1

Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme

Kapitel V

2

a) Haftreibung reale, rauhe OberflächeF

NF

Normalkraft

F FH Körper haftet

F FH Körper gleitet

Empirisch: FμF NHH H HaftreibungskoeffizientExp. Test:

HFF

NF

HFF

NF

NF2

HF2F

V.1.1. ReibungV.1. Eigenschaften realer Festkörper

3

Messung von μH :

αH

m

gm

HF

NF

αH

αH Winkel beim

Losrutschen

NHHNH FμαtanFF !

HH αtanμ

4

BF

Bremskraft ( Seilspannung )

Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils

Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ...

n Windungen

Seil

F

Kraft durch Last am Stab

Stabquerschnitt

Infinitesimales Seilstück

F(φ) F(φ)Spannung

φ

dφ

Nachbarseilstück:

F(φ dφ) F(φ) dF

Nachbarseilstück:

F(φ dφ) F(φ) dF

φ dφ

Tafelrechnung Hμnπ2

B eFF

5

b) Gleitreibung

Empirisch: FμF NGG

G Gleitreibungskoeffizient

reale, rauhe Oberflächev

NF

Normalkraft

GF

vμμ GG vμvμ HG

Hinreichend kleine Geschwindigkeiten: Gv const.

Große Geschwindigkeiten: Gv wächst mit v

6

bzgl. Drehung um Finger 1

Experiment: Stock auf zwei Fingern

Stockm S

Finger 1 Finger 2

a b

F mg M a·F

F1

F2 M2 ( a b )·F2

Gleichgewicht:gmF,gmF ba

b1ba

a2

a b ① rutschtb a ② rutscht

Treffpunkt im Schwerpunkt

7

c) Rollreibung

Empirisch: FμM NRR

R Rollreibungskoeffizient

Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment

NF

αR Winkel beim

Losrollen

αR

m

gm

RF

NF

αR

r

i) Haftung:

RRNR

RR

RR

αcosgmμFμαsinrgmM

αsingmF

RR αtanrμ

Beobachtung: R ≪ H

8

ii) Rollvorgang: vμμ RR Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen:

1rμ

μ

rM

F

F

F

R

G

R

G

R

G

Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen,

GF

m

r

Gleiten

m

r

Rollen

RF

9

V.1.2. Deformationen von FestkörpernWesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene KörperAllgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”)

Hookesches Gesetz: εEσ E Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E 1 N m2

... Druck, ,Temperaturε,EE unabhängig von Geometrie (A und L)

a) Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz

A

Feste Wand

L F

A Querschnitt F

Def.: Zugspannung

Relative Dehnung

AFσ

LLΔε

Kraft pro „Elementarfaser”

Dehnung pro „Elementarfeder”

10ε

σ

ProportionalitätsbereichProportionalitätsbereich

Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)

Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)

Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)

Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)

ReißenReißen

Hookesches Gesetz: εEσ gültig im elastischen Bereich

.constεE0ε Taylor-

Entwicklung Proportionalbereich

11

Beispiel: Kerbspannung

F

ΔL / L groß

Kerbspannung

12

Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung:

ε

σ

elastische Nachwirkung dεσFläche dεσFläche

Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen

Tafelrechnung

13

b) Querkontraktion

L

D

L dL

D dD

Def.: Poissonzahl

LLd

DDdμ

0,5μ0μ21εV

Vd

Volumenzunahme:D

Dd2

L

Ld

V

VdDLV 2

ε ε2μ

Zugspannung

14

c) Kompressionsmodul

dF p dA

dF p dA

dF p dA

dANormalkraft

FlächeDef.: Druck p

Pascal1Pa1mN1p 2

Def.: Kompressibilität

Kompressionsmodul

pd

Vd

V

1 κ

κ

1K

15

Zusammenhang zwischen E, und K:

μ21E

3

K

1 κ

Beweis:

dFdF

A

μ21AE

Fdμ21

E

σμ21ε

V

dV

μ21E

pd3μ21

AE

Fd3

V

dV dFdF

dF

dFdF

dF pd AFd

μ21E

3

pd

Vd

V

1κ q.e.d.

