1

5. TRANSMISIUNI ÎN BANDA DE BAZĂ

3.1. Introducere � Expresia generală a semnalului modulat:

( ) ( )∑ −=n

nnanTtstx σ;;

• T =perioada de simbol; n = indice temporal;

• an= v.a. staţionară ∈AM ⇒ simbolurile emise de sursă; A = alfabetul sursei este finit;

• σn= v.a. discretă ∈S ⇒ starea modulatorului; S = alfabetul stărilor modulatorului;

• ( )nnanTts σ;;− ∈ ( ){ }MinTtsi ,1; =− = mulţimea (finită) a formelor de undă

asociate modulatorului;

� Descrierea modulatoarelor

2

• relaţii ce determină ieşirea şi starea următoare ( )

( ) ( ){ }00

1

;;

;

σ

σσ

atsts

af nnn

∈

=+

• graful stărilor şi tranziţiilor

• tabele de tranziţie;

Exemplu: Semnalul bipolar

o graful asociat transmisiei

o tabele de tranziţie

� Clasificare; semnale uzuale

• Modulatoare fără memorie, caracterizate de o singură stare σ0

3

( ) ( )∑ −=n

nanTtstx ;

• Modulatoare liniare fără memorie ⇒ MIA digital în BB

( ) ( )nTtsaanTts nn −=− ; ⇒ ( ) ( )∑ −=n

n nTtsatx

Exemplu: MIA digital pe M niveluri ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ){ } n

n

sss

MMidMia

nTTTttTttts

2,,1,12

;

==−−∈

=−−=−−= σσσσ

3.2. Modelul liniar pentru transmisiune în banda de bază

4

� Sursa ⇒ generează o secvenţă staţionară { }na de v.a.i.i.d. { } 0=naE , { } 22anaE σ= ⇒

semnalul emis de sursă ( )∑ −n

n nTta δ

� Emiţătorul ⇒ ( ) ( )ωStsF

⇔ ⇒semnalul transmis pe canal

( ) ( )∑ −=n

n nTtsate

� Canalul ⇒ ( ) ( )ωCtcF

⇔ ⇒semnalul transmis pe canal

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tctstpnTtpatrn

n *; =−=∑

⇒ afectat de ZAGA ⇒ ( ) ( )tnnTtpan

n 0+−∑

� Receptorul ⇒ ( ) ( )ωUtuF

⇔ ⇒ semnalul transmis pe canal

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )tutntntutctstqtnnTtqatyn

n *;**; 0==+−=∑

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )ωωωω UCSQtutctstqF

=⇔= ** =factorul de transfer global

5

� Circuitul de eşantionare ⇒ kTt +0 , ales convenabil astfel încât să se asigure performanţe cât mai bune ⇒

( ){ {

zgomotuluiefectul

boltaintersimInterferen:IIS

'

curentsimbolul

00 k

k

nknk

k

knknk nqaqanqakTtyy ++=+=+= ∑∑∞

−∞=

−

∞

−∞=

−

43421

� La MIA digital cu M niveluri pragurile de decizie se stabilesc la jumătatea distanţei între nivelurile datelor (în figura q0 s-a notat cu f0)

6

• În absenţa zgomotului ⇒ o eroare poate apare

- la nivelurile intermediare: dqqak

nkn 0' >∑

∞

−∞=

−

- la nivelurile extreme: inferior dqqak

nkn 0' >∑

∞

−∞=

−

superior dqqak

nkn 0' −<∑

∞

−∞=

−

• În prezenţa zgomotului ⇒ dqnqak

knkn 0' >+∑

∞

−∞=

−

3.3. Criteriul I al lui Nyquist

� Stabileşte forma / condiţiile ce trebuiesc îndeplinite de factorul de transfer global pentru anularea interferenţei intersimbol

� Ideal: [ ] ( ) [ ]

≠

====

0,0

0;1

n

nnnTqnq δ

7

� Pp: MIA digital cu impuls purtător ( ) ( )∑ −=n

T nTtt δδ ⇒

( ) ( ) ( ) ( ) ∑∑

−=⇔−=

n

F

n TnQ

TQnTtnTqtq

πωωδ δδ

21

• Impunând ( ) ( ) ( ) ∑

−==⇔=

n

F

TnQ

TQttq

πωωδ δδ

211

� se defineşte factorul de transfer echivalent în tensiune restrâns la o

perioadă

( ) ( ) ( ) ( )

−−

+==

Tt

TtppTQQ

TT

eq

πσ

πσωωωω ππδ ,

• dar

( ) ( )

( )

⇔

⇔

ωπ

ω

π

δδ

T

F

F

pT

tc

T

Qtq

sin1 ⇒ ( ) ( ) ( ) ( )

−=

= ∑ nTt

TnTq

T

ttqtq

n

eq

ππδ sincsinc*

Obs.1. ( )tq şi ( )tqeq au aceleaşi valori ale eşantioanelor la nT

8

Obs.2. Frecvenţa unghiulară TN

πω = , respectiv T

f N 2

1= poartă numele de frecvenţă

Nyquist.

