Post on 30-Oct-2019
1
5. TRANSMISIUNI ÎN BANDA DE BAZĂ
3.1. Introducere � Expresia generală a semnalului modulat:
( ) ( )∑ −=n
nnanTtstx σ;;
• T =perioada de simbol; n = indice temporal;
• an= v.a. staţionară ∈AM ⇒ simbolurile emise de sursă; A = alfabetul sursei este finit;
• σn= v.a. discretă ∈S ⇒ starea modulatorului; S = alfabetul stărilor modulatorului;
• ( )nnanTts σ;;− ∈ ( ){ }MinTtsi ,1; =− = mulţimea (finită) a formelor de undă
asociate modulatorului;
� Descrierea modulatoarelor
2
• relaţii ce determină ieşirea şi starea următoare ( )
( ) ( ){ }00
1
;;
;
σ
σσ
atsts
af nnn
∈
=+
• graful stărilor şi tranziţiilor
• tabele de tranziţie;
Exemplu: Semnalul bipolar
o graful asociat transmisiei
o tabele de tranziţie
� Clasificare; semnale uzuale
• Modulatoare fără memorie, caracterizate de o singură stare σ0
3
( ) ( )∑ −=n
nanTtstx ;
• Modulatoare liniare fără memorie ⇒ MIA digital în BB
( ) ( )nTtsaanTts nn −=− ; ⇒ ( ) ( )∑ −=n
n nTtsatx
Exemplu: MIA digital pe M niveluri ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ){ } n
n
sss
MMidMia
nTTTttTttts
2,,1,12
;
==−−∈
=−−=−−= σσσσ
3.2. Modelul liniar pentru transmisiune în banda de bază
4
� Sursa ⇒ generează o secvenţă staţionară { }na de v.a.i.i.d. { } 0=naE , { } 22anaE σ= ⇒
semnalul emis de sursă ( )∑ −n
n nTta δ
� Emiţătorul ⇒ ( ) ( )ωStsF
⇔ ⇒semnalul transmis pe canal
( ) ( )∑ −=n
n nTtsate
� Canalul ⇒ ( ) ( )ωCtcF
⇔ ⇒semnalul transmis pe canal
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tctstpnTtpatrn
n *; =−=∑
⇒ afectat de ZAGA ⇒ ( ) ( )tnnTtpan
n 0+−∑
� Receptorul ⇒ ( ) ( )ωUtuF
⇔ ⇒ semnalul transmis pe canal
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutntntutctstqtnnTtqatyn
n *;**; 0==+−=∑
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωω UCSQtutctstqF
=⇔= ** =factorul de transfer global
5
� Circuitul de eşantionare ⇒ kTt +0 , ales convenabil astfel încât să se asigure performanţe cât mai bune ⇒
( ){ {
zgomotuluiefectul
boltaintersimInterferen:IIS
'
curentsimbolul
00 k
k
nknk
k
knknk nqaqanqakTtyy ++=+=+= ∑∑∞
−∞=
−
∞
−∞=
−
43421
� La MIA digital cu M niveluri pragurile de decizie se stabilesc la jumătatea distanţei între nivelurile datelor (în figura q0 s-a notat cu f0)
6
• În absenţa zgomotului ⇒ o eroare poate apare
- la nivelurile intermediare: dqqak
nkn 0' >∑
∞
−∞=
−
- la nivelurile extreme: inferior dqqak
nkn 0' >∑
∞
−∞=
−
superior dqqak
nkn 0' −<∑
∞
−∞=
−
• În prezenţa zgomotului ⇒ dqnqak
knkn 0' >+∑
∞
−∞=
−
3.3. Criteriul I al lui Nyquist
� Stabileşte forma / condiţiile ce trebuiesc îndeplinite de factorul de transfer global pentru anularea interferenţei intersimbol
� Ideal: [ ] ( ) [ ]
≠
====
0,0
0;1
n
nnnTqnq δ
7
� Pp: MIA digital cu impuls purtător ( ) ( )∑ −=n
T nTtt δδ ⇒
( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑
−=⇔−=
n
F
n TnQ
TQnTtnTqtq
πωωδ δδ
21
• Impunând ( ) ( ) ( ) ∑
−==⇔=
n
F
TnQ
TQttq
πωωδ δδ
211
� se defineşte factorul de transfer echivalent în tensiune restrâns la o
perioadă
( ) ( ) ( ) ( )
−−
+==
Tt
TtppTQQ
TT
eq
πσ
πσωωωω ππδ ,
• dar
( ) ( )
( )
⇔
⇔
ωπ
ω
π
δδ
T
F
F
pT
tc
T
Qtq
sin1 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )
−=
= ∑ nTt
TnTq
T
ttqtq
n
eq
ππδ sincsinc*
Obs.1. ( )tq şi ( )tqeq au aceleaşi valori ale eşantioanelor la nT
8
Obs.2. Frecvenţa unghiulară TN
πω = , respectiv T
f N 2
1= poartă numele de frecvenţă
Nyquist.