16

d) Scherung und Torsionsmodul

Tangentialkräfte ScherungFFläche A

αDef.: Schub- / Scherspannung

AFτ

αGτ

Hookesches Gesetz:

(für hinreichend kleine )

G Schub- / Scher- / Torsionsmodul , G 1 N m2 rad1

EGEμ12

EG 3

121

Beweis: Bergmann Schaefer

17

L

r

Feste Einspannung

dünnes, langes Drahtseil

φ

d dr

α

Fd

Torsionsschwingung Messung von G(vgl. Tafelrechnung)

Rücktreibendes Drehmoment

DMel

Richtmoment

GL2

rπD

4

mit

FdrMd

18

Realisierung als Drehpendel:

ωIL ω

z

ωIL ω

z

Bewegungsgleichung der Drehbewegung:

eltdLd Mz eltdLd Mz

Def.:

Tafelrechnung Schwingungperiode T

2r

π2GπLI2T 2r

π2GπLI2T

Draht

Trägheitsmoment I

φ

z

L

19

Beispiel: Einseitig eigespannter Balken

s

gedehnt

gestaucht

Querschnitt A( unabhängig von s )

x

y

homogen

yN

0

feste Einspannungzz eFF

0 L

b Biegepfeil

e) Biegung Messung von E

Näherung kleiner Biegung: sf,1sf sρ1

Neutrale Faser: f(s)Neutrale

Faser: f(s)z

20

neutrale Faserneutrale Faser

s s Δs

ρ(s)

Δs

Δs Δℓ

gedehnte Faser

gedehnte Faser

y – yN

sρ

ΔsΔ sρ

ΔsΔ

dx·dy

elFd

elastische Gegenkraft

elastische Gegenkraft

zur Tafelrechnung:

21zz eFF

s

gedehnt

gestaucht

Querschnitt A( unabhängig von s )

x

y

homogen

yN

0

feste Einspannung

0 L

b Biegepfeil

Neutrale Faser: f(s)Neutrale

Faser: f(s)

sδsγsβαsf0sf 324 sδsγsβαsf0sf 324

bF

ssL3sf

3

z

L

IE3z

2IE6

F

bF

ssL3sf

3

z

L

IE3z

2IE6

F

Randbedingungen

Biegekurve:

z

A

2NyydydxI

Flächenträgheitsmoment

22

V.2. Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen

• Statik Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig

• ideale Flüssigkeit ohne Arbeit verformbar bei Volumen const.

• reale Flüssigkeit Oberflächenkräfte und innere Reibung

• Gase Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand

V.2.1. Oberfläche der idealen Flüssigkeit

Ideale Flüssigkeit

dV an Oberfläche

NF

TF

F

Tangentialkraft entlang der Oberfläche

VerschiebungTF

Statik 0F T

23

Beispiel: Rotationsparaboloid

z

ω

z0

r m

F

mω2r

mg

α

α

rd

zd

g

rω

gm

rωmαtan

22

22

0 rg2

ωzrz

Betrachtung im körperfesten

System

24

V.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft) Äußere Kraft

A

F

A

Fp :Druck

Fd dV

dx

p(x) p(x dx)

dA

VdAdxd

AdxdxpAdxpFd

xp

xp

x

dVpgradFd

dVpgradFd

Druckkraft:

Statik: 0f

.constp .constp

pgradf VdFd

pgradf VdFd

Kraftdichte:

p potentielle Energiedichte

25

2s

Anwendung: Hydraulische Presse

1F

1A 1s2A

2F

Externe Kraft

Interne Kraft

11AA

2AF

AF FFFp

1

2

2

2

1

1 aber 11AA

2 sss2

1

26

V.2.3. Kompressibilität

pd

Vd

V

1 κ in Flüssigkeiten i.a. sehr klein:

Nm105 κ 1210OH2

Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h.

Dichte .constpρ Vdmd

27

Anwendung: Schweredruck

0

z

H

dA

Fd

ρ

dA HgρdF dA HgρdF 0dVpedVgρ z

ρg

0

zp

yp

xp

p const. bei konstanter Tauchtiefe

zHgρzp Tauchtiefe

28

Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon

Identische Bodendrücke

ρρρ ρ

Anwendung: Kommunizierende Röhren Demo-Exp.

