Post on 24-Feb-2020
- 45 -
5. Unde electromagnetice 5.1. Ecuaţiile de undă pentru potenţialul scalar V şi pentru potenţialul vector A
r
Între potenţialul scalar V dat de relaţia (2.20) :
vd r 41 V
V0
′ρπε= ∫ ′
(leglib
ρ+ρ=ρ ) (5.1)
şi potenţialul vector Ar
dat de relaţia (2.57) :
vd rj 4 A
V0 ′πµ
= ∫ ′
rr
( M tP j j
lib
rrrr
×∇+∂∂+= ) (5.2)
trebuie să existe o relaţie de legătură (condiţia Lorentz), întrucât ρ şi jr
nu sunt independente (satisfac ecuaţia de conservare a sarcinii (2.37) :
0 t j =∂ρ∂+⋅∇′
r (5.3) )
Din (5.2) rezultă:
vd rj 4 vd r
j 4 A V
0V
0 ′⋅∇πµ
=′⋅∇πµ
=⋅∇ ∫∫ ′′
rrr
(5.4)
Am trecut ∇ sub integrală deoarece ∇ acţionează asupra lui x, y, z, iar integrala operează asupra variabilelor x’, y’, z’ (∇ şi ∫ sunt independente). Folosind identitatea (2.64) :
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛∇′−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛∇ r
1 r1 (5.5)
şi relaţiile:
r1 j j r
1 rj ∇⋅+⋅∇=⋅∇
rrr
(5.6)
r1 j j r
1 rj ∇′⋅+⋅∇′=⋅∇′
rrr
(5.7)
precum şi faptul că 0 j =⋅∇r
(j
r depinde de x’, y’, z’ iar ∇ de x, y, z ), obţinem:
rj j r
1 r1 j r
1 j rj
rrrr
r
⋅∇′−⋅∇′=∇′⋅−=∇⋅=⋅∇ ⇒
vd rj 4 vd j r
1 4 A V
0V
0 ′⋅∇′πµ
−′⋅∇′πµ
=⋅∇ ∫∫ ′′
rrr
(5.8)
Pe baza ultimei părţi a relaţiei (2.66) rezultă că integrala a doua din (5.8) se anulează (v’ include toţi curenţii). Prin urmare:
vd j r1 4 A
V0 ′⋅∇′π
µ=⋅∇ ∫ ′
rr (5.9)
Înlocuind j r⋅∇′ din (5.3) în (5.9) şi ţinând seama că distanţa r dintre punctele P
şi P’ nu depinde de timp, obţinem condiţia Lorentz, care este o consecinţă a conservării sarcinii electrice:
- 46 -
tV 4
4 vd r t 4 vd r
t/ 4 A 00V
0V
0
∂∂⋅π
µπε−=′⋅ρ∂
∂πµ
−=′⋅∂ρ∂πµ
−=⋅∇ ∫∫ ′′
r ⇒
0 tV A
00=∂
∂⋅µε+⋅∇r
(5.10)
Cunoscând componentele lui Ar
putem determina V din (5.10) şi astfel putem afla componentele lui E
r din (2.88) şi ale lui B
r din (2.56) .
tA V E ∂∂−∇−=r
r (2.88) ≡ (5.11)
A Arot Brrr
×∇== (2.56) ≡ (5.12)
În cazul unei antene putem calcula Er
şi Hr
numai pe baza lui Ar
, cunoscând densitatea de curent j
r din antenă (relaţia (5.2)). Înlocuind E
r din (5.11) în (3.11) obţinem:
0
tA V ε
ρ=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂−∇−⋅∇r
⇒ ( )⎯⎯⎯ →⎯ερ−=∇
∂∂+∇
10.5 A t
V0
2 r
02
2
00
tV V ε
ρ−=∂∂µε−∆ (5.13)
Aceasta este ecuaţia de undă neomogenă pentru potenţialul scalar V . Dacă 0 =ρ , obţinem ecuaţia de undă omogenă:
0 tV V 2
2
00=
∂∂µε−∆ (5.14)
care are aceeaşi formă ca şi ecuaţia de propagare a undei în vid, viteza de fază a undei fiind egală cu viteza luminii în vid:
c 1 v00
f=
µε= (5.15)
Relaţia (2.56) ≡ (5.12) se obţine din a treia ecuaţie a lui Maxwell (3.10) , iar ecuaţia de undă neomogenă pentru V (5.13) se obţine folosind a patra ecuaţie a lui Maxwell (3.11).
Înlocuind în a doua ecuaţie a lui Maxwell (3.9) pe Br
din (5.12) obţinem relaţia (2.88) ≡ (5.11) :
( ) tA A t E ∂∂×∇−=×∇∂
∂−=×∇r
rr ⇒ 0 t
A E =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+×∇r
r ⇒ ≡∆−=∂
∂+ V tA Er
r (5.11)
Înlocuind Er
şi Br
din (5.11) şi (5.12) în prima ecuaţie a lui Maxwell (3.8) :
tE
c1 j B 20 ∂∂+µ=×∇rrr
(3.8) ≡ (5.16)
obţinem:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂−∇−∂
∂⋅µε+µ=×∇×∇ tA V t j A
000
rrr
⇒
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂+∂
∂⋅∇µε−µ=∆−⋅∇∇ 2
2
000 tA t
V j A A r
rrr ( )⎯⎯⎯ →⎯
10.5
- 47 -
( ) ( )A tA j A A 2
2
000
rr
rrr⋅∇∇+
∂∂µε−µ=∆−⋅∇∇ ⇒
j tA A
02
2
00
rr
rµ−=
∂∂µε−∆ (5.17)
Aceasta este ecuaţia de undă neomogenă pentru potenţialul vector Ar
. Pentru 0 j =r
se obţine ecuaţia de undă omogenă:
2
2
00 tA A
∂∂µε−∆r
r = 0 (5.18)
care are aceeaşi formă ca şi ecuaţia de propagare a undei în vid. Astfel în locul ecuaţiilor lui Maxwell se pot folosi ecuaţiile de undă (5.13) şi (5.17) .
