3.9 Interpretation der Lösungen negativer Energie

Instabilitätsproblem:E

m

m

E = p + m2 2

E = p + m2 2

Ein Elektron könnte seine Energiedurch Abstrahlung von Photonenimmer weiter verringern.

Ü Alle Atome würden zerfallen (Lebensdauer τ = 0)!

3.9 Interpretation der Lösungen negativer Energie

Instabilitätsproblem:E

m

m

E = p + m2 2

E = p + m2 2

Ein Elektron könnte seine Energiedurch Abstrahlung von Photonenimmer weiter verringern.

Ü Alle Atome würden zerfallen (Lebensdauer τ = 0)!

3.9 Interpretation der Lösungen negativer Energie

Instabilitätsproblem:E

m

m

E = p + m2 2

E = p + m2 2

Ein Elektron könnte seine Energiedurch Abstrahlung von Photonenimmer weiter verringern.

Ü Alle Atome würden zerfallen (Lebensdauer τ = 0)!

Lösungsvorschlag (Dirac): Löchertheorie

physikalisches Vakuum (,,Dirac-See”):

alle Zustände mit E > 0 unbesetzt

alle Zustände mit E < 0 besetzt

Ü Zerfall zusätzlicher E > 0-Fermionen in

E < 0-Zustände Pauli-verboten!

E

m

m

unbesetzt

besetzt

besetzter Dirac-See:

Energie und Ladung des Vakuums = −∞ (für Elektronen)

,,Renormierung”:

Energie und Ladung werden relativ zum gefüllten Dirac-See

gemessen.

Lösungsvorschlag (Dirac): Löchertheorie

physikalisches Vakuum (,,Dirac-See”):

alle Zustände mit E > 0 unbesetzt

alle Zustände mit E < 0 besetzt

Ü Zerfall zusätzlicher E > 0-Fermionen in

E < 0-Zustände Pauli-verboten!

E

m

m

unbesetzt

besetzt

besetzter Dirac-See:

Energie und Ladung des Vakuums = −∞ (für Elektronen)

,,Renormierung”:

Energie und Ladung werden relativ zum gefüllten Dirac-See

gemessen.

Lösungsvorschlag (Dirac): Löchertheorie

physikalisches Vakuum (,,Dirac-See”):

alle Zustände mit E > 0 unbesetzt

alle Zustände mit E < 0 besetzt

Ü Zerfall zusätzlicher E > 0-Fermionen in

E < 0-Zustände Pauli-verboten!

E

m

m

unbesetzt

besetzt

besetzter Dirac-See:

Energie und Ladung des Vakuums = −∞ (für Elektronen)

,,Renormierung”:

Energie und Ladung werden relativ zum gefüllten Dirac-See

gemessen.

Konsequenz:E

m

m

Durch Einstrahlung eines (virtuellen)

Photons mit E > 2m kann man ein

Elektron aus dem Dirac-See in einen

E > 0-Zustand anregen:

Erzeugung eines ,,Teilchens” mit E > 0

und eines ,,Lochs” im Dirac-See

Interpretation der Löcher:

fehlendes Teilchen mit Energie E < 0, Impuls ~p, Spin s, Ladung q, . . .

= Antiteilchen mit Energie −E > 0, Impuls −~p, Spin −s, Ladung −q, . . .

Ü Paarerzeugung: γ∗ → e+e−

Umkehrprozess: e+e− → γ∗ (Paarvernichtung)

Teilchen fällt unter Emission eines virt. Photons in ein Loch zurück.

Konsequenz:E

m

m

Durch Einstrahlung eines (virtuellen)

Photons mit E > 2m kann man ein

Elektron aus dem Dirac-See in einen

E > 0-Zustand anregen:

Erzeugung eines ,,Teilchens” mit E > 0

und eines ,,Lochs” im Dirac-See

Interpretation der Löcher:

fehlendes Teilchen mit Energie E < 0, Impuls ~p, Spin s, Ladung q, . . .

= Antiteilchen mit Energie −E > 0, Impuls −~p, Spin −s, Ladung −q, . . .

Ü Paarerzeugung: γ∗ → e+e−

Umkehrprozess: e+e− → γ∗ (Paarvernichtung)

Teilchen fällt unter Emission eines virt. Photons in ein Loch zurück.

Konsequenz:E

m

m

Durch Einstrahlung eines (virtuellen)

Photons mit E > 2m kann man ein

Elektron aus dem Dirac-See in einen

E > 0-Zustand anregen:

Erzeugung eines ,,Teilchens” mit E > 0

und eines ,,Lochs” im Dirac-See

Interpretation der Löcher:

fehlendes Teilchen mit Energie E < 0, Impuls ~p, Spin s, Ladung q, . . .

= Antiteilchen mit Energie −E > 0, Impuls −~p, Spin −s, Ladung −q, . . .

