SISTEMAS DE CONTROLE II

- Algumas situações com desempenho problemático

1) Resposta muito oscilatória

2) Resposta muito lenta

3) Resposta com erro em regime permanente

4) Resposta pouco robusta a perturbações

5) Resposta muito susceptível a ruídos de medição

Exemplo:

ε.sen(ω.t) Sinal Ondulado

Utilizando um controlador PID (parte Derivativa), a resposta fica:

ε. ω.cos(ω.t) isso mostra que os ruídos são amplificados.

A resposta adequada é aquela resposta sem oscilações (ou poucas oscilações), rápida,

sem erro em regime permanente (ou com erro em regime permanente nulo), robusta a

perturbações e pouco susceptível a ruídos de medição.

- Regulação x Rastreamento

Regulação

Regulação consiste no problema de levar o sistema de volta ao ponto de operação

x1 = x1-x10

x2 = x2-x20

Regulação (no novo sistema de coordenadas) consiste em levar o sistema para a origem.

Rastreamento

O rastreamento consiste em levar o sistema a acompanhar um sinal de referência

qualquer.

- Sequência de projeto

1) Escolha do controlador

2) Sintonia inicial

a) Métodos de Ziegler-Nichols

b) Método polinomial

c) Método do lugar das raízes (roots-locus)

d) Método frequencial (Diagrama de Bode)

e) Método por variáveis de estado

3) Sintonia fina (ajuste intuitivo)

- Índice de desempenho

r Referência

y Saída da planta

yfinal lim𝑡→∞ 𝑦 𝑡

P.O. (Porcentagem de Overshoot)

P.O. = 𝑦𝑚 á𝑥−𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙

𝑦𝑓𝑖𝑛𝑎𝑙.100%

Ts (Tempo de acomodação ou tempo de estabilização) é o tempo necessário para

a resposta ficar dentro de um percentual em relação ao valor final.

- Critérios para o percentual

Ts5% (Tolerância de 5%)

Ts2% (Tolerância de 2%)

Erro

e = r – y

Erro em regime permanente

e. r. = lim𝑡→∞ 𝑒(𝑡)

- Controlador Proporcional (P)

U(s) = Kc.E(s) => u(t) = Kc.e(t)

Em geral, o erro em regime não é nulo e o ganho é proporcional ao erro.

Em geral:

Kc pequeno

P.O. baixo

Tempo de acomodação alto

Erro em regime alto

Kc intermediário

Essa é a situação mais adequada para porcentagem de overshoot, tempo de acomodação

e erro em regime. Nos projetos utilizamos o Kc intermediário.

Kc grande

P.O. alto

Tempo de acomodação alto

Erro em regime baixo

- Controlador Proporcional-Integrativo (PI)

U(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖

𝑠). 𝐸(𝑠) => u(t) = 𝐾𝑐. 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 . 𝑑𝑡

𝑡

0

Veja que em u(t), temos uma parte proporcional e outra parte integrativa.

A parte proporcional age no início e a parte integrativa age no final.

Vamos mostrar porque a saída y não pode ficar abaixo nem acima da referência em

regime permanente.

Agora vamos ver um exemplo acima do nível da referência em regime permanente.

- Conclusão geral: Com o controlador PI consegue-se um e. r. = 0 para r(t) tipo degrau.

Ki pequeno

Porcentagem de overshoot baixa

Tempo de acomodação alto

Ki grande

Porcentagem de overshoot alto

Tempo de acomodação alto

Ki intermediário

Respostas adequadas para porcentagem de overshoot e tempo de acomodação.

- Controlador Proporcional Integrativo Derivativo (PID)

U(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖

𝑠+ 𝐾𝑑. 𝑠 . 𝐸(𝑠) => u(t) = 𝐾𝑐. 𝑒 𝑡 + 𝐾𝑖 𝑒 𝑡 . 𝑑𝑡 + 𝐾𝑑.

𝑑

𝑑𝑡𝑒(𝑡)

Conclusão: a parte derivativa se opõe as outras duas componentes e faz isso com mais

intensidade quando o módulo da variação do erro é maior.

Como o Kd é mais relacionado a porcentagem de overshoot, vamos analisá-lo com Kc e

Ki constante.

