ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑusers.ntua.gr/cvsapoun/4-Spatial Trusses.pdfΧΩΡΙΚΑ...

ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑ

Ε.Ι. Σαπουντζάκης Καθηγητής ΕΜΠ

ΕΘΝΙΚΟ ΜΕΤΣΟΒΙΟ ΠΟΛΥΤΕΧΝΕΙΟ

ΣΧΟΛΗ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ

ΕΡΓΑΣΤΗΡΙΟ ΣΤΑΤΙΚΗΣ & ΑΝΤΙΣΕΙΣΜΙΚΩΝ ΕΡΕΥΝΩΝ

ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ

ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ 1

Ε.Ι. Σαπουντζάκης ΑΝΑΛΥΣΗ ΡΑΒΔΩΤΩΝ ΦΟΡΕΩΝ ΜΕ ΜΗΤΡΩΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΥΣ

Περιεχόμενα

1. Εισαγωγή

2. Παρουσίαση χωρικού δικτυώματος

3. Διανύσματα ακραίων δράσεων στοιχείου χωρικού δικτυώματος

4. Διανύσματα ακραίων μετατοπίσεων στοιχείου χωρικού

δικτυώματος

6. Τοπικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου χωρικού


5. Μητρώο μετασχηματισμού στοιχείου χωρικού δικτυώματος

7. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας στοιχείου χωρικού


2


Περιεχόμενα

8. Διανύσματα επικόμβιων δράσεων και μετατοπίσεων χωρικού


9. Καθολικό μητρώο στιβαρότητας χωρικού δικτυώματος

10. Τροποποίηση (αναδιάταξη) καθολικού μητρώου

στιβαρότητας χωρικού δικτυώματος λόγω στήριξης –

Μητρώο αναδιάταξης

11. Εσωτερικά εντατικά μεγέθη μελών χωρικού δικτυώματος

3

12. Εφαρμογή


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

4


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Οι ραβδωτοί φορείς που αποτελούνται από ευθύγραμμες ράβδους,

των οποίων τα άκρα συνδέονται αρθρωτά σε κόμβους και

μεταφέρουν μόνο αξονικές δυνάμεις (εφελκυστικές ή θλιπτικές)

ονομάζονται δικτυώματα. Στην περίπτωση κατά την οποία όλες οι

ράβδοι δικτυώματος βρίσκονται σε ένα επίπεδο και η φόρτιση του

ανήκει στο επίπεδο αυτό, το δικτύωμα αυτό αναφέρεται ως επίπεδο,

ενώ σε αντίθετη περίπτωση, ο φορέας ονομάζεται χωρικό δικτύωμα

ή χωροδικτύωμα.

5


ΕΙΣΑΓΩΓΗ

Για τον υπολογισμό των χωρικών δικτυωμάτων εισάγονται

απλοποιητικές παραδοχές, οι οποίες προσδιορίζουν το κλασικό

προσομοίωμα ενός ιδανικού δικτυώματος και οδηγούν στην

προαναφερθείσα αποκλειστικά αξονική καταπόνηση των ράβδων.

Η αναπτυσσόμενη αξονική δύναμη είναι σταθερή σε όλες τις διατομές

κατά μήκος κάθε ράβδου εκτός αν υφίστανται αξονικώς

κατανεμημένα φορτία επί των ράβδων. Στις επόμενες διαφάνειες

παρουσιάζεται η Μέθοδος Άμεσης Στιβαρότητας για την ανάλυση

χωρικών δικτυωμάτων που μπορούν να προσομοιωθούν ως ιδανικά

δικτυώματα, δίνοντας έμφαση στις διαφοροποιήσεις στα βήματα της

μεθόδου συγκριτικά με την ανάλυση των επίπεδων δικτυωμάτων.

6


ΠΑΡΟΥΣΙΑΣΗ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

7



Τα μέλη του δικτυώματος είναι κατασκευασμένα από ομογενές και

ισότροπο υλικό ( ) και είναι διατομής .