Pentru ca definiţia potenţialelor electromagnetice V şi Ar
să fie univocă am folosit condiţia de etalonare Lorentz (5.10) .
Ecuaţiile de undă pentru un mediu omogen, izotrop, liniar şi staţionar se obţin direct folosind transformările (3.26) :
ερ
−=∂∂µε−∆ lib
2
2
tV V (5.19)
lib2
2
j tA A
rr
rµ−=
∂∂µε−∆ (5.20)
Relaţiile (5.14) şi (5.18) au forma ecuaţiilor pentru o perturbaţie care se propagă cu viteza c , arătând posibilitatea existenţei undei electromagnetice în spaţiul liber.
5.2. Ecuaţiile de undă pentru vectorii E
r şi B
r
Pentru a elimina vectorul Br
din ecuaţiile lui Maxwell (3.8) şi (3.9) vom aplica operatorul rotor relaţiei (3.9) şi vom folosi identitatea:
( ) E E E E E div grad Erot rot rrrrrr
∆−⋅∇∇=×∇×∇≡∆−= (5.21)
( ) ( )B t E E rrr
×∇∂∂−=∆−⋅∇∇ ⇒ ( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂µε+µ∂
∂−=∆−⋅∇∇ tE j t E E
000
rrrr ⇒
( ) tj E
tE E
02
2
00 ∂∂µ+⋅∇∇=
∂∂µε−∆
rr
rr
(5.22)
Înlocuind E r⋅∇ cu
0/ ερ conform ecuaţiei (3.11) , obţinem ecuaţia de undă
neomogenă pentru Er
(termenii sursă se trec în membrul drept):
tj
tE E
00
2
2
00 ∂∂µ+ε
ρ∇=∂∂µε−∆
rrr
(5.23)
În absenţa surselor se obţine ecuaţia de undă uzuală, viteza de propagare a undei fiind egală cu viteza luminii în vid.
00
2
2
00
1 c , 0 tE E
µε==
∂∂⋅µε−∆r
r (5.24)
- 48 -
În mod analog, aplicând rotorul relaţiei (3.8) şi folosind ecuaţiile (3.9) şi (3.10) , obţinem:
( ) ( )E t
j B B 000
rrrr×∇
∂∂µε+×∇µ=∆−⋅∇∇ ⇒
j tB B
02
2
00
rrr
×∇µ−=∂∂µε−∆ (5.25)
Aceasta este ecuaţia de undă neomogenă pentru Br
. Pentru 0 j =r
se obţine ecuaţia omogenă:
0 tB B 2
2
00=
∂∂⋅µε−∆
r (5.26)
Pentru un mediu omogen, izotrop, liniar şi staţionar obţinem ecuaţiile următoare (folosim (3.26) în (5.23) şi (5.25)):
tj
tE E liblib2
2
∂
∂µ+
ε
ρ∇=
∂∂µε−∆
rrr
(5.27)
lib2
2
j tB B
rrr
×∇µ−=∂∂µε−∆ (5.28)
Deşi am obţinut o ecuaţie de undă pentru Er
şi separate o ecuaţie de undă pentru Br
, totuşi vectorii E
r şi B
r sunt interconectaţi prin ecuaţiile lui Maxwell (nu putem avea unde pur
electrice sau unde pur magnetice). Se poate arăta că şi vectorul Hr
satisface o ecuaţie de undă.
Din ecuaţiile lui Maxwell rezultă că vectorii Er
şi Hr
verifică fiecare ecuaţia generală a undelor, ceea ce arată că un câmp electromagnetic variabil se propagă în spaţiu din aproape în aproape, sub formă de unde numite unde electromagnetice. La studiul undelor electromagnetice se lucrează cu H
r şi nu cu B
r, întrucât HE
rr× este o densitate de putere, iar
E / H este o impedanţă, mărimi ce au o mare importanţă practică. Dacă σ este constant, atunci relaţiile (5.27) şi (5.28) devin:
tE
tE E lib2
2
ε
ρ∇=
∂∂µσ−
∂∂µε−∆
rrr
(5.29)
0 tB
tB B 2
2
=∂∂µσ−
∂∂µε−∆
rrr
(5.30)
Am folosit relaţiile E jlib
rrσ= şi
tB E ∂∂−=×∇r
r.
Pentru un mediu dielectric putem considera 0 =σ . Dacă în plus mediul este neutru din punct de vedere electric ( 0
lib=ρ ) , atunci ecuaţiile (5.29) şi (5.30) devin:
0 tE E 2
2
=∂∂µε−∆r
r (5.31)
0 tB B 2
2
=∂∂µε−∆r
r (5.32)
- 49 -
În acest caz câmpul electromagnetic se propagă sub formă de unde electromagnetice cu viteza:
rrrr00
c 1 1 1 vµε
=µε
⋅µε
=εµ
= (5.33)
Pentru un mediu în care 0 lib=ρ , relaţiile (5.29) şi (5.30) se pot scrie sub forma
(având în vedere în (5.30) relaţia H Brr
µ= )
0 tE
tE E 2
2
=∂∂µσ−
∂∂µε−∆
rrr
(5.34)
0 tH
tH H 2
2
=∂∂µσ−
∂∂µε−∆
rrr
(5.35)
Deoarece ε > 0ε şi µ >
0µ , din (5.33) rezultă că v < c , în acord cu principiile
relativităţii. Raportul
rr00
vc n µε=
µεµε== (5.36)
se numeşte indice de refracţie absolute al mediului (neconductor).