3.3.1. Soluţia de bandă minimă

( ) ( ) ( ) ( ) ( )tT

ttqTpTpQ Neq

T

eq Nω

πωωω ωπ sincsinc =

=⇒==

Pb.1. Soluţie necauzală ⇒ nu este fizic realizabilă

Este posibilă o realizare dacă se acceptă o întârziere în răspunsul sistemului

a.î. să nu afecteze performanţele acestuia

( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) 00,sinc00

tj

eqt

eqNeqN

NeTpQtqtttq

ωω ωωω −

<=⇒=−=

Pb.2. Sensibilitate foarte mare la momentele de eşantionare ⇒ semnalul recepţionat

( ) ( )[ ] ( )tnnTtaty N

n

n +−=∑ ωsinc ⇒

9

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )[ ]

( ) ( )

( )

( ) ( )( )

( )( )τ

τωωτω

ττωτω

ττωτ

τπ

τπ

+++

−+=

=+++−+=

=+++−=+

∑

∑

∑

≠

−

−=

+

=−

≠

kTnmT

ata

kTnTnkaa

kTnTnkakTy

divergentaserie

m N

m

mk

NNk

TmT

T

mnk

N

kn

nNk

N

n

n

m

44 344 21

4444 34444 21

0

sin1sin

1sinsinc

)(sincsinc

)(sinc

3.3.2. Soluţia de bandă neminimă

� Pp. alegerea unui factor de transfer global

( )

( ) ( ) ( )ωωω

ωωω

ω 1

20

QTpQ

ptQ

Neq

N

+=

>=

� Pb: Cum alegem ( )ω1Q a.i. să îndeplinească Criteriul Nyquist I ??

10

� Soluţia:

• impunem pentru factorul de transfer global [ ] ( ) [ ]nnTqnq δ== ⇒ [ ] 0,01 ≠= nnq ⇒ trebuie să alegem soluţii de forma

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )ωωϕ

πϕωϕ

*

N1 sinsin

ΦΦt

tT

ttttq

=−⇒∈

==

R

⇒ ( ) ( ) ( )NN Φ

jΦ

jQ ωωωωω +−−=

2

1

2

11

• dar, impunând ( ) ( ) ( )

NNN ΦQQ ωωωωωωωωω ≤=⇒≤≠⇒≤≠ ,02,02,0 1 • separând partea reală şi cea imaginară a lui ( )ω1Q şi ( )ωΦ rezultă

( ) ( ) ( )ωωω ir jQQQ 111 += ( ) ( ) ( )ωωω ir ΦjΦΦ +=

( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]NiNrNiNrir jΦΦj

jΦΦj

jQQ ωωωωωωωωωω +++−−+−=+2

1

2

111

11

⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )NrNri

NiNir

ΦΦQ

ΦΦQ

ωωωωω

ωωωωω

++−−=

+−−=

2

1

2

12

1

2

1

1

1

• notând Nωωω += ' ⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )NrrNi

NiiNr

ΦΦQ

ΦΦQ

ωωωωω

ωωωωω

2'2

1'

2

1'

2'2

1'

2

1'

1

1

++−=+

+−=+

• din condiţia ( ) ( )NN ΦQ ωωωωωω ≤=⇒≤≠ ,02,01 ⇒

( )( ) 02

02

=+

=+

Nr

Ni

Φ

Φ

ωω

ωω

• în plus ( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( )

−=−

=−⇒=−⇒∈

ωω

ωωωωϕ

ii

rr

ΦΦ

ΦΦΦΦt

*R ⇒

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )NirrNi

NriiNr

QΦΦQ

QΦΦQ

ωωωωωω

ωωωωωω

+−=−−=−=+

+−−=−−==+

''2

1'

2

1'

''2

1'

2

1'

11

11

⇒ partea reală a funcţiei ( )ω1Q are simetrie impară în raport cu Nω pt 0>ω

12

⇒⇒⇒⇒ partea imaginară a funcţiei ( )ω1Q are simetrie pară în raport cu Nω pt 0>ω • impunând condiţia de continuitate a ( )ωQ în Nω

