UNIVERSITÄT SIEGENLEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK

Baustatik I (WS 2017/2018)

3. Das Kraftgrößenverfahren (KV)

3.2 Bestimmung der Flexibilitätszahlen

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Bedeutungen der Flexibilitätszahlen

0

: Systemwerte, Flexibilitätszahlen,

Nachgiebigkeitszahlen, Einflusszahlen

: Lastwerte

ik

i

δ

δ

Ort

kiδ

Ursache (Xk=1) Ort

0iδ

Nullzustand (Xk=0)

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Bedeutungen der Flexibilitätszahlen

δki = Verdrehung im Punkt k infolge einer Kraft Fi im Punkt i. δki hat den

gleichen Drehsinn wie Mk.

i

Fi

k

Mk

i

Fi

k

kiδ

i

Mk

kik

δ

δik = Verschiebung im Punkt i infolge eines Momentes Mk im Punkt k. δik

hat die gleiche Richtung wie Fi.

3

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Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK)

� �

0 001 ...

i i

i i i

M N

M NM dx N dx

EI EAδ δ

δ⋅ = ⋅ + ⋅ +∫ ∫

wirklicher Zustand = Nullzustand

virtueller Zustand = Einheitszustand

� �

1 ...

i i

k k

ik i i

M N

M NM dx N dx

EI EAδ δ

δ⋅ = ⋅ + ⋅ +∫ ∫

wirklicher Zustand = Einheitszustand

virtueller Zustand = Einheitszustand

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Flexibilitätszahlen

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Flexibilitätszahlen

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Fachwerke

00

1

1

Restliche -AnteileM

i

i

m m

M

i k

ik

m m

S Sl N

EA

S Sl

EA

δ

δ

=

=

= +

=

∑

∑

: Stab

: Anzahl der Stäbe

m m

M

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Flexibilitätszahlen

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Reziprozitätssätze

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Reziprozitätssätze

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Eigenschaften der Flexibilitätsmatrix

Die Flexibilitätsmatrix δ ist:

• symmetrisch (Satz von Maxwell),

• quadratisch (n x n, n= Grad der stat. Unbestimmtheit),

• Glieder der Hauptdiagonale immer positiv (δii > 0),

• Determinante verschwindet nicht, d.h., Det(δ) ≠ 0

• positiv definit,

• Glieder der Nebendiagonale δik (i≠k) und δi0 können

positiv, gleich Null oder negativ sein.

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Anwendung der Integraltafel:Bei der Anwendung der Integraltafel ist häufig eine Zerlegung bzw.

Aufspaltung der Integrale erforderlich!

Beispiele:

Bemerkungen

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Bemerkungen

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Bemerkungen

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Bemerkungen

Gleichungssystem:

0xδ δ⋅ = −�

�

0⋅ = −δ x δ

0

, : Flexibilitätsmatrix, Nachgiebigkeitsmatrix, Einflußmatrix

, : Vektor statischer Überzähligen

, : Lastvektor

x

δ

δ0

δ

x

δ

�

�

Lösung des Gleichungssystems:

oder

1

0x δ δ−= − ⋅�

� -10= − ⋅x δ δoder

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Bemerkungen

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Bemerkungen

Die Flexibilitätsmatrix ist symmetrisch. Daher braucht nur die obere oder die

untere Hälfte berechnet werden. Dies reduziert den Rechenaufwand erheblich!

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Bemerkungen

Inverse einer 2x2 Matrix:

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