5.3. Teorema lui Poynting
Teorema lui Poynting exprimă conservarea energiei într-un câmp electromagnetic. Pentru a găsi o relaţie cantitativă a conservării energiei câmpului electromagnetic într-un mediu omogen, izotrop, liniar şi staţionar, vom folosi relaţiile (3.27) , (3.28) şi identitatea vectorială:
( ) ( ) ( )H E E H H E rrrrrr
×∇⋅−×∇⋅=×⋅∇ ⇒ (5.37)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂∂−=×⋅∇
libj
tD E
tB H H E
rrr
rrrr
⇒
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
∂∂ε−
∂∂µ⋅−=×⋅∇
libj
tE E
tH H H E
rrr
rrrr
⇒
( )lib
22
j E 2H
2E
t H E
rrrr⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ µ+ε∂∂−=×⋅∇ (5.38)
unde
2E e 2
E
ε=ρ (5.39)
reprezintă densitatea volumică de energie electrică (vezi relaţia (2.31)), iar
2H m 2
E
µ=ρ (5.40)
este densitatea volumică de energie magnetică (vezi relaţia (2.92)). Integrând relaţia (5.38) pe un volum v limitat de suprafaţa Σ şi aplicând teorema
divergenţei la membrul stâng al ecuaţiei, obţinem:
- 50 -
( ) ( ) dv j E dv m e dtd dA H E
V libV EE ∫∫∫ ⋅+ρ+ρ=⋅×−Σ
rrrr (5.41)
Relaţia (5.41) exprimă teorema lui Poynting. Prima integrală din membrul drept reprezintă creşterea în interiorul volumului v a densităţii de energie electrică şi magnetică, în unitatea de timp. Integrala a doua din membrul drept reprezintă energia disipată în unitatea de timp sub formă de căldură, prin efect Joule. Astfel primul membru al relaţiei (5.41) reprezintă viteza cu care energia electromagnetică intră în volumul v . Vectorul Poynting
H E Srrr
×= (5.42)
reprezintă densitatea fluxului de energie, adică energia transferată normal pe unitatea de arie şi în unitatea de timp prin frontiera Σ . Relaţia (5.41) poate fi pusă sub forma:
∫∫ ⋅+⋅=Ε−Σ V
dv libj E dA S dtd
rrr (5.43)
Această relaţie arată că viteza de scădere a energiei electromagnetice dintr-un domeniu v este egală cu suma dintre fluxul vectorului S
r prin suprafaţa domeniului şi
căldura produsă în unitatea de timp prin efect Joule. Relaţia (5.41) sau (5.43) reprezintă legea conservării energiei câmpului electromagnetic şi demonstrează existenţa undelor electromagnetice (un câmp electromagnetic transportă energie dintr-un punct al spaţiului în altul).
5.4. Proprietăţile undelor electromagnetice în medii dielectrice
În domeniul undelor electromagnetice intră undele hertziene, microundele, radiaţiile infraroşii, vizibile, ultraviolete, X şi γ . Undele lungi radio au frecvenţa de ordinal a 100 Hz, iar radiaţiile cosmice γ au frecvenţa de ordinul a 2410 Hz. Spre deosebire de undele elastice, care sunt scalare, undele electromagnetice sunt unde vectoriale.
Pentru a studia structura undelor electromagnetice vom considera un mediu dielectric ( 0 =σ ) nelimitat, neutru din punct de vedere electric ( 0
lib=ρ ) . În acest caz ( 0 E j
lib=σ=
rr)
soluţiile particulare ale ecuaţiilor (5.31) şi (5.32) sunt de forma undei armonice plane:
( ) ( )r k t ie E t,r E
0
rrrrr ⋅−ω
= (5.44)
( ) ( )r k t ie B t,r B
0
rrrrr ⋅−ω
= ⇒ ( ) ( )r k t ie H t,r H
0
rrrrr ⋅−ω
= (5.45)
Faptul că se consideră cazul undei monocromatice nu diminuează generalitatea concluziilor, deoarece o undă de orice formă (o undă reală) poate fi considerată ca o suprapunere de unde armonice plane. Dacă toţi vectorii E
r sunt paraleli la o direcţie dată,
atunci avem o undă liniar polarizată. O undă plană nepolarizată se poate reprezenta ca o sumă de unde polarizate liniar. În relaţiile (5.44) – (5.45) k
r este vectorul de undă
s 2 k rr⋅
λπ= (5.46)
unde sr este versorul direcţiei de propagare a undei. În cazul particular considerat, ecuaţiile lui Maxwell (3.27) – (3.29) devin:
E D , 0 tD H
rrr
rε==
∂∂−×∇ ⇒
tE H ∂∂ε=×∇r
r (5.47)
- 51 -
H B , 0 tB E
rrr
rµ==
∂∂+×∇ ⇒
tH E ∂∂µ−=×∇r
r (5.48)
H B , 0 B rrr
µ==⋅∇ ⇒ 0 H =⋅∇r
(5.49)
E D , 0 D rrr
ε==⋅∇ ⇒ 0 E =⋅∇r
(5.50)
Forma exponenţială (5.44) – (5.45) a soluţiilor ecuaţiilor (5.47) – (5.50) simplifică foarte mult calculele, deoarece operaţiile de derivare se reduce la simple înmulţiri. Astfel:
( ) E i r k t i
e E i tE
0
rrrr
r
ω=⋅−ω
⋅ω=∂∂ ⇒ E i E