( ) ( ) ( )ωωω ω 1QTpQNeq += ⇒

( ) ( ) ( ) ( )εωεωεωεω +++=−+−+ NiNrNiNr jQQjQQT 1111 ⇒ ( )ωiQ1 : continuă în Nω ; ⇒ ( )ωrQ1 : discontinuă, cu simetrie impară în raport cu Nω ⇒

( )00

1 2>→

±=±

εε

εωT

Q Nr

� Concluzie:

(1) dacă ( )ωQ satisface criteriul Nyquist I ⇒ se poate construi o funcţie ( ) C∈ω1Q , care, prin asocierea la funcţia de transfer de bandă minimă

( )ωωNTp să satisfacă criteriul Nyquist I

13

(2) impunând condiţia ca viteza de variaţie a lui ( )ωQ să fie limitată ⇒ ( )tq

este de ordinul lui 2,1

≥kt k atunci când ∞→t , ceea ce scade sensibilitatea

la momentele de eşantionare

� Exemplu: se observă respectarea condiţiei de pliere a caracteristicii în jurul

lui Nω pentru revenirea la soluţia de bandă minimă

14

� Observaţie: este de reţinut faptul că ( ) πωω 2=∫∞

∞−

dQ

15

� Familia de caracteristici de tip cosinus ridicat – familie de caracteristici ce respectă criteriul I al lui Nyquist

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

<+

+≤<−

−−+

−≤

=

ωαω

αωωαωαωωα

αωω

ω

1;0

11;)1(2

cos12

1;

N

NNN

N

TT

T

Q⇒

( ) ( ) ( )2

21

cossinc

−

=

T

t

tttq N

N

α

ωω

unde TN

πω =

• α∈∈∈∈[0,1] se numeşte factor de rotunjire (roll-off):

- α=0 ⇒ soluţia de bandă minimă;

- α=1 ⇒ exces de banda 100%

• Obs1: se mai poate scrie şi cu sinus folosind:

( ) ( ) ( )

−=

−−=

−− NNN

TTTωω

α

πωω

ααωω

α 2sin

22cos)1(

2cos

16

( )

( )

( ) ( ) ( )

( )

<+

+≤<−

−+

−≤

=

ωαω

αωωαωωωα

αωω

ω

1;0

11;2

sin12

1;

N

NNN

N

TT

T

Q

• Obs. 2. ( )∞→

=

tt

Otq3

1⇒sezitivitate convenabilă la bateri mici faţă de

momentul de eşantionare optim

17

3.4. Criteriul II al lui Nyquist

� Se admite o interferenţă intersimbol nenulă, dar limitată (controlată);

� Din motive de simetrie a caracteristicii în timp ⇒ eşantionarea se face la

( )2

12T

k +

18

( ) ( ) finitkT

kttq kk XXZ ,,2

12,0 −∈+=≠

3.4.1. Soluţia de bandă minimă

( ) ( )ωω

ωπω ωN

pT

TQN

= cos22

( )( )

−

=2

21

cos4

T

t

ttq N

π

ω

În figură sunt reprezentat funcţia pondere şi funcţia de transfer pentru T=1⇒ωN=π

19

• se observă că

( ) ( ) { }

( ) ∞→

=

=

−=

−∈+==

tptt

Otq

Tq

Tq

kT

kttq kk

,1

122

1,0,2

12,0

2

Z

� Observaţie:

20

• Avantaje: Caracteristica Nyquist II are acelaşi suport cu cea Nyquist I de bandă minimă, dar are o comportare mai bună dpdv temporal la momentele de eşantionare;

• Dezavantaje: IIS≠0

3.4.2. Soluţia de bandă neminimă

� Pentru o comportare mai bună dpdv temporal la momentele de eşantionare ( ) ( ) ( )

( ) NQ

QQQ

ωωω

ωωω

2032

>=

+=

� Problema: cum alegem ( )ω3Q ⇒ astfel încât ( ) ( )nTnq ∀=

+ 0

2123

� Alegem ( ) ( ) ( )tttq Nωφ cos3 = ⇒ ( ) Nωωω >=Φ 0

⇒ ( ) ( ) ( )NNQ ωωωωω +Φ+−Φ=2

1

2

13 ⇒ separând partea reală şi imaginară

21

⇒

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

+Φ+−Φ=

+Φ+−Φ=

NiNii

NrNrr

Q

Q

ωωωωω

ωωωωω

2

1

2

12

1

2

1

3

3

⇒înlocuind NNN ωωωωωω ≤≤−⇒−= ' ⇒( )( )