8

100kN

EA

EA

EA

5

EA

EA

EA EA EA

EA

50kN

8 22.1 10 /E kN m 210A cm



Σημείο εκκίνησης για την

ανάλυση του χωρικού

δικτυώματος αποτελεί η

αρίθμηση των κόμβων και

των μελών του. Επίσης,

επιλέγεται ως καθολικό

σύστημα αξόνων το

δεξιόστροφο ορθογώνιο

σύστημα αξόνων ως προς το

οποίο θα γίνει η ανάλυση του

φορέα και ο υπολογισμός

τόσο των κινηματικών

μεγεθών των κόμβων του όσο

και των αντιδράσεων των

στηρίξεων του. 9

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2



Ακολούθως, προκειμένου να

πραγματοποιηθεί ο ορισμός

των εσωτερικών εντατικών και

των κινηματικών μεγεθών των

μελών εισάγεται τοπικό

σύστημα αναφοράς για κάθε

ένα από τα στοιχεία που

συνθέτουν το δικτύωμα. Για

τον καθορισμό του συστήματος

αυτού, σε κάθε μέλος ορίζεται

ως άξονας x1 αυτός που έχει

διεύθυνση εκείνη του μέλους

και φορά από τον κόμβο με

μικρότερο προς τον κόμβο με

μεγαλύτερο αύξοντα αριθμό. 10

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2



Τέλος, καθορίζονται οι

βαθμοί ελευθερίας κίνησης

των κόμβων του (κινηματική

αοριστία), όπου στο βήμα

αυτό αμελείται ο τρόπος

στήριξης του δικτυώματος.

Έτσι, γνωρίζοντας ότι κάθε

κόμβος διαθέτει τρεις

βαθμούς ελευθερίας κίνησης,

οι βαθμοί ελευθερίας κίνησης

του φορέα θα είναι 3Ν, όπου

Ν ο αριθμός των κόμβων

(nodes) του δικτυώματος.

11

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ

ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

12


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ

ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

13

j

k

11

2

3

11

2

3

0

0

0

0

ijij

ij

ijij

i

ik ikik

ik

ik

FF

F

AF

AA FF

F

F

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ijij

i

ik ik

ik

ik

F

F

AF

A

A F

F

F

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

δράσεων


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ


14


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΑΚΡΑΙΩΝ ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ


15

Τοπικό και

καθολικό

διάνυσμα

ακραίων

μετατοπίσεων

j

k

j'

k'

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ijij

i

ik ik

ik

ik

u

u

Du

DD u

u

u

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ijij

i

ik ik

ik

ik

u

u

Du

D

D u

u

u


ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ


16


ΜΗΤΡΩΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


17

3ijF

11j

13j

12j

1 11 1 12 2 13 3 ij ij ijij ij ij ij

F F F F

Σύμφωνα με το σχήμα, το άθροισμα των προβολών των συνι-

στωσών του καθολικού συστήματος αξόνων στον τοπικό άξονα

x1 δίνουν την τοπική δύναμη , δηλαδή 1ij

F




18

3ijF

11j

13j

12j

Παρόμοιες σχέσεις μπορούν να

γραφούν και για τις (μηδενικές)

δυνάμεις , κατά τους

τοπικούς άξονες , και

συνδυάζοντας τις εξισώσεις

αυτές προκύπτει η μητρωική

σχέση

2ij

F3ij

F

2x 3x

111 12 131

1

21 22 232 2

31 32 333 3

0

0

ijij ij ijijij

ijijij ij ij ijij ijST

ij ij ijij ij

FF F

A AF F

F F

cos ij ijml ml (m,l=1,2,3)

άκρο j

μέλους

χωρικού


1 11 12 131

2 21 22 23

3 31 32 33

11 12 1311

21 22 232

31 32 333

00

0

0 0

0

ij ij ij ijij

ij ij ij ij

ijij ij ij ij

i

ik ik ik ikikik

ik ik ikik

ik ik ikik

FF

F

A FA

A FF

F

F

1

2

3

1

2

3

0

0

ij

ij

ijijijST ii

STikikikST

ik

ik

F

F

AF

A

AF

F

F




19

3ijF

11j

13j

12j

1

Tij ijST ST

11 12 13

21 22 23

31 32 33

11 12 13

21 22 23

31 32 33

0

0

0

0

ij ij ij

ij ij ij

ijij ij ijST

iST ik ik ik ik

ST

ik ik ik

ik ik ik

ή συνολικά και στα δύο άκρα μέλους χωρικού δικτυώματος

Μητρώο μετασχηματισμού μέλους χωρικού δικτυώματος




20

11 11 12 13

22 21 22 23

33 31 32 33

11 12 131 1

21 22 232 2

31 32 333

0

0

ijij ij ij ij

ijij ij ij ij

ij ijij ij ij iji

ik ik ik ik ikik

ik ik ikik i

ik ik ikik

uu

uu

D u uD

D u u

u u

u

3

0

0

ijijST ii

STikikST

k

ik

D

D

D

u

cos i imn mn

Τα συνημίτονα κατεύθυνσης

των γωνιών φ αποτελούν τα

στοιχεία των μητρώων

μετασχηματισμού

‘Ομοια για τα διανύσματα

ακραίων μετατοπίσεων

θα ισχύει


ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


21


ΤΟΠΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


22

1 11 12 13 14 15 161

2 21 22 23 24 25 26

31 32 33 34 35 363

41 42 43 44 45 4611

51 52 53 54 55 52

3

0

0

0

0

ij i i i i i iij

ij i i i i i i

ij i i i i i i

i i i i i iikik

i i i i iik

ik

F k k k k k kF

F k k k k k k

F k k k k k k

k k k k k kFF

k k k k k kF

F

1

2

3

1

6 2

61 62 63 64 65 66 3

ij

ij

ij

ik

i ik

i i i i i i ik

u

u

u

u

u

k k k k k k u

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

i i iA k D

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

i i i i

i i

i ijj jk

i

i i i i i ikj kk

i i

E A E A

L L

k k

kk k E A E A

L L

το τυχόν στοιχείο του τοπικού

μητρώου στιβαρότητας του μέλους i

δηλώνει την αναπτυσσόμενη τοπική

ακραία δράση κατά τον τοπικό

βαθμό ελευθερίας m όταν επιβληθεί

μοναδιαία και μοναδική ακραία

μετακίνηση κατά τον τοπικό βαθμό

ελευθερίας n του μέλους i , δηλαδή

με ταυτόχρονο μηδενισμό των

υπόλοιπων τοπικών βαθμών

ελευθερίας του μέλους.

imnk

Μόρφωση τοπικού μητρώου στιβαρότητας μέλους χωρικού δικτυώματος


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


23


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


24

1 11 12 13 14 15 16

2 21 22 23 24 25 26

3 31 32 33 34 35 36

1 41 42 43 44 45 46

2 51 52 53 54 55 56

3 61 62 63 64 65 66

ij i i i i i i

ij i i i i i i

ij i i i i i i

ik i i i i i i

ik i i i i i i

ik i i i i i i

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

F k k k k k k

1

2

3

1

2

3

ij

ij

ij

ik

ik

ik

u

u

u

u

u

u

i iij ijjj jk

ik iki ikj kk

k kA D

A Dk k

i i iA k D

Προκειμένου να προσδιοριστεί η σχέση αυτή

γράφεται αρχικά η αντίστοιχη σχέση

στιβαρότητας στο τοπικό σύστημα αξόνων

Ζητείται να προσδιοριστεί η σχέση στιβαρότητας στοιχείου χωρικού δικτυώματος

στο καθολικό σύστημα αξόνων

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας μέλους χωρικού δικτυώματος


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΣΤΟΙΧΕΙΟΥ


25

i i iA k D

Ti ii i i

ST STA k D

Ti i i iST STk k

Αντικαθιστώντας στην τοπική σχέση στιβαρότητας τις σχέσεις

0

0

ijij ij

ST ii iSTikik ik

ST

AA

A AA A

0

0

ijij ij

ST ii iSTikik ik

ST

DD

D DD D

και με τη βοήθεια της ορθοκανονικότητας των μητρώων μετα-

σχηματισμού προκύπτει η καθολική σχέση στιβαρότητας

ως όπου

i i iA k D


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

26


ΔΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ΕΠΙΚΟΜΒΙΩΝ ΔΡΑΣΕΩΝ ΚΑΙ

ΜΕΤΑΤΟΠΙΣΕΩΝ ΧΩΡΙΚΟΥ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

27

(1)1

1(1)2

2(1)3(1) 3(2)1 4

(2)(2)

52

(2)6

3

(N)

(N) 3 21

3 1(N)2

3(N)3

:

::

N

N

N

PP

PP

P PP

P P

P PPP

PP

PP

PP

PP

P

(1)1

1(1)2

2(1)3(1) 3(2)1 4

(2)(2)

52

(2)6

3

(N)

(N) 3 21

3 1(N)2

3(N)3

:

::

N

N

N

Από τις μετατοπίσεις των κόμβων κάποιες είναι γνωστές και οι υπόλοιπες

άγνωστες, ανάλογα με το εάν οι αντίστοιχοι βαθμοί ελευθερίας κόμβου είναι

δεσμευμένοι ή ελεύθεροι. Αντίστοιχα, υπάρχουν γνωστές δράσεις, που είναι τα

εξωτερικά φορτία των κόμβων και άγνωστες, που είναι οι αντιδράσεις στηρίξεων.