trr
ω=∂∂ ⇒ ω→
∂∂ i t
(5.51)
( ) ( ) ( )zk y k x k t ie kE jE iE kE jE iE E zyx
z 0y 0 x0zyx
−−−ω++∇=++∇=⋅∇
rrrrrrr =
= ( )E k i Ek i Ek i Ek i z
E
y
E
xE
zzyyxxzyx
rr⋅−=−−−=
∂
∂+
∂
∂+
∂
∂ ⇒
( )E k i E rrr⋅−=⋅∇ ⇒ k i
r−→∇ (5.52)
Înlocuind (5.51) – (5.52) în (5.47) – (5.50) , obţinem:
E i H k i rrr
ω⋅ε=×− ⇒ ( )H E , k E H k 1 E
rrrrrrr⊥⊥×⋅
ωε−= (5.53)
H i E k i rrr
ω⋅µ−=×− ⇒ ( )E H , k H E k 1 H
rrrrrrr⊥⊥×⋅
ωµ= (5.54)
0 H k i =⋅−rr
⇒ 0 H k =⋅rr
( )H krr
⊥ (5.55)
0 E k i =⋅−rr
⇒ 0 E k =⋅rr
( )E krr
⊥ (5.56)
Se constată că vectorii Er
şi Hr
sunt perpendiculari între ei. De asemenea, Er
şi Hr
oscilează perpendicular pe direcţia de propagare (unda electromagnetică este o undă transversală). Vectorii E
r, Hr
şi kr
formează un triedru drept. Pentru o undă electromagnetică ce se propagă în vid, reprezentarea grafică a vectorilor E
r şi H
r la un moment dat, în funcţie
de coordonata spaţială a direcţiei de propagare, este de forma:
Din (5.54) rezultă:
H E k rrr
ωµ=× ⇒ k E sin 900 = H ωµ ⇒ EH k ⋅µ=
ω (5.57)
Dar
- 52 -
( )εµ==
λ=
πν⋅
λπ=
ω
33.5
v1 T
21 2 k (5.58)
Egalând expresiile lui ω/k din (5.57) şi (5.58) obţinem:
εµ=µ EH ⇒ E H ε=µ (5.59)
Rezultă că modulele vectorilor Er
şi Hr
sunt proporţionale. Se defineşte impedanţa caracteristică a mediului Z prin raportul
Z = ( )
r
r0
r0
ro Z 5.59
HE
ε
µ=
εε
µµ=
εµ
= (5.60)
unde
Ω=ε
µ= 377 Z
o
00
(5.61)
este impedanţa caracteristică a vidului. Din relaţia (5.59) rezultă:
1 2/H 2/E m
e
2
2
E
E =µε=
ρ
ρ (5.62)
adică densităţile de energie electrică şi magnetică sunt egale. Astfel densitatea de energie electromagnetică este:
( )22
22
EEEH E
5.62
2H
2E m e µ=ε=
µ+ε=ρ+ρ=ρ (5.63)
Vectorul Poynting H E S rrr
×= reprezintă energia ce trece în unitatea de timp rin
unitatea de arie a unei suprafeţe perpendiculare pe direcţia de propagare a undei.
( ) s E E
5.59 s H E H E S rrrrr
µε
==×= ⇒ s E S 2 rr
µε= (5.64)
Luând partea reală a lui Er
din (5.44) (abandonând pentru moment notaţia fazorială) şi presupunând că unda se propagă în direcţia axei z , obţinem:
( ) ( ) s zk t cos E S , zk t cos E E 22
00
rrrr−ω
µε=−ω= (5.65)
Intensitatea undei este definită ca media temporală a mărimii vectorului Poynting:
I = ( )
( )∫∫ =−ωµε
==T
0
22
0
T
0
dt zk t cos E T1
5.65 dt S
T1 S
rr
= ( )[ ]2T
T1 E dt
2zk t 2 cos 1
T1 E 2
0
T
0
2
0⋅
µε=−ω+
µε ∫ ⇒
- 53 -
2
0E
21 I
µε= (5.66)
deoarece media temporală a lui ( )zk t cos2 −ω este 1/2.
( ) ( ) =−ωω
⋅=−ω⎢⎣⎡ ∫ zk t 2sin
21
2T1 dt zk t 2 cos
2T1
T
0
T
0
= ( ) ( )[ ] ( ) =+ω−ωω
=−−−ωω
2kzsin T2 cos 2kzsin kz cos T2sin 4T
1 zk 2 sin zk T sin2T41
= 0 2kzsin
1
TT22 cos2kzsin kz cos
0
TT22 sin
T41
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
=⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
=
⋅π⋅⋅−
=
⋅π⋅ω 443442143421
Rezultă că intensitatea undei electromagnetice plane este proporţională cu pătratul amplitudinii vectorului E
r.
Relaţia (5.66) se poate pune sub forma:
T = ( ) ( )
E
222
0 v
5.63 , 58.5 E 1 E 1 E 1
21 ρ⋅=ε⋅
εµ=ε⋅
ε⋅
µε=ε⋅
ε⋅
µε (5.67)
Astfel intensitatea undei se exprimă ca produsul dintre viteza de fază şi valoarea medie temporală a densităţii de energie electromagnetică.
Viteza de fază este dată de relaţia (5.36)
nc c 1 v
rr
=µε
=εµ
= (5.68)
unde n este indicele de refracţie
rr n µε= (5.69)
Deoarece rε > 1 ,
rµ > 1 , rezultă că v < c . Într-un mediu nemagnetic (
rµ =1 )
r n ε= (5.70)
În vid, viteza de fază este v = c (relaţia (5.15)) , astfel că
( )E
2
00
00
c 5.67
E 21 I ρ⋅=⋅
µ
ε= (5.71)
Deoarece H B0
µ= , rezultă
( ) ( )c 1
5.58
k 1
5.57
HE
BE
00
0
00
=µε=
µω⋅
µ=µ= (5.72)
Ca exemplu, considerăm un fascicul cu raza r = 4 10− m şi puterea la vârf 12
0107,5 P ⋅= W, emis în vid de un laser care funcţionează în regim de impulsuri. În acest caz
- 54 -
220200
W/m102,39 r P
AP S I ⋅=
π===
r
2
00
2
00
00
EZ1 E I ⋅=
µ
ε= ⇒ 2
0E =
000I120 IZ ⋅π= ⇒ V/m 10 3 E 112
0⋅=
c B/E = ⇒ T10 c/E B 32
0
2
0==
Valorile obţinute sunt foarte mari (la numai V/m 103 6⋅ are loc descărcarea în aer între doi electrozi). Un astfel de fascicul produce vaporizarea instantanee a sticlei.
