisis dinámico:
superposición modal
15Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Vi = Ve / Q’
Desplazamientos iguales Áreas iguales
Vy
y u
μ =u / y
Ductilidad
Reducción de fuerza elástica
k = Ve / e
Rigidez
e
Ve
Ve / 1.5
Ve / 2
Ve / 4
k1
e
Ve
Ve / 2.6
i
k1
Reducción de fuerzas sísmicas
16Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Reducción de fuerzas sísmicas
𝑅 = 𝑘1𝑅0 + 𝑘2
𝑅0 = 2, para mampostería (factor básico de sobrerresistencia);
𝑘1 = 1, para mampostería (factor de corrección por hiperestaticidad)
𝑘2 = 0.5 1 −𝑇
𝑇𝑎
1
2> 0 factor para estructuras pequeñas y rígidas
17Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 1 2 3 4 5
Periodo T, s
Sa
/g =
a/Q
'
1
1.5
2
3
4
Zona III b
Q = 1
Q = 1.5
Q = 2
Q = 3
Q = 4
si T ≥ Ta, o T=?
Q’ = Q
si T < Ta
Q’ = 1+T/Ta (Q-1)
Reducción fuerzas sísmicas
18Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Límites de altura y tipo de análisis,
NTC-S, RCDF (2017)Para Grupo A.- No se admite el método estático
Para Grupo B.- Se admite para:
Estructura regular: HT 30 m en zona II o III
HT 40 m en zona I
Estructura irregular: HT 20 m en zona II o III
HT 30 m en zona I
Estructura muy irregular: No se admite
Sin diafragma rígido y simetría: No se admite
Análisis dinámico modal espectral.-
En cualquier caso menos si requiere DNLPP:
Debe analizarse como dinámico no lineal paso a paso (DNLPP) si:
Estructura regular: HT > 120 m en zona II o III
Estructura irregular: HT > 100 m en zona II o III
Estructura muy irregular: HT > 80 m en zona II o III
19Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
1) Muros/marcos paralelos a X, Y (≤ 15°)
2) H / Bmín ≤ 4
3) L / B ≤ 4
4) Entrantes y salientes: dim ≤ 20% planta
5) Sistema de piso rígido y resistente
6) Área de aberturas ≤ 20% planta y no difiere de
piso a piso (salvo azotea)
7) Peso ≤ 120% piso inferior
8) Dimensión ≤ 110% piso inmediato inferior
Dimensión ≤ 125% cualquier piso inferior
9) Columnas restringidas en todo piso (losa/vigas)
Condiciones de Regularidad
(NTC-S, RCDF, 2017)
20Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
10) Columnas de entrepiso de misma altura (salvo az.)
11) Rigidez difiere ≤ 20% piso inmediato inf. (salvo az.)
12) Desplaz. lat. planta ≤ 120% prom. de los extremos
13) (VR/Vu)piso i ≥ 0.85 prom(VR/Vu)todos si Q = 4
(VR/Vu)piso i ≥ 0.75 prom(VR/Vu)todos si Q ≤ 3
(salvo azotea)
Condiciones de Regularidad
(NTC-S, RCDF, 2017)
Irregular.-
si no cumple cualquiera: 5, 6, 9, 10, 11, 12 ó 13
o si no cumple dos o más de: 1, 2, 3, 4, 7 y 8
21Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Muy Irregular si:
no cumple dos o más: 5, 6, 9, 10, 11, 12 ó 13
• Desplaz. lat. planta > 130% prom. de los extremos
• Rigidez lateral ≥ 140% piso inmediato inferior
Resistencia corte ≥ 140% piso inmediato inferior
• > 30 % columnas no cumplen el 9 (restringidas)
Planta baja débil si:
• (VR/Vu)1=PB < 0.6 (VR/Vu)2 y
(VR/Vu)1=PB < 0.6 (VR/Vu)j para más de la mitad de
los pisos de j=3,…n
Condiciones de Regularidad
(NTC-S, RCDF, 2017)
22Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Q’ se multiplica por: (pero siempre Q’ ≥ 1)
1.0 si es regular
0.8 si es irregular
0.7 si es muy irregular
planta baja débil:
Q’ = 1.0 en la planta baja
Q’ la que corresponda en pisos superiores
(sin factores de irregularidad)
Li ≤ 0.006 en planta baja
Análisis dinámico no lineal paso a paso:
no requiere factor por irregularidad
Correcciones por irregularidad
23Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Ejemplo:
para zona IIIb
Q = 2
si factor = 0.8:
si T ≥ Ta , o T = (?)
