ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ

ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Παρουσίαση χωρικού δικτυώματος

3. Διανύσματα ακραίων δράσεων στοιχείου χωρικού δικτυώματος

4. Διανύσματα ακραίων μετατοπίσεων στοιχείου χωρικού

δικτυώματος

6. Τοπικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου χωρικού

δικτυώματος

5. Μητρώο μετασχηματισμού στοιχείου χωρικού δικτυώματος

7. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου χωρικού

δικτυώματος

2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα

8. Διανύσματα επικόμβιων δράσεων και μετατοπίσεων χωρικού

δικτυώματος

9. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας χωρικού δικτυώματος

10. Τροποποίηση (αναδιάταξη) καθολικού μητρώου

στιβαρότητας χωρικού δικτυώματος λόγω στήριξης –

Μητρώο αναδιάταξης

11. Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών χωρικού δικτυώματος

3

12. Εφαρμογή

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

4

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι ραβδωτοί φορείς που αποτελούνται από ευθύγραμμες ράβδους,

των οποίων τα άκρα συνδέονται αρθρωτά σε κόμβους και

μεταφέρουν μόνο αξονικές δυνάμεις (εφελκυστικές ή θλιπτικές)

ονομάζονται δικτυώματα. Στην περίπτωση κατά την οποία όλες οι

ράβδοι δικτυώματος βρίσκονται σε ένα επίπεδο και η φόρτιση του

ανήκει στο επίπεδο αυτό, το δικτύωμα αυτό αναφέρεται ως επίπεδο,

ενώ σε αντίθετη περίπτωση, ο φορέας ονομάζεται χωρικό δικτύωμα

ή χωροδικτύωμα.

5

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για τον υπολογισμό των χωρικών δικτυωμάτων εισάγονται

απλοποιητικές παραδοχές, οι οποίες προσδιορίζουν το κλασικό

προσομοίωμα ενός ιδανικού δικτυώματος και οδηγούν στην

προαναφερθείσα αποκλειστικά αξονική καταπόνηση των ράβδων.

Η αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη είναι σταθερή σε όλες τις διατομές

κατά μήκος κάθε ράβδου εκτός αν υφίστανται αξονικώς

κατανεμημένα φορτία επί των ράβδων. Στις επόμενες διαφάνειες

παρουσιάζεται η Μέθοδος Άμεσης Στιβαρότητας για την ανάλυση

χωρικών δικτυωμάτων που μπορούν να προσομοιωθούν ως ιδανικά

δικτυώματα, δίνοντας έμφαση στις διαφοροποιήσεις στα βήματα της

μεθόδου συγκριτικά με την ανάλυση των επίπεδων δικτυωμάτων.

6

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

7

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Τα μέλη του δικτυώματος είναι κατασκευασμένα από ομογενές και

ισότροπο υλικό ( ) και είναι διατομής .

8

100kN

EA

EA

EA

5

EA

EA

EA EA EA

EA

50kN

8 22.1 10 /E kN m 210A cm

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Σημείο εκκίνησης για την

ανάλυση του χωρικού

δικτυώματος αποτελεί η

αρίθμηση των κόμβων και

των μελών του. Επίσης,

επιλέγεται ως καθολικό

σύστημα αξόνων το

δεξιόστροφο ορθογώνιο

σύστημα αξόνων ως προς το

οποίο θα γίνει η ανάλυση του

φορέα και ο υπολογισμός

τόσο των κινηματικών

μεγεθών των κόμβων του όσο

και των αντιδράσεων των

στηρίξεων του. 9

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Ακολούθως, προκειμένου να

πραγματοποιηθεί ο ορισμός

των εσωτερικών εντατικών και

των κινηματικών μεγεθών των

μελών εισάγεται τοπικό

σύστημα αναφοράς για κάθε

ένα από τα στοιχεία που

συνθέτουν το δικτύωμα. Για

τον καθορισμό του συστήματος

αυτού, σε κάθε μέλος ορίζεται

ως άξονας x1 αυτός που έχει

διεύθυνση εκείνη του μέλους

και φορά από τον κόμβο με

μικρότερο προς τον κόμβο με

μεγαλύτερο αύξοντα αριθμό. 10

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

Τέλος, καθορίζονται οι

βαθμοί ελευθερίας κίνησης

των κόμβων του (κινηματική

αοριστία), όπου στο βήμα

αυτό αμελείται ο τρόπος

στήριξης του δικτυώματος.