3.3.1. Soluţia de bandă minimă
( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT
ttqTpTpQ Neq
T
eq Nω
πωωω ωπ sincsinc =
=⇒==
Pb.1. Soluţie necauzală ⇒ nu este fizic realizabilă
Este posibilă o realizare dacă se acceptă o întârziere în răspunsul sistemului
a.î. să nu afecteze performanţele acestuia
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 00,sinc00
tj
eqt
eqNeqN
NeTpQtqtttq
ωω ωωω −
<=⇒=−=
Pb.2. Sensibilitate foarte mare la momentele de eşantionare ⇒ semnalul recepţionat
( ) ( )[ ] ( )tnnTtaty N
n
n +−=∑ ωsinc ⇒
9
( ) ( )[ ] ( )
( ) ( )[ ]
( ) ( )
( )
( ) ( )( )
( )( )τ
τωωτω
ττωτω
ττωτ
τπ
τπ
+++
−+=
=+++−+=
=+++−=+
∑
∑
∑
≠
−
−=
+
=−
≠
kTnmT
ata
kTnTnkaa
kTnTnkakTy
divergentaserie
m N
m
mk
NNk
TmT
T
mnk
N
kn
nNk
N
n
n
m
44 344 21
4444 34444 21
0
sin1sin
1sinsinc
)(sincsinc
)(sinc
3.3.2. Soluţia de bandă neminimă
� Pp. alegerea unui factor de transfer global
( )
( ) ( ) ( )ωωω
ωωω
ω 1
20
QTpQ
ptQ
Neq
N
+=
>=
� Pb: Cum alegem ( )ω1Q a.i. să îndeplinească Criteriul Nyquist I ??
10
� Soluţia:
• impunem pentru factorul de transfer global [ ] ( ) [ ]nnTqnq δ== ⇒ [ ] 0,01 ≠= nnq ⇒ trebuie să alegem soluţii de forma
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )ωωϕ
πϕωϕ
*
N1 sinsin
ΦΦt
tT
ttttq
=−⇒∈
==
R
⇒ ( ) ( ) ( )NN Φ
jΦ
jQ ωωωωω +−−=
2
1
2
11
• dar, impunând ( ) ( ) ( )
NNN ΦQQ ωωωωωωωωω ≤=⇒≤≠⇒≤≠ ,02,02,0 1 • separând partea reală şi cea imaginară a lui ( )ω1Q şi ( )ωΦ rezultă
( ) ( ) ( )ωωω ir jQQQ 111 += ( ) ( ) ( )ωωω ir ΦjΦΦ +=
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]NiNrNiNrir jΦΦj
jΦΦj
jQQ ωωωωωωωωωω +++−−+−=+2
1
2
111
11
⇒
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )NrNri
NiNir
ΦΦQ
ΦΦQ
ωωωωω
ωωωωω
++−−=
+−−=
2
1
2
12
1
2
1
1
1
• notând Nωωω += ' ⇒
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )NrrNi
NiiNr
ΦΦQ
ΦΦQ
ωωωωω
ωωωωω
2'2
1'
2
1'
2'2
1'
2
1'
1
1
++−=+
+−=+
• din condiţia ( ) ( )NN ΦQ ωωωωωω ≤=⇒≤≠ ,02,01 ⇒
( )( ) 02
02
=+
=+
Nr
Ni
Φ
Φ
ωω
ωω
• în plus ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )
−=−
=−⇒=−⇒∈
ωω
ωωωωϕ
ii
rr
ΦΦ
ΦΦΦΦt
*R ⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )NirrNi
NriiNr
QΦΦQ
QΦΦQ
ωωωωωω
ωωωωωω
+−=−−=−=+
+−−=−−==+
''2
1'
2
1'
''2
1'
2
1'
11
11
⇒ partea reală a funcţiei ( )ω1Q are simetrie impară în raport cu Nω pt 0>ω
12
⇒⇒⇒⇒ partea imaginară a funcţiei ( )ω1Q are simetrie pară în raport cu Nω pt 0>ω • impunând condiţia de continuitate a ( )ωQ în Nω
( ) ( ) ( )ωωω ω 1QTpQNeq += ⇒
( ) ( ) ( ) ( )εωεωεωεω +++=−+−+ NiNrNiNr jQQjQQT 1111 ⇒ ( )ωiQ1 : continuă în Nω ; ⇒ ( )ωrQ1 : discontinuă, cu simetrie impară în raport cu Nω ⇒
( )00
1 2>→
±=±
εε
εωT