Συνιστώσες των επικόμβιων δράσεων και επικόμβιων μετατοπίσεων των

Ν κόμβων δικτυώματος

Εναλλακτικές

μορφές

γραφής

διανυσμάτων

Γραφή με άνω

(αριθμός

κόμβου) και

κάτω (αριθμός

καθολικού

άξονα) δείκτη

Γραφή με κάτω δείκτη

(βαθμός ελευθερίας

κίνησης δικτυώματος)


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ


28


ΚΑΘΟΛΙΚΟ ΜΗΤΡΩΟ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ ΧΩΡΙΚΟΥ

ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΟΣ

29

(1) (1)

11 12 1,

(2) (2)21 22 2,

(N) (N),1 ,2 ,

...

...

: : : :: :

...

N

N

N N N N

PK K K

P K K K

K K KP

11 12 13

21 22 23

31 32 33

nm nm nm

nm nm nmnm

nm nm nm

K K K

K K K K

K K K

( )

1( ) ( )

2

( )

3

n

n n

n

P

P P

P

( )

1( ) ( )

2

( )

3

m

m m

m

Μόρφωση καθολικού μητρώου στιβαρότητας φορέα χωρικού δικτυώματος

Καθολικό

μητρώο

στιβαρό-

τητας

φορέα

1 11 12 13 14 15 16 1,3 2 1,3 1 1,3

2 21 22 23 24 25 26 2,3 2 2,3 1 2,3

3 31 32 33 34 35 36 3,3 2 3,3 1 3,3

4 41 42 43 44 45

5

6

3 2

3 1

3

...

...

...

:

N N N

N N N

N N N

N

N

N

P K K K K K K K K K

P K K K K K K K K K

P K K K K K K K K K

P K K K K K

P

P

P

P

P

46 4,3 2 4,3 1 4,3

51 52 53 54 55 56 5,3 2 5,3 1 5,3

61 62 63 64 65 66 6,3 2 6,3 1 6,3

3 2,1 3 2,2 3 2,3 3 2,4 3 2,5 3 2,6 3 2,3 2 3 2,3 1 3 2,3

3 1,1 3 1,

...

...

...

: : : : : : : : :

...

N N N

N N N

N N N

N N N N N N N N N N N N

N N

K K K K

K K K K K K K K K

K K K K K K K K K

K K K K K K K K K

K K

1

2

3

4

5

6

3 2

2 3 1,3 3 1,4 3 1,5 3 1,6 3 1,3 2 3 1,3 1 3 1,3 3 1

3 ,1 3 ,2 3 ,3 3 ,4 3 ,5 3 ,6 3 ,3 2 3 ,3 1 3 ,3 3

:

...

...

N

N N N N N N N N N N N

N N N N N N N N N N N N N

K K K K K K K

K K K K K K K K K


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ)

ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

30


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

31

f

m

s

P

P V PP

f

m

s

V

Τροποποιημένα (λόγω αναδιάταξης) διανύσματα επικόμβιων δράσεων και

μετατοπίσεων δικτυώματος

T Tm mV P K V

Tm mP V K V

m m mP K

T

mK V K V

Είναι προφανές ότι η προαναφερθείσα αναδιάταξη θα έχει ως άμεσο αποτέλεσμα και

την απαιτούμενη τροποποίηση του καθολικού μητρώου στιβαρότητας του

δικτυώματος.

TmV

TmP V P

P K

T

V V I

Τροποποιημένο

(αναδιατεταγμένο)

καθολικό μητρώο

στιβαρότητας

πλήθος ελεύθερων και δεσμευμένων

βαθμών ελευθερίας


ΤΡΟΠΟΠΟΙΗΣΗ (ΑΝΑΔΙΑΤΑΞΗ) ΚΑΘΟΛΙΚΟΥ

ΜΗΤΡΩΟΥ ΣΤΙΒΑΡΟΤΗΤΑΣ

32

m m mP K

Τροποποιημένη

(αναδιατεταγμένη)

μητρωική εξίσωση

ισορροπίας

f fff fs

sf sss s

P K K

K KP

2f sN N N

f ff f fs sP K K

s sf f ss sP K K

1

f ff f fs sK P K

s sf f ss sP K K

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις κατά

τους ελεύθερους και επικόβιες

δράσεις (αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.


ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ


33


ΕΣΩΤΕΡΙΚΑ ΕΝΤΑΤΙΚΑ ΜΕΓΕΘΗ ΜΕΛΩΝ


34

Υπολογισμός εσωτερικών εντατικών μεγεθών

μελών δικτυώματος

i i i irA A k D

ii i i ir STA A k D

Tο καθολικό μητρώο ακραίων μετατοπίσεων μπορεί να μορφωθεί

γνωρίζοντας από την επίλυση της σχέσης στιβαρότητας το μητρώο των

καθολικών επικόμβιων μετατοπίσεων του δικτυώματος και

λαμβάνοντας από αυτό τα κατάλληλα στοιχεία ανάλογα με τους

κόμβους άκρων του μέλους i .

iD

επαλληλία παγιωμένου και

ισοδύναμου φορέα

Ή πιο αναλυτικά λαμβάνοντας

υπόψη τη σχέση τοπικών –

καθολικών μετατοπίσεων


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

35


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

36

Στοιχεία

γεωμετρίας

μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

37

Στοιχεία

γεωμετρίας

μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

38

Στοιχεία

γεωμετρίας και

υλικού μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

Μόρφωση καθολικών μητρώων στιβαρότητας μελών

Μέλος (1) : 1 8 22.1 10 /E kN m , 1 210A cm , 1 3.0L m

Μέλος (2) : 2 8 22.1 10 /E kN m , 2 210A cm , 2 4.0L m

Μέλος (3) : 3 8 22.1 10 /E kN m ,

3 210A cm , 3 3.0L m

Μέλος (4) : 4 8 22.1 10 /E kN m ,

4 210A cm , 4 4.0L m

Μέλος (5) : 5 8 22.1 10 /E kN m ,

4 210A cm , 5 5.0L m

Μέλος (6) : 6 8 22.1 10 /E kN m ,

4 210A cm , 6 4.0L m

Μέλος (7) : 7 8 22.1 10 /E kN m ,

7 210A cm , 7 5.0L m

Μέλος (8) : 8 8 22.1 10 /E kN m ,

8 210A cm , 8 6.403L m

Μέλος (9) : 8 8 22.1 10 /E kN m ,

8 210A cm , 8 5.657L m


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

39

1

70000.00 0 0 70000.00 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

70000.00 0 0 70000.00 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0

1 5 6

1

2

3

0

4

5

6 0 0

k

2

0 0 0 0 0 0

0 52500.00 0 0 52500.00 0

0 0 0 0

4 5 8 9

0 0

0 0 0 0 0 0

0 52500.00 0 0 52500

4

5

6

.0

7

8 0 0

0 0 09 0 0 0

k

3

70000.00 0 0 70000.00 0 0

0 0 0 0 0 0

0

7 8 11 12

0 0 0 0 0

70000.00 0 0 7

7

8

0000.00

9

10

11

12

0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

k

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

40

5

15120.07 20160.02 0 15120.07 20160.02 0

20160.02 26879.93 0 20160.02 26879.93 0

0 0 0 0 0 0

15120.07 20160.02 0 15120.07 2016

1 2 7 8 9

1

2

0.02 0

201

3

7

8

9

60.02 26879.93 0

k

20160.02 26879.93 0

0 0 0 0 0 0

4

0 0 0 0 0 0

0 52500.

1 2 11 12

00 0 0 52500.00 0

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 52500.00 0 0

1

2

3

10

11

12

52500.00 0

0 0 0 0 0 0

k

6

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0

1 2 13 14 1

0 52500.00 0 0 52500.00

0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0

0 0 5

5

1

2

3

13

14

15 2500.00 0 0 52500.00

k

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

41

7

15120.07 0 20160.02 15120.07 0 20160.02

0 0 0 0 0 0

20160.02 0 26879.93 20160.02 0 26879.93

15120.07 0 20160.02 15120.07 0.00 20160.02

0 0 0 0 0

4 5 6 13 14 15

4

5

6

13

14

15

0

2016

k

0.02 0 26879.93 20160.02 0.00 26879.93

8

7200.15 9599.72 9599.72 7200.15 9599.72 9599.72

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 12798.99 12798.99

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 1

7 8 9 13 14 15

7

8

9

13

14

15

k

2798.99 12798.99

7200.15 9599.72 9599.72 7200.15 9599.72 9599.72

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 12798.99 12798.99

9599.72 12798.99 12798.99 9599.72 12798.99 12798.99

9

0 0 0 0 0 0

0 18561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

0 18561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

0 0 0 0 0 0

0 1

10 11 12 13 14 15

10

11

12

13

14

15

8561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

0

k

18561.07 18561.07 0 18561.07 18561.07

Καθολικά μητρώα

στιβαρότητας μελών

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

42

(1)

1

(1)

2 1

(1)23

(2) 31

(2) 4

25(2)

36

(3)

1 7

(3)82

(3) 93

10(4)

111(4)

212

(4)

3 13

(5)14

1

(5) 152

(5)

3

P

P P

PP

PP

PP

PP

P

P P

P PP

PP

PP

PP

P

P P

PP

PP

P

1

2

3

5

6

12

0

0

0

50

0

0

100

0

0

R

R

R

R

R

R

(1)

1

(1)

2 1

(1)23

(2) 31

(2) 4

25(2)

36

(3)

1 7

(3)82

(3) 93

10(4)

111(4)

212

(4)

3 13

(5)14

1

(5) 152

(5)

3

4

7

8

9

10

11

13

14

15

0

0

0

0

0

0

Διανύσματα

επικόμβιων

δράσεων και



100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

43

1

1

1

2 3 4 5

1

6

6

4

4

2

3

5

5

4

5

1

ό

ό ό όjj

j

ό

ό

ό

ό

jk

jj

jj

jk

kj

k

ό

j

jj

k

ό

k

k k

k

K

k

k

k

k

k

5

5

7

7

9

9

3

2

3

3

3

4

4

1

2

8

2

2 8

0

0

kj

kk

jj

jk

kk

jk

k

jk

jj

kj

k

kk

j

j

kj

j

jk

kk

k

j

j jk

jj

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

k

kk

k

k

k

k

k

k

8

9

6

9

8

76

7kk

kj

kk

k kj

kk

k

k

j j

k

kk k

kk

k

k k

Σύνθεση στο


στιβαρότητας του


100kN

2

3

1

5

4

1

2

3 4

5

6 7 8

9

7

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x1

x2

x3

x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

44

85120.07 20160.02 0.00 70000.00 0.00 0.00 15120.07 20160.02

20160.02 79379.93 0.00 0.00 0.00 0.00 20160.02 268

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 1

79.93

2 13 14 15

1

2

3

4

5

6

7

8

9

0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

70000.00

10

11

12

13

14

1

0.

5

K

00 0.00 85120.07 0.00 20160.02 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 52500.00

0.00 0.00 0.00 20160.02 0.00 26879.93 0.00 0.00

15120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00 92320.22 29759.74

20160.02 26879.93 0.00 0.00 52500.

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 52500.00

0.00 0.00 0.00 0.00 15120.07 0.00 20160.02

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 201

00 0.00 29759.74 92178.91

60.02 0.00 26879.93

9599.72 70000.00 0.00 0.00 7200.15 9599.72 9599.72

12798.99 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99 12798.99

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 70000.00 0.00

0.00 52500

.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 15120.07 0.00 20160.02 7200.15 9599.72

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99

0.00 0.00 52500.00 20160.02 0.00 26879.93 9599.72 12798.

12798.99 0.00 0.00 0.00 9599.72 12798.99 12798.99

0.00 70000.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 71061.07 18561.07 0.00 18561.07 18561.07

0.00 0.00 18561.07 18561.07 0.00 18561.07 18561.07

9599.72 0.00 0.00 0.00 22320.22 959

99

9.72 29759.74

12798.99 0.00 18561.07 18561.07 9599.72 31360.06 31360.06

12798.99 0.00 18561.07 18561.07 29759.74 31360.06 110739.99

Καθολικό μητρώο

στιβαρότητας δικτυώματος

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

45

4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

8 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

10

11

13

14

15

1

2

3

1

1

1

5

1

6

12

ύ

ί

( free )

έ

ί

(sup ported )

0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1

1

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1 0 0 0

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

[V ]

Μητρώο

αναδιάταξης


100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

46

4

7

8

9

10

11

13

14

151

12

23

35

56

612

12

00 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

00 0

0

50

0

0

100

0

0

f

s

P

P

P

P

P

P

PP

PP

PR

PR

PR

PR

PR

PR

P

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0

1

2

3

5

6

12

0

0

0

50

0

0

100

00 0 0 0 1 0 0 0

0

R

R

R

R

R

R


(λόγω αναδιάταξης)

διάνυσμα επικόμβιων

δράσεων


100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

47

4

7

8

9

10

11

13

14

15

0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0

0

0

0

0

0

f

s

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

13

1

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

4

15



διάνυσμα επικόμβιων



100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

48

ff fs

Tm

sf ss

K K

K V K VK K

85120.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 15120.07 0.00

0.00 92320.22 29759.74 9599.72 70000.00 0.00 7200.15 9599.72

0.00 29759.74 92

7 8 9 10 11 13 14 15 1 2 3 5 6 12

4

178.91 12798.99 0.00 0

7

8

9

10

1

.00 9

1

13

14

15

1

2

599.72

3

5

12798.99

0.0

6

0 9

12

4

599.72 12798.99 12798.99 0.00 0.00 9599.72 12798.99

0.00 70000.00 0.00 0.00 70000.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 71061.07 0.00 18561.07

15120.07 7200.15 9599.72 9599.72 0.00 0.00 22320.22 9599.72

0.00 9599.72 1279

20160.02 70000.00 0.00 0.00 0.00 20160.02 0.00

9599.72 15120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00

12798.99 20160.02 26879.93 0.00 52500.00 0.00 0.00

12798.99 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0

8.99 12798.99 0.00 18561.07 9599.72 31360.06

.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

18561.07 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 18561.07

29759.74 0.00 0.00 0.00 0.00 20160.02 0.00

31360.06 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18561.07

20160.02 9599.72 12798.99 12798.99 0.00 18561.07 29759.74

31360.06

70000.00 15120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 20160.02 26879.93 0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00

20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00 0.0

110739.99 0.00 0.00 52500.00 0.00 26879.93 18561.07

0.00 85120.07 20160.02 0.00 0.00 0.00 0.00

0.00 20160.02 79379.93 0.00 0.00 0.00 0.00

52500.00 0.00 0.00 52500.00 0

0 20160.02 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18561.07 0.00 18561.07

.00 0.00 0.00

0.00 0.00 0.00 0.00 52500.00 0.00 0.00

26879.93 0.00 0.00 0.00 0.00 26879.93 0.00

18561.07 0.00 0.00 0.00 0.00 0.00 18561.07




στιβαρότητας


100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

49

(2)

1

4 (3)

17

(3)

28

(3)

39

(4)10 1

(4)11

2

(5)13

114 (5)

215

(5)

3

0.0020

0.0025

0.0000

0.0212

0.0025

0.0010

0.0157

0.0071

0.00

f

35

1

2

3

5

6

12

100.00

0.00

183.34

0.00

183.34

50.00

R

R

R

R

R

R

Επίλυση –

Επικόμβιες μετατοπίσεις

κατά τους ελεύθερους και

επικόβιες δράσεις

(αντιδράσεις) κατά τους

δεσμευμένους β.ε.

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2


ΕΦΑΡΜΟΓΗ

50

11

11

137.50

137.50

j

k

F

F

21

21

0.00

0.00

j

k

F

F

31

31

0.00

0.00

j

k

F

F

41

41

50.00

50.00

j

k

F

F

51

51

62.50

62.50

j

k

F

F

61

61

183.34

183.34

j

k

F

F

71

71

229.17

229.17

j

k

F

F

81

81

80.04

80.04

j

k

F

F

91

91

70.71

70.71

j

k

F

F

137.50kN

183.34kN

50.00kN

80.04kN

-229.17kN

-70.71kN

-62.50kN

0.00kN

0.00kN

Εσωτερικά εντατικά

μεγέθη μελών


ii i iSTA k D

100kN

1x 2

2x

3x

3

1

5

4

50kN

8 9

4

5

6

3

1

2

10

11

12

13

14 15

x3 x2

x3

x1

x1 x2

x3

x3

x1 x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2

x3

x1

x2 x3

x1

x2

x3

x1

x2

ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑusers.ntua.gr/cvsapoun/4-Spatial Trusses.pdfΧΩΡΙΚΑ...

Documents

Transcript of ΧΩΡΙΚΑ ΔΙΚΤΥΩΜΑΤΑusers.ntua.gr/cvsapoun/4-Spatial Trusses.pdfΧΩΡΙΚΑ...