=−Φ

=−Φ

02'

02'

Ni

Nr

ωω

ωω

⇒ în plus ( ) ( ) ( )ωωφ *Φ=−Φ⇒∈ Rt ⇒( ) ( )( ) ( )

Φ−=−Φ

Φ=−Φ

ωω

ωω

ii

rr

⇒

⇒

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

−−=−Φ−=Φ=+

−=−Φ=Φ=+

NiiiNi

NrrrNr

QQ

QQ

ωωωωωω

ωωωωωω

''2

1'

2

1'

''2

1'

2

1'

33

33

(*)

⇒ partea reală a funcţiei ( )ω3Q are simetrie pară în raport cu Nω iar partea

imaginară are simetrie impară în raport cu Nω

22

� Observaţie: Funcţia de transfer globala

( ) ( )ωω

ωπω ωN

pT

QN

24 2cos1

2

+=

satisface ambele criterii ale lui Nyquist

Demonstraţie:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

( )

≤<

+

≤

−

=

=

+=

NN

N

N

N

N

T

T

Q

IINyquistpT

TQ

QQQ

N

ωωωω

ωπ

ωωω

ωπ

ω

ωω

ωπω

ωωω

ω

2,2

cos12

,2

cos12

;cos2

2

1

3

2

324

• Se observă că sunt satisfăcute condiţiile de paritate (*)⇒este Nyquist II

23

• Se observă că ( )ω4Q este o caracteristică de tip cosinus ridicat cu α=1 ⇒ satsface Nyquist I

3.5. Filtru de compansare în banda de bază

� Daca se foloseşte pentru transmiterea datelor un impuls de bază ( ) ( )ωGtgF

⇔ în locul impulsului ideal δ(t) ⇒trebuie realizată o compensare la recepţie astfel încât să se păstreze funcţia de transfer globală Q(ω) ⇒se poate utiliza schema:

• Între punctele (1) şi (2) caracteristica este de tip Nyquist I

( ) ( ) ( ) ( )ωωωω UCSQ =

24

• dacă se doreşte păstrarea caracteristicii globale de transmisiune filtrul de compensare trebuie să aibă caracteristica

( )( ) Maxpentru

G

kH ωω

ωω ≤= ,

BMax πω = , B fiind banda ocupată de semnal; În aceste condiţii întregul sistem între punctele 0 şi 3 satisface criteriul I al lui Nyquist

• exemplu: ( ) ( ) ( ) ( )

=⇔−−=

−

2sinc2 T

eGTtttg

TjF ω

ωσσω

⇒

( ) ,

2sinc

2

=

−

T

keH

T

ωω

ω

Compensarea este posibilă numai dacă NMaxT

ωπ

ω 22

=<

25

3.6. Repartizarea filtrării între emiţător şi receptor în banda de bază cu IIS=0

� Problema: optimizarea modului în care este distrubuită caracteristica globală între Tx – Rx a.i. să se obţină o valoare cât mai mică a probabilităţii de eroare.

3.6.1. Optimizarea repartizării caracteristicii globale între emiţător şi receptor. � Modelul pentru transmisiunea în banda de bază adoptat:

� Ipoteze:

• IIS=0;

• caracteristica de transfer globală ( ) ( ) ( ) ( )ωωωω UCSQ = este cunoscută ⇒ este de tip Nyquist I;

26

• caracteristica de transfer a canalului ( )ωC este dată;

• zgomotul asociat canalului este de tip aditiv, cu DSmP cunoscută ( )ωNS ;

• puterea semnalului la intrarea canalului SiP este fixată

� Semnalul la intrarea canalului

( ) ( )∑ −=n

ne nTtsats

unde { }na = v.a.i.i.d. reprezintă simbolurile emise de sursă, de medie nulă { } 0=naE şi varianţă { }22

na aE=σ cunoscută

• puterea semnalului la intrarea în canal ( )∫∞

∞−

= ωωπ

σdS

TP a

se

22

2

1;