Q’ = 0.8Q = 1.6
si T < Ta
Q’ = 0.8[ 1+T/Ta (Q-1) ] ≥ 10
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
0.5
0 1 2 3 4 5
Sa
/g =
a/Q
'
Periodo T, s
Q=2
0.7Q
0.8Q
Elástico
Modificación de Q’ por Irregularidad
0.8
1
1.2
1.4
1.6
1.8
2
2.2
0 0.5 1 1.5 2 2.5 3
Q' (i
nclu
ye
Irre
gu
lari
da
d)
Periodo T, s
FIrreg=1
0.8
0.7
24Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Se admite si la estructura tiene las siguientes
características:
Calificada como regular y HT 30 m en zona II o III
HT 40 m en zona I
Estructura es irregular y HT 20 m en zona II o III
HT 30 m en zona I
Wn
Wi
…
W2
W1
Fn
Fi
F2
F1
hn
hi
…
h2
h1
oii
iiii a
Q
c
hW
WhW
Q
cF ;
Fi = Wi αhi
V0 / W0 = c/Q a0
Análisis estático, NTC-S, RCDF (2017)
(Las aceleraciones
varían en forma de
triángulo invertido)
25Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Distorsión lateral inelástica
(en las NTC-Sismo)
Sistema Estructural QDistorsión
de diseño
Muros de carga de mampostería confinada de
piezas macizas con refuerzo horizontal2.0 0.010
Muros de carga de mampostería confinada de
piezas macizas2.0 0.005
Muros de carga de mampostería confinada de
piezas huecas con refuerzo horizontal2.0 0.008
Muros de carga de mampostería confinada de
piezas huecas1.5 0.004
Muros de carga de mampostería de piezas
huecas reforzadas interiormente1.5 0.006
Muros diafragma / Marcos y muros de carga (1) (2)
Muros de carga de piezas huecas o macizas sin
refuerzo(3), Mampostería de piedra1.0 0.002
(1) Marcos y muros, si los marcos resisten 70%: Q del marco; sino: Q del muro(2) Del tipo de mampostería utilizada.(3) Sólo para revisión de estructuras existentes.
26Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Sismicidad en México
27Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Programa PRODISIS, CFE 2015
28Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Sistema de Acciones Sísmicas de
Diseño SASID ver 4.0.2 (NTCS-RCDF,
2017)
http://www.SASID.df.gob.mx
Método de la columna
ancha
30Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Modelo de la columna ancha
columnas ubicadas en el
centro del muro y con las
propiedades del mismo
vigas con extremos rígidos
dentro del ancho del muro
dirección del
análisis
PLANTAt
6t
tdirección del
análisis
6t
6t
Ancho del patín de compresiónModelo de columna ancha
31Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Modelo de la columna ancha
32Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
División de un muro largo
cantiliver
doble
empotrado
Gm=0.4Em
Gm=0.2Em
Se puede dividir si :
y se usa
𝐺𝑚 = 0.2𝐸𝑚
𝐿/𝐻 > 1.4
error
33Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Verificación del modelado con columna
ancha
FR1 FR2
FR3 FR4
34Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Propiedades de las
secciones para muros
hc
Lm
L
bct
Área: A = t·L
Área de cortante:
Av = A/k, k=1.2
Momento de inercia (mayor):
Ix = t·L³/12
Como sección rectangular:
L
t
Sección transformada:
Lm = L – 2hc , Ac = hc·bc , nc = Ec /Em
Área: A = t·Lm + 2nc Ac
Área de cortante:
Av = t·L (aprox.)