5.5. Starea de polarizare a undelor electromagnetice
Undele electromagnetice sunt unde transversale, întrucât vectorii Er
şi Hr
oscilează perpendicular pe direcţia de propagare a undei. Deoarece efectele luminoase sunt datorate vectorului E
r, se analizează numai modul de oscilaţie a acestui vector. Unda electromagnetică
este liniar polarizată sau plan polarizată dacă vectorul intensitate de câmp electric Er
oscilează astfel încât rămâne tot timpul paralel cu o direcţie din planul perpendicular pe direcţia de propagare. Dacă E
r oscilează după diferite direcţii situate în planul perpendicular
pe direcţia de propagare, fără a exista vreo direcţie preferenţială (amplitudinea este aceeaşi pentru orice direcţie) unda se numeşte nepolarizată. Sursele convenţionale ca Soarele, becurile cu incandescenţă etc. emit unde luminoase nepolarizate, deoarece câmpul emis de fiecare atom din sursă oscilează independent de câmpurile emise de ceilalţi atomi (actele de emisie ale atomilor sursei sunt necorelate). Unda rezultantă emisă de o sursă convenţională se numeşte undă naturală.
Dacă unda plană nu este polarizată liniar, atunci ea se poate exprima ca suma a două unde polarizate liniar, ale căror vectori intensitate de câmp electric
1Er
şi 2
Er
se află de-a lungul a două direcţii reciproc perpendiculare din planul considerat, cele două unde componente având aceeaşi frecvenţă, iar între vectorii
1Er
şi 2
Er
existând un defazaj ϕ . Într-o
undă plană, liniar polarizată, vectorii Er
şi Hr
au forma (5.44) – (5.45) , unde 0
Er
şi 0
Hr
sunt
vectori independenţi de timp şi de coordonatele spaţiale. Dacă propagarea undei se face după
direcţia axei z , atunci vectorul Er
are forma ( )kz t ie E E
0
−ω=rr
unde amplitudinea 0
Er
a
undei liniar polarizate este o mărime reală, constantă. Planul determinat de direcţia de oscilaţie a vectorului E
r şi direcţia de propagare a undei se numeşte plan de vibraţie
(oscilaţie), iar planul format de direcţia de oscilaţie a vectorului Hr
şi direcţia de propagare a undei se numeşte plan de polarizare.
Prin compunerea a două oscilaţii armonice perpendiculare de aceeaşi pulsaţie
( ) ( )kz t cos E E , kz t i
e E E x0x x0x
−ω=−ω
= (5.73)
( ) ( )ϕ+−ω=ϕ+−ω
= kz t cos E E , kz t i
e E Ey 0yy 0y
(5.74)
- 55 -
se obţine în general o oscilaţie eliptică a cărei formă şi al cărei sens de parcurgere depend de
xE şi
yE . Eliminând timpul t între relaţiile (5.73) şi (5.74) se obţine ecuaţia unei elipse
înscrise într-un dreptunghi de laturi 2A şi 2B (A = x0
E , B = y 0
E ):
ϕ=ϕ⋅−+ 2
y0x0
yx2
y 0
2
y2
x0
2
x sin cosE2E
E2E
E
E
E
E (5.75)
În cursul propagării undei, vectorul rezultant
jE iE Eyx
rrr+= (5.76)
suferă şi o mişcare de translaţie pe direcţia z , astfel că în realitate vârful acestui vector descrie o elice, înfăşurată pe un cilindru de secţiune eliptică, având pasul egal cu lungimea de undă λ . Proiecţia locului geometric pe care-l descrie în spaţiu vârful vectorului rezultant E
r
pe un plan perpendicular pe direcţia de propagare este o elipsă de semiaxe x0
E şi y 0
E .
O astfel de undă se numeşte eliptic polarizată. Dacă pentru un observator aflat de-a lungul axei Oz şi care priveşte astfel încât unda să vină spre el, sensul de rotire al vectorului E
r pee
lice este acelaşi cu sensul de rotire al acelor de ceasornic, unda se numeşte eliptic polarizată dreapta. În caz contrar, unda este elliptic polarizată stânga. Am considerat că observatorul priveşte spre sursa de oscilaţie.
Dacă ( )ππ∈ϕ 2 , are loc o polarizare dreapta, iar dacă ( )π∈ϕ , 0 unda este polarizată stânga.
Dacă π=ϕ 2m (m = 0, 1, 2, . . . ) , atunci oscilaţiile sunt în concordanţă de fază, iar relaţia (5.75) se reduce la forma:
x x0
y 0
yE
E
E E ⋅= (5.77)
care este ecuaţia unei drepte ce trece prin origine şi este situată în cadranele I şi III .
În acest caz particular unda electromagnetică rezultantă este liniar polarizată, vectorul E
r fiind
tot timpul paralel cu CC , care face unghiul α cu axa Ox , unde:
x0
y 0
E
E tg =α
Dacă ( )π+=ϕ 1 m2 , (m = 0, 1, 2, . . . ) , atunci oscilaţiile sunt în opoziţie de fază, iar relaţia (5.75) se reduce la forma:
x x0
y 0
yE
E
E E ⋅−= (5.78)
care reprezintă cealaltă diagonală a dreptunghiului.
- 56 -
În acest caz unda este tot liniar polarizată, dar direcţia de polarizare face un unghi − α cu axa Ox.
Dacă ( )2
1 2m π+±=ϕ , (m = 0, 1, 2, . . . ) , atunci oscilaţiile sunt în cuadratură de
fază, iar relaţia (5.75) devine:
1 E
E
E
E2
y 0
2
y2
x0
2
x =+ (5.79)
care reprezintă ecuaţia unei elipse raportate la axele sale.