29

h1

h2

h~ρ1

ρ2

Anwendung: Dichtewaage

AF1 F2

F1 = F2F1 = F2

h~

hgρh~

gρhgρ 22111

h~

h

h~

h

ρ

ρ

1

2

2

1

h~

h

h~

h

ρ

ρ

1

2

2

1

30

V.2.4. Auftrieb

Archimedisches Prinzip:Die Auftriebskraft ist gleich

dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases

gmK

AFAuftriebskraft

ρ

ρKmK

Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt

GF A

dA

Beweis: ( hier für kleinen Quader )( allgemein Gaußscher Integralsatz )

ze

dz

dV dm

p(zdz)

p(z)

zA edAdzzpzpFd

dzzρg

zedVzρg

dm

.d.e.q,GdedmgFd zA

Flüssigkeit oder Gas

31

Folgerung:

K Fl Körper sinkt zu Boden

K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen)

K Fl Körper schwebt

32

Beispiel: Eisberg

T = 0 ºC

Eisberg10 %

lkg1,05ρ

lkg0,95ρ

Salzwasser

Eis

lkg1,05ρ

lkg0,95ρ

Salzwasser

Eis

33

V.2.5. GasdruckGase sind komprimierbar p

(Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte

p V const. bei konstanter Temperatur T

x

Druck p Volumen V x

Experiment:

p x1

34

T.constVp Folgerungen:

• Kompressibilität

p

V

p

Vp

p

.const

dp

dV22

T

p

1

pd

Vd

V

1κ

T

• Dichte

pV

1

V

Mρ

TTT

ppρ bei T const.

• Barometrische Höhenformel ( Tafelrechnung )

zexp0pzp 0p

g0ρ zexp0ρzρ 0p

g0ρ

35

V.2.6. Luftdruck

ρ

Luftdruck p

Vakuum

gρ

pΔh

Messung mit Quecksilbersäule:

Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule

Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa

Def.: Der Normaldruck von

wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet

Pa101325Torr760

36

V.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit

0FR

EE InnenpotOberflächepot

Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt

spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.

ΔA

ΔWε mJ1ε 2

37

σL2

Fε

L

s

F

Flüssigkeitshaut

Messung der spezifischen Oberflächenenergie:

dAεdsFdW

dsL2dA

2 Oberflächen

εL2F

Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche

38

F

Wasserhaut

hr

Beispiel: Messung der Oberflächenspannung

σrπ22F (Gewicht der Haut vernachlässigt)

39

Minimalflächen:Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (lokal) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf1.htm

http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf2.htm

40

Seifenblasen:

r

p p

p

Seifenblase

Aufblähen: rdrr

rdrπ16rπ42ddA 2

rdεrπ16AdεdWOb

rdrπ4pΔdW 2pΔ

dWp dWOb: Blase expandiert

dWp dWOb: Blase schrumpft

dWp dWOb: Blase stationär r

1

r

ε4pΔ

Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf

41

V.2.8. Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien

Medium i

Medium k

Kohäsionskräfte

Kohäsionskräfte

Adhäsionskräfte

Def.: Grenzflächenspannung

εσ kiki

ik Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung

42

Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf

1Wand

2 Flüssigkeit

3 Dampf

σ13Achse

σ12Achse

σ23Achseφ

23 23 0 (sonst Verdampfung)12 0 Adhäsion12 Kohäsion2

12 0 Adhäsion12 Kohäsion2

• analog für 13

43

Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf

1Wand

2 Flüssigkeit

3 Dampf

σ13Achse

σ12Achse

σ23Achseφ

Grenzwinkel:

cosσσσ 231213

23

1213

σ

σσcos

44

23

1213

σ

σσcos

Def.: 13 12 Adhäsionsspannung 23 cos

13 12 0 90º

13 12 0 90º

13 12 23 vollständige Benetzung

45

V.2.9. Kapillaren

φ

benetzende Flüssigkeit

2r

Kapillareh

φ

dF = σ · dl

Kapillare enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich)

Kraft nach oben: cosσrπ2

Adhäsionsspannung

Kraft nach unten: hrπgρ 2

Gleichgewicht:

r

1

rgρ

cosσ2h

46

Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten:

nicht-benetzende Flüssigkeit

2r

Kapillare

h

r

1

rgρ

cosσ2h

0h90

47

h

Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand)

