3. Das Kraftgrößenverfahren (KV) · LEHRSTUHL FÜR BAUSTATIK UNIVERSITÄT SIEGEN Bedeutungen der...
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Baustatik I (WS 2017/2018)
3. Das Kraftgrößenverfahren (KV)
3.2 Bestimmung der Flexibilitätszahlen
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Bedeutungen der Flexibilitätszahlen
0
: Systemwerte, Flexibilitätszahlen,
Nachgiebigkeitszahlen, Einflusszahlen
: Lastwerte
ik
i
δ
δ
Ort
kiδ
Ursache (Xk=1) Ort
0iδ
Nullzustand (Xk=0)
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Bedeutungen der Flexibilitätszahlen
δki = Verdrehung im Punkt k infolge einer Kraft Fi im Punkt i. δki hat den
gleichen Drehsinn wie Mk.
i
Fi
k
Mk
i
Fi
k
kiδ
i
Mk
kik
δ
δik = Verschiebung im Punkt i infolge eines Momentes Mk im Punkt k. δik
hat die gleiche Richtung wie Fi.
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Prinzip der virtuellen Kräfte (PvK)
� �
0 001 ...
i i
i i i
M N
M NM dx N dx
EI EAδ δ
δ⋅ = ⋅ + ⋅ +∫ ∫
wirklicher Zustand = Nullzustand
virtueller Zustand = Einheitszustand
� �
1 ...
i i
k k
ik i i
M N
M NM dx N dx
EI EAδ δ
δ⋅ = ⋅ + ⋅ +∫ ∫
wirklicher Zustand = Einheitszustand
virtueller Zustand = Einheitszustand
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Flexibilitätszahlen
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Flexibilitätszahlen
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Fachwerke
00
1
1
Restliche -AnteileM
i
i
m m
M
i k
ik
m m
S Sl N
EA
S Sl
EA
δ
δ
=
=
= +
=
∑
∑
: Stab
: Anzahl der Stäbe
m m
M
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Flexibilitätszahlen
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Reziprozitätssätze
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Reziprozitätssätze
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Eigenschaften der Flexibilitätsmatrix
Die Flexibilitätsmatrix δ ist:
• symmetrisch (Satz von Maxwell),
• quadratisch (n x n, n= Grad der stat. Unbestimmtheit),
• Glieder der Hauptdiagonale immer positiv (δii > 0),
• Determinante verschwindet nicht, d.h., Det(δ) ≠ 0
• positiv definit,
• Glieder der Nebendiagonale δik (i≠k) und δi0 können
positiv, gleich Null oder negativ sein.
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Anwendung der Integraltafel:Bei der Anwendung der Integraltafel ist häufig eine Zerlegung bzw.
Aufspaltung der Integrale erforderlich!
Beispiele:
Bemerkungen
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Bemerkungen
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Bemerkungen
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Bemerkungen
Gleichungssystem:
0xδ δ⋅ = −�
�
0⋅ = −δ x δ
0
, : Flexibilitätsmatrix, Nachgiebigkeitsmatrix, Einflußmatrix
, : Vektor statischer Überzähligen
, : Lastvektor
x
δ
δ0
δ
x
δ
�
�
Lösung des Gleichungssystems:
oder
1
0x δ δ−= − ⋅�
� -10= − ⋅x δ δoder
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Bemerkungen
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Bemerkungen
Die Flexibilitätsmatrix ist symmetrisch. Daher braucht nur die obere oder die
untere Hälfte berechnet werden. Dies reduziert den Rechenaufwand erheblich!
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Bemerkungen
Inverse einer 2x2 Matrix:
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