Dacă 2
π=ϕ , atunci vârful vectorului Er
se deplasează pe elipsă în sensul acelor de
ceasornic, iar dacă 2
π−=ϕ , în sens invers. În particular, dacă y 0 x0
E E = elipsa devine un
cerc de ecuaţie 2
y 0
2
x0
2
y
2
xE E E E ==+ (5.80)
unda fiind circular polarizată. Se defineşte gradul de polarizare P
21
21
I I I I
P+
−= (5.81)
unde 1
I este intensitatea undei corespunzătoare direcţiei privilegiate, în care intensitatea
câmpului electric are valoarea maximă, iar 2
I este intensitatea undei pentru o direcţie perpendiculară pe prima, în care intensitatea câmpului electric are valoarea minimă. Se constată că pentru o undă nepolarizată
1I =
2I , P = 0 (cazul luminii naturale); pentru o undă
liniar polarizată 2
I = 0, P = 1 (unda total polarizată), iar pentru o undă parţial polarizată
0 < P < 1 .
undă nepolarizată undă parţial polarizată undă liniar polarizată 5.6. Propagarea undelor electromagnetice în medii conductoare ( 0 ≠σ )
În interiorul unui conductor nu există densitate de sarcină ( 0 lib=ρ ). Pe baza relaţiilor
(5.51) şi (5.52) , ecuaţiile lui Maxwell (3.27) – (3.29’) devin:
E D , E j tD H
lib
rrrrrr
ε=σ==∂∂−×∇ ⇒ E E i H k i
rrrrσ=εω−×− (5.82)
H B , 0 tB E
rrr
rµ==
∂∂+×∇ ⇒ 0 H i E k i =µω+×−
rrr (5.83)
H B , 0 B rrr
µ==⋅∇ ⇒ 0 H =⋅∇r
(5.84)
- 57 -
E D , 0 D lib
rrrε==ρ=⋅∇ ⇒ 0 E =⋅∇
r (5.85)
Din (5.82) şi (5.83) rezultă:
( ) H k i i Errr
×−=εω+σ ⇒ σ−εω
×−= i H k Err
r (5.86)
E k H rrr
×=µω ⇒ µω×= E k Hrr
r (5.87)
Din aceste relaţii se constată transversalitatea şi ortogonalitatea vectorilor Er
şi Hr
. Din aceleaşi relaţii se determină impedanţa caracteristică a mediului de propagare ( E E
r= )
k
i k
HE Z µω
=σ−εω
== (5.88)
Din ultima parte a relaţiei (5.88) rezultă:
( ) σµω−εµω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
εωσ−εµω=σ−εωµω= i
i 1 i k 222 (5.89)
La acelaşi rezultat se ajunge folosind relaţiile (5.28) şi (3.28) :
lib2
2
j tB B
rrr
×∇µ−=∂∂εµ−∆ ,
tH
tB E , E j , H B
lib ∂∂µ−=
∂∂−=×∇σ=µ=
rrrrrrr
⇒
( ) 22
22
2
22 i i
t , i
t ,
tH E
tH H ω−=ωω→
∂∂ω→
∂∂
∂∂⋅σµ=×∇µσ−=
∂∂εµ−∆µ
rr
rr
,
( ) 2k k i k i , k i −=−−→∆−→∇rrr
⇒ H i H H k 2222 rrrωσµ=ωεµ+µ− ⇒
ωµσ−µεω= i k 22 (5.89)
Se constată că într-un mediu conductor k este o mărime complexă
b i a k −=∗ (5.90)
Pentru un mediu nedisipativ ( 0 =σ ) , în care nu există pierderi prin efect Joule şi nu are loc o atenuare a undei, k este o mărime reală
µεω= 22 k (5.91)
Relaţia (5.89) este de aceeaşi formă cu (5.91) dacă se introduce o permitivitate electrică complexă
ωσ⋅−ε=∗ε i (5.92)
Înlocuind (5.90) în (5.89) şi identificând părţile reale şi cele imaginare, obţinem:
(5.93) ωµσ−µεω=−− i b ab i 2 a 222 ⇒ ⎩
⎨⎧ µεω=−
ωµσ=
222
b a ab2 ⇒
(5.94)
2b a ωµσ= (5.95)
- 58 -
( )µεω=−ωµσ 22
2
2
b b4
⇒ ( ) 0 b4 b4 2224 =ωµσ−εµω+ ⇒
x b2 = ⇒ ( ) 0 x 4 x4 222 =ωµσ−εµω+ ⇒
( ) ( )2
1
4 4 4 2
x
2
222
2222
2,1
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
εµωωµσ+εµω±εµω−
=ωµσ+εµω±εµω−
=
2b fiind pozitiv, vom lua numai semnul + în faţa radicalului:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ωεσ+
εµω= 1 1
2 b
222 (5.96)
Înlocuind în (5.93) , obţinem:
εµω+εµω−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ωεσ+εµω=εµω+= 2
222222
2 1
2 b a ⇒
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ωεσ+
εµω= 1 1
2 a
222 (5.97)
Pentru o undă electromagnetică plană care se propagă în interiorul unui conductor în lungul axei z , intensitatea câmpului electric este de forma:
( ) ( ) ( )[ ] z b i a t ie E
5.90
kz t ie E E
00
−−ω=
−ω=
rrr ⇒
( ) az t iebz e E E
0
−ω⋅−=
rr (5.98)
Se constată că amplitudinea bz e E0
−r scade exponenţial datorită atenuării produse de
mediul conductor. Atenuarea este legată de partea imaginară b a mărimii complexe k . Spre deosebire de ecuaţia (5.31) care descrie un proces reversibil (ecuaţia este invariantă la schimbarea semnului timpului, t t −→ ) , ecuaţia (5.34) descrie un proces ireversibil, deoarece termenul în σ conduce la atenuarea undei.