Έτσι, γνωρίζοντας ότι κάθε

κόμβος διαθέτει τρεις

βαθμούς ελευθερίας κίνησης,

οι βαθμοί ελευθερίας κίνησης

του φορέα θα είναι 3Ν, όπου

Ν ο αριθμός των κόμβων

(nodes) του δικτυώματος.

11

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

12

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

13

j

k

11

2

3

11

2

3

0

0

0

0

ijij

ij

ijij

i

ik ikik

ik

ik

FF

F

AF

AA FF

F

F

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ijij

i

ik ik

ik

ik

F

F

AF

A

A F

F

F

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

δράσεων

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

14

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

15

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

μετατοπίσεων

j

k

j'

k'

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ijij

i

ik ik

ik

ik

u

u

Du

DD u

u

u

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ijij

i

ik ik

ik

ik

u

u

Du

D

D u

u

u

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

16

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

17

3ijF

11j

13j

12j

1 11 1 12 2 13 3 ij ij ijij ij ij ij

F F F F

Σύμφωνα με το σχήμα, το άθροισμα των προβολών των συνι-

στωσών του καθολικού συστήματος αξόνων στον τοπικό άξονα

x1 δίνουν την τοπική δύναμη , δηλαδή 1ij

F

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

18

3ijF

11j

13j

12j

Παρόμοιες σχέσεις μπορούν να

γραφούν και για τις (μηδενικές)

δυνάμεις , κατά τους

τοπικούς άξονες , και

συνδυάζοντας τις εξισώσεις

αυτές προκύπτει η μητρωική

σχέση

2ij

F3ij

F

2x 3x

111 12 131

1

21 22 232 2

31 32 333 3

0

0

ijij ij ijijij

ijijij ij ij ijij ijST

ij ij ijij ij

FF F

A AF F

F F

cos ij ijml ml (m,l=1,2,3)

άκρο j

μέλους

χωρικού

δικτυώματος

1 11 12 131

2 21 22 23

3 31 32 33

11 12 1311

21 22 232

31 32 333

00

0

0 0

0

ij ij ij ijij

ij ij ij ij

ijij ij ij ij

i

ik ik ik ikikik

ik ik ikik

ik ik ikik

FF

F

A FA

A FF

F

F

1

2

3

1

2

3

0

0

ij

ij

ijijijST ii

STikikikST

ik

ik

F

F

AF

A

AF

F

F

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

19

3ijF

11j

13j

12j

1

Tij ijST ST

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

0

0

0

ij ij ij

ij ij ij

ijij ij ijST

iST ik ik ik ik

ST

ik ik ik

ik ik ik

ή συνολικά και στα δύο άκρα μέλους χωρικού δικτυώματος

Μητρώο μετασχηματισμού μέλους χωρικού δικτυώματος

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

20

11 11 12 13

22 21 22 23

33 31 32 33

11 12 131 1

21 22 232 2

31 32 333

0

0

ijij ij ij ij

ijij ij ij ij

ij ijij ij ij iji

ik ik ik ik ikik

ik ik ikik i

ik ik ikik

uu

uu

D u uD

D u u

u u

u

3

0

0

ijijST ii

STikikST

k

ik

D

D

D

u

cos i imn mn

Τα συνημίτονα κατεύθυνσης

των γωνιών φ αποτελούν τα

στοιχεία των μητρώων

μετασχηματισμού

‘Ομοια για τα διανύσματα

ακραίων μετατοπίσεων

θα ισχύει

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

21

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

22

1 11 12 13 14 15 161

2 21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 363

41 42 43 44 45 4611

51 52 53 54 55 52

3

0

0

0

0

ij i i i i i iij

ij i i i i i i

ij i i i i i i

i i i i i iikik

i i i i iik

ik

F k k k k k kF

F k k k k k k

F k k k k k k

k k k k k kFF

k k k k k kF

F

1

2

3

1

6 2

61 62 63 64 65 66 3

ij

ij

ij

ik

i ik

i i i i i i ik

u

u

u

u

u

k k k k k k u

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

i i iA k D

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

i i i i

i i

i ijj jk

i

i i i i i ikj kk

i i

E A E A

L L

k k

kk k E A E A

L L

το τυχόν στοιχείο του τοπικού

μητρώου στιβαρότητας του μέλους i

δηλώνει την αναπτυσσόμενη τοπική

ακραία δράση κατά τον τοπικό

βαθμό ελευθερίας m όταν επιβληθεί

μοναδιαία και μοναδική ακραία

μετακίνηση κατά τον τοπικό βαθμό

ελευθερίας n του μέλους i , δηλαδή

με ταυτόχρονο μηδενισμό των

υπόλοιπων τοπικών βαθμών

ελευθερίας του μέλους.

imnk

Μόρφωση τοπικού μητρώου στιβαρότητας μέλους χωρικού δικτυώματος

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

23

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

24

1 11 12 13 14 15 16

2 21 22 23 24 25 26

3 31 32 33 34 35 36

1 41 42 43 44 45 46

2 51 52 53 54 55 56

3 61 62 63 64 65 66

ij i i i i i i

ij i i i i i i

ij i i i i i i

ik i i i i i i

ik i i i i i i

ik i i i i i i

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ij

ik

ik

ik

u

u

u

u

u

u

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

i i iA k D

Προκειμένου να προσδιοριστεί η σχέση αυτή

γράφεται αρχικά η αντίστοιχη σχέση

στιβαρότητας στο τοπικό σύστημα αξόνων

Ζητείται να προσδιοριστεί η σχέση στιβαρότητας στοιχείου χωρικού δικτυώματος

στο καθολικό σύστημα αξόνων

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας μέλους χωρικού δικτυώματος

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

25

i i iA k D

Ti ii i i

ST STA k D

Ti i i iST STk k

Αντικαθιστώντας στην τοπική σχέση στιβαρότητας τις σχέσεις

0

0

ijij ij

ST ii iSTikik ik

ST

AA

A AA A

0

0

ijij ij

ST ii iSTikik ik

ST

DD

D DD D

και με τη βοήθεια της ορθοκανονικότητας των μητρώων μετα-

σχηματισμού προκύπτει η καθολική σχέση στιβαρότητας

ως όπου

i i iA k D

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

26

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

27

(1)1

1(1)2

2(1)3(1) 3(2)1 4

(2)(2)

52

(2)6

3

(N)

(N) 3 21

3 1(N)2

3(N)3

:

::

N

N

N

PP

PP

P PP

P P

P PPP

PP

PP

PP

PP

P

(1)1

1(1)2

2(1)3(1) 3(2)1 4

(2)(2)

52

(2)6

3

(N)

(N) 3 21

3 1(N)2

3(N)3

:

::

N

N

N

Από τις μετατοπίσεις των κόμβων κάποιες είναι γνωστές και οι υπόλοιπες

άγνωστες, ανάλογα με το εάν οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας κόμβου είναι

δεσμευμένοι ή ελεύθεροι. Αντίστοιχα, υπάρχουν γνωστές δράσεις, που είναι τα

εξωτερικά φορτία των κόμβων και άγνωστες, που είναι οι αντιδράσεις στηρίξεων.

Συνιστώσες των επικόμβιων δράσεων και επικόμβιων μετατοπίσεων των

Ν κόμβων δικτυώματος

Εναλλακτικές

μορφές

γραφής

διανυσμάτων

Γραφή με άνω

(αριθμός

κόμβου) και

κάτω (αριθμός

καθολικού

άξονα) δείκτη

Γραφή με κάτω δείκτη

(βαθμός ελευθερίας

κίνησης δικτυώματος)

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

28

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΧΩΡΙΚΟΥ

ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

29

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

...

...

: : : :: :

...

N

N

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP

11 12 13

21 22 23

31 32 33

nm nm nm

nm nm nmnm

nm nm nm

K K K

K K K K

K K K

( )

1( ) ( )

2

( )

3

n

n n

n

P

P P

P

( )

1( ) ( )

2

( )

3

m

m m

m

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα χωρικού δικτυώματος

Καθολικό

μητρώο

στιβαρό-

τητας

φορέα

1 11 12 13 14 15 16 1,3 2 1,3 1 1,3

2 21 22 23 24 25 26 2,3 2 2,3 1 2,3

3 31 32 33 34 35 36 3,3 2 3,3 1 3,3

4 41 42 43 44 45

5

6

3 2

3 1

3

...

...

...

:

N N N

N N N

N N N

N

N

N

P K K K K K K K K K

P K K K K K K K K K

P K K K K K K K K K

P K K K K K

P

P

P

P

P

46 4,3 2 4,3 1 4,3

51 52 53 54 55 56 5,3 2 5,3 1 5,3

61 62 63 64 65 66 6,3 2 6,3 1 6,3

3 2,1 3 2,2 3 2,3 3 2,4 3 2,5 3 2,6 3 2,3 2 3 2,3 1 3 2,3

3 1,1 3 1,

...

...

...

: : : : : : : : :

...

N N N

N N N

N N N

N N N N N N N N N N N N

N N

K K K K

K K K K K K K K K

K K K K K K K K K

K K K K K K K K K

K K

1

2

3

4

5

6

3 2

2 3 1,3 3 1,4 3 1,5 3 1,6 3 1,3 2 3 1,3 1 3 1,3 3 1

3 ,1 3 ,2 3 ,3 3 ,4 3 ,5 3 ,6 3 ,3 2 3 ,3 1 3 ,3 3

:

...

...

N

N N N N N N N N N N N

N N N N N N N N N N N N N

K K K K K K K

K K K K K K K K K

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ)

ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

30

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

31

f

m

s

P

P V PP

f

m

s

V

Τροποποιημένα (λόγω αναδιάταξης) διανύσματα επικόμβιων δράσεων και

μετατοπίσεων δικτυώματος

T Tm mV P K V

Tm mP V K V

m m mP K

T

mK V K V

Είναι προφανές ότι η προαναφερθείσα αναδιάταξη θα έχει ως άμεσο αποτέλεσμα και

την απαιτούμενη τροποποίηση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του

δικτυώματος.

TmV

TmP V P

P K

T

V V I

Τροποποιημένο

(αναδιατεταγμένο)

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

πλήθος ελεύθερων και δεσμευμένων

βαθμών ελευθερίας

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

32

m m mP K

Τροποποιημένη

(αναδιατεταγμένη)

μητρωική εξίσωση

ισορροπίας

f fff fs

sf sss s

P K K

K KP

2f sN N N

f ff f fs sP K K

s sf f ss sP K K

1

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις κατά

τους ελεύθερους και επικόβιες

δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

33

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

34

Υπολογισμός εσωτερικών εντατικών μεγεθών

μελών δικτυώματος

i i i irA A k D

ii i i ir STA A k D

Tο καθολικό μητρώο ακραίων μετατοπίσεων μπορεί να μορφωθεί

γνωρίζοντας από την επίλυση της σχέσης στιβαρότητας το μητρώο των

καθολικών επικόμβιων μετατοπίσεων του δικτυώματος και

λαμβάνοντας από αυτό τα κατάλληλα στοιχεία ανάλογα με τους

κόμβους άκρων του μέλους i .

iD

επαλληλία παγιωμένου και

ισοδύναμου φορέα

Ή πιο αναλυτικά λαμβάνοντας

υπόψη τη σχέση τοπικών –

καθολικών μετατοπίσεων

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

35

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

36

Στοιχεία

γεωμετρίας

μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

37

Στοιχεία

γεωμετρίας

μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

38

Στοιχεία

γεωμετρίας και

υλικού μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Μόρφωση καθολικών μητρώων στιβαρότητας μελών

Μέλος (1) : 1 8 22.1 10 /E kN m , 1 210A cm , 1 3.0L m

Μέλος (2) : 2 8 22.1 10 /E kN m , 2 210A cm , 2 4.0L m

Μέλος (3) : 3 8 22.1 10 /E kN m ,

3 210A cm , 3 3.0L m

Μέλος (4) : 4 8 22.1 10 /E kN m ,

4 210A cm , 4 4.0L m

Μέλος (5) : 5 8 22.1 10 /E kN m ,

4 210A cm , 5 5.0L m

Μέλος (6) : 6 8 22.1 10 /E kN m ,

4 210A cm , 6 4.0L m

Μέλος (7) : 7 8 22.1 10 /E kN m ,

7 210A cm , 7 5.0L m

Μέλος (8) : 8 8 22.1 10 /E kN m ,

8 210A cm , 8 6.403L m

Μέλος (9) : 8 8 22.1 10 /E kN m ,

8 210A cm , 8 5.657L m

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

39

1

70000.00 0 0 70000.00 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

70000.00 0 0 70000.00 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

1 5 6

1

2

3

0

4

5

6 0 0

k

2

0 0 0 0 0 0

0 52500.00 0 0 52500.00 0

0 0 0 0

4 5 8 9

0 0

0 0 0 0 0 0

0 52500.00 0 0 52500

4

5

6

.0

7

8 0 0

0 0 09 0 0 0

k

3

70000.00 0 0 70000.00 0 0

0 0 0 0 0 0

0

7 8 11 12

0 0 0 0 0

70000.00 0 0 7

7

8

0000.00

9

10

11

12

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

k

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

40

5

15120.07 20160.02 0 15120.07 20160.02 0

20160.02 26879.93 0 20160.02 26879.93 0

0 0 0 0 0 0

15120.07 20160.02 0 15120.07 2016

1 2 7 8 9

1

2

0.02 0

201

3

7

8

9

60.02 26879.93 0

k

20160.02 26879.93 0

0 0 0 0 0 0

4

0 0 0 0 0 0

0 52500.