Kd grande

Porcentagem de Overshoot baixo

Kd pequeno

Porcentagem de Overshoot alto

Kd intermediário

Resposta adequada para a porcentagem de overshoot

Conclusão final: Com um controlador PID é possível obter um desempenho transitório

adequado.

- Controlador PID

Efeito de cada componente

As componentes proporcionais, derivativa e integrativa atuam em momentos distintos.

A parte proporcional P mais importante no início do transitório.

A parte proporcional I mais importante em regime permanente.

A parte proporcional D mais importante quando a saída da planta está variando mais

rapidamente.

Parametrizações do PID

Gc(s) = 𝑈(𝑠)

𝐸(𝑠)

Gc(s) função de transferência do controlador

Gc(s) = 𝐾𝑐 + 𝐾𝑖.1

𝑠+ 𝐾𝑑. 𝑠 (mais intuição)

Gc(s) = 𝐾𝑐(1 + 1

𝜏𝑖 .𝑠+ 𝜏𝑑. 𝑠) (melhor para projeto)

Ki = 𝐾𝑐

𝜏𝑖

Kd = Kc. 𝜏𝑑

- Sistemas de 1ª Ordem

qi vazão de entrada

qi > 0 bomba está colocando líquido no

reservatório

qi < 0 bomba está retirando líquido do

reservatório

qi = Ki.u

u tensão aplicada na bomba

q0 vazão de saída

q0 = 𝑕

𝑅

h nível

R resistência de restrição

V = A.h

V volume

A área da seção reta

𝐴.𝑑

𝑑𝑡𝑕 = 𝑞𝑖 − 𝑞0 ⇒ 𝐴.

𝑑

𝑑𝑡𝑕 = 𝐾𝑖. 𝑢 −

𝑕

𝑅 ⇒

𝑑

𝑑𝑡𝑕 = −

1

𝑅. 𝐴. 𝑕 +

𝐾𝑖

𝐴. 𝑢 → 𝐷𝑒𝑠𝑐𝑟𝑖çã𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑣𝑎𝑟𝑖á𝑣𝑒𝑖𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜

u entrada

y = h saída

- Aplicando a transformada de Laplace (C. I. nulas)

𝑠. 𝐻 𝑠 = −1

𝑅. 𝐴. 𝐻 𝑠 +

𝐾𝑖

𝐴. 𝑈 𝑠

𝑠 + 1

𝑅. 𝐴 . 𝐻 𝑠 =

𝐾𝑖

𝐴. 𝑈 𝑠 ⇒

𝐻(𝑠)

𝑈(𝑠)=

𝑌(𝑠)

𝑈(𝑠)= 𝐺 𝑠 =

𝐾𝑖. 𝑅

𝑅. 𝐴. 𝑠 + 1=

𝐾

𝜏𝑠 + 1

K = Ki.R ganho estático

Τ = R.A constante de tempo

G(s) = 𝐾

𝜏𝑠+1 função de transferência

Para u(t) = C1, C1 ≠ 0, U(s) = 𝐶1

𝑠 (u é um degrau)

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝐾

𝜏𝑠 + 1.𝐶1

𝑠=

𝐾𝑠

𝑠 + 1𝜏

.𝐶1

𝑠 =

𝐾1

𝑠 + 1𝜏

+ 𝐾2

𝑠

𝐾1 =𝐾. 𝐶1

𝜏

−1𝜏

= −𝐾. 𝐶1

𝐾2 =𝐾. 𝐶1

𝜏

1𝜏

= 𝐾. 𝐶1

y(t) = £-1

{Y(s)} = −𝐾. 𝐶1. 𝑒−𝑡

𝜏 + 𝐾. 𝐶1 = 𝐾. 𝐶1(1 − 𝑒−𝑡

𝜏 )

t Y erro(%)

𝜏 0,63.K.C1 37

2𝜏 0,86.K.C1 14

3𝜏 0,95.K.C1 5

4𝜏 0,98.K.C1 2

5𝜏 > 0,99.K.C1 < 1

Ts5% = 3 𝜏 (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 5% em relação ao valor final)

Ts2% = 4 𝜏 (tempo necessário para y ficar dentro de uma tolerância de 2% em relação ao valor final)

Regime permanente na pratica: t ≥ 5 𝜏

Ex.

𝐺 𝑠 =𝐾

1 + 1𝜏

Pólo(s): −1𝜏 < 0 Sistema estável

Zero(s): -x-

𝜏1 Grande ⇒ 1

𝜏1 pequeno, pólo próximo do eixo imaginário ⇒ sistema lento

𝜏2 Pequeno ⇒ 1

𝜏2 grande, pólo afastado do eixo imaginário ⇒ sistema rápido

-Planta de 2ª Ordem

f=u Força

x=Y Deslocamento

K Constante da mola

B Coeficiente de atrito viscoso

𝑀. 𝑥 = 𝑓 − 𝐾. 𝑥 − 𝐵. 𝑥

⟹ 𝑀. 𝑥 + 𝐾. +𝐵. 𝑥 = 𝑓

Descrição por variáveis de estado

𝑥1 = 𝑥 𝑥 1 = 𝑥2

x2=𝑥 𝑥 2= −𝐾

𝑀. 𝑥1 –

𝐵

𝑀. 𝑥2+

1

𝑀. 𝑓

𝑦 = 𝑥1

𝑥 = 𝑥1

𝑥2

𝑥 1𝑥 2

= 0 1

−𝐾

𝑀−

𝐵

𝑀

. 𝑥1

𝑥2 +

01

𝑀

.u

𝑦 = 1 0 . 𝑥1

𝑥2

𝑥 = 𝐴. 𝑥 + 𝐵. 𝑢 (B é uma matriz)

𝑦 = 𝐶. 𝑥 + 𝐷. 𝑢 D só aparece quando a saída influencia diretamente na entrada

𝐴 = 0 1

−𝐾

𝑀−

𝐵

𝑀

; 𝐵 = 01

𝑀

; 𝐶 = 1 0

Aplicando a Transformada de Laplace e considerando Condições Iniciais nulas, temos:

𝑀. 𝑠2. 𝑋 𝑠 + 𝐵. 𝑠. 𝑋 𝑠 + 𝐾. 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⇒

𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾 . 𝑋 𝑠 = 𝐹 𝑠 ⇒

⇒𝑋 𝑠

𝐹 𝑠 =

𝑌 𝑠

𝑈 𝑠 = 𝐺 𝑠 =

1

𝑀. 𝑠2 + 𝐵. 𝑠 + 𝐾=

1𝑀

𝑠2 + 𝐵𝑀 +

𝐾𝑀

⇒

⇒ 𝐺 𝑠 = 𝐾

𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2

Onde:

K = 1

𝑀

2. 𝜉. 𝜔𝑛 = 𝐵

𝑀

𝜔𝑛2 =

𝐾

𝑀

𝜔𝑛 Frequência natural

𝜉 Fator de amortecimento

𝐺 𝑠 = 𝐾

𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2

Zeros: -x-

Pólos: 𝑠2 + 2. 𝜉. 𝜔𝑛 . 𝑠 + 𝜔𝑛2 = 0 ⇒

⇒ 𝑠 = −2. 𝜉. 𝜔𝑛

2 ±

4. 𝜉2. 𝜔𝑛2 − 4. 𝜔𝑛

2

2

𝑠 = − 𝜉. 𝜔𝑛 ± 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1

1º Caso: 𝜉 > 1 Pólos reais, distintos e negativos

𝑠1 = − 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1

𝑠2 = − 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1

O efeito de s1 é muito lento, o efeito de s2 é muito rápido.

Para 𝑢 𝑡 = 1 ⇒ 𝑈 𝑠 = 1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 𝐾

(𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1). 𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1 . 𝑠 ⇒

⇒ 𝐾1

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1)+

𝐾2

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2 − 1)+

𝐾3

𝑠

𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = 𝐾1. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 + 𝜔𝑛 . 𝜉2− 1)𝑡 + 𝐾2. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 − 𝜔𝑛 . 𝜉2− 1)𝑡 + 𝐾3 , 𝑡 ≥ 0.