L

d

hdLgρcosσL2

d

1

dgρ

cosσ2h

48

2α

Folgerung: Flüssigkeit im Keil

Platten

x0

tanα2xxd

dgρ

cosσ2h

x

1

αtangρ

cosσh

Hyperbel

49

V.2.10. Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen

Bewegungslinien der Volumenelemente

Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung

Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung

Def.: Laminare (schlichte) Strömung

Gegensatz: Turbulente Strömung

50

dVdAdx

x

vηFdFdFd

2

2

12R

dAx

vηFd

1,2x1,2

rv

dV

1Fd

2Fd

xx1 x2 = x1+dx

dA

Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : rv

Reibungskräfte zwischen den Randschichten

1,2Fd

allgemein rvΔηf

dVrvΔηFd

R

R

Viskosität (Zähigkeit)

msN1η 2

51

Anwendung: Kapillarviskosimeter

Rp1

p2

L

rv

Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft

4η

rR

|p|

L

ppr v

2221

4η

rR

|p|

L

ppr v

2221

Parabel

Durchfluss: rdrπ2rvIR

0tdVd

Hagen-Poiseulle-Gesetz

ηR

η8Rπ 44

pI

52

ρfl η

Ruhende Flüssigkeitssäule

2rρK

v0

Gleichgewichts-Geschwindigkeit

Anwendung: Kugelfallviskosimeter

Schwerkraft: gρρπrF flK3

34

g

Auftrieb

Reibungskraft (kleine Kugeln):

0R vrηπ6F Stokessches Gesetz:

Kräfte-Gleichgewicht

ηr

flKηr

92

0

22

ρρgv

53

V.2.11. Strömungen in idealen & realen Flüssigkeiten(gilt auch für Gase)

A) Grundbegriffe

Stromröhre:

Stromlinie(Stromfaden)

t,rv

t,rv

Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt

Strömungsfeld:

Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant) Stromlinien entlang

rv

rv

54

Stromlinie(Stromfaden)

t,rv

Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander.

Reibungskräfte ≫ beschleunigende Kräfte.

Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei.Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung.

v

v

55

B) Kontinuitätsgleichung

Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet

Massenbilanz während dt (nur x-Richtung):

x x dx

dV t,rρ

dA

tz,y,x,vx tz,y,dx,xvx

xxin dAdtvρdm dxxxaus dAdtvρdm

dt dV

dAdxvρx

dmdmdm xausinx

dt dV

dAdxvρx

dmdmdm xausinx

56

dt dV

dAdxvρx

dmdmdm xausinx

dt dV

dAdxvρx

dmdmdm xausinx

Gesamtmassenbilanz für dV während dt:

dt dVvρdmdmdmdm zyx

Folge:

tdvρt,rρVd

mddVt,rρ tdt,rρtd

t

ρt,rρ

0vρt

ρ

Kontinuitätsgleichung:

vρdivvρ

57

0vρt

ρ

Kontinuitätsgleichung:

Def: Stromdichte t,rvt,rρj

Massenfluss durch Fläche v

0jt

ρ

Kontinuitätsgleichung:

Folgerung:

Wenn die Masse in dV abnimmt, ... fließt Masse aus dV hinaus

58

Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt:

A1

A2

Strömung

ideale Flüssigkeit

1v

2v

Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. 0vdiv

Äquivalent: Während dt gilt dVein dVaus

dtvA 11 dtvA 22

A

A

v

v

1

2

2

1 A

A

v

v

1

2

2

1

Anders ausgedrückt: MtdMd

tdVd

tdd IρAρAvρ.const

Die Massenstromstärke IM ist konstant.

59

C) Die Bernoullische Gleichung

ρv

Lokaler Druck p(hydrodynamischer Druck)

Annahmen:

1. ideale Flüssigkeit η 0 v const. entlang Rohrquerschnitt

2. inkompressible Flüssigkeit ρ const.