Pentru b1 z =δ= , amplitudunea bz e E
0
−r scade de e ori (
eE
b1 b
e E 00
=−
) .
Mărimea δ astfel definită se numeşte adâncime de pătrundere. Deoarece intensitatea I a
undei este proporţională cu pătratul amplitudinii ( bz2 e E 2
0
− ) rezultă că şi intensitatea undei
scade exponenţial, iar pentru b1 z =δ= , I scade de 2e ori. O undă electromagnetică plană
care se propagă de-a lungul unui conductor metalic este localizată la suprafaţa conductorului, datorită absorbţiei puternice a undei. Acest fenomen este utilizat la liniile de transmisie a energiei electromagnetice şi se numeşte efect pelicular. Astfel la cupru
- 59 -
( ) ( ) ( ) , m 1,66 MHz 1 mm, 09,2 kHz 1 mm, 8,53 Hz 60 , 1 ,m 105,8 r
117 µ=δ=δ=δ=µΩ⋅=σ −−
( ) m 21,1 GHz 3 µ=δ , iar la aluminiu, ( ) m 6,48 MHz 1 , 1 ,m 1054,3 r
117 µ=δ=µΩ⋅=σ −− . Se constată că adâncimea de pătrundere a undei electromagnetice este mult mai mică
decât lungimea de undă. Astfel ( ) m 10 m 0,1 103103 c GHz 3 5
9
8
µ==⋅⋅=
ν=λ în vid,
( ) mm 0,4 MHz 1 =λ în cupru, ( ) m 030 MHz 1 =λ în aer (a fost calculată pentru vid).
La metale, 1 r=ε , raportul
ωεσ este mult mai mare ca 1 . De aceea putem neglija
unitatea din relaţiile (5,96) şi (5.97) , aşa încât obţinem:
2
2 a b
222 ωµσ=
ωεσ⋅εµω−= ⇒
2 b ωµσ= ⇒
ωµσ==δ 2
b1 (5.99)
La cupru, pentru MHz 1 =ν , obţinem:
12126
7
0
10 1085,8102
105,8 ≈⋅⋅⋅π⋅
⋅=ωεσ=
ωεσ
− >> 1
m 106,61 m 104108,5102
2 5776
−− ⋅=
⋅π⋅⋅⋅⋅π=δ
Şi în acest caz se defineşte un indice de refracţie, în conformitate cu relaţia (5.69) , cu deosebirea că aici permitivitatea fiind complexă şi indicele de refracţie va fi complex. Astfel, divizând relaţia (5.92) cu
0ε obţinem:
ωεσ−ε=∗ε0
rr i (5.100)
ωεσ=ε ′′ε=ε′ε ′′−ε′=∗ε0
rrrrrr , , i (5.101)
rr n µ∗ε=∗ ; (5.89) ⇒ ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛εωε
σ−εµεω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
ωεσ−µεω=∗
r0r0
222 i 1 i 1 k ⇒
∗εµεω=∗r0
22 k (5.102)
∗εεµµω=∗r0r0
k ⇒ 00
k n
εµω
∗=∗ ⇒
ω
∗=∗ ck n (5.103)
( )ω
=′′ω
=′′′−′=∗ω
−ω
=−ω
=∗ cb n , ca n , n i n n , b c i a c b i a c n (5.104)
Din relaţiile (5.98) şi (5.104) rezultă că amplitudinea bz e E0
−r =
z n c
e E
0
′′ω−rare
o scădere exponenţială datorită părţii imaginare a indicelui de refracţie complex. De aceea n ′′ se numeşte coeficient de extincţie.
Deoarece mărimile n , , kr
′′∗ε∗ depind de pulsaţia ω , se spune că undele prezintă fenomenul de dispersie în medii conductoare.
- 60 -
Un bun conductor are densitatea curentului de conducţie E
σ de cel puţin 50 de ori mai mare decât densitatea curentului de deplasare ( t E/ t D/ ∂∂ε=∂∂ ):
50 tE/
E ≥∂∂ε
σ=
ωεσ
Viteza de fază a undei este:
µσω=
ωµσω=ω= 2
2
a
vf
(5.105)
Dacă σ şi µ nu depind de pulsaţie, atunci viteza de grup a undei într-un bun conductor este de două ori mai mare decât viteza de fază:
fg v2 2 2
221
1 d/da
1 dad v =
µσω=
µσω
=ω
=ω= (5.106)
La cupru, pentru ν = 1 MHz:
m/s 830 v, m/s 415 m/s 108,5104
1022 vg77
6
f==
⋅⋅⋅⋅π⋅= −
(viteza sunetului în cupru este de m/s 106,3 3⋅ ). Indicele de refracţie real la cupru, pentru ν = 1 MHz este:
810 1,1 2
c ca n ⋅=ωσµ=
ω=′
Impedanţa caracteristică Z a conductorului în care se propagă unda electromagnetică se obţine din relaţiile (5.88) şi (5.99):
2 b a , b i a k
HE Z ωµσ==
−ωµ=∗
ωµ==
( ) ( ) 4 i
e i 1 2
1 i 1 2
b i a kπ−
σ′ωµ=−⋅σ′ωµ=−ωµσ=−=∗
4 i
e
HE Z
π−σ′ωµ
ωµ== ⇒ /4 ie Z πσωµ= ⇒ (5.107)
⋅= H E 4 i
e π
σωµ , ⋅= E H 4
π
ωµσ i
e −
(5.108)
Din relaţiile (5.98) şi (5.108) rezultă:
z t ie
z e E E
0
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
δ−ω
⋅δ−
= (5.109)
- 61 -
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π−
δ−ω
⋅δ−
=
π−⋅
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
δ−ω
⋅δ−
ωµσ=
4 z t i
ez
e H 4 i
e
z t ie
z e E H
00 (5.110)
Spre deosebire de dielectrici, la care Er
şi Hr
sunt în fază, în cazul conductorilor între aceşti vectori există un defazaj de 4/π radiani.