• puterea zgomotului la intrarea receptorului ( ) ( )∫∞

∞−

= ωωωπ

σ dUSNz

22

2

1

� Problema: să se determine ( )ωS , respectiv ( )ωU astfel încât 2zσ =min, cu

restricţia seP impus

�

27

• dar ( ) ( )( ) ( )ωω

ωω

UC

QS = , ( )∫

∞

∞−

=

ωω

πσ

dS

TPse

a2

2 2

⇒

⇒ ( ) ( ) ( )max

2

1

12

222

2

==

∫∫∞

∞−

∞

∞−

ωωωπ

ωω

π

σ

σ

dUSdS

TP

N

se

z

a

⇒

⇒ ( ) ( ) ( ) min22

=⋅ ∫∫∞

∞−

∞

∞−

ωωωωω dUSdS N

⇒ aplicăm inegalitatea lui Schwartz:

( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ωωωωωωωωω

dBAdBdAkBAdaca

egalitate

222*=∞

∞−

∞

∞−

≤⋅ ∫∫

cu

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )ωω

ωω

ωωω

UC

QB

USA N

=

=

28

⇒ rezultă max2

2

=z

a

σ

σdacă ( ) ( ) ( )

( ) ( )ωω

ωωω

UC

QkUSN = ⇒

⇒

( )( )

( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )( )

( ) ( )

( )

( ) ( )

( )ω

ωω

ω

ωω

ω

ω

ωω

ωω

ωω

ωω

C

SQ

kQ

SC

kC

Q

UC

QS

SC

QkU

NN

N

44

4

11===

=

unde k se determină din condiţia ( ) ( )

( )∫∞

∞−

= ωω

ωω

π

σd

C

SQ

kTP

Na

se 2

2 1

2

1=impus

3.6.2. Determinarea probabilităţii de eroare în cazul repartizării optimale între Tx-Rx pentru transmisiuni de tip MIA digital

� Ipoteze:

• simbolurile emise de sursă ( ){ } p

k MMidMia 2,,1;12 ==−−∈ v.a.i.i.d.

29

• zgomotul asociat canalului: ZAGA, cu ( ) ( )ωω ∀=2

0NSN

• canalul este ideal cu ( ) ( )ωω ∀= 1C

• caracteristica de transfer globală ( )ωQ este de tip cosinus ridicat cu α=1, repartizată simetric între Tx şi Rx

• schema receptorului

� Pragurile de decizie sunt egal distanţate ( ) ( ){ } p

k MMidMip 2,1,1;2 =−=−∈

30

6d

7d

2d

0d

5d

4d

3d

2d

1d

NU APARE EROARE

NIVEL TRANSMIS

PRAGURI DE DECIZIE

EROARE

EROARE

EROARE

� Deoarece se impune IIS=0 ⇒ eşantionul simbolului recepţionat la momentul k

depinde doar de cel emis kkk nax +=

� O eroare în decizie – apare când se produce unul din următoarele evenimente

( ) ( ) ( ){ }1,2;12, −=−−=>− MidMiadaxE kkk

31

( ) ( )dMadaxE kkk 1, −=<−−

( ) ( )dMadaxE kkk 1, −−=>−+

� Probabilitatea de eroare

( ) ( ) ( )

−=

+

−=

=−<+>+>−

=

σσσ

dQ

M

dQ

M

dQ

M

M

dnPM

dnPM

dnPM

MP kkke

112

22

2

112

� dorim să exprimăm Pe în funcţie de 0N

Psi

:

• Rx: cum ( ) ( )ωω QkU = ⇒

( ) ( )( ) 22

1

222

1 02

2

20202 NkdQk

NdU

NP

dQ

zz

πωω

ωωπ

ωωπ

σ=∫

∞

∞−

∞

∞−

∞

∞−

==== ∫∫

• Tx: ( ) ( )ωω Qk

S1

= ⇒

32

( ) ( )Tk

dQkT

dST

P aaa

si 2

2

2

22

2 1

2

1

2

1 σωω

π

σωω

π

σ=== ∫∫

∞

∞−

∞

∞−

{ } ( ) ( )3

112

1 22

1

2222 −=−−== ∑

=

MdMid

MaE

M

i

kaσ ⇒( )

Tk

MdPsi 2

22

3

1−= ⇒ ( )1

32

22

−=

M

TPkd si

deci ( ) 022

2

1

6

N

P

M

Td si

z −=

σ ⇒ ( )

−

−=

02 1

6112

N

P

M

TQ

MP si

e

• Se mai poate folosi putere zgomotului în banda Nyquist

π

ωω

πω

π

ω

ω2

22

1

222

1 000 N

NzN

NNd

NP

N

N

=== ∫−

⇒

( ) zN

si

zP

P

M

d

1

322

2

−=

σ ⇒ ( )

−

−=

zN

si

eP

P

M

TQ

MP

1

3112

2

• a

• a

• a

33

• a