Q Nr
� Concluzie:
(1) dacă ( )ωQ satisface criteriul Nyquist I ⇒ se poate construi o funcţie ( ) C∈ω1Q , care, prin asocierea la funcţia de transfer de bandă minimă
( )ωωNTp să satisfacă criteriul Nyquist I
13
(2) impunând condiţia ca viteza de variaţie a lui ( )ωQ să fie limitată ⇒ ( )tq
este de ordinul lui 2,1
≥kt k atunci când ∞→t , ceea ce scade sensibilitatea
la momentele de eşantionare
� Exemplu: se observă respectarea condiţiei de pliere a caracteristicii în jurul
lui Nω pentru revenirea la soluţia de bandă minimă
14
� Observaţie: este de reţinut faptul că ( ) πωω 2=∫∞
∞−
dQ
15
� Familia de caracteristici de tip cosinus ridicat – familie de caracteristici ce respectă criteriul I al lui Nyquist
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
<+
+≤<−
−−+
−≤
=
ωαω
αωωαωαωωα
αωω
ω
1;0
11;)1(2
cos12
1;
N
NNN
N
TT
T
Q⇒
( ) ( ) ( )2
21
cossinc
−
=
T
t
tttq N
N
α
ωω
unde TN
πω =
• α∈∈∈∈[0,1] se numeşte factor de rotunjire (roll-off):
- α=0 ⇒ soluţia de bandă minimă;
- α=1 ⇒ exces de banda 100%
• Obs1: se mai poate scrie şi cu sinus folosind:
( ) ( ) ( )
−=
−−=
−− NNN
TTTωω
α
πωω
ααωω
α 2sin
22cos)1(
2cos
16
( )
( )
( ) ( ) ( )
( )
<+
+≤<−
−+
−≤
=
ωαω
αωωαωωωα
αωω
ω
1;0
11;2
sin12
1;
N
NNN
N
TT
T
Q
• Obs. 2. ( )∞→
=
tt
Otq3
1⇒sezitivitate convenabilă la bateri mici faţă de
momentul de eşantionare optim
17
3.4. Criteriul II al lui Nyquist
� Se admite o interferenţă intersimbol nenulă, dar limitată (controlată);
� Din motive de simetrie a caracteristicii în timp ⇒ eşantionarea se face la
( )2
12T
k +
18
( ) ( ) finitkT
kttq kk XXZ ,,2
12,0 −∈+=≠
3.4.1. Soluţia de bandă minimă
( ) ( )ωω
ωπω ωN
pT
TQN
= cos22
( )( )
−
=2
21
cos4
T
t
ttq N
π
ω
În figură sunt reprezentat funcţia pondere şi funcţia de transfer pentru T=1⇒ωN=π
19
• se observă că
( ) ( ) { }
( ) ∞→
=
=
−=
−∈+==
tptt
Otq
Tq
Tq
kT
kttq kk
,1
122
1,0,2
12,0
2
Z
� Observaţie:
20
• Avantaje: Caracteristica Nyquist II are acelaşi suport cu cea Nyquist I de bandă minimă, dar are o comportare mai bună dpdv temporal la momentele de eşantionare;
• Dezavantaje: IIS≠0
3.4.2. Soluţia de bandă neminimă
� Pentru o comportare mai bună dpdv temporal la momentele de eşantionare ( ) ( ) ( )
( ) NQ
QQQ
ωωω
ωωω
2032
>=
+=
� Problema: cum alegem ( )ω3Q ⇒ astfel încât ( ) ( )nTnq ∀=
+ 0
2123
� Alegem ( ) ( ) ( )tttq Nωφ cos3 = ⇒ ( ) Nωωω >=Φ 0
⇒ ( ) ( ) ( )NNQ ωωωωω +Φ+−Φ=2
1
2
13 ⇒ separând partea reală şi imaginară
21
⇒
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
+Φ+−Φ=
+Φ+−Φ=
NiNii
NrNrr
Q
Q
ωωωωω
ωωωωω
2
1
2
12
1
2
1
3
3
⇒înlocuind NNN ωωωωωω ≤≤−⇒−= ' ⇒( )( )
=−Φ
=−Φ
02'
02'
Ni
Nr
ωω
ωω
⇒ în plus ( ) ( ) ( )ωωφ *Φ=−Φ⇒∈ Rt ⇒( ) ( )( ) ( )
Φ−=−Φ
Φ=−Φ
ωω
ωω
ii
rr
⇒
⇒
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
−−=−Φ−=Φ=+
−=−Φ=Φ=+
NiiiNi
NrrrNr
ωωωωωω
ωωωωωω
''2
1'
2
1'
''2
1'
2
1'
33
33
(*)
⇒ partea reală a funcţiei ( )ω3Q are simetrie pară în raport cu Nω iar partea
imaginară are simetrie impară în raport cu Nω
22
� Observaţie: Funcţia de transfer globala
( ) ( )ωω
ωπω ωN
pT
QN
24 2cos1
2
+=
satisface ambele criterii ale lui Nyquist
Demonstraţie:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( )
≤<
+
≤
−
=
=
+=
NN
N
N
N
N
T
T
Q
IINyquistpT
TQ
QQQ
N
ωωωω
ωπ
ωωω
ωπ
ω
ωω
ωπω
ωωω
ω
2,2
cos12
,2
cos12
;cos2
2
1
3
2
324
• Se observă că sunt satisfăcute condiţiile de paritate (*)⇒este Nyquist II
23
• Se observă că ( )ω4Q este o caracteristică de tip cosinus ridicat cu α=1 ⇒ satsface Nyquist I
3.5. Filtru de compansare în banda de bază
� Daca se foloseşte pentru transmiterea datelor un impuls de bază ( ) ( )ωGtgF
⇔ în locul impulsului ideal δ(t) ⇒trebuie realizată o compensare la recepţie astfel încât să se păstreze funcţia de transfer globală Q(ω) ⇒se poate utiliza schema:
• Între punctele (1) şi (2) caracteristica este de tip Nyquist I
( ) ( ) ( ) ( )ωωωω UCSQ =
24
• dacă se doreşte păstrarea caracteristicii globale de transmisiune filtrul de compensare trebuie să aibă caracteristica
( )( ) Maxpentru
G
kH ωω
ωω ≤= ,
BMax πω = , B fiind banda ocupată de semnal; În aceste condiţii întregul sistem între punctele 0 şi 3 satisface criteriul I al lui Nyquist
• exemplu: ( ) ( ) ( ) ( )
=⇔−−=
−
2sinc2 T
eGTtttg
TjF ω
ωσσω
⇒
( ) ,
2sinc
2
=
−
T
keH
T
ωω
ω
Compensarea este posibilă numai dacă NMaxT
ωπ
ω 22
=<
25
3.6. Repartizarea filtrării între emiţător şi receptor în banda de bază cu IIS=0
� Problema: optimizarea modului în care este distrubuită caracteristica globală între Tx – Rx a.i. să se obţină o valoare cât mai mică a probabilităţii de eroare.
3.6.1. Optimizarea repartizării caracteristicii globale între emiţător şi receptor. � Modelul pentru transmisiunea în banda de bază adoptat:
� Ipoteze:
• IIS=0;
• caracteristica de transfer globală ( ) ( ) ( ) ( )ωωωω UCSQ = este cunoscută ⇒ este de tip Nyquist I;
26
• caracteristica de transfer a canalului ( )ωC este dată;
• zgomotul asociat canalului este de tip aditiv, cu DSmP cunoscută ( )ωNS ;
• puterea semnalului la intrarea canalului SiP este fixată
� Semnalul la intrarea canalului
( ) ( )∑ −=n
ne nTtsats
unde { }na = v.a.i.i.d. reprezintă simbolurile emise de sursă, de medie nulă { } 0=naE şi varianţă { }22
na aE=σ cunoscută
• puterea semnalului la intrarea în canal ( )∫∞
∞−
= ωωπ
σdS
TP a
se
22
2
1;
• puterea zgomotului la intrarea receptorului ( ) ( )∫∞
∞−
= ωωωπ
σ dUSNz
22
2
1
� Problema: să se determine ( )ωS , respectiv ( )ωU astfel încât 2zσ =min, cu
restricţia seP impus
�
27
• dar ( ) ( )( ) ( )ωω
ωω
UC
QS = , ( )∫
∞
∞−
=
ωω
πσ
dS
TPse
a2
2 2
⇒
⇒ ( ) ( ) ( )max
2
1
12
222
2
==
∫∫∞
∞−
∞
∞−
ωωωπ
ωω
π
σ
σ
dUSdS
TP
N
se
z
a
⇒
⇒ ( ) ( ) ( ) min22
=⋅ ∫∫∞
∞−
∞
∞−
ωωωωω dUSdS N
⇒ aplicăm inegalitatea lui Schwartz:
( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ωωωωωωωωω
dBAdBdAkBAdaca
egalitate
222*=∞
∞−
∞
∞−
≤⋅ ∫∫
cu
( ) ( ) ( )
( ) ( )( ) ( )ωω
ωω
ωωω
UC
QB
USA N
=
=
28
⇒ rezultă max2
2
=z
a
σ
σdacă ( ) ( ) ( )
( ) ( )ωω
ωωω
UC
QkUSN = ⇒
⇒
( )( )
( ) ( )
( ) ( )( ) ( )
( )( )
( ) ( )
( )
( ) ( )
( )ω
ωω
ω
ωω
ω
ω
ωω
ωω
ωω
ωω
C
SQ
kQ
SC
kC
Q
UC
QS
SC
QkU
NN
N
44
4
11===
=
unde k se determină din condiţia ( ) ( )
( )∫∞
∞−
= ωω
ωω
π
σd
C
SQ
kTP
Na
se 2
2 1
2
1=impus
3.6.2. Determinarea probabilităţii de eroare în cazul repartizării optimale între Tx-Rx pentru transmisiuni de tip MIA digital
� Ipoteze:
• simbolurile emise de sursă ( ){ } p
k MMidMia 2,,1;12 ==−−∈ v.a.i.i.d.
29
• zgomotul asociat canalului: ZAGA, cu ( ) ( )ωω ∀=2
0NSN
• canalul este ideal cu ( ) ( )ωω ∀= 1C
• caracteristica de transfer globală ( )ωQ este de tip cosinus ridicat cu α=1, repartizată simetric între Tx şi Rx
• schema receptorului
� Pragurile de decizie sunt egal distanţate ( ) ( ){ } p
k MMidMip 2,1,1;2 =−=−∈
30
6d
7d
2d
0d
5d
4d
3d
2d
1d
NU APARE EROARE
NIVEL TRANSMIS
PRAGURI DE DECIZIE
EROARE
EROARE
EROARE
� Deoarece se impune IIS=0 ⇒ eşantionul simbolului recepţionat la momentul k
depinde doar de cel emis kkk nax +=
� O eroare în decizie – apare când se produce unul din următoarele evenimente
( ) ( ) ( ){ }1,2;12, −=−−=>− MidMiadaxE kkk
31
( ) ( )dMadaxE kkk 1, −=<−−
( ) ( )dMadaxE kkk 1, −−=>−+
� Probabilitatea de eroare
( ) ( ) ( )
−=
+
−=
=−<+>+>−
=
σσσ
dQ
M
dQ
M
dQ
M
M
dnPM
dnPM
dnPM
MP kkke
112
22
2
112
� dorim să exprimăm Pe în funcţie de 0N
Psi
:
• Rx: cum ( ) ( )ωω QkU = ⇒
( ) ( )( ) 22
1
222
1 02
2
20202 NkdQk
NdU
NP
dQ
zz
πωω
ωωπ
ωωπ
σ=∫
∞
∞−
∞
∞−
∞
∞−
==== ∫∫
• Tx: ( ) ( )ωω Qk
S1
= ⇒
32
( ) ( )Tk
dQkT
dST
P aaa
si 2
2
2
22
2 1
2
1
2
1 σωω
π
σωω
π
σ=== ∫∫
∞
∞−
∞
∞−
{ } ( ) ( )3
112
1 22
1
2222 −=−−== ∑
=
MdMid
MaE
M
i
kaσ ⇒( )
Tk
MdPsi 2
22
3
1−= ⇒ ( )1
32
22
−=
M
TPkd si
deci ( ) 022
2
1
6
N
P
M
Td si
z −=
σ ⇒ ( )
−
−=
02 1
6112
N
P
M
TQ
MP si
e
• Se mai poate folosi putere zgomotului în banda Nyquist
π
ωω
πω
π
ω
ω2
22
1
222
1 000 N
NzN
NNd
NP
N
N
=== ∫−
⇒
( ) zN
si
zP
P
M
d
1
322
2
−=
σ ⇒ ( )
−
−=
zN
si
eP
P
M
TQ
MP
1
3112
2
• a
• a
• a
33
• a