Pentru λ= z şi k = a = 2 λπ / , amplitudinea undei ε− z/ e E0
scade de ( ) π2e/1
ori ( ( ) π−=λλπ−
=−=− 2e /2
e az e bz e ). Datorită efectului pelicular, conductorii sunt opaci la radiaţiile din spectrul vizibil (exceptând conductorii sub formă de straturi foarte subţiri).
Pentru MHz 1 =ν , impedanţa caracteristică la cupru este:
Ω⋅=Ω⋅
⋅π⋅⋅π== −−
103,7 108,5
104102 HE Z 4
7
76
<< 0
Z (vid) = 377 Ω
Vectorii Er
şi Hr
sunt ortogonali într-o undă polarizată liniar. Dacă unda nu este polarizată liniar, atunci vectorii E
r şi H
r pot să nu fie ortogonali.
Media temporală a densităţii de energie electrică se obţine din (5.109) :
δ−⋅ε=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
δ−ω⋅δ−⋅ε=ε=ρ /z2eE
4 z t cos /z2eE
2
2E e 2
0
22
0
2
E
Media temporală a densităţii de energie magnetică se obţine pe baza relaţiei (5.110) :
δ−⋅⋅ωµσ⋅µ=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π−
δ−ω⋅δ−⋅⋅
ωµσ⋅µ=µ=ρ /z2eE
4
4 z t cos /z2eE
2
2H m 2
0
22
0
2
E
Raportul acestor densităţi de energie este:
501 m
e
E
E ≤µωε=
σωµ⋅
µε=
ρ
ρ (5.111)
Din cauza valorii mari a lui σ , densitatea de energie magnetică este mult mai mare decât densitatea de energie electrică, iar
libj/E este foarte mic. E este mic, dar densitatea de
current este mare (de aceea şi H este mare). Folosind părţile reale ale expresiilor (5.109) şi (5.110) , putem determina valoarea
medie temporală a mărimii vectorului Poynting:
z t cos 4
cos/z2eE H E S 22
0 ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
δ−ω⋅π⋅δ−⋅
ωµσ=×=
rrr ⇒
δ−⋅⋅ωµσ⋅= /z2eE
2
21 S 2
0
r (5.112)
Obţinem acelaşi rezultat dacă folosim expresia:
H E Re 21 S ∗×⋅=
rrr (5.113)
- 62 -
unde E şi H au forma exponenţială.
( ) ( ) =⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ π
⋅δ−ω−
⋅δ−
⋅⋅ωµσ⋅
δ−ω⋅δ
−⋅⋅= 4
ie
z/ t i e
z eE
z/ t ie
z eE Re
21 S
00
r
= 4
cos/z2eE 21 2
0
π⋅δ−⋅⋅ωµσ⋅ = δ−⋅⋅
ωµσ⋅ /z2eE
2
21 2
0
Se constată că şi intensitatea undei (media temporală a mărimii vectorului Poynting) are o scădere exponenţială. Din relaţia (5.111) şi din expresia mediei temporale a densităţii de energie electrică se constată că intensitatea undei este egală cu produsul dintre valoarea medie temporală a densităţii de energie electromagnetică şi viteza de fază:
I S 24
/z2eE 2 1 /z2eE 4
2
0
2
0==
µσω⋅
ωεσ⋅ε⋅δ−⋅≈
µσω
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ +ωεσ⋅δ−⋅⋅ε
r ⇒
EEEfE m e , v I ρ=ρ+ρ⋅ρ= (5.114)
Se defineşte tangenta unghiului de pierdere electrică prin relaţia:
ε′ε ′′=εδ tg (5.115)
Din (5.101) şi (5.115) obţinem:
ωεσ=
ωεεσ=
ε
ωεσ
=ε′ε ′′
=ε′ε
ε ′′ε=εδ
tgr0r
0
r
r
r0
r0 (5.116)
Similar se defineşte tangenta unghiului de pierdere magnetică:
µ′µ ′′=µδ tg (5.117)
Din (5.101) , (5.116) şi din definiţia indicelui de refracţie complex obţinem:
( )εδ−ε′=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε′ε ′′
−ε′=ε ′′−ε′=∗ε tgi 1 i 1 i r
r
rrrrr
(5.118)
rr n µ∗ε=∗ ⇒ ( ) tgi 1 n
rrrr
2
εδ−ε′µ=µ∗ε=∗ (5.119)
ni n n ′′−′=∗ ⇒ ( )εδ−ε′µ=′′−′′′−′ tgi 1 n n n i 2 nrr
22 ⇒
n nrr
22 ε′µ=′′−′
εδ⋅ε′µ=′′′ tg n n 2rr
(5.120)
Din (5.120) , pe baza relaţiilor trigonometrice
2cos
2sin 2 sin εδ⋅ε
δ=εδ
- 63 -
2sin
2cos cos 22 εδ−εδ=εδ
obţinem:
εδ
εδ
⋅ε′µ=′cos
2cos
nrr
, εδ
εδ
⋅ε′µ=′′cos
2sin
nrr
(5.121)
În cazul în care se ţine seama şi de pierderile magnetice, în locul relaţiilor (5.121) avem:
µδ⋅εδ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ µδ+εδ
⋅ε′µ′=′coscos
2
cos
nrr
, µδ⋅εδ
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ µδ+εδ
⋅ε′µ′=′′coscos
2
sin
nrr
(5.122)
5.7. Reflexia şi refracţia undelor electromagnetice 5.7.1. Legile reflexiei şi refracţiei
Când o undă electromagnetică întâlneşte suprafaţa de separare a două medii dielectrice diferite, o parte din energia undei se întoarce în primul mediu (se reflectă), iar cealaltă parte trece în mediul al doilea (se refractă). Alegem originea O în punctual de incidenţă al undei cu planul care separă cele două medii (planul xOy ) , iar axa Oz îndