OSCILADORES SENOIDAIS

Duas técnicas principais são utilizadas para a geração de senoides:

1) Osciladores lineares:

Consistem, basicamente, de um amplificador com realimentação positiva onde a rede

β é um circuito seletivo (RC ou LC).

2) Conformadores de senóide:

A senóide é obtida pela conformação de uma onda triangular.

OSCILADORES SENOIDAIS LINEARES

Ganho de malha (“loop gain”)

Critério de Barkhausen:

Para haver oscilação senoidal

1( ) ( ) 1

0o o

o

Aj A j

A

ββ ω ω

β

== ⇒ =

“Na frequência de oscilação ωo, o ganho de malha deve ter fase 0o e módulo unitário.“

Amplificador

A

Rede β (seletiva)

Σ s1 + s2 s3

+

s4 realimentação positiva

( )( )

1 ( ) ( )f

A sA s

s A sβ=

−

( ) ( ) ( )r

t

VL s s A s

Vβ= =

Amplificador

A

Rede β (seletiva)

Σ vr

x +

+ vt -

+

~

Intuitivamente, se o sinal de retorno (Vr) for igual, em módulo e fase, ao sinal de

transmissão (Vt), a saída Vo será sustentada mesmo sem a presença do sinal de entrada do

amplificador.

( )

( ) 1( )

oo

o

r

t

V jL j

V j

ωω

ω= = (1.1)

Deve-se notar que a oscilação ocorre somente na frequência ( )oω onde a fase do ganho de

malha ( )Aβ for 0o.

Seguindo este raciocínio intuitivo, se ( ) 1o

L jω < , a oscilação não se sustenta e se ( ) 1o

L jω > a

amplitude de r

V crescerá até que o amplificador entre na região de saturação, resultando numa

senóide com distorção.

Uma visão alternativa para o estudo dos osciladores senoidais consiste na determinação dos

pólos da função de transferência

( )

( )1 ( ) ( )f

A sA s

s A sβ=

− (1.2)

Os pólos de Af(s) estão localizados nas raízes do polinômio do denominador da função de

rtransferência (equação característica):

1 ( ) ( ) 0s A sβ− = (1.3)

Por exemplo:

2( ) e ( )

1

sA s K s

s bsβ≡ ≡

+ +

1 ( ) ( ) 0s A sβ− =

21 0

1

sK

s bs− =

+ +

2 1 0s bs Ks+ + − =

( )2 1 0s b K s+ − + = (1.4)

σ

jωK b=

Para que o circuito produza oscilações sustentadas na frequência oω , as raízes devem estar

localizadas em ω= ± os j .

CONSIDERAÇÕES PRÁTICAS:

Para garantir oscilação senoidal as raízes do polinômio 1 ( ) ( )s A sβ− devem estar localizadas

exatamente sobre o eixo jω . Significa dizer que ao longo do tempo ( )sβ e ( )A s não podem

sofrer alterações sob pena de parar de oscilar ou distorcer.

Sabemos que as características do circuito sofrem alterações por efeito de temperatura,

envelhecimento, etc... Desta forma, para construir um oscilador senoidal devemos utilizar

algum mecanismo de controle do ganho do amplificador.

σ

jωOscilação não sustentada

σ

jω Oscilação sustentada

Oscilação sustentada, com distorção

Limitação do amplificador

σ

jω

São duas as preocupações básicas:

1) Garantir que o circuito sempre oscilará. Para isto, devemos garantir Aβ ligeiramente

maior que a unidade na frequência oω . Isto posicionará os pólos no semiplano lateral

direito (SLD) do plano complexo s.

1Aβ > ⇒ oscilação garantida (com distorção)

2) Garantir que 1Aβ = quando a amplitude do sinal de saída atingir um valor desejado.

1ov

Aβ =

Com esta técnica, os pólos são inicialmente posicionados no SLD do plano s, garantindo o

processo de oscilação e, posteriormente, á medida que a amplitude do sinal de saída

aumenta (em módulo), os pólos vão se deslocando, suavemente, na direção do eixo jω ,

evitando a distorção.