Ü Paarerzeugung: γ∗ → e+e−

Umkehrprozess: e+e− → γ∗ (Paarvernichtung)

Teilchen fällt unter Emission eines virt. Photons in ein Loch zurück.

Konsequenz:E

m

m

Durch Einstrahlung eines (virtuellen)

Photons mit E > 2m kann man ein

Elektron aus dem Dirac-See in einen

E > 0-Zustand anregen:

Erzeugung eines ,,Teilchens” mit E > 0

und eines ,,Lochs” im Dirac-See

Interpretation der Löcher:

fehlendes Teilchen mit Energie E < 0, Impuls ~p, Spin s, Ladung q, . . .

= Antiteilchen mit Energie −E > 0, Impuls −~p, Spin −s, Ladung −q, . . .

Ü Paarerzeugung: γ∗ → e+e−

Umkehrprozess: e+e− → γ∗ (Paarvernichtung)

Teilchen fällt unter Emission eines virt. Photons in ein Loch zurück.

Diskussion

spektakulärster Erfolg:

Basierend auf diesen Überlegungen hat Dirac das Positron

vorhergesagt, bevor es 1932 von Anderson entdeckt wurde.

Probleme:

Die Löchertheorie funktioniert nicht für Bosonen.

Die Löchertheorie ist automatisch eine (∞-)Vielteilchentheorie.

Löchertheorie aus moderner Sicht:

Das Boson-Problem wird im Rahmen der QFT gelöst, das auch

auch die Löchertheorie für Fermionen überflüssig macht.

Allerdings hat das Vakuum der QFT gewisse Ähnlichkeiten mit

dem Dirac-See: Die QFT erweitert dieses Konzept auf eine

Weise, die auch für Bosonen funktioniert.

Das∞-Vielteilchenproblem bleibt bestehen.

Diskussion

spektakulärster Erfolg:

Basierend auf diesen Überlegungen hat Dirac das Positron

vorhergesagt, bevor es 1932 von Anderson entdeckt wurde.

Probleme:

Die Löchertheorie funktioniert nicht für Bosonen.

Die Löchertheorie ist automatisch eine (∞-)Vielteilchentheorie.

Löchertheorie aus moderner Sicht:

Das Boson-Problem wird im Rahmen der QFT gelöst, das auch

auch die Löchertheorie für Fermionen überflüssig macht.

Allerdings hat das Vakuum der QFT gewisse Ähnlichkeiten mit

dem Dirac-See: Die QFT erweitert dieses Konzept auf eine

Weise, die auch für Bosonen funktioniert.

Das∞-Vielteilchenproblem bleibt bestehen.

Diskussion

spektakulärster Erfolg:

Basierend auf diesen Überlegungen hat Dirac das Positron

vorhergesagt, bevor es 1932 von Anderson entdeckt wurde.

Probleme:

Die Löchertheorie funktioniert nicht für Bosonen.

Die Löchertheorie ist automatisch eine (∞-)Vielteilchentheorie.

Löchertheorie aus moderner Sicht:

Das Boson-Problem wird im Rahmen der QFT gelöst, das auch

auch die Löchertheorie für Fermionen überflüssig macht.

Allerdings hat das Vakuum der QFT gewisse Ähnlichkeiten mit

dem Dirac-See: Die QFT erweitert dieses Konzept auf eine

Weise, die auch für Bosonen funktioniert.

Das∞-Vielteilchenproblem bleibt bestehen.

Diskussion

spektakulärster Erfolg:

Basierend auf diesen Überlegungen hat Dirac das Positron

vorhergesagt, bevor es 1932 von Anderson entdeckt wurde.

Probleme:

Die Löchertheorie funktioniert nicht für Bosonen.

Die Löchertheorie ist automatisch eine (∞-)Vielteilchentheorie.

Löchertheorie aus moderner Sicht:

Das Boson-Problem wird im Rahmen der QFT gelöst, das auch

auch die Löchertheorie für Fermionen überflüssig macht.

Allerdings hat das Vakuum der QFT gewisse Ähnlichkeiten mit

dem Dirac-See: Die QFT erweitert dieses Konzept auf eine

Weise, die auch für Bosonen funktioniert.

Das∞-Vielteilchenproblem bleibt bestehen.

Diskussion

spektakulärster Erfolg:

Basierend auf diesen Überlegungen hat Dirac das Positron

vorhergesagt, bevor es 1932 von Anderson entdeckt wurde.

Probleme:

Die Löchertheorie funktioniert nicht für Bosonen.

Die Löchertheorie ist automatisch eine (∞-)Vielteilchentheorie.

Löchertheorie aus moderner Sicht:

Das Boson-Problem wird im Rahmen der QFT gelöst, das auch

auch die Löchertheorie für Fermionen überflüssig macht.

Allerdings hat das Vakuum der QFT gewisse Ähnlichkeiten mit

dem Dirac-See: Die QFT erweitert dieses Konzept auf eine

Weise, die auch für Bosonen funktioniert.