Momento de inercia (mayor):
Ix = t·Lm³/12 + 2nc [ bchc³/12 + Ac(L-hc)²/4 ]
35Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
36Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Modelado
Esfuerzo y deformación por cortante:
Energía acumulada:hm
hc
hc
y
hc
E.N.t1
Factor de Forma
Área de Cortante
Factor de forma
Referencia: Dr. Juan José Pérez Gavilán
37Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Modelado
nt1
hmhc
hc
hmhc
hc
t1
t1
(a)
(b)
4 3
1 2
(1,-1)(-1,-1)
(1,1)(-1,1)
Factor de forma
Referencia: Taveras, 2008
𝑘 =6
51 +
𝛼(𝑛 − 1
2 − 2𝛼
38Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Restricción de losas, dinteles y pretiles.
Modelado de losas con vigas o dalas
(NTC-M, 2004)
muro
incluir pretiles
(sección transformada)
tlosa
losa con
trabe o dala
4tlosa
4tlosa
sólo losa
tlosa
3tlosa
muro
ancho equivalente
mu
ro
mu
ro
39Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Acotaciones, en cm
135
335
285 240135 130130 240
335
120
285
6 5 4 3 2 1 2’ 3’ 4’ 5’ 6’
C
B
A
Ejemplo de análisis de estructuras de
mampostería
40Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Fachada del edificio (eje A)V
ista
del eje
A
35595
250
250
355290195 195 95
65
6 5 4 3 2 1 2’ 3’ 4’ 5’ 6’
Dim
en
sio
ne
s e
n c
m
41Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Modelo de marco equivalente para
análisis (columna ancha)Marco equivalente del eje A
42Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Modelo de marco equivalente para
análisis (columna ancha)
Zona de
momento
de inercia infinito
43Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
44Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Mismo desplaza-
miento vertical
Zona rígida
Análisis 3D:
Columna ancha
Ligas rígidas entre
columnas anchas;
desplazamientos ligados en
nudos de unión
Métodos de análisis
45Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Mismo desplaza-miento vertical
Zona rígida
46Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Modelo de columna ancha 3D
47Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Momentos
flexionantes
Modelo de columna ancha
48Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Análisis con el método de las rigideces (ejemplo con sólo deformaciones por flexión)
Grados de libertad
1 23
GDL
Convención de signos:
θ2 = 1
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²
4𝐸𝐼𝑡𝐿
4𝐸𝐼𝑐𝐻
2𝐸𝐼𝑡𝐿
3 = 1
6𝐸𝐼𝑐𝐻²
12𝐸𝐼𝑐
𝐻³
6𝐸𝐼𝑐𝐻²
12𝐸𝐼𝑐𝐻³
Σ𝑀① =4𝐸𝐼𝑐𝐻
+4𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃1 +2𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃2 +6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝛿3 = 𝑀1
Σ𝑀② =2𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃1 +4𝐸𝐼𝑐𝐻
