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Energieerhaltung für rollende Kugel

Wges = Wpot + Wkin + Wrot

Kapitel 3: Klassische Mechanik Energieerhaltung

h

Trägheitsmoment:

θ Ist abhängig von Form des Körpers

𝜃 = �𝑟2 𝑑𝑐

Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte

Gesamtkraft �⃗� : Vektorsumme der Einzelkräfte 𝐹𝑚

�⃗� = 𝐹1 + 𝐹2 + … = �𝐹𝑚

𝑁

𝑚=1

2 Kräfte wirken auf einen Körper, die in unterschiedliche Richtungen weisen.

Parallel- verschiebung

𝐹1

𝐹2

𝐹2

�⃗�

�⃗� = 𝐹1 + 𝐹2 Graphische Bestimmung der Gesamtkraft

Leistung: Arbeit pro Zeit

𝑃 = 𝑑𝑑𝑑𝑡

= �⃗�∙𝑑𝑠𝑑𝑡

= �⃗� ∙ �⃗� falls Skalar 𝑃 = 𝑑𝑑𝑑𝑡

= 𝐹𝑣

Einheit: [P] = 1 W, W: Watt = 1 J s-1

Stromrechnung: Angabe in kWh mit: 1𝑘𝑊ℎ = 103𝑊 3600𝑠 = 3.6 𝑊𝑠 = 3.6 𝑀𝐽

𝜃 ∆𝑠

�⃗�

𝑊 = �⃗� ∙ ∆𝑠 = �⃗� cos𝜃 ∆𝑠

Arbeit: macht keinerlei Aussage darüber wie lange es dauert die Arbeit zu verrichten (laufe ich eine Treppe hoch, oder gehe ich langsam)

Kapitel 3: Klassische Mechanik Energie - Leistung

Arbeit: falls θ = 0° => W= 𝐹∆𝑠

Beispiel: Haarfön benötigt ca. 1500 … 2000 W Energiesparlampe benötigt ca. 20 W

⇒ 30 min Haare föhnen benötigt gleich viel Energie wie

50 Stunden Energiesparlampe.

Preis (Haare fönen): 1kWh ca. 20 Cent => 30 min ∙ 2000 𝑊 = 1000 𝑊ℎ = 1 𝑘𝑊ℎ

=> 30 min Haare fönen kostet ca. 20 Cent


• Primärenergieverbrauch in Deutschland 2009: 14 000 PJ = 14∙1018 J (Petajoule) Wobei 1 PJ = 1 000 000 000 000 000 J

• Primärenergieverbrauch Sekundärenergieverbrauch

Energieverbrauch: Strom, Wärme, Verkehr, und Verluste

http://www.nachwachsenderohstoffe.de/fileadmin/fnr/images/daten-und-fakten/2010/Abb05_2010_300dpi_RGB.jpg

produzierte Energie

Energie wird zuvor in eine andere Energieform umgewandelt z.B. Wäre in Strom => Verluste


Primärenergieverbrauch in Deutschland 2009: 14 000 PJ = 14 000 ∙1015 J (Petajoule)

1 Tafel Schokolade: ≈ 2000 kJ => 14∙1015 kJ = � 7 ∙1012 Tafel Schokoladen

Energieverbrauch:

Strom, Wärme, Verkehr, und Verluste

Primärenergieverbrauch in Watt (1J = 1Ws):

14∙1018 J = 14∙1018 Ws = 1.5 ∙1012 kWh


http://www.nachwachsenderohstoffe.de/fileadmin/fnr/images/daten-und-fakten/2010/Abb05_2010_300dpi_RGB.jpg

Primärenergie in Deutschland 2009

Steinkohle 11.0%

Kernenergie 11.0%

Erdgas 21.8%

erneuerbare Energien 8.9%

Mineralöle 34.7%

Sonstige 1.3%

Braunkohle 11.3%

Gesamt: 14 103 PJ


Newtonsche Axiome

1. Trägheitsprinzip Ein Körper, der sich selbst überlassen ist, verharrt in Ruhe oder in gleichförmiger, geradliniger Bewegung.

2. Aktionsprinzip Die Beschleunigung eines Körpers ist umgekehrt proportional zu seiner Masse und direkt proportional zur resultierenden Kraft, die auf ihn wirkt �⃗� = 𝑐�⃗� 3. Actio = Reactio Jede Kraft (actio) ruft stets eine dem Betrag nach gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kraft (reactio) hervor 𝐹𝐴→𝐵 = −𝐹𝐵→𝐴

Kapitel 3: Klassische Mechanik Newtonschen Axiome

s0

s0

Start

v m1,v1 m2,v2

3. Newtonsches Axiom: Jede Kraft ruft stets eine dem Betrag nach gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kraft hervor.

F

Actio = Reactio

-F

www.jawapohl.de/bilder_florida.htm

www.chiemgau24.de/waging/tettenhausen- gegen-baum-chiemgau24-599431.html

2 Wagen


3. Newtonsches Axiom: Jede Kraft ruft stets eine dem Betrag nach gleiche aber entgegengesetzt gerichtete Kraft hervor

F Actio = Reactio

-F

2 Wagen

Wenn sie auf einer Personenwaage stehen, spüren ihre Füße die Kraft, die die Waage auf sie ausübt. Die Waage ist so geeicht, dass sie die Gegenkraft anzeigt, die sie aufbringt, um die auf sie wirkende Gegenkraft zu kompensieren.


Kontaktkräfte: Normalkraft & Reibungskraft

Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung

Kontaktkräfte: Normalkraft & Reibungskraft

Normalkräfte 𝐹𝑁: Kräfte, die senkrecht zur Kontaktfläche wirken z.B.: Glas auf Tischplatte: Auf das Glas wirkt eine nach oben gerichtete Normalkraft

Normalkräfte sind mit den auf den Körper (Glas) wirkenden nach unten gerichtete Gegenkräfte (i.a. Gravitationskraft) im Gleichgewicht. Normalkräfte sind proportional zur mikroskopischen Kontaktfläche.

Kräfte, die parallel zu den Kontaktflächen wirken.

Reibungskräfte


Reibung, 𝐹𝑅

Zwei Körper, die im direkten Kontakt stehen, üben Reibungskräfte aufeinander aus. Reibungskräfte sind parallel zu den Kontaktflächen der Körper und wirken deren Gleiten oder Bestreben zu gleiten entgegen.

- Haftreibung

- Gleitreibung

- Rollreibung

𝐹𝑅,𝑈 ≤ 𝜇𝑅,𝑈 𝐹𝑁 𝜇𝑅,𝑈: Haftreibungskoeffizient

𝐹𝑅,𝑔 = 𝜇𝑅,𝑔 𝐹𝑁

mit:

𝜇𝑅,𝑔: Haftreibungskoeffizient mit:

𝐹𝑅,𝜋 = 𝜇𝑅,𝜋 𝐹𝑁 𝜇𝑅,𝜋: Rollreibungskoeffizient


Oberfläche eines (Lotus)blattes

Stahloberfläche Bild eines menschlichen Haares (AFM- Rasterkraft- mikroskopie)

Kapitel 3: Klassische Mechanik Reibung, Oberflächen sind rau

Beachte: Reibungskräfte sind unabhängig von der Größe der Kontaktfläche.

�⃗�

Oberfläche z.B. Tischplatte

𝐹R

Beachte: Der Druck P (Kraft, 𝐹, pro Fläche 𝐴) ist abhängig von der Größe der Kontaktfläche, 𝑃 = 𝐹

𝐴

�⃗� 𝐹R


Gleitreibungskraft ist kleiner als maximale Haftreibungskraft

F

Oberfläche z.B. Tischplatte

FR

𝐹𝑅,𝑈,𝐵𝑔𝑥 = 𝜇𝑅,𝑈 𝐹𝑁

𝐹𝑅,𝑔 = 𝜇𝑅,𝑔 𝐹𝑁

𝐹𝑅,𝑈: Haftreibung

𝐹𝑅,𝑔: Gleitreibung


FN

=> 𝐹𝑅,𝑔,𝐵𝑔𝑥 < 𝐹𝑅,𝑈,𝐵𝑔𝑥

Körper auf schiefer Ebene

- Gravitationskraft (nach unten) - Normalkraft (nach oben, senkrecht zur Ebene)

- Reibungskraft (parallel zur Ebene) 𝐹G


Körper auf schiefer Ebene

- Gravitationskraft (nach unten) - Normalkraft (nach oben, senkrecht zur Ebene)

- Reibungskraft (parallel zur Ebene)

α α

𝐹𝑅,𝑈 ≤ 𝜇𝑅,𝑈 𝐹𝑁

𝑠𝑠𝑠𝛼 =𝐹𝑁,𝑥

|𝐹𝑁|

α

α FN,x

FN,y

x

y

α FR,x

FR,y

x

y cos𝛼 = −𝐹𝑅,𝑥

|𝐹𝑅|

𝐹G


Körper auf schiefer Ebene: |𝐹𝑁|= 𝐹𝑁 |𝐹𝑅|= 𝐹𝑅

Kräfte entlang x-Achse: 𝐹𝑁,𝑥 + 𝐹𝑅,𝑥 + 𝐹𝐺,𝑥 = 0 => 𝐹𝑁 𝑠𝑠𝑠𝛼 − 𝐹𝑅 𝑐𝑘𝑠𝛼 + 0 = 0

Maximaler Winkel: 𝐹𝑅,𝑈 = 𝜇𝑅,𝑈 𝐹𝑁

𝐹𝑁 𝑠𝑠𝑠𝛼 −𝜇𝑅,𝑈𝐹𝑁 𝑐𝑘𝑠𝛼 = 0

𝜇𝑅,𝑈 = 𝑠𝑚𝐵𝛼𝑐𝐵𝑠𝛼

= 𝑡𝑎𝑠𝛼

𝐹𝑁,𝑥 = 𝐹𝑁 𝑠𝑠𝑠𝛼

𝐹𝑅,𝑥 = − 𝐹𝑅 𝑐𝑘𝑠𝛼

𝐹𝐺,𝑥 = 0 α α 𝐹G


Der Betrag der Gleitreibungskraft, 𝐹𝑅,𝑔 sowie der maximalen Haftreibungskraft 𝐹𝑅,𝑈 ist proportional zur mikroskopischen Kontaktfläche und zur Stärke der Kraft, die die beiden Oberflächen zusammen drückt, 𝐹𝑁 .

𝜇𝑅,𝑈 𝜇𝑅,𝑔 𝜇𝑅,𝜋 Gummi auf trockenem Boden 1.0 0.8 Gummi auf nassem Boden 0.3 0.25 Gewachste Ski auf Schnee 0.1 0.05 Gummireifen auf Beton 0.01 … 0.02

𝜇𝑅,𝑈 𝜇𝑅,𝑔 𝜇𝑅,𝜋 > > >


Tipler, Seite 116

Kapitel 3: Klassische Mechanik Kräfte (Aufgabe evt. etwas schwierig)

Tipler, Seite 114/115


Tipler, Seite 118/119


Kapitel 3: Klassische Mechanik Impuls

Impulserhaltung

Impuls: �⃗� = m�⃗�

Anschaulich: „Maß für die Schwierigkeit, um einen Körper zum Stillstand zu bringen“

Einheit: [�⃗�] = kg 𝐵𝑠

http://motortraffik.com/sites/default/files/imagecache/node_320x240px/images/images_per_node/lkw_pkw_unfall.jpg

LKW, 7.5 t v = 70 km/h

PKW PKW

LKW fährt in einen Stau


Impuls: �⃗� = m�⃗�

Gesamtimpuls: �⃗� = ∑ 𝑐𝑚𝑣𝑚𝑚 = ∑ 𝑝𝑚𝑚

Impulserhaltung: Wenn die Summe aller äußeren Kräfte auf eine System null ist, dann bleibt der Gesamtimpuls des Systems konstant.


F = ma mit v = at gilt Ft = mv

p

(in einer Dimension)

v m1,v1

Elastischer Stoß:

Inelastischer Stoß:

Kinetische Energie vor und nach dem Stoß identisch

Kinetische Energie in thermische oder innere Energie umgewandelt


m1,v2

Hier: 𝑐1 = 𝑐2

Vor Zusammenstoß: 𝑝 = 𝑐 𝑣1 + 𝑐 0

Nach Zusammenstoß: 𝑝 = 𝑐 0 + 𝑐 𝑣2 𝑣2 = −𝑣1

Impuls: �⃗� = m�⃗�

- Impuls ist eine Vektorgröße - Richtung des Impulses ist identisch zur Richtung der Geschwindigkeit

In 1-Dimension (Luftkissenbahn) ist der Vektor Identisch zu seinem skalaren Wert => keine Pfeile erforderlich

v m1,𝑣1

Impulserhaltung beim elastischen Stoß


m1,𝑣2

𝑐1, 𝑣1 𝑐2

Impulserhaltung: 𝑐1𝑣1 = (𝑐1+𝑐2) 𝑣2

=> 𝑣2 = 𝐵1𝐵1+𝐵2

𝑣1

Für 𝑐1= 𝑐2 => 𝑣2 = 12𝑣1

𝑐1 +𝑐2

𝑣2

𝑣2 : Geschwindigkeit Massenmittelpunkt

ineleastischen Stoß


Kapitel 3: Klassische Mechanik Drehimpuls

Drehimpuls:

𝐽 = θ 𝜔

𝐽 = θ 𝜔

Impuls:

𝑝 = 𝑐𝑣

�⃗� = 𝑐�⃗�

Kraft:

𝐹 = 𝑐𝑎 = 𝑐𝑑𝑣𝑑𝑡

�⃗� = 𝑐�⃗� = 𝑐𝑑�⃗�𝑑𝑡

Drehmoment:

𝑀 = � 𝑑𝜔𝑑𝑡

𝑀 = θ 𝑑𝜔𝑑𝑡

5) Die Drehzahl eines Zentrifugenrotors steigt von 1500 auf 6000 U/min. a) Um welchen Faktor vergrößert sich der Drehimpuls? b) Wie groß ist die Bahngeschwindigkeit eines Teilchens auf dem Rotor, das mit dem Radius R=2,5 cm bei 6000 U/min um die Drehachse rotiert? Lösung: a) 4 b) 15,7 m/s

Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung

Aus Klausur SS2011

7) Welche Aussagen sind korrekt? (Pro richtiger Antwort 0,25 Punkte, pro falscher Antwort 0,25 Punkte Abzug, minimal erreichbare Punktzahl 0. Aufmerksam lesen! Richtige Antworten ankreuzen) [ a] Eine Hohlkugel rollt aus gleicher Höhe schneller als eine massive Kugel gleicher Masse eine schiefe Ebene hinab. [ b] Die Geschwindigkeit am Ende eines reibungslosen freien Falls hängt von der Masse des fallenden Gegenstandes ab. [ c ] Masse und Trägheitsmoment sind in den Formeln für Translation und Rotation analoge Größen. [ d] Die Gewichtskraft eines Körpers auf einer schiefen Ebene ist gleich der Summe aus Normalkraft und Hangabtriebskraft. [ e] Der Impuls ist definiert als Masse mal Geschwindigkeit pro Zeit. [ f] Die Beschleunigung eines Körpers ist proportional zu der auf ihn wirkenden Kraft. [ g] Ein Kraftwerk produziert 1.2*107J in 1h. Dann beträgt seine Leistung 12MW. [ h ] Ein Wagen wird mit der konstanten Kraft F = 2*104 N eine Strecke von 2m eine schiefe Ebene hinauf gezogen. Dabei wird eine Arbeit von 40kJ verrichtet.

Richtig: c, d, f, h

Kapitel 3: Klassische Mechanik Zur Übung

Aus SS2011

14) Ein Polizeiwagen startet aus dem Stillstand mit einer konstanten Beschleunigung a = 4 m/s2 zur Verfolgung eines mit der konstanten Geschwindigkeit v = 25 m/s fahrenden Fahrzeuges, als dieses den Polizeiwagen passiert. a) Nach welcher Zeit ist das verfolgte Fahrzeug eingeholt? b) Wie schnell ist dann der Polizeiwagen? Lösung: a) t = 12,5 s b) v = 50 m/s

18) Eine Stahlkugel der Masse 2 kg kreist mit 5 Umdrehungen pro Sekunde an einem Seil im Abstand l = 1,5m um einen Aufhängepunkt. Berechnen Sie die kinetische Energie dieser Bewegung (die Stahlkugel kann als Massepunkt genähert werden und die Masse des Seils ist vernachlässigbar). E = 2221 J Klausur SS2006

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