MÉTODO DE CROSS -...

Método de Cross – J. Miranda Guedes (DEC – FEUP) – 2001/2002 13

MÉTODO DE CROSS

Seja agora uma estrutura de nós fixos duas vezes hipergeométrica, i.e. tal que os nós não sofrem qualquer deslocamento de translação e contem 2 nós com incógnitas de rotação.

p

E, I

α

L2

A

B

C

D

1

2

3

L3 L1 . cos α

E

L4 4

p

E, I

α

L2

A

B

C

D

1

2

3

L3 L1 . cos α

E

L4 4

=

∆1 ∆2

Determinemos os esforços momentos flectores nas extremidades das barras por aplicação do Método de Cross. Neste caso, já conhecemos os esforços nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios:

p

E, I α

1

2

4

(RB)10

(RB)20

(RB)30

(RA)10

(RC)20

3

(RD)30

(RD)40

(RB)0=(RB)10+(RB)20+(RB)30

(RD)0=(RD)30+(RD)40

Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB e MD nos nós B e D que equilibrem os momentos fictícios (RB)0 e (RD)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por estes momentos concentrados aplicados nos nós são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nó a nó, e por aplicação dos conceitos anteriores, é estabelecido o equilíbrio da estrutura através de um processo iterativo. Nas expressões que a seguir se apresentam, designa-se por dXi o coeficiente de distribuição da rigidez da barra i no nó X, por rXY o coeficiente de transmissão de momento do nó Y para o nó X e por (RX)ij os momentos flectores no nó X da barra i correspondente à iteração de ordem j do método de Cross.


E, I α

1

2

4

MB=-(RB)0

3

MD=-(RD)0

= (equilíbrio do nó B – iteração j = 1)

α

(RB)11

(RB)21

(RB)31

(RA)11

(RC)21

(RD)31

(RB)11+(RB)21+(RB)31=MB=MB1

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( ) 131

311211111

31131

121311211111

21121

111311211111

11111

131311211111

31131

121311211111

21121

111311211111

11111

BBDBBDBD

BBCBBCBC

BBABBABA

BBBB

BBBB

BBBB

MdrMKKK

KrR

MdrMKKK

KrR

MdrMKKK

KrR

MdMKKK

KR

MdMKKK

KR

MdMKKK

KR

⋅⋅=⋅++

⋅=

⋅⋅=⋅++

⋅=

⋅⋅=⋅++

⋅=

⋅=⋅++

=

⋅=⋅++

=

⋅=⋅++

=

+ (equilíbrio do nó D – desequilíbrio do nó B(!) – iteração j = 2)

(RD)32+(RD)42=MD-(RD)31=MD1

α

(RB)32

(RD)32

(RD)42

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) ( )321

422322

32232

141422322

42242

131422322

32232

DBDDBDB

DDDD

DDDD

RrMKK

KrR

MdMKK

KR

MdMKK

KR

⋅=⋅+

⋅=

⋅=⋅+

=

⋅=⋅+

=


+ (equilíbrio do nó B – desequilíbrio do nó D(!) – iteração j = 3)

α

(RB)13

(RB)23

(RB)33

(RA)13

(RC)23

(RD)33

(RB)13+(RB)23+(RB)33=-(RB)32=MB3

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3333

2323

1313

3333

3223

3113

BDBD

BCBC

BABA

BBB

BBB

BBB

RrRRrRRrRMdRMdRMdR

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

+ (equilíbrio do nó D – desequilíbrio do nó B(!) – iteração j = 4)

(RD)34+(RD)44=-(RD)33=MD4

α

(RB)34

(RD)34

(RD)44

( )( )( ) ( )3434

4444

4334

DBDB

DDD

DDD

RrRMdRMdR

⋅=

⋅=

⋅=

+ (equilíbrio do nó B – desequilíbrio do nó D(!) – iteração j = 5)

α

(RB)15

(RB)25

(RB)35

(RA)13

(RC)23

(RD)35

(RB)15+(RB)25+(RB)35=-(RB)34=MB5

( )( )( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )3535

2525

1515

5335

5225

5115

BDBD

BCBC

BABA

BBB

BBB

BBB

RrRRrRRrRMdRMdRMdR

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=

⋅=


O processo repete-se até que o valor do momento a equilibrar nos nós seja inferior a um valor considerado como erro máximo admissível. Nessa altura calculam-se os momentos flectores finais nas extremidades das barras:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) 04

14404

13303

13303

12202

12202

11101

11101

=

+=

+=

+=

+=

+=

+=

+=

∑

∑

∑

∑

∑

∑

∑

=

=

=

=

=

=

=

E

n

iiDDD

n

iiDDD

n

iiBBB

n

iiCCC

n

iiBBB

n

iiBBB

n

iiAAA

R

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

RRR

sendo ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )01

41

3

01

31

21

1

DD

n

iiD

n

iiD

BB

n

iiB

n

iiB

n

iiB

RMRR

RMRRR

−==+

−==++

∑∑

∑∑∑

==

===

α

(RB)1

(RB)2

(RB)3

(RA)1

(RC)2

(RD)3

p

(RD)4

e por isso,

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0

0

0403043

0302010321

=−+=+

=−++=++

DDDDD

BBBBBBB

RRRRRRRRRRRR

Calculados os momentos, determinam-se os esforços transversos nas extremidades das barras por equilíbrio de forças e momentos flectores nas barras. Os esforços axias determinam-se por equilíbrio dos nós, tal como se apresentou anteriormente para o caso das barras axialmente indeformáveis.

Seja uma barra i com extremidades coincidentes com o nó X à esquerda e com o nó Y à direita,


L

TX TYE, I

p(x)

x

y

(X) (Y)

( )iXR ( )iYR

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )

( ) ( )[ ] ( ) ( )

( )

⋅−=

⋅−⋅−+−=

⇔

=−⋅−

=⋅−⋅−++⋅

∫

∫

∫

∫

=

=

=

=L

xXY

L

xiYiXX

Y

L

xX

L

xiYiXX

dxxpTT

LdxxLxpLRRT

TdxxpT

dxxLxpRRLT

0

0

0

0

0

0

Quanto à determinação das rotações dos nós, temos, considerando a mesma barra i,

L

TX

( ) ( )∑=

+n

jijXiX RR

10

TYE, I

p(x)

x

y

(X) (Y)

( ) ( )∑=

+n

jijYiY RR

10

=

L

TX0 TY0E, I

p(x)

x

y

(X) (Y)

( ) 0iYR( ) 0iXR

+

L

T’X T’YE, I x

y

(X) (Y)

( )∑=

n

jijXR

1( )∑

=

n

jijYR

1

Como a barra correspondente à primeira estrutura não sofre rotações nas extremidades, apenas teremos que considerar os momentos (RX)ij com j ≠ 0. Por aplicação do P.T.V., temos:


L

T’X T’YE, I x

y

(X) (Y)

( )∑=

=∆n

jijXX RM

1( )∑

=

=∆n

jijYY RM

1θX θY

Diagrama de momentos flectores

∆M(x)= ∆MX-(∆MX+∆MY).x / L

∆MX

-∆MY

x

Estruturas auxiliares Diagrama de momentos flectores

Estrutura 1: E, I

L

T=-1/L

M=1

T=-1/L

M1(x)=1-x / L

1 x

Estrutura 2: E, I

L

T=-1/L

M=1

T=-1/L

M2(x)=-x / L -1

x

Aplicação do P.T.V.

Estrutura real e estrutura auxiliar 1:

( )YXX

Lx

xX MM

IELdx

IEMM

∆−∆⋅⋅⋅⋅

=⇒⋅∆⋅

=⋅ ∫=

=

26

10

1 θθ

Estrutura real e estrutura auxiliar 2:

( )XYY

Lx

xY MM

IELdx

IEMM

∆−∆⋅⋅⋅⋅

=⇒⋅∆⋅

=⋅ ∫=

=

26

10

2 θθ


Estes resultados correspondem à rotação das extremidades de uma barra de eixo rectilíneo

e secção constante, submetida apenas a momentos concentrados ∆Mx e ∆My aplicados nas

extremidades.

Resolvamos o exercício anterior aplicando o método de Cross. Seja então

p=10kN/m

E.I = K

αA

B

C

D

1

2

3

5,03,0

E

4,0 4

4,0

[m]

Determinação dos coeficientes de distribuição:

Nó B:

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) 13

4

51

41

51

51

444

4

135

51

41

51

41

444

4

134

51

41

51

51

444

4

321

3

311211111

3113

321

2

311211111

2112

321

1

311211111

1111

=++

=

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅

=++

=

=++

=

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅

=++

=

=++

=

⋅⋅+

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅

=++

=

LIE

LIE

LIE

LIE

KKKK

d

LIE

LIE

LIE

LIE

KKKK

d

LIE

LIE

LIE

LIE

KKKK

d

B

B

B

Nó D:

( )( ) ( )

( )( ) ( ) 31

15

43

54

43

34

3

3116

43

54

54

34

4

43

4

422322

4224

43

3

422322

3223

=+

=

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅

=+

=

=+

=

⋅⋅+

⋅⋅

⋅⋅

=+

=

LIE

LIE

LIE

KKK

d

LIE

LIE

LIE

KKK

d

D

D


Determinação dos momentos de fixação dos nós:

Barras [AB], [BC] e [DE]:

Momento flector à esquerda = 0 kNm

Momento flector à direita = 0 kNm

Barra [BD]:

Momento flector à esquerda = - p.L2/12 = -20,83 kNm

Momento flector à direita = p.L2/12 = 20,83 kNm

4/13 16/31

4/13 15/31

5/13 -20,8 -20,8

0,0

0,0

0,0

0,0 Estado inicial (j = 0):

0,0

4/13 16/31

4/13 15/31

5/13 -20,8 -20,8

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

+20,8*4/13 +20,8*5/13

+20,8*4/13

+20,8*2/13

*1/2

+20,8*2/13*1/2

+20,8*5/26

*1/2

Estado (j = 1):

(Mresidual)B = -20,8 kNm

4/13 16/31

4/13 15/31

5/13 -20,8 +20,8

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

+20,8*4/13 +20,8*5/13

+20,8*4/13

+20,8*2/13

+20,8*2/13

+20,8*5/26 Estado (j = 2):

(Mresidual)D = -24,0 kNm

-24,0*16/31

-24,0*15/31

*1/2 -24,0*8/31

4/13 16/31

4/13 15/31

5/13 -20,8 +20,8

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

+20,8*4/13 +20,8*5/13

+20,8*4/13

+20,8*2/13

*1/2

+20,8*2/13

+20,8*5/26

*1/2

Estado (j = 3):


-24,0*16/31

-24,0*15/31

-24,0*15/62 +6,2*4/13 *1/2 +6,2*2/13

+6,2*5/13

+6,2*4/13

+6,2*5/26

+6,2*2/13


4/13 16/31

4/13 15/31

5/13 -20,8 +20,8

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

+20,8*4/13 +20,8*5/13

+20,8*4/13

+20,8*2/13

+20,8*2/13

+20,8*5/26 Estado (j = 4):

(Mresidual)D = +0,9 kNm

-24,0*16/31

-24,0*15/31

-24,0*8/31 +6,2*4/13 +6,2*2/13

+6,2*5/13

+6,2*4/13

+6,2*5/26

+6,2*2/13

-1,0*16/31

-1,0*15/31

*1/2 -1,0*8/31

4/13 16/31

4/13 15/31

5/13 -20,8 +20,8

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

+20,8*4/13 +20,8*5/13

+20,8*4/13

+20,8*2/13

+20,8*2/13

+20,8*5/26 Estado (j = 5):


-24,0*16/31

-24,0*15/31

-24,0*8/31 +6,2*4/13 +6,2*2/13

+6,2*5/13

+6,2*4/13

+5,8*5/26

+5,8*2/13

-1,0*16/31

-1,0*15/31

-1,0*8/31

*1/2

*1/2 +0,3*4/13 +0,3*2/13 < 0,1

+0,3*5/13

+0,3*4/13

+0,3*5/26

+0,3*2/13

*1/2

4/13 16/31

4/13 15/31

5/13 -20,8 +20,8

0,0

0,0

0,0

0,0

0,0

+1,9 +10,5

+8,4

+8,4/2

-8,7

+10,5/2 Estado final:

(Mresidual)D < 0,1 kNm

-12,1

(Mresidual)B = 0,0 kNm

Esforços transversos e momentos flectores nas extremidades das barras:


1

2

3

4

Te= 12,1/4 kN

Md=-12,1 kNm

Td= 12,1/4 kN

Me= 0 kNm

Md= 12,1 kNm Me=-18,9 kNm

Te= (6,8/5+10*5/2) kN

Td= (6,8/5-10*5/2) kN

p=10kN/m

Me= 4,2 kNm

Md= 8,4 kNm

Te=-4,2/5 kN

Td=-4,2/5 kN

Te= 15,8/4 kN

Md= 5,3 kNm Td= 15,8/4 kN

Me= 10,5 kNm

Note que o somatório dos momentos flectores nos nós é nulo. Por outro lado, os esforços axiais são determinados impondo o equilíbrio nos nós.

Rotações nas extremidades das barras:

1

2

3

4

p=10kN/m

θd= (4/K)*(2*10,5/2-10,5) rad = 0 rad

θe= (4/K)*(2*10,5-10,5/2) rad = 63/K rad

θe= (5/K)*(2*4,2-8,4) rad = 0 rad

θe= (5/K)*(2*8,4-4,2) rad = 63/K rad

θe= (5/K)*(2*1,9+8,7) rad = 62,5/K rad

θd= (5/K)*(-2*8,7-1,9) rad =-96,5/K rad

θe= (4/K)*(2*0,0+12,1) rad = 48,4/K rad

θd= (4/K)*(-2*12,1-0,0) rad = 96,8/K rad

sendo K = 1 / (6.E.I).


MÉTODO DE CROSS

Seja agora uma estrutura de nós móveis duas vezes hipergeométrica, sendo uma das incógnitas hipergeométricas de translação.

p

E, I

α A

B C

1

2

L2 L1 . cos α

p

E, I

αA

BC

1

2

L2 L1 . cos α

∆1 ∆2

=

Para que possamos resolver a estrutura pelo Método de Cross, é preciso que os nós da estrutura não sofram deslocamentos de translação e por isso teremos que restringir o

movimento de translação ∆2 obrigando-o, numa primeira fase, a ser nulo.

Sejam então os esforços momentos flectores nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios:

p

E, I

α

(RB0)10

(RB0)20

1

2

(RB0)0=(RB0)10+(RB0)20

(RA0)10

Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior um momentos MB no nó B que equilibre o momento fictício (RB0)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são determinados por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-se por (RX0)ij os momentos flectores no nó X da barra i correspondente à iteração de ordem j do método de Cross.


E, I α

1

MB=-(RB0)0

2


α

(RB0)11 (RB0)21

(RA0)11

(RB0)11+(RB0)21=MB=MB1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 111

211111

111110

121211111

211210

111211111

111110

BBABBABA

BBBB

BBBB

MdrMKK

KrR

MdMKK

KR

MdMKK

KR

⋅⋅=⋅+

⋅=

⋅=⋅+

=

⋅=⋅+

=

Como existe apenas um nó a equilibrar, uma iteração é suficiente para determinar os momentos finais nas extremidades das barras:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 020

21020020

11010010

11010010

=

+=

+=

+=

C

BBB

BBB

AAA

RRRRRRRRRR

sendo ( ) ( ) ( )00210110 BBBB RMRR −==+

E, I α

1

2

p

(RB0)1

(RB0)2

(RA0)1

e por isso,

( ) ( ) 02010 =+ BB RR

Calculados os momentos flectores, pode-se, por aplicação do P.T.V., determinar a força que actua no apoio fictício horizontal, tal como já havia sido realizado para o caso das barras axialmente indeformáveis. Assim, libertando o apoio fictício, temos um mecanismo:


E, I α

1 2 θ1=(1/sinα)/L1

∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2

que permite determinar o valor da reacção horizontal no apoio no nó C, R20:

E, I α

1 2 θ1=(1/sinα)/L1

∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2

E, I α

1

2

p

(RB0)1

(RB0)2

(RA0)1

R20

( ) ( )[ ] ( ) 0tan1

21 22201101020 =⋅⋅+⋅+⋅++⋅ αθθ LpRRRR BBA

Esta força é fictícia, já que na realidade não existe. A sua presença impede o nó C de se deslocar na direcção da força. A não existência dessa força implica um movimento de translação desse nó no sentido contrário à força.

Analisemos então o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação

sofre um deslocamento unitário ∆2=1. Os esforços momentos flectores nas barras

correspondentes à fixação dos apoios fictícios são:

E, I α

1 2

∆2=1

(RB2)10

(RB2)20

(RB2)0=(RB2)10+(RB2)20

(RA2)10

Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior um momentos MB no nó B que equilibre o momento fictício (RB2)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross.


E, I α

1

MB=-(RB2)0

2


α

(RB2)11 (RB2)21

(RA2)11

(RB)11+(RB)21=MB=MB1

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( ) ( )( ) ( ) 111

211111

111112

121211111

211212

111211111

111112

BBABBABA

BBBB

BBBB

MdrMKK

KrR

MdMKK

KR

MdMKK

KR

⋅⋅=⋅+

⋅=

⋅=⋅+

=

⋅=⋅+

=

Como existe apenas um nó a equilibrar, uma iteração é suficiente para determinar os momentos finais nas extremidades das barras. Calculam-se então os momentos flectores finais nas extremidades das barras:

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 022

21220222

11210212

11210212

=

+=

+=

+=

C

BBB

BBB

AAA

RRRRRRRRRR

sendo ( ) ( ) ( )02212112 BBBB RMRR −==+

E, I α

1

2 (RB2)1

(RB2)2

(RA2)1

∆2=1

e

( ) ( ) 02212 =+ BB RR


A aplicação do P.T.V. aos esforços resultantes nas barras, permite determinar o valor da reacção horizontal no apoio fictício no nó C, R22 correspondente à acção assentamento unitário do apoio:

E, I α

1 2 θ1=(1/sinα)/L1

∆2=1 θ2=-(1/tanα)/L2

E, I α

1

2 (RB2)1

(RB2)2

(RA2)1

∆2=1 R22

( ) ( )[ ] ( ) 01 2221121222 =⋅+⋅++⋅ θθ BBA RRRR

Mais uma vez, esta força é fictícia, já que na realidade não existe. A sua presença impõe no nó C um deslocamento unitário na direcção da força. Logo, como precisamos de garantir que o valor final da força calculada por sobreposição dos resultados sem e com

assentamento do apoio fictício seja nulo, o deslocamento do apoio fictício, i.e. o valor ∆2,

terá que obedecer à equação:

22

20222220 0

RR

RR −=∆⇒=∆⋅+

Finalmente, os esforços momentos flectores finais nas extremidades das barras são calculados por sobreposição de efeitos:

E, I α

1

2

p

(MB)1

(MB)2

(MA)1 α

L2L1 . cos α

∆2(MB)=(MB)1+(MB)2=0

(R2)=0

R2

=

E, I α

1

2

p

(RB0)1

(RB0)2

(RA0)1

R20

E, I α

1

2 (RB2)1

(RB2)2

(RA2)1

∆2=1 R22

+ * ∆2


( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 02

222202

212101

212101

=

∆⋅+=

∆⋅+=

∆⋅+=

C

BBB

BBB

AAA

MRRMRRMRRM

Consideremos agora uma segunda estrutura de nós móveis 5 vezes hipergeométrica, sendo duas das incógnitas hipergeométricas de translação.

p

L1

E, I

L3

P1 P2

L2

A

B

E

D

C

pE, I

L2

P1 P2

∆3

∆1

∆2 ∆4

α ∆5

=

A

B

E

C

D

Para que possamos resolver a estrutura pelo Método de Cross, é preciso que os nós da estrutura não sofram deslocamentos de translação e por isso teremos que restringir os

movimentos de translação ∆1 e ∆2 obrigando-os, numa primeira fase, a serem nulos.

Sejam então os esforços momentos flectores nas barras correspondentes à fixação dos apoios fictícios:

pE, I

P1 P2

(RB0)10 (RB0)20

(RA0)10

(RC0)20 (RC0)30

(RD0)30

(RD0)40

(RE0)40

(RB0)0=(RB0)10+(RB0)20

(RC0)0=(RC0)20+(RC0)30

(RD0)0=(RD0)30+(RD0)40

Para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os momentos fictícios (RB0)0, (RC0)0 e (RD0)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por estes momentos concentrados aplicados nos nós são determinados por


aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-se

por (RX0)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = ∆2 = 0

depois de resolvida a estrutura.

pE, I

P1 P2

(RB0)1(RB0)2

(RA0)1

(RC0)2 (RC0)3

(RD0)3

(RD0)4

(RE0)4

(RB0)=(RB0)1+(RB0)2=0

(RC0)=(RC0)2+(RC0)3=0

(RD0)=(RD0)3+(RD0)4=0 R10

R20

Calculados os momentos flectores, pode-se, por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação, tal como já havia sido realizado para o caso do exemplo anterior. Assim, libertando cada um dos dois apoios fictícios separadamente, temos dois mecanismos:

L1

E, I

L2

L3

∆1

∆1 / tan α

θ11=1/L1 θ41=-θ11

θ21=-θ31=-2/L2/tanα

1

-∆1

∆1

E, I

L2

2 ∆2

∆2

1

θ12=0

?-∆2 / tanα

θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3

que permitem determinar os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R10 e R20:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0tan

1222

1

21412

1111

41404031303021202011101010

=⋅⋅−⋅⋅+⋅⋅+

⋅++⋅++⋅++⋅++⋅

αθθ

θθθθ

LpLPLP

RRRRRRRRR EDDCCBBA

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]0tan

1220

1

214221

42404032303022202012101020

=⋅⋅+⋅⋅+⋅+

⋅++⋅++⋅++⋅++⋅

αθ

θθθθ

LpLPP

RRRRRRRRR EDDCCBBA

Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impede que os nós B e C se desloquem na direcção das forças. A não existência dessas forças implica movimentos de translação desses nós no sentido contrário às forças.


Analisemos então o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação no

nó B sofre um deslocamento unitário ∆1=1. Os esforços momentos flectores nas barras


E, I

∆1=1

(RB1)10

(RB1)20

(RA1)10

(RC1)20 (RC1)30

(RD1)30

(RD1)40

(RE1)40

(RB1)0=(RB1)10+(RB1)20

(RC1)0=(RC1)20+(RC1)30

(RD1)0=(RD1)30+(RD1)40

Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os momentos fictícios (RB1)0, (RC1)0 e (RD1)0. Os momentos flectores nas extremidades das

barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-

se por (RX1)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = 1 e

∆2 = 0 depois de resolvida a estrutura.

E, I

(RB1)1

(RB1)2

(RA1)1

(RC1)2 (RC1)3

(RD1)3

(RD1)4

(RE1)4

(RB1)=(RB1)1+(RB1)2=0

(RC1)=(RC1)2+(RC1)3=0

(RD1)=(RD1)3+(RD1)4=0 ∆1=1 R11

R21

Calculados os momentos flectores, pode-se, mais uma vez por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação. Assim, considerando os dois mecanismos:


L1

E, I

L2

L3

∆1

∆1 / tan α

θ11=1/L1 θ41=-θ11

θ21=-θ31=-2/L2/tanα

1

-∆1

∆1

E, I

L2

2 ∆2

∆2

1

θ12=0

?-∆2 / tanα

θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3

determinam-se os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R11 e R21:

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ] 01 41414131313121212111111111 =⋅++⋅++⋅++⋅++⋅ θθθθ EDDCCBBA RRRRRRRRR


Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impõe um deslocamento unitário no apoio fictício no nó B e impede o nó C de se deslocar na direcção da força.

Analisemos agora o que se passa com a estrutura quando o apoio fictício de translação no

nó C sofre um deslocamento unitário ∆2=1. Os esforços momentos flectores nas barras


E, I ∆2=1

(RB2)10

(RA2)10

(RC2)20

(RC2)30

(RD2)30

(RD2)40

(RE2)40

(RB2)0=(RB2)10+(RB2)20

(RC2)0=(RC2)20+(RC2)30

(RD2)0=(RD2)30+(RD2)40

(RB2)20

Novamente, para que a estrutura esteja em equilíbrio, é preciso adicionar à situação anterior momentos MB, MC, e MD nos nós B, C e D, respectivamente, que equilibrem os momentos fictícios (RB2)0, (RC2)0 e (RD2)0. Os momentos flectores nas extremidades das barras da estrutura solicitada por este momento concentrado aplicado no nó são obtidos por aplicação do Método de Cross. Nas expressões que a seguir se apresentam, designam-

se por (RX2)i os momentos flectores no nó X da barra i correspondentes à hipótese ∆1 = 0 e

∆2 = 1 depois de resolvida a estrutura.


E, I

∆2

(RB2)1

(RA2)1

(RC2)2

(RC2)3

(RD2)3

(RD2)4

(RE2)4

(RB2)=(RB2)1+(RB2)2=0

(RC2)=(RC2)2+(RC2)3=0

(RD2)=(RD2)3+(RD2)4=0

(RB2)2 ∆2=1

R12

R22

Calculados os momentos flectores, pode-se, mais uma vez por aplicação do P.T.V., determinar as forças que actuam nos apoios fictícios de translação. Assim, considerando os dois mecanismos:

L1

E, I

L2

L3

∆1

∆1 / tan α

θ11=1/L1 θ41=-θ11

θ21=-θ31=-2/L2/tanα

1

-∆1

∆1

E, I

L2

2 ∆2

∆2

1

θ12=0

θ22=-θ32=2/L2/tanα θ42=2/L3

-∆2 / tanα

determinam-se os valores das reacções nos apoios fictícios nos nós B e C, R12 e R22:



Estas forças são fictícias, já que na realidade não existem. A sua presença impõe um deslocamento unitário no apoio fictício no nó C e impede o nó B de se deslocar na direcção da força.

Logo, como precisamos de garantir que o valor final das forças calculadas por sobreposição dos resultados sem e com assentamentos dos apoios fictícios seja nulo, os

deslocamentos dos apoios fictícios, i.e. os valores ∆1 e ∆2 terão que obedecer às equações:

=∆⋅+∆⋅+=∆⋅+∆⋅+

00

22212120

21211110

RRRRRR

Finalmente, os esforços momentos flectores finais nas extremidades das barras são calculados por sobreposição de efeitos:


pE, I

P1 P2

(MB)1 (MB)2

(MA)1

(MC)2

(MC)3 (MD)3

(MD)4

(ME)4

(MB)=(RB)1+(RB)2=0

(MC)=(RC)2+(RC)3=0

(MD)=(RD)3+(RD)4=0 R1

R2

(R1)=(R2)=0

∆1

∆2

= pE, I

P1 P2

(RB0)1 (RB0)2

(RA0)1

(RC0)2 (RC0)3

(RD0)3

(RD0)4

(RE0)4

R10

R20

+

E, I

(RB1)1

(RB1)2

(RA1)1

(RC1)2 (RC1)3

(RD1)3

(RD1)4

(RE1)4

∆1=1 R11

R21

* ∆1 +

∆2

(RB2)1

(RA2)1

(RC2)2

(RC2)3

(RD2)3

(RD2)4

(RE2)4

(RB2)2

∆2=1

* ∆2

E, I

R12

R22

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 242141404

242141404

232131303

232131303

222121202

222111202

212111101

212111101

∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+=

∆⋅+∆⋅+=

EEEE

DDDD

DDDD

CCCC

CCCC

BBBB

BBBB

AAAA

RRRMRRRMRRRMRRRMRRRMRRRMRRRMRRRM

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