C

ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ

ΧΡΙΣΤΙΝΑ ΜΙΣΑΗΛΙΔΟΥ

CΚΡΙΤΗΡΙΑ ΔΙΑΙΡΕΤΟΤΗΤΑΣ

ΜΚΔ-ΕΚΠ

•Βανδουλάκης, Ι., Καλλιγάς, Χ., Μαρκάκης, Ν.,

Φερεντίνος, Σ. (2008). Μαθηματικά Α΄ Γυμνασίου. Αθήνα:

ΟΕΔΒ.

ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ• Πολλαπλάσια ενός φυσικού αριθμού, είναι οι αριθμοί

που προκύπτουν από τον πολλαπλασιασμό του με

όλους τους φυσικούς αριθμούς.

Παράδειγμα

• Τα πολλαπλάσια του 3 είναι

•0 (=03), 3 (=13), 6 (=23), 9 (=3 3), 12 (=4 3)

•ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ

•Κάθε φυσικός αριθμός διαιρεί τα πολλαπλάσιά του.

•Παράδειγμα

•Ο 3 διαιρεί το 0, 3, 6, 9, 12, 15 κ.λπ.

•Κάθε φυσικός αριθμός που διαιρείται από έναν άλλο

είναι πολλαπλάσιό του.

•Παράδειγμα

•Ο 15 διαιρείται από τον 3 άρα είναι πολλαπλάσιό του

•Αν ένας φυσικός αριθμός διαιρεί έναν άλλο θα διαιρεί και

τα πολλαπλάσιά του.

•Παράδειγμα

•Ο 3 διαιρεί το 9, άρα θα διαιρεί και το 18 και το 27 κ.λπ.

ΕΛΑΧΙΣΤΟ ΚΟΙΝΟ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΟ (ΕΚΠ)

• Το μικρότερο από τα κοινά πολλαπλάσια δύο ή

περισσότερων αριθμών που δεν είναι μηδέν το

ονομάζουμε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο (ΕΚΠ) των

αριθμών αυτών.

• Συμβολισμός

• ΕΚΠ (α,β) ή [α, β]

Διαιρέτες

•Διαιρέτες ενός φυσικού αριθμού λέγονται όλοι οι αριθμοί

που τον διαιρούν

Παράδειγμα

•Οι διαιρέτες του 12 είναι

• 1

• 2

•3

•4

•6

•12

•Κάθε αριθμός έχει διαιρέτες τον εαυτό του και το 1

•Ο 1 έχει μοναδικό διαιρέτη τον εαυτό του

•Ο 0 έχει άπειρους διαιρέτες

Πρώτοι και σύνθετοι αριθμοί

•Ένας αριθμός α>1 που έχει διαιρέτες μόνο τον εαυτό του

και το 1 λέγεται πρώτος αριθμός.

•Κάθε αριθμός που δεν είναι πρώτος, είναι σύνθετος

•Δεν υπάρχει μέγιστος πρώτος αριθμός-οι πρώτοι

αριθμοί είναι άπειροι στο πλήθος

•Πώς μπορούμε να βρούμε όλους τους πρώτους

αριθμούς που είναι μικρότεροι από δοσμένο αριθμό;

•Πώς μπορούμε να βρούμε όλους τους πρώτους

αριθμούς μεταξύ 1 και 100;

•ΚΟΣΚΙΝΟ ΤΟΥ ΕΡΑΤΟΣΘΕΝΗ

•Οι πρώτοι αριθμοί από το 1 ως το 100 είναι οι

•2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61,

71, 73, 79, 83, 89 και 97

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης

•Δύο φυσικοί αριθμοί α και β μπορεί να έχουν κοινούς

διαιρέτες. Ο μεγαλύτερος από αυτούς ονομάζεται

Μέγιστος Κοινός Διαιρέτης (ΜΚΔ) των α και β και

συμβολίζεται ΜΚΔ(α, β) ή (α,β)

Πρώτοι μεταξύ τους αριθμοί

•Δύο αριθμοί λέγονται πρώτοι μεταξύ τους αν

•ΜΚΔ(α,β)=1

Κριτήρια Διαιρετότητας

•Κριτήρια διαιρετότητας λέγονται οι κανόνες με τους

οποίους μπορούμε να συμπεραίνουμε, χωρίς να

κάνουμε τη διαίρεση, αν ένας φυσικός αριθμός διαιρείται

με 2, 3, 4, 5, 9, 10 ή 25

Διαίρεση με το 2

•Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 2, αν το τελευταίο

ψηφίο είναι 0, 2, 4, 6, 8.

•Παράδειγμα

•Ο 5.378 διαιρείται με το 2

Διαίρεση με το 3 ή το 9

•Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 3 ή το 9, αν το

άθροισμα των ψηφίων του διαιρείται με το 3 ή το 9

αντίστοιχα.

•Παράδειγμα

•Ο 534 διαιρείται με το 3 γιατί 5+3+4=12 και 1+2=3

Διαίρεση με το 4 ή με το 25

•Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 4 ή με το 25, αν τα

δύο τελευταία ψηφία του σχηματίζουν αριθμό που

διαιρείται με το 4 ή το 25 αντίστοιχα.

•Παράδειγμα

•Ο 3584 διαιρείται με το 4 (γιατί ο 84 διαιρείται με το 4)

•Ο 22500;

Διαίρεση με το 5

•Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 5, αν λήγει σε 0 ή

5.

•Παράδειγμα

•Ο 34.2765 διαιρείται με το 5

Διαίρεση με 10, 100, 1000,…

•Ένας φυσικός αριθμός διαιρείται με το 10, 100, 1000, …,

αν λήγει σε ένα, δύο, τρία,…μηδενικά αντίστοιχα.

•Παράδειγμα

•Ο 345000 διαιρείται

• και με το 1000 και με το 100 και με το 10

•Αν ένας αριθμός διαιρείται από δύο άλλους θα διαιρείται

και από το γινόμενό τους

•Παράδειγμα

•Ο 520 διαιρείται

•από το 4 και το 2 άρα διαιρείται και από το 8

•ΚΑΛΗ ΣΥΝΕΧΕΙΑ!