3. Keine Schwerkraft ( kein Rohrgefälle )

60

Energiedichten: dV

dEε

dV

dEε

dxA

dV A·dx

F(x) F(xdx)v

dVdxdx

dp

dxAxpdxxp

dxxFdxxFdVdεp

Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )

Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )

221

kin v

dm

dVρdVε Kinetische Energiedichte: Kinetische Energiedichte: 221

kin vρε

const.εε kinp

Bernoulli-Gleichung:

const.pvρp 02

21

61

Beispiel: Pitot-Rohr

p

p0

vρ

h p ρ g h

Statischer Druck

Statischer Druck

Gesamtdruck ( Staudruck )

Gesamtdruck ( Staudruck )

ρvpp 221

0 ρvpp 221

0

62

v

Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld

z

x

g z(x)

const. xzgρρvp 221 const. xzgρρvp 221

Potentielle Energiedichte im Schwerefeld

Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks

Kinetische Energiedichte der Strömung

63

Anwendung: Druckverteilung in Rohren

ρ

v

hhh Δh

221 vΔρΔhgρΔp

Reibung zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle

64

Anwendung: Zerstäuber

Luft

Unterdruck

65

Anwendung: Wasserstrahlpumpe

Rohr

VakuumgefäßAnsaugstutzen

p0

Luft

0pp 0pp

Wasser, sehrlangsam bewegt

Wasser, sehrschnell bewegt Außenluftdruck p

66

Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon

d

Luft, v1

v2

222

1 vρΔp

d 0 v2 Unterdruck überwiegt

Schwerkraft

Chladnische Pfeife

67

Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb

Flügel

Zirkulationsströmung

Luftströmung (Fahrtwind)

v1 v2

v2

Auftrieb

68

Anwendung: Magnus-Effekt

Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung

Auftrieb

v2

v1 v2

69

Anwendung: Prandtlsches Staurohr

Luftströmung (Fahrtwind)

ρ

v

p

p0

Flüssigkeit

221

0 vρpp

70

Keine Angst!

D) Die reale viskose Flüssigkeit

Navier-Stokes-Gleichung

vΔηgρpvvρ t

Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte

Schwerkraft-dichte

Reibungs-kraftdichte

Spezialfall 0 Euler-Gleichung

Interessanter Term: vvvvv 221

Geschwindig-keitsänderung

Wirbelbildung und Dynamik

Wirbelfreie (laminare) Strömung 0v

71

Woher kommt ? vvρ t

• Betrachte Punktmasse dm im Medium• Bahnkurve von dm:• 2. Newtonsches Axiom

tr

vvdmvvdm

dmtr,tvdmFd

t

3

1jrjt

3

1jt

r

rv

tv

tdd

j

j

j

eKraftdichtfvvρ t

72

Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung großvΔ

v kleinkeine Reibung

laminar

v großOberflächenreibung

turbulent

S1 S2

QS1 S2

W Δp

S1: v 0 p(S1) = p0

Q: v max p(Q) = min p0

S2: v 0 p(S2) = p0

• Reibung v(W) 0

• Vakuum bei S2 Wirbel

• v groß in Wirbeln p bei S2 p bei S1 „Druckwiderstand“

Beispiel: Umströmter Kreiszylinder

73

Beispiel: Kantenwirbel

Rohr Kantenwirbel

runde, scharfkantige Öffnung

MembranWirbelring

74

Wirbelstärke:Wirbelfläche A

Winkelgeschwindigkeit

Definition: Die Größe

Ω·A bzw.

heißt (integrierte) Wirbelstärke

A

AdΩ

Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen.Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.

.constρ

75

De-Mystifizierung der Wirbelstärke:

gρptr,tvρ tdd

Euler-Gleichung:

Euler-Gleichung:

0vρ

tr,t

in t .const|v tr,t

Inkompressibel:

.const|vtr,t tr,t21

Wirbelstärke:

Bildliche Interpretation (s.o.): aus Stokes-Integralsatz

76

E) Turbulente Strömung und StrömungswiderstandLuftströmung (Fahrtwind)

ρ

v

A

Wirbelstraße

Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße

Druckwiderstand Reibungswiderstand

Bernoulli-Gleichung 2

2ρ vΔp

AvcF 22ρ

WW ParametrisierungFW Widerstandskraft

cW Widerstandsbeiwert

77

F) Ähnlichkeitsgesetze

Längenskala L , Zeitskala T

dimensionslose Größen:

ppLvvt 2

LT

ρ1

LT

Tt

Navier-Stokes-Gleichung: vRe

1pvv

t

v

Tη

LρRe

2

mit Reynoldsche Zahl

Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind.

Anwendung: Modelltests im Windkanal