1 2 11 12

00 0 0 52500.00 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 52500.00 0 0

1

2

3

10

11

12

52500.00 0

0 0 0 0 0 0

k

6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

1 2 13 14 1

0 52500.00 0 0 52500.00

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 5

5

1

2

3

13

14

15 2500.00 0 0 52500.00

k

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

41

7

15120.07 0 20160.02 15120.07 0 20160.02

0 0 0 0 0 0

20160.02 0 26879.93 20160.02 0 26879.93

15120.07 0 20160.02 15120.07 0.00 20160.02

0 0 0 0 0

4 5 6 13 14 15

4

5

6

13

14

15

0

2016

k

0.02 0 26879.93 20160.02 0.00 26879.93

8

7200.15 9599.72 9599.72 7200.15 9599.72 9599.72

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 12798.99 12798.99

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 1

7 8 9 13 14 15

7

8

9

13

14

15

k

2798.99 12798.99

7200.15 9599.72 9599.72 7200.15 9599.72 9599.72

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 12798.99 12798.99

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 12798.99 12798.99

9

0 0 0 0 0 0

0 18561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

0 18561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

0 0 0 0 0 0

0 1

10 11 12 13 14 15

10

11

12

13

14

15

8561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

0

k

18561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

42

(1)

1

(1)

2 1

(1)23

(2) 31

(2) 4

25(2)

36

(3)

1 7

(3)82

(3) 93

10(4)

111(4)

212

(4)

3 13

(5)14

1

(5) 152

(5)

3

P

P P

PP

PP

PP

PP

P

P P

P PP

PP

PP

PP

P

P P

PP

PP

P

1

2

3

5

6

12

0

0

0

50

0

0

100

0

0

R

R

R

R

R

R

(1)

1

(1)

2 1

(1)23

(2) 31

(2) 4

25(2)

36

(3)

1 7

(3)82

(3) 93

10(4)

111(4)

212

(4)

3 13

(5)14

1

(5) 152

(5)

3

4

7

8

9

10

11

13

14

15

0

0

0

0

0

0

Διανύσματα

επικόμβιων

δράσεων και

μετατοπίσεων

δικτυώματος

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

43

1

1

1

2 3 4 5

1

6

6

4

4

2

3

5

5

4

5

1

ό

ό ό όjj

j

ό

ό

ό

ό

jk

jj

jj

jk

kj

k

ό

j

jj

k

ό

k

k k

k

K

k

k

k

k

k

5

5

7

7

9

9

3

2

3

3

3

4

4

1

2

8

2

2 8

0

0

kj

kk

jj

jk

kk

jk

k

jk

jj

kj

k

kk

j

j

kj

j

jk

kk

k

j

j jk

jj

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

kk

k

k

k

k

k

k

8

9

6

9

8

76

7kk

kj

kk

k kj

kk

k

k

j j

k

kk k

kk

k

k k

Σύνθεση στο

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας του

δικτυώματος

100kN

2

3

1

5

4

1

2

3 4

5

6 7 8

9

7

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x1

x2

x3

x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

44

85120.07 20160.02 0.00 70000.00 0.00 0.00 15120.07 20160.02

20160.02 79379.93 0.00 0.00 0.00 0.00 20160.02 268

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

79.93

2 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

70000.00

10

11

12

13

14

1

0.

5

K

00 0.00 85120.07 0.00 20160.02 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 52500.00

0.00 0.00 0.00 20160.02 0.00 26879.93 0.00 0.00

15120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00 92320.22 29759.74

20160.02 26879.93 0.00 0.00 52500.

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 52500.00

0.00 0.00 0.00 0.00 15120.07 0.00 20160.02

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 201

00 0.00 29759.74 92178.91

60.02 0.00 26879.93

9599.72 70000.00 0.00 0.00 7200.15 9599.72 9599.72

12798.99 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99 12798.99

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 70000.00 0.00

0.00 52500

.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 15120.07 0.00 20160.02 7200.15 9599.72

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99

0.00 0.00 52500.00 20160.02 0.00 26879.93 9599.72 12798.

12798.99 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99 12798.99

0.00 70000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 71061.07 18561.07 0.00 18561.07 18561.07

0.00 0.00 18561.07 18561.07 0.00 18561.07 18561.07

9599.72 0.00 0.00 0.00 22320.22 959

99

9.72 29759.74

12798.99 0.00 18561.07 18561.07 9599.72 31360.06 31360.06

12798.99 0.00 18561.07 18561.07 29759.74 31360.06 110739.99

Καθολικό μητρώο

στιβαρότητας δικτυώματος

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

45

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10

11

13

14

15

1

2

3

1

1

1

5

1

6

12

ύ

ί

( free )

έ

ί

(sup ported )

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1 0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

[V ]

Μητρώο

αναδιάταξης

δικτυώματος

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

46

4

7

8

9

10

11

13

14

151

12

23

35

56

612

12

00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

00 0

0

50

0

0

100

0

0

f

s

P

P

P

P

P

P

PP

PP

PR

PR

PR

PR

PR

PR

P

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1

2

3

5

6

12

0

0

0

50

0

0

100

00 0 0 0 1 0 0 0

0

R

R

R

R

R

R

Τροποποιημένο

(λόγω αναδιάταξης)

διάνυσμα επικόμβιων

δράσεων

δικτυώματος

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

47

4

7

8

9

10

11

13

14

15

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0

0

0

0

0

0

f

s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

4

15

Τροποποιημένο

(λόγω αναδιάταξης)

διάνυσμα επικόμβιων

μετατοπίσεων

δικτυώματος

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

48

ff fs

Tm

sf ss

K K

K V K VK K

85120.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15120.07 0.00

0.00 92320.22 29759.74 9599.72 70000.00 0.00 7200.15 9599.72

0.00 29759.74 92

7 8 9 10 11 13 14 15 1 2 3 5 6 12

4

178.91 12798.99 0.00 0

7

8

9

10

1

.00 9

1

13

14

15

1

2

599.72

3

5

12798.99

0.0

6

0 9

12

4

599.72 12798.99 12798.99 0.00 0.00 9599.72 12798.99

0.00 70000.00 0.00 0.00 70000.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 71061.07 0.00 18561.07

15120.07 7200.15 9599.72 9599.72 0.00 0.00 22320.22 9599.72

0.00 9599.72 1279

20160.02 70000.00 0.00 0.00 0.00 20160.02 0.00

9599.72 15120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00

12798.99 20160.02 26879.93 0.00 52500.00 0.00 0.00

12798.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

8.99 12798.99 0.00 18561.07 9599.72 31360.06

.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

18561.07 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 18561.07

29759.74 0.00 0.00 0.00 0.00 20160.02 0.00

31360.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18561.07

20160.02 9599.72 12798.99 12798.99 0.00 18561.07 29759.74

31360.06

70000.00 15120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 20160.02 26879.93 0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

110739.99 0.00 0.00 52500.00 0.00 26879.93 18561.07

0.00 85120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 20160.02 79379.93 0.00 0.00 0.00 0.00

52500.00 0.00 0.00 52500.00 0

0 20160.02 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18561.07 0.00 18561.07

.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00

26879.93 0.00 0.00 0.00 0.00 26879.93 0.00

18561.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18561.07

Τροποποιημένο

(λόγω αναδιάταξης)

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

δικτυώματος

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

49

(2)

1

4 (3)

17

(3)

28

(3)

39

(4)10 1

(4)11

2

(5)13

114 (5)

215

(5)

3

0.0020

0.0025

0.0000

0.0212

0.0025

0.0010

0.0157

0.0071

0.00

f

35

1

2

3

5

6

12

100.00

0.00

183.34

0.00

183.34

50.00

R

R

R

R

R

R

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις

κατά τους ελεύθερους και

επικόβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

ΕΦΑΡΜΟΓΗ

50

11

11

137.50

137.50

j

k

F

F

21

21

0.00

0.00

j

k

F

F

31

31

0.00

0.00

j

k

F

F

41

41

50.00

50.00

j

k

F

F

51

51

62.50

62.50

j

k

F

F

61

61

183.34

183.34

j

k

F

F

71

71

229.17

229.17

j

k

F

F

81

81

80.04

80.04

j

k

F

F

91

91

70.71

70.71

j

k

F

F

137.50kN

183.34kN

50.00kN

80.04kN

-229.17kN

-70.71kN

-62.50kN

0.00kN

0.00kN

Εσωτερικά εντατικά

μεγέθη μελών

δικτυώματος

ii i iSTA k D

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2