Coeficiente de atrito grande deixa o ξ > 0

Caso Sobre-Amortecido

lim𝑡→∞

𝑦(𝑡) = lim𝑠→0

𝑠. 𝑌(𝑠) = lim𝑠→0

𝑠.𝐾

𝑠2 + 2ξ. ωn . s + ωn2

.1

𝑠=

𝐾

ωn2

2º caso: ξ=1 pólos reais iguais e negativos

s1 = s2 = -ωn

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝑘

𝑠 + ωn 2.1

𝑠=

𝑘1

𝑠 + ωn 2+

𝑘2

𝑠 + ωn +

𝑘3

𝑠

𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌(𝑠) = 𝐾1. 𝑒− ωn .t + 𝐾2. 𝑒− ωn .t + 𝐾3

3º caso: 0 < ξ < 1

𝑠1,2 = ξ. ωn ± j. ωn 1 − ξ2

𝑎2 = ξ. ωn2 + ωn

2. 1 − ξ2

𝑎 = ωn

cos Θ =ξ. ωn

ωn

ξ = cos Θ

Para 𝑢 𝑡 = 1, 𝑈 𝑠 = 1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠

= 𝐾

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 . 𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 . 𝑠 ⇒

⇒ 𝐾1

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 − 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 +

𝐾2

𝑠 + 𝜉. 𝜔𝑛 + 𝑗. 𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2 +

𝐾3

𝑠

𝑦 𝑡 = ℒ−1 𝑌 𝑠 = 𝐾1. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 + 𝑗 .𝜔𝑛 . 1− 𝜉2)𝑡 + 𝐾2. 𝑒(−𝜉 .𝜔𝑛 − 𝑗 .𝜔𝑛 . 1− 𝜉2)𝑡 + 𝐾3 , 𝑡

≥ 0.

𝑦 𝑡 = 𝐾

𝜔𝑛2

. [1 − 𝑒−𝜉 .𝜔𝑛 .𝑡

1 − 𝜉2. 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑛 . 1 − 𝜉2. 𝑡 + 𝑎𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜉 ]

P.O. (Porcentagem de Overshoot)

P.O. = 𝑦𝑚 á𝑥− 𝐾

𝜔𝑛2

𝐾𝜔𝑛

2 . 100 = 100. 𝑒

−𝜋 .𝜉

1−𝜉2

Para:

𝜉 = 0,7 ⇒ 𝑃. 𝑂. = 5%

𝜃 = 45º

Para:

𝜉 = 0,5 ⇒ 𝑃. 𝑂. = 16,3%

𝜃 = 60º

Ts5% = 3.τ = 3

𝜉 .𝜔𝑛, τ valor para a exponencial ficar -1.

Ts2% = 4.τ = 4

𝜉 .𝜔𝑛

Regime permanente na prática t ≥ 5

𝜉 .𝜔𝑛

Ex.: Deseja-se

P.O. ≤ 5%

Ts2% ≤ 4s

P.O. = 5% ⇒ ξ = 0,7 ⇒ 𝜃 = 45º

Ts2% = 4 = 4

𝜉 .𝜔𝑛 ⇒ 𝜉. 𝜔𝑛 = 1

Pólos: -1 + j, -1 – j.

Obs: para 𝜉 = 0, temos:

𝑦 𝑡 =𝐾

𝜔𝑛2

. 1 − sin 𝜔𝑛 . 𝑡 + 90𝑜 =𝐾

𝜔𝑛2

. 1 − cos 𝜔𝑛 . 𝑡

0,1,-1

P.O=100%

Ts2% ∞

Ts5% ∞

-Sistemas de ordem maior

Aproxima-se por um sistema de 1ª ordem Aproxima-se por um sistema de 2ª ordem

|Real de um pólo dominado| ≥ 5*.|Real de um pólo dominante |

* boa aproximação

Sistema aproximadamente de 1ª ordem

- Estabilidade

Ex.:

𝑢 𝑡 = 1 Degrau unitário

𝑈 𝑠 = 1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 1

𝑠 − 2.1

𝑠=

𝐾1

𝑠 − 2+

𝐾2

𝑠

𝐾1 = 1

𝑠|s=2 =

1

2

𝐾2 = 1

𝑠−2|s=0 = -

1

2

𝑦 𝑡 = 1

2. 𝑒2.𝑡 −

1

2 ∀ 𝑡 ≥ 0

yh(t) = 1

2. 𝑒2.𝑡

Componente homogênea

yp(t) = −1

2 Componente particular

lim𝑡→∞ 𝑦𝑕 (𝑡) ∞ Sistema instável

Pólo: 2

Pólo com parte real positiva, sistema instável.

Ex.:

𝑢 𝑡 = 1 Degrau unitário

𝑈 𝑠 = 1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 = 1

𝑠 + 2.1

𝑠=

𝐾1

𝑠 + 2+

𝐾2

𝑠

𝐾1 = 1

𝑠|s=-2 = -

1

2

𝐾2 = 1

𝑠+2|s=0 =

1

2

𝑦 𝑡 = −1

2. 𝑒−2.𝑡 +

1

2 ∀ 𝑡 ≥ 0

yh(t) = −1

2. 𝑒−2.𝑡

Componente homogênea

yp(t) = +1

2 Componente particular

Pólo: -2

Pólo real negativo, sistema estável.

-Critério algébrico para a estabilidade (critério de Routh-Hurwitg)

𝐺 𝑠 =𝑁 𝑠

𝑎3𝑠3 + 𝑎2𝑠2 + 𝑎2𝑠 + 𝑎0

1º passo: a0, a1, a2,e a3 com mesmo sinal (nenhum pode se anular)\

2º passo: s3 a3 a1

s2 a2 a0 𝑏0 =

𝑎2 .𝑎1−𝑎3 .𝑎0

𝑎2

s1 b0 0

s0 a0

Coeficientes da 1ª coluna com o mesmo sinal (nenhum pode se anular)

1º passo + 2º passo sistema estável

-Zeros e pólos

𝐺 𝑠 =𝑠 + 𝑎

𝑠 + 2 (𝑠 + 3)

Zero: -a

Pólos: -2,-3

𝑢 𝑡 = 1 𝑡 ⟹ 𝑈 𝑠 =1

𝑠

𝑌 𝑠 = 𝐺 𝑠 . 𝑈 𝑠 =𝑠 + 𝑎

𝑠 + 2 𝑠 + 3 𝑠=

𝐾1

𝑠 + 2+

𝐾2

𝑠 + 3+

𝐾3

𝑠

𝐾1 =𝑠 + 𝑎

𝑠 + 3 |𝑠=−2 =

𝑎 − 2

−2=

2 − 𝑎

2

𝐾2 = 𝑠+𝑎

𝑠+2 𝑠|𝑠=−3 =

𝑎−3

3

𝐾3 = 𝑠+𝑎

𝑠+2 . 𝑠+3 |𝑠=0 =

𝑎

6

𝑦 𝑡 = 2−𝑎

2. 𝑒−2.𝑡 +

𝑎−3

3. 𝑒−3.𝑡 +

𝑎

6, t ≥ 0.

yh(t) = 2−𝑎

2. 𝑒−2.𝑡 +

𝑎−3

3. 𝑒−3.𝑡

yp(t) = 𝑎

6

𝑒−2.𝑡

Modos do sistema (Determinado pelos pólos)

𝑒−3𝑡

Pólo em -2 modo 𝑒−2.𝑡

Pólo em -3 modo 𝑒−3.𝑡

O efeito do pólo pode ser atenuado pelo zero reduz o efeito do pólo com o

zero próximo a ele. Zero em –a pondera os modos do sistema.

- Desempenho em regime permanente

Supor o sistema em malha fechada estável

r Referência (Comportamento desejado para y).

y Saída da planta.

𝐸 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝑌 𝑠 = 𝑅 𝑠 − 𝐺 𝑠 . 𝐸 𝑠 ⟹

⇒ 𝐸 𝑠 = 1

1 + 𝐺 𝑠 . 𝑅(𝑠)

e.r. erro em regime permanente

e.r. = lim𝑡→∞ 𝑒 𝑡 = lim𝑠→0 𝑠. 𝐸 𝑠

e.r. = lim𝑡→∞ 𝑒 𝑡 = lim𝑠→0𝑠

1+𝐺 𝑠 . 𝑅(𝑠)

1º caso: 𝑟 𝑡 = 𝐶1 , 𝑡 ≥ 0 (degrau)

𝑅(𝑠) =𝐶1

𝑠

e.r. = lim𝑠→0𝑠

1+𝐺 𝑠 .𝐶1

𝑠=

𝐶1

1+𝐾𝑃

Kp constate de erro ao degrau

Kp = lim𝑠→0 𝐺 𝑠

2º caso: 𝑟 𝑡 = 𝐶2. 𝑡 , 𝑡 ≥ 0 (rampa)