Um circuito de controle eficiente:

RfR1

R2

R3

R4

R5

Vo

U1+

-

OUT

VCC +

VCC -

D1

D2

Vi

iV

oV

oV +

oV −

Inclinação:3

1

/ /1 fR RR

+

Inclinação:4

1

/ /1 fR RR

+

Inclinação:

1

1 fRR

+

Posição final β = 1A

σ

jω

Posição inicial β ≥ 1A

Ação do mecanismo de controle do ganho A

Para D1 e D2 cortados e aplicando superposição na determinação de VA e VB, tem-se:

1

1o f

i

V RAV R

= = +

3 2

2 3 2 3A CC o

R RV V VR R R R

= ++ +

54

4 5 4 5B CC o

RRV V VR R R R

= − ++ +

A situação de D1 e D2 cortados ocorre para baixas amplitudes de Vo. Com o aumento da

amplitude ocorrerá a condução dos diodos D1 e D2, respectivamente nos semi-ciclos negativo e

positivo, colocando Rf em paralelo com R3 ou R4 e, consequentemente forçando a redução do

ganho. Os limites (vo+ e vo

-) de condução de D1 e D2 são dados pelas expressões:

D1 conduz:

oA i D A D

VV V V V VA

−

= − ⇒ = −

D2 conduz:

oB i D B D

VV V V V VA

+

= + ⇒ = +

Assim:

3 2

2 3 2 3

oA D CC o

V R RV V V VA R R R R

− = − = + + +

32

2 3 2 3

1o CC D

RRV V VR R A R R

− − = − + + +

Fazendo :

( )3 2

2 3 2 3

1R Rk kR R R R

= ⇒ − =+ +

Vem:

( ) ( )1 1o CC D

AV kV VA k

− = − +− −

Analogamente:

( ) ( ) 4

4 5

onde,1 1o CC D

RAV kV V kA k R R

+ = − + =− − +

OBS.: Como a curva de condução do diodo é exponencial, as transições em torno de

eo oV V+ − são suaves, contribuindo para a redução da distorção.

OSCILADOR EM PONTE DE WIEN

Cálculo de βA:

( )( )

2 2

2 2 2 2

1 1 2 1 1 2 2 2 1

1 2 2

1 11 1 1

1

R RsR C sR CA A AsR C R sR C sR C sR C

sC sR C

β + += =

+ + + +++

2 12

1 2 1 2 1 1 2 2 2 11sR CA A

s R R C C sR C sR C sR Cβ =

+ + + +

1 21 2

2 1 2 1

11 1

A A R CsR CsR C R C

β =+ + + +

Vo

R2

R1C1

C2pZ

sZ

A

REDE β

1 11

1 1

11s

sR CZ RsC sC

+= + =

22

2 2 2

1/ /1p

RZ RsC sR C

= =+

VoA

sZ

pZ

tV+

−rV

pr t

p s

ZV A V

Z Z=

+

pr

t p s

ZVA AV Z Z

β = =+

Aplicando o critério de Barkhausen:

Para os jω=

1 21 2

2 1 2 1

11 1o

o

A AR Cj R C

R C R C

βω

ω

=

− + + +

0oAβ =

1 22 1 1 2 1 2 1 2 1 2

1 1 10 ou2o o o

o

R C fR C R R C C R R C C

ω ωω π

− = ⇒ = ⇒ =

Nesta frequência, onde a 0oAβ = , tem-se a condição de oscilação:

1 2

2 11 2

2 1

1 1 11

o

R CA A AR CR C

R C

ω ωβ

== = ⇒ = + +

+ +

Usando o amplificador com ganho controlado pela amplitude do sinal de saída:

RfR1

R2

R3

R4

R5

Vo

U1+

-

OUT

VCC +

VCC -

D1

D2

R

RC

C

1

1

1 3

p.ex.:0,03

o

f

RC

RAR

A

ω

δ

δ

=

= + = +

=

Análise alternativa

Usando, por simplicidade, 1 2R R R= = e 1 2C C C= = , vem:

( ) ( ) ( )2 2 2 3 1A sRCs A s

s R C s RCβ =

+ +

Calculando as raízes de ( ) ( )1 0s A sβ− =

( ) ( ) ( )( )

( )2 2 2

2 2 2 2 2 2

3 11 1 0

3 1 3 1s R C s A RCA sRCs A s

s R C s RC s R C s RCβ

+ − +− = − = =

+ + + +

( )2 2 2 3 1 0s R C s A RC+ − + =

( ) ( ) ( ) ( )2 2 2 2 2

22 2

3 3 4 1 3 3 42 2

A RC A R C R Cs A A

R C RC− − ± − − = = − − ± − −

raízes: reais

( )2 12

2

11

3 4 0 6 9 4 01

5

A sRCA A A

A sRC

= ⇒ = −− − ≥ ⇒ − + − = ⇒

= ⇒ =

raízes: complexos conjugados:

raízes: sobre o eixo imaginário:

1 5 A

raízes: complexos conjugados

raízes: reais σ

jω= 3A

= 1A = 5A

−1

RC

−1

jRC

1jRC

1RC

< <1 5A = ⇒ = ±1

3A s jRC

Oscilador em ponte de Wien com controle de frequência.

Observe que o caminho de realimentação positiva é o que passa pela associação em

série de R1 e C1 e a impedância de entrada R2, do amplificador A, é a impedância vista por C2

formando a ponte de Wien. Desta forma, esta estrutura apresenta a mesma frequência e

condição de ocilação da estrutura analisada anteriormente:

1 2

2 11 2 1 2

1 1oR Cw e AR CR R C C

= = + +

Entretanto, a estrutura do amplificador é diferente e, conseqüentemente, o ganho Av

será diferente. O sinal que chega em vx é amplificado passando por dois caminhos distintos.

Assim, o sinal de saída vo pode ser obtido aplicando-se superposição, Isto é, o sinal de saída

será a soma das contribuições de vx amplificadas em cada um dos caminhos:

5 3 5

4 2 4

3 5 5

2 4 4

1

1

o x x

ov

x

R R Rv v vR R R

v R R RAv R R R

= + + − −

= = + +

Por inspeção, verificamos que a escolha conveniente de R3, R4 e R5 fará com que o

ganho Av ajustado no amplificador seja sempre igual ao ganho A da condição de oscilação,

Vo

Vx

U2+

-

OUT

U1

+

-

OUT

R1

R4 R5

R3

C1

C2

R6

R7

R7

R6

VCC +

VCC -

D1

D2R2

A

para qualquer valor de R2. Assim, variando R2, a condição de oscilação é mantida enquanto a

frequência de oscilação varia, desde que os componentes sejam ajustados seguindo o critério:

5 523 1

4 1 4

R RC e R RR C R

= =

Oscilador em ponte de Wien com controle de amplitude alternativo.

Neste circuito, a tensão instantânea sobre Rf depende da amplitude de vo. Os diodos só

começam a conduzir quando esta tensão for maior que vd (≈ 0,6V). A partir desta amplitude, o

resistor Rx, em série com a resistência dinâmica do diodo, é colocado em paralelo com o

resistor Rf, reduzindo o ganho do amplificador, limitando a amplitude do sinal de saída no valor

ajustado através de Rx.

R

R

RfR1

C

C

Rx

U1

+

-

OUT Vo

D1

D2

Oscilador por desvio de fase (“phase shift oscilator”)

Para verificar a frequência e condição de oscilação desta estrutura, devemos abrir a

malha de realimentação positiva e determinar a função de transferência A(s)β(s) e aplicar o

critério de Barkhausen. Observando o circuito, vemos que existem dois ramos de

realimentação e ambos conduzem sinal realimentado para a entrada (–) do amplificador

operacional, o que caracterizaria a existência, somente, de realimentação negativa. Entretanto,

a rede RC do outro ramo de realimentação provoca um desvio na fase do sinal realimentado.

Desta forma, em determinadas condições a serem determinadas, por esta malha, o critério de

barkausen pode ser atendido, fazendo com que o circuito oscile. Para esta análise, a malha

que deve ser aberta para determinação da frequência e condição de oscilação é a malha que

contem a rede RC.

Interrompendo o circuito conforme indicado na figura e aplicando um sinal Vt, a função de

transferência A(s)β(s) pode ser obtida utilizando o método das malhas para análise de

circuitos:

2

3 22

1

1 2 0

0 0

1 1 1 10 2 2

1 2

10

t

t

R R vsC

R RsC

RR vi

R R R R R RsC sC sC sC

R R RsC

R RsC

+ −

− +

−

= = + − + + − +

− + −

− +

U1+

-

OUT

C C C

Rf

RR VotV

+

−rV

+

−1i 2i 3i

terra virtual

( )

3 2 3 2 2

3 2 13 4 1 3 4

f fr f t t

s R C R s RC Rv i R v v

sRC sRC sRCsRC

= − = − = −+ + + +

Aplicando o critério de Baerkhausen:

2 2

:

13 4

o

o fr

to

o

para s jww RC RvA

vj w RC

w RC

β

=

= =

− +

( )2

2

0

1 1 13 033o o o

o

A

w RC w ww RC RCRC

β =

− = ⇒ = ⇒ =

Na frequência oω tem-se a condição de oscilação:

( )

2 2

2 22

2

4 41 12143

o

o ff fw w

o

w RC RA R R R

w RC RCRC

β=

= = ⇒ = = ⇒ =

Usando o controle de ganho no amplificador:

Vo

R1

R2

R2

R1

VCC +

VCC -

D1

D2U1+

-

OUT

C C C

Rf

RR

OSCILADORES LC Oscilador Colpitts

Considerar:

Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):

Aplicando lei de Kirchoff no coletor ( )0iΣ = :

2

1

( 1) 01/ /

cb fe b

o

Vi sr C h ir

sC

π′ + + + =

[ ]22

1

( 1)( 1) 01

1

bb fe b

o

i sr C sL ri sr C h i

sCr

π ππ

′ + +′ + + + =

+

R2 REC2 C1

Q1

L

VCC +

R1C → ∞

C → ∞

L → ∞

C → ∞

1 2/ /BR R R rπ=

bi

bi ′

rπrπ or 1

1sC 2

1sC

sL

fe bh i

cV2( 1)bi sr C

π′ +

[ ]2 2 11( 1) ( 1) 0b fe b bo

i sr C h i i sr C sL r sCrπ π π

′ ′+ + + + + ⋅ =+

[ ]2 2 11( 1) ( 1)

b fe

b

o

i hAi

sr C sr C sL r sCrπ π π

β′ −

= =

+ + + + +

( )22 2 1

1( 1)

b fe

b

o

i hAi

sr C s LC r sL r sCrπ π π

β′ −

= =

+ + + + +

2 3 22 2 1 2 1 11

b fe

b

o o o

i hA r rsLi sr C s LC s LC C r s LC sr Cr r rπ π

π π π

β′ −

= =+ + + + + + +

3 21 2 2 1 2 1 1

b fe

b

o o o

i hAi r rLs LC C r s LC LC s r C r C

r r rπ π

π π π

β′ −

= =

+ + + + + + +

Para os jω=

3 21 2 2 1 2 1 1

b fe

bo o o

o o o

i hAi r rLj LC C r LC LC j r C r C

r r rπ π

π π π

βω ω ω

′ −= =

− − + + + + + +

3 22 1 1 2 2 1 1

b fe

bo o o

o o o

i hAi r rLj r C r C LC C r LC LC

r r rπ π

π π π

βω ω ω

′ −= =

+ + − − + + +

Aplicando o critério de Barkhausen:

0Aβ =

232 1 1 2o o

o

Lr C r C LC C rrπ π πω ω

+ + =

2 12 2

1 21 2 1 2

1 2

1 1oo o

o

Lr C r Cr

C CLC C r C C r rLC C

π π

π π

ω ω

+ +

= ⇒ = +

+

Fazendo:

1 21 2

1 2 1 2o o

C C LL C C r r r rC C C Cπ π⇒

+ +

2

1 2

1 2

1 1 1o o

eq eqC C LC LCL

C C

ω ω≅ = ⇒ ≅

+

1o

Aω ω

β=

=

22 1 2 1

1 2

1 2

111 1

fe fe

oo o o o

h hAr r r rLC LC LC LCC Cr r r rL

C C

π π π π

βω

− −= = =

− + + + − + + +

+

1 2 1 2 2 1

1 2 1 2

11 1 1 1

fe fe

o o o o

h hA r rC C C C r rC CC r C r C r C r

π π π π

β− −

= = =+ + − − + + − + − + + +

2 1 2 1

1 2 1 2

1fe fe

o o

h hA r rC C C CC r C C r C

π πβ

−= = =

− − +

Na prática:

2 1

1 2fe

o

rC ChC r C

π> +

Oscilador Hartley

Considerar:

Circuito equivalente para o cálculo do ganho de malha (βA):

Aplicando lei de Kirchoff no coletor ( )0iΣ = :

( )2 1

1 0/ /

cb fe b

o

r Vi h isL r sL

π ′ + + + =

2

2

1

111 01

1 1

b

b fe b

o

ri rsL sCri h i

sL

r sL

ππ

π

′ + +

′ + + + =

+

bi

bi ′

rπrπ or 1sL 2sL

1sC

fe bh i

cV2

1b

ri

Lsπ′ +

RE

C

Q1

L1

VCC +

R1

L2R2

C → ∞

C → ∞

L → ∞

C → ∞

1 2/ /BR R R rπ=

2 2 1

1 1 11 1 0b fe b bo

r ri h i i rsL sL sC r sL

π ππ

′ ′+ + + + + ⋅ =+

2 2 1

1 1 11 1

b fe

b

o

i hAi r r r

sL sL sC r sLπ π

π

β′ −

= =

+ + + + ⋅ +

2 2 12

2 2 1

b fe

b o

o

i hAi sL r sL r rsLr

sL s L C sr Lπ π

π

β′ −

= = + + ++ + ⋅

( )( )22 2 12

32 1 2

b fe

b o

o

i hAi s r L C sL r sL rsL r

sL s r L L Cπ ππ

β′ −

= = + + + + +

( )( ) ( )

31 2

3 2 3 2 21 2 1 1 2 1 2 1 2 2

fe ob

b o o o o o

h s r L L CiAi s r L L C s r r LC s r L L C s L L s rL s r r L C s rL r rπ π π π π

β−′

= =+ + + + + + +

( )( ) ( ) ( )

31 2

3 21 2 1 2 1 2 1 2

fe ob

b o o o o o

h s r L L CiAi s r r L L C s L L r r LC r r L C s r L r L r rπ π π π π

β−′

= =+ + + + + + +

( )( ) ( ) ( )

2

2

31 2

3 21 2 1 2 1 2 1 2

fe ob

obo o o o

h s r L L CiA r ri s r r L L C s L L r r LC r r L C s r L r Ls

ππ π π π

β/−′

= =+ + + + + + +

Para os jω=

( )( ) ( ) ( )

21 2

21 2 1 2 1 2 1 2

fe o ob

obo o o o o o

o

h r L L CiA r ri r r L L C j L L r r LC r r L C r L r L j ππ π π π

ωβ

ω ωω

− −′= =

− + + + + + + −

( )( ) ( ) ( )

21 2

21 2 1 2 1 2 1 2

fe o ob

b oo o o o o o

o

h r L L CiAi r rr r L L C r L r L j L L r r LC r r L C π

π π π π

ωβ

ω ωω

− −′= =

− + + + + + + −

Aplicando o critério de Barkhausen:

0Aβ =

( )1 2 1 2o

o o oo

r rL L r r LC r r L C ππ πω

ω+ + =

( )2 2

1 21 2 1 21 2

1oo o

o o

o

r rL LL L r r LC r r L C L L Cr r

π

π π

π

ω ω= ⇒ =+ + + +

Fazendo:

( ) ( )1 2 1 2

1 21 2

oo

L L L LL L C r rr r L L C π

π

+ ⇒+

( )2

1 2

1 1 1o o

eq eqL L C L C L Cω ω≅ = ⇒ ≅

+

1o

Aω ω

β=

=

( )( ) ( )

21 2

21 2 1 2 1 2

21 2

1fe o o fe o

o o o oo

o

h r L L C h rAr r L L C r L r L r L r Lr r

L L Cπ π π

π

ωβ

ωω

− − −= = =

− + + + ++ −

2 1

1 2 1 2

1 2

1 2

11 1

fe o fe o

o oo

o

h r h rAL Lr r r rr L r L L Lr r L L

L L

π ππ

π

β− −

= = =

+ − + − + + + − +

2 12 1

1 21 2

11 1

fe o fe o

oo o

h r h rA L LL L r rr r r r L LL Lππ π

β− −

= = = − −+ − + − +

2 1 1 2

1 2 2 1fe o o fe

L L L Lh r r r h rL L L Lπ π= + + ⇒ = +

Na prática:

21

2 1fe

o

L rLhL L r

π> +

OSCILADOR A CRISTAL

Cp

L

VtVr

A

Cp > > Cs

Circuito Equivalente

XTAL

Símbolo

Z2Z1

Z3

XTAL

CsR

( ) ( )

22

3 322

11 1 1 1( ) 1

1 1

s s

s ps p p s s pp p

ss p

s

ss LC LCZ s sC sCs LC C s C C C CsC sC ss LC LC CsL

sC

++

= = = = ⋅+ + ++ + +++

( )

2

3

2

11( ) s

p s p

s p

s j

LCZ j jC C C

LC C

ω

ωω

ωω

=

−= − ⋅

+−

( )

2

2 2

3 2 2

2

1

1( ) onde: como1

ss

p ssp s

p sp p

ps p

s p

LCZ j j C C

C

C CL

C C

ωω ωω ωωω ωω ω ω

ω

=

>− = − ⋅ >> ⇒ ≈− = +

Pode-se observar que ( )3( )Z j jXω ω= . A reatância ( )X ω é indutiva na faixa s pω ω ω< < . Então,

nesta faixa de frequência, o cristal se comporta como um indutor, e o circuito se torna um

oscilador Colpitts.

Curva de reatância do cristal:

Calculando-se Aβ , obtém-se:

( ) ( )1 2

1 2 3 2 1 3

r

t

v AZ ZAv R Z Z Z Z Z Z

β = =+ + + +

Considerando 1 21 2

1 1Z e Zj C j Cω ω

= = , temos para a frequência oω ω= :

21 2

2 2 2 2

2 2 2 21 2 2 1

1

1 1 1 1 1 1o

o s o s

o o o p o p o o o p o p

AC CA

jRC C C C C C

ωβω ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

−=

− −− − − + − − − −

0

X(ω)

ωs ωp ω

indutivo

capacitivo

3Z é indutivo para s pω ω ω< < XTAL

L

≡

Aplicando o critério de Barkhausen:

0

1

o

Aβ

ω

=

1

1

oC ω+

2

1

oC ω+

2 2

2 2 0o s

o ppCω ωω ω

−= −

Explicitando 2oω , vem:

2 2

1 2

1 2

1 11 , comoso p s o

s sp

C C CC CLC LCCC C

ω ω

= + + +

1Aβ =

2

1

o

A

Aω

β

−

= 1 2C C

1oω 2C

1oω

−1

1oC ω

−2 2

2 2

1o s

o ppCω ωω ω

= − −

2 2 2 2

12 2 2 2

1 1

1 1 1 1o s o s

p o p p o p

CA AC C C C

ω ω ω ωω ω ω ω

− −= + ⇒ = + − −

como p sω ω≅ , então:

2 21

2 21 o s

p o p

CAC

ω ωω ω

−= + −

( )1

1 1p

CAC

≅−

⇒ = − −