Mathematischer VorkursLösungen zum Übungsblatt 4

Prof. Dr. Norbert Pietralla/Sommersemester 2012c.v.meister@skmail.ikp.physik.tu-darmstadt.de

Aufgabe 1: Integrieren Sie die Mehrfachintegrale:

(a)

b∫

y=0

a∫

x=0

dx dy, (b)

2∫

y=0

1∫

x=0

x2 dx dy, (c)

π∫

y=0

π∫

x=0

sin(x) · sin(y) dx dy,

(d)

2∫

n=1

4∫

v=2

n(1+ v ) dn dv , (e)

1∫

y=−1

1/2∫

x=−1/2

2∫

z=0

dx dy dz, (f)

1∫

x=0

y1∫

y=yo

z1∫

z=zo

eaz dx dy dz.

Lösung:

(a) Nach zwei Integrationen ergibt sich: [x]a0 [y]b0 = (a− 0)(b− 0) = ab

(b) 2/3

(c) 4

(d) [v + v 2/2]42 · [n2/2]21 = 12

(e) 4

(f) 1a(eaz1 − eazo ) · (y1 − yo) · 1

1

Aufgabe 2: Berechnen Sie die folgenden Mehrfachintegrale. Achten Sie auf die Reihenfolge der Integrationen!

(a)

2∫

x=0

3x∫

y=x−1

x2 dx dy, (b)

1∫

x=0

2x∫

y=0

x+y∫

z=0

dx dy dz.

Lösung:

(a) Zuerst nach y abintegrieren, da y nicht im Ausdruck einer oberen oder unteren Grenze auftritt (aber x tut dies):

2∫

x=0

3x∫

y=x−1

x2 dx dy =

2∫

x=0

3x∫

y=x−1

x2 dy

dx ,

3x∫

x−1

x2 dy = x2[y]3xx−1 = x2(3x − x + 1) = 2x3 + x2.

Daraus folgt2∫

x=0

3x∫

y=x−1

x2 dx dy =

2∫

0

2x3 + x2 dx =

�

2x4

4+

x3

3

�2

0

=32

3.

(b) Zuerst muss über die Variable z integriert werden, da diese in den oberen und unteren Grenzen nicht auftaucht.In den Integrationsgrenzen von z kommen aber x und y vor.

1∫

x=0

2x∫

y=0

x+y∫

z=0

dx dy dz =

1∫

x=0

2x∫

y=0

x+y∫

z=0

dz

dy

dx =

1∫

x=0

2x∫

y=0

(x + y) dy

dx

=

1∫

x=0

�

x y +y2

2

�2x

0

dx =

1∫

x=0

2x2 + 2x2 dx =

1∫

x=0

4x2d x =

�

4x3

3

�1

0

=4

3.

Aufgabe 3: Berechnen Sie das Volumen eines Zylinderringes mit den Radien R1 und R2 (siehe Abbildung).

Lösung: Das Volumenelement hat in Zylinderkoordinaten die Form dV = r dr dϕ dz. Somit folgt für das Volumen

V =

R2∫

r=R1

2π∫

ϕ=0

H∫

z=0

r dz dϕ dr = πh(R22 − R2

1).

h ist die Höhe des Zylinders.

Aufgabe 4: Bestimmen Sie den Flächeninhalt eines Halbkreises mit Hilfe eines Zweifachintegrals.

Lösung: In ebenen Polarkoordinaten hat das Flächenelement dA die Form dA= r dϕ dr,

A=

R∫

r=0

π∫

ϕ=0

r dϕ dr =R2

2π.

2

Aufgabe 5: Gegeben sei ein Rechteck, dessen Grundlinie mit der x-Achse im Intervall 0≤ x ≤ R zusammenfällt. Die Seitesenkrecht zur Grundlinie fällt mit dem Intervall 0 ≤ y ≤ h der y-Achse zusammen. Bei Rotation des Rechtecks um diey-Achse entsteht ein Zylinder. Berechnen Sie das Volumen des Zylinders zum einen durch Integration über einen Stapelaufeinandergeschichteter Kreise entlang der x-Achse und zum anderen über die Guldinsche Regel.

Lösungen:

• Der Flächeninhalt der Grundfläche des durch Rotation entstehenden Zylinders ist gegeben durch πR2, somitergibt sich für die Integration (h ist die Höhe des Rotationszylinders, d.h. 0≤ x ≤ h; 0≤ y ≤ R)

V = π

h∫

x=0

R2 dx = πR2h.

• Der Inhalt der erzeugenden Fläche ist gegeben durch Rh. Man braucht jetzt noch den Weg s, den der Flächen-schwerpunkt (der bei y = R/2 liegt) bei einer vollen Drehung um die Rotationsachse zurücklegt,

V = rhs = Rh

2π∫

ϕ=0

R

2dϕ = πR2h.

Aufgabe 6: Ein Torus (Kreisring) entsteht durch Rotation eines Kreises mit Radius r um eine Achse im Abstand R vomMittelpunkt. Berechnen Sie das Volumen des Torus mittels der Guldinschen Regel.

Lösung: Nach der Guldinschen Regel ergibt sich das Volumen des entstehenden Rotationskörpers aus dem Produkt desFlächeninhaltes der erzeugenden Fläche und dem Weg s, den der Schwerpunkt zurücklegt. Der Flächeninhaltes desrotierenden Kreises ist πr2, damit folgt

V = πr2 · s = πr2

2π∫

ϕ=0

R dϕ = 2π2r2R.

Zweiter Rechenweg: Der Torus entsteht durch Rotation des Kreises mit dem Radius r (also der Fläche πr2) um diey-Achse im Abstand R. Man beachte, dass der Ring des Torus innen hohl ist. Daher gilt für das Volumen

V = π

r∫

x=−r

(R+p

r2 − x2)2 dx −π

r∫

x=−r

(R−p

r2 − x2)2 dx = 4π

r∫

x=−r

Rp

r2 − x2 dx .

Berücksichtigt man weiterhin, dass x = r sin(ϕ) und damit dx = r cos(ϕ) dϕ ist, so folgt

V = 4πRr2

π/2∫

ϕ=−π/2

cos2(ϕ) dϕ = 4πRr2�

ϕ

2+

sin(2ϕ)4

�π/2

−π/2= 4πRr2π

2= 2π2Rr2.

3