𝑅 𝑠 =𝐶2

𝑠2

e.r. = lim𝑠→0𝑠

1+𝐺 𝑠 .𝐶2

𝑠2 =𝐶2

𝐾𝑣

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠. 𝐺 𝑠 constante de erro à rampa

-Planta tipo 0

𝐺 𝑠 = 𝐾1 . 𝑠+𝑍1 𝑠+𝑍2 …

𝑠+𝑃1 𝑠+𝑃2 𝑠+𝑃3 …

𝐾𝑝 = lim𝑠→0

𝐺(𝑠) =𝐾1. 𝑍1. 𝑍2

𝑃1. 𝑃2. 𝑃3 ≠ 0

e.r ≠ 0

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠. 𝐺 𝑠 = 0 e.r. → ∞

Planta tipo 1

𝐺 𝑠 =𝐾1 𝑠 + 𝑍1 (𝑠 + 𝑍2)

𝑠 𝑠 + 𝑃1 𝑠 + 𝑃2 𝑠 + 𝑃3 …

𝐾𝑝 = lim𝑠→0

𝐺(𝑠) → ∞ ⇒ 𝑒. 𝑟. = 0

𝐾𝑣 = lim𝑠→0

𝑠𝐺 𝑠 =𝑍1 . 𝑍2. 𝑍3 …

𝑃1. 𝑃2 . 𝑃3 …≠ 0 ⇒ 𝑒. 𝑟. ≠ 0

Efeito de perturbações

r Referência

p Perturbação

Se G1(s) = 1, perturbação na entrada da planta

Se G2(s) = 1, perturbação na saída da planta

Se G1(s) ≠ 1 e G2(s) ≠ 1, perturbação em um ponto intermediário da planta

- Efeito de R(s)

Considera-se P(s) ≡ 0

𝑌(𝑠)

𝑅(𝑠)=

𝐺1 𝑠 . 𝐺2(𝑠)

1 + 𝐺1 𝑠 . 𝐺2(𝑠)= 𝐺𝑇𝐶 𝑠 ⟶ 𝐹𝑢𝑛çã𝑜 𝑑𝑒 𝑇𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑒𝑟ê𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝐶𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜

Efeito de P(s)

Considera-se 𝑅(𝑠) ≡ 0

𝑌(𝑠)

𝑃(𝑠)=

𝐺2(𝑠)

1+𝐺1(𝑠).𝐺2(𝑠)= 𝐺𝑡𝑝 𝑠 → função de transferência de perturbação

𝑌 𝑠 = 𝐺𝑡𝑐 𝑠 . 𝑅 𝑠 + 𝐺𝑡𝑝 𝑠 . 𝑃 𝑠

Influência da referência Influência da perturbação

Teorema do valor inicial e valor final

Teorema do valor inicial

lim𝑡→0

𝑓 𝑡 = lim𝑠→∞

𝑠. 𝐹 𝑠

Teorema do valor final (função estável)

lim𝑡→∞

𝑓 𝑡 = lim𝑠→0

𝑠. 𝐹 𝑠

-Efeito de ruídos

Supor r = constante = c | r referência

Na prática, a medida de y vem contaminada por ruídos, em geral, na forma de

oscilações.

𝑦𝑚𝑒𝑑𝑖𝑑𝑜 = 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡

Se houver necessidade de uti lização da componente derivativa (D) nos

controladores do tipo PID (controlador PD e controlador PID), ocorrerá uma

amplificação do ruído.

𝑒 = 𝑟 − 𝑦 = 𝑟 − 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡

𝑑

𝑑𝑡𝑒 𝑡 =

𝑑

𝑑𝑡{ 𝑟 − 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 + 𝜀. sin 𝜔𝑡 }

Em regime permanente, lim𝑡→∞ 𝑦𝑡𝑒ó𝑟𝑖𝑐𝑜 = 𝐶 (supor e.r. = 0)

lim𝑡→∞𝑑

𝑑𝑡𝑒 𝑡 = − 𝜀. 𝜔. sin 𝜔𝑡, há uma amplificação de 𝜔 vezes

Obs.: no caso de ruídos causados pela fonte de alimentação, temos:

f = 60 Hz

𝜔 = 2.𝜋.f = 377 rad/s

Um sistema com grande ruído não usamos controladores.

- Introdução de um filtro

Ex: Filtro passivo de 1ª Ordem

Análise em aberto:

𝑉𝑖 = 𝑅. 𝑖 + 𝑉𝑜

𝑖 = 𝐶.𝑑

𝑑𝑡𝑉𝑜

𝑉𝑖 = 𝑅. 𝐶.𝑑

𝑑𝑡𝑉𝑜 + 𝑉𝑜

Aplicando a transformada de Laplace

𝑉𝑖 𝑠 = 𝑅. 𝐶. 𝑠. 𝑉𝑜 𝑠 + 𝑉𝑜(𝑠)

𝑉𝑜(𝑠)

𝑉𝑖(𝑠)=

1

𝑅. 𝐶. 𝑠 + 1=

1

𝜏′. 𝑠 + 1→ 𝑓𝑖𝑙𝑡𝑟𝑜 𝑝𝑎𝑠𝑠𝑎 𝑏𝑎𝑖𝑥𝑎

𝜏′ = 𝑅. 𝐶

- Introdução de um filtro na parte derivativa dos controladores PID

Teoria 𝜏𝑑 . 𝑠

Pratica 𝜏𝑑 .𝑠

1+𝜏𝑑′ .𝑠

introdução de um filtro

Projeto sem filtro

o Projeto mais simples

o Sintonia fina mais trabalhosa

Projeto com filtro

o Projeto mais complexo

o Sintonia fina menos trabalhosa

No caso do projeto sem filtro, como a implementação sempre é feita com filtro,

calcula-se a constante do filtro como:

𝜏𝑑′ =

𝜏𝑑

𝑁 , 3 ≤ N ≤ 10 constante N sempre é números inteiros

N=10

o Comportamento próximo do caso teórico

o Amplificação significativa dos ruídos

N=3

o Comportamento distante do caso teórico

o Amplificação pequena dos ruídos

Valor mais usado na pratica: N=5

*Na parte integrativa, atenua-se o ruído, pois 𝜀. 𝑠𝑒𝑛(𝜔. 𝑡) → 𝜀

𝜔. 𝑐𝑜𝑠 𝜔. 𝑡 → 𝑎𝑡𝑒𝑛𝑢𝑎

- Projeto de controladores

Controlador tipo relé

Seja r = c

u=M, para e ≥ 0

u=-M, para e ≤ 0

Supor: 𝐺 𝑠 = 𝐾

𝑠+𝑎 .(𝑠+𝑏), K,a,b > 0

Para u=M ⇒ 𝑈 𝑠 = 𝑀

𝑠

Para 𝑌 𝑠 = 𝐾

𝑠+𝑎 .(𝑠+𝑏).𝑀

𝑠

lim𝑡→∞

𝑦 𝑡 = lim𝑠→0

𝑠. 𝑌 𝑠 = lim𝑠→0

𝑠.𝐾

𝑠 + 𝑎 . (𝑠 + 𝑏).𝑀

𝑠=

𝐾. 𝑀

𝑎. 𝑏

Se 𝐾.𝑀

𝑎 .𝑏 < c, temos:

Se 𝐾.𝑀

𝑎 .𝑏 = c, temos:

Para 𝑢 = −𝑀 ⇒ 𝑈 𝑠 = −𝑀

𝑠

lim𝑡→∞

𝑦 𝑡 = lim𝑠→0

𝑌 𝑠 = −𝐾. 𝑀

𝑎. 𝑏

Se 𝐾.𝑀

𝑎 .𝑏 > c, temos:

M↑

o Resposta atinge a referência mais rapidamente

o Oscilações maiores amplitude das oscilações maiores

o Tempo de estabilização maior

M↓

o Resposta atinge a referência mais lentamente

o Oscilações menores

o Tempo de estabilização menor

Problema: alta freqüência de chaveamento

Solução: introdução de histerese

u = M , para :

e ≥ ∆

−∆ < e < ∆ e 𝑑

𝑑𝑥 𝑒 𝑡 < 0

u = -M , para :

e ≤ -∆

−∆ < e < ∆ e 𝑑

𝑑𝑥 𝑒 > 0

∆→largura da histerese

𝐾𝑀

𝑎𝑏> 𝑐

Resposta oscilatória com pequena freqüência de chaveamento

∆↑

o Oscilações ↑

o Freqüência de chaveamento ↓

∆↓

o Oscilações ↓

o Freqüência de chaveamento ↑

Obs:

PI melhora o erro a parte integrativa ajuda a proporcional

PID melhora o transitório a parte derivativa se opõem as partes P e I

Ex: 𝐺 𝑠 = 1

𝑠+2 𝑠+3

r=1

- Controlador PID

Método de sintonia inicial

o Ziegler-Nichols

o Polinomial

o Lugar das raízes

o Frequencial

Método da sensibilidade malha fechada

Método da curva de reação malha aberta

- Método de Ziegler-Nichols

1) Sintonia inicial pelo método da sensibilidade

2) Sintonia inicial pelo método da curva de reação

𝐺 𝑠 = 𝐾𝑐 1 +1

𝜏𝑖 . 𝑠+ 𝜏𝑑 . 𝑠 ⟹ 𝐾𝑐

𝜏𝑖 . 𝜏𝑑 . 𝑠2 + 𝜏𝑖 . 𝑠 + 1

𝜏𝑖 . 𝑠

⟹ 𝐾𝑐 . 𝜏𝑖 . 𝜏𝑑

𝜏𝑖

𝑠2 +1𝜏𝑑

. 𝑠 +1

𝜏𝑖 . 𝜏𝑑

𝑠 ⟹ 𝐾𝑐 . 𝜏𝑑

𝑠2 +1𝜏𝑑

. 𝑠 +1

𝜏𝑖 . 𝜏𝑑

𝑠

𝑠2 +1

𝜏𝑑. 𝑠 +

1

𝜏𝑖 .𝜏𝑑 = 0 ⟹ 𝑠 =

−1

𝜏𝑑±

1

𝜏𝑑2 +

4

𝜏𝑖 .𝜏𝑑

2

⟹ s =

−1τd

± τi − 4τd

τi . τd2

2

Caso mais simples: zeros reais iguais

𝜏𝑖 − 4𝜏𝑑 = 0 ⟹ 𝜏𝑖 = 4𝜏𝑑

Zeros reais e iguais são: - 1

2𝜏𝑑

- Método polinomial

o Oferece a melhor sintonia inicial

o Método que faz mais cálculos controladores mais sofisticado.

4

𝑠(𝑠+1)=

𝑏(𝑠)

𝑎(𝑠)

𝑛𝑝 = 0

𝑛𝑎 = 2

Projetar o controlador mais simples de forma que o sistema em malha fechada

apresente:

P.O ≤ 5%

Ts2% ≤ 4s

e.r ≤ 0,01 para r(t) = 2

Projete o controlador mais simples

Planta tipo 1 e.r = 0 , para r(t) = 1

P.O ≤ 5% ⟹ 𝜉 = 0,7 ⟹ 𝜃 = 45º

Ts2% = 4

𝜉 .𝜔𝑛= 4 ⟹ 𝜉. 𝜔𝑛 = 1

Pólos de malha fechada:

𝑎∗ 𝑠 = 𝑠 + 1 − 𝑗 𝑠 + 1 + 𝑗 = 𝑠 + 1 2 + 1 = 𝑠2 + 2𝑠 + 2 ⟹ 𝑔𝑟𝑎𝑢 𝑑𝑒 𝑎∗ = 2

Grau 𝑎∗ tem que ser maior ou igual ao grau da planta.

𝐺 𝑠 =𝑝(𝑠)

𝑙 𝑠

Se p(s) e l(s) forem coprimos; podemos escrever da seguinte forma:

np < na ⟹ np < 2 𝑛𝑝 = 0 → 𝑝 𝑠 = 𝑝0 → 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑖𝑟𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑛𝑝 = 1 → 𝑝 𝑠 = 𝑝1 → 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑎 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑎𝑡𝑖𝑣𝑎

𝑛𝑙 ≤ max(𝑛𝑎∗ − 𝑛𝑎 , 𝑛𝑏 − 1) ⟹ 𝑛𝑙 max(0, −1)

𝑛𝑙 ≤ 0 ⟹ 𝑙 𝑠 = 𝑙0