Das∞-Vielteilchenproblem bleibt bestehen.

Diskussion

spektakulärster Erfolg:

Basierend auf diesen Überlegungen hat Dirac das Positron

vorhergesagt, bevor es 1932 von Anderson entdeckt wurde.

Probleme:

Die Löchertheorie funktioniert nicht für Bosonen.

Die Löchertheorie ist automatisch eine (∞-)Vielteilchentheorie.

Löchertheorie aus moderner Sicht:

Das Boson-Problem wird im Rahmen der QFT gelöst, das auch

auch die Löchertheorie für Fermionen überflüssig macht.

Allerdings hat das Vakuum der QFT gewisse Ähnlichkeiten mit

dem Dirac-See: Die QFT erweitert dieses Konzept auf eine

Weise, die auch für Bosonen funktioniert.

Das∞-Vielteilchenproblem bleibt bestehen.

Fermi-See

Das Konzept der Löchertheorie findet bis heute

Anwendung in der Vielteilchenthorie, z.B. in der

Festkörperphysik oder in der Kernphysik. Hier

betrachtet man Teilchen-Loch-Anregungen im

Fermi-See, während der Dirac-See meist

vernachläsigt wird.

E

m

m

Fermi-See

Dirac-See

εF

Interpretation von Feynman und Stückelberg

Betrachte folgenden Prozess:

x

t

t

t1

2 e

e+

-

γ

γ

e+e−-Paarvernichtung zur Zeit t2

e+e−-Paarerzeugung zur Zeit t1

Löchertheorie: e+ = fehlendes e− negativer Energie

Erzeugung eines e+ = Vernichtung eines e− negativer Energie

Vernichtung eines e+ = Erzeugung eines e− negativer Energie

x

t

t

t1

2e , E > 0-

γ

γ

e , E < 0-Das e− negativer Energie breitet sich

rückwärts in der Zeit aus!

Interpretation von Feynman und Stückelberg

Betrachte folgenden Prozess:

x

t

t

t1

2 e

e+

-

γ

γ

e+e−-Paarvernichtung zur Zeit t2

e+e−-Paarerzeugung zur Zeit t1

Löchertheorie: e+ = fehlendes e− negativer Energie

Erzeugung eines e+ = Vernichtung eines e− negativer Energie

Vernichtung eines e+ = Erzeugung eines e− negativer Energie

x

t

t

t1

2e , E > 0-

γ

γ

e , E < 0-Das e− negativer Energie breitet sich

rückwärts in der Zeit aus!

Interpretation von Feynman und Stückelberg

Betrachte folgenden Prozess:

x

t

t

t1

2 e

e+

-

γ

γ

e+e−-Paarvernichtung zur Zeit t2

e+e−-Paarerzeugung zur Zeit t1

Löchertheorie: e+ = fehlendes e− negativer Energie

Erzeugung eines e+ = Vernichtung eines e− negativer Energie

Vernichtung eines e+ = Erzeugung eines e− negativer Energie

x

t

t

t1

2e , E > 0-

γ

γ

e , E < 0-Das e− negativer Energie breitet sichrückwärts in der Zeit aus!

Paarerzeugung im Detail:

e e-

E = E > 0-q = -e

E = E > 0q = +e

γE = E + E > 0-q = 0

+

+

+ e-

E = E > 0-q = -e

E = -E < 0

γE = E -(-E ) = E + E > 0-q = 0

+

+

e-

q = -e

+-

Energie- und Ladungsbilanz stimmt!

Paarerzeugung im Detail:

e e-

E = E > 0-q = -e

E = E > 0q = +e

γE = E + E > 0-q = 0

+

+

+ e-

E = E > 0-q = -e

E = -E < 0

γE = E -(-E ) = E + E > 0-q = 0

+

+

e-

q = -e

+-

Energie- und Ladungsbilanz stimmt!

Erhebung zum allgemeinen Prinzip:

Teilchen positiver Energie bewegen sich vorwärts,

Teilchen negativer Energie rückwärts in der Zeit.

Letztere entsprechen Antiteilchen positiver Energie,

die sich vorwärts in der Zeit bewegen.

lässt sich durch geeignete Randbedingungen in den Streugleichungen

erreichen (ähnlich wie Beschränkung auf ,,retardierte” Lösungen in der

Elektrodynamik, s. nächstes Kapitel.)

funktioniert auch für Bosonen!

Erhebung zum allgemeinen Prinzip:

Teilchen positiver Energie bewegen sich vorwärts,

Teilchen negativer Energie rückwärts in der Zeit.

Letztere entsprechen Antiteilchen positiver Energie,

die sich vorwärts in der Zeit bewegen.

lässt sich durch geeignete Randbedingungen in den Streugleichungen

erreichen (ähnlich wie Beschränkung auf ,,retardierte” Lösungen in der

Elektrodynamik, s. nächstes Kapitel.)

funktioniert auch für Bosonen!