+4𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃2 +6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝛿3 = 𝑀2
Σ𝐹③ =6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝜃1 +
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝜃2 +
24𝐸𝐼𝑐
𝐻³𝛿3 = 𝐹3
Planteando el equilibrio de fuerzas y
momentos en los nudos (en los GDL)
se establece el sistema de ecuaciones
simultáneas lineales:
(Se han despreciado
deformaciones axiales)
θ1 = 1
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²
4𝐸𝐼𝑡𝐿
4𝐸𝐼𝑐𝐻
2𝐸𝐼𝑡𝐿
empotrado
H
L
It
Ic
Geometría y propiedades
F3
M1 M2
49Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Análisis con el método de las rigideces (ejemplo con sólo deformaciones por flexión)
4𝐸𝐼𝑐𝐻
+4𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃1 +2𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃2 +6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝛿3 = 𝑀1
2𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃1 +4𝐸𝐼𝑐𝐻
+4𝐸𝐼𝑡𝐿
𝜃2 +6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝛿3 = 𝑀2
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝜃1 +
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²𝜃2 +
24𝐸𝐼𝑐
𝐻³𝛿3 = 𝐹3
4𝐸𝐼𝑐
𝐻+
4𝐸𝐼𝑡
𝐿
2𝐸𝐼𝑡
𝐿
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²2𝐸𝐼𝑡
𝐿
4𝐸𝐼𝑐
𝐻+
4𝐸𝐼𝑡
𝐿
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²6𝐸𝐼𝑐
𝐻²
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²
24𝐸𝐼𝑐
𝐻³
𝜃1
𝜃2
𝛿3
= 𝑀1
𝑀2
𝐹3
Ordenando los coeficientes y variables en matriz y vectores y expresándolos como un
producto de matrices:
Que se puede escribir en forma compacta:
donde:𝐾 =
4𝐸𝐼𝑐
𝐻+
4𝐸𝐼𝑡
𝐿
2𝐸𝐼𝑡
𝐿
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²2𝐸𝐼𝑡
𝐿
4𝐸𝐼𝑐
𝐻+
4𝐸𝐼𝑡
𝐿
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²6𝐸𝐼𝑐
𝐻²
6𝐸𝐼𝑐
𝐻²
24𝐸𝐼𝑐
𝐻³
, {} = 𝜃1
𝜃2
𝛿3
,{F} =
𝑀1
𝑀2
𝐹3
Y se resuelve el sistema invirtiendo la matriz o usando métodos numéricos: {} = [K]-1 {F}
Conocidas las
deformaciones los
elementos mecánicos
se calculan con las
rigideces:
[K] {} = {F}
θ1 θ23
𝑀𝐴 =4𝐸𝐼𝑡
𝐿𝜃1+
2𝐸𝐼𝑡
𝐿𝜃2 𝑀𝐵 =
2𝐸𝐼𝑡
𝐿𝜃1+
4𝐸𝐼𝑡
𝐿𝜃2
𝑉 =𝑀𝐴 + 𝑀𝐵
𝐿
MAMB
V
50Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Ejemplo: análisis con el método de las
rigideces (considerando deformaciones por flexión, cortante y extremos
rígidos) Convención de signos:
θ2 = 1
𝑉𝐴,𝑐𝑟𝐴𝐴,𝑡
𝑟𝐴𝐴,𝑐
𝑟𝐴𝐵,𝑡
3 = 1
𝑉𝐴,𝑐
𝑉𝐴𝐵,𝑐
𝑉𝐴,𝑐
𝑉𝐴𝐵,𝑐
Planteando el equilibrio de fuerzas y
momentos en los nudos (en los GDL) se
establece el sistema de ecuaciones
simultáneas lineales y en forma matricial:
(Se desprecian
deformaciones axiales)
θ1 = 1
𝑉𝐴,𝑐
𝑟𝐴𝐴,𝑡
𝑟𝐴𝐴,𝑐
𝑟𝐴𝐵,𝑡
empotrado
H
L
It
Ic
Geometría y propiedades
F3
M1 M2
𝐾 =
𝑟𝐴𝐴,𝑐 + 𝑟𝐴𝐴,𝑡 𝑟𝐴𝐵,𝑡 𝑉𝐴,𝑐
𝑟𝐴𝐵,𝑡 𝑟𝐴𝐴,𝑐 + 𝑟𝐴𝐴,𝑡 𝑉𝐴,𝑐
𝑉𝐴,𝑐 𝑉𝐴,𝑐 2𝑉𝐴𝐵,𝑐
; {} = [K]-1 {F}
Grados de libertad
GDL
23
1
L
51Simposium: Presentación del Libro de Mampostería SMIEAguascalientes, Ags.
24 de julio de 2019
Rigidez de la barra con extremos rígidos,
caso: sólo deformaciones por flexión
L
L’a b
𝛼 =𝑎
𝐿′, 𝛽 =
𝑏
𝐿′
rAA
VA VAL
rBA =rAB
VA
VB
VAB VAB
L’
𝐾 =
𝑟𝐴𝐴 𝑟𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐵
𝑉𝐴 −𝑉𝐴𝑉𝐵 −𝑉𝐵
𝑉𝐴 𝑉𝐵
−𝑉𝐴 −𝑉𝐵
𝑉𝐴𝐵 −𝑉𝐴𝐵
−𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐴 =4𝐸𝐼
𝐿′1 + 3𝛼 + 3𝛼²
𝑟𝐵𝐵 =4𝐸𝐼
𝐿′1 + 3𝛽 + 3𝛽²
𝑟𝐴𝐵 =2𝐸𝐼
𝐿′1 + 3𝛼 + 3𝛽 + 6𝛼𝛽
VA = (rAA+rAB) / LVB = (rBB+rAB) / LVAB = (rAA+rBB+2rAB) / L²
; rBA = rAB
rBB
VBVB L
rAB
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Caso general de barra prismática, incluye
deformación por cortante y extremos rígidos
L
L’a b𝛼 =
𝑎
𝐿′, 𝛽 =
𝑏
𝐿′
𝐾 =
𝑟𝐴𝐴 𝑟𝐴𝐵
𝑟𝐴𝐵 𝑟𝐵𝐵
𝑉𝐴 −𝑉𝐴𝑉𝐵 −𝑉𝐵
𝑉𝐴 𝑉𝐵
−𝑉𝐴 −𝑉𝐵
𝑉𝐴𝐵 −𝑉𝐴𝐵
−𝑉𝐴𝐵 𝑉𝐴𝐵
VA = (rAA+rAB) / LVB = (rBB+rAB) / LVAB = (rAA+rBB+2rAB) / L²𝑟𝐴𝐴 =
4𝐸𝐼
𝐿′
1 + 𝑐 + 3𝛼 + 3𝛼²
1 + 4𝑐
𝑟𝐵𝐵 =4𝐸𝐼
𝐿′
1 + 𝑐 + 3𝛽 + 3𝛽²
1 + 4𝑐
𝑟𝐴𝐵 =2𝐸𝐼
𝐿′
1 − 2𝑐 + 3𝛼 + 3𝛽 + 6𝛼𝛽
1 + 4𝑐
𝑟𝑁 =𝐸𝐴
𝐿′, 𝑟𝑇 =
𝐺𝐽
𝐿′
donde:𝑐 = 6 (1 + 𝜈
𝐼
𝐴𝑣𝐿²
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𝑉 =𝑀𝐴 + 𝑀𝐵
𝐿
MAMB
V
Ejemplo: análisis con el método de las rigideces (considerando deformaciones por flexión, cortante y extremos rígidos)
Se resuelve el sistema invirtiendo la matriz o usando métodos numéricos: {} = [K]-1 {F}
Conocidas las deformaciones los elementos
mecánicos se calculan con las rigideces:
𝑀𝐴 = 𝑟𝐴𝐴,𝑐𝜃1+ 𝑉𝐴,𝑐𝛿3
𝑀𝐴 = 𝑟𝐴𝐴,𝑡𝜃1+ 𝑟𝐴𝐵,𝑡𝜃2
θ1
θ2 3
𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒 = 𝑟𝐴𝐵,𝑐𝜃1+ 𝑉𝐴,𝑐𝛿3
𝑉=
𝑀𝐴+
𝑀𝑏𝑎𝑠𝑒
𝐻
𝑀𝐵 = 𝑟𝐴𝐵,𝑡𝜃1+ 𝑟𝐵𝐵,𝑡𝜃2
Elementos mecánicos en las columnas
Elementos mecánicos en los extremos de la trabe
𝑉1 =𝑀𝐴1 + 𝑀𝐵1
𝐿′
MA1MB1
V1V1
Elementos mecánicos en la trabe
𝑀𝐴1 = 𝑀𝐴 − 𝑉 · 𝑎
𝑉1 = 𝑉
a
b
𝑀𝐵1 = 𝑀𝐵 − 𝑉 · 𝑏
O bien:
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Modelado con elemento finito
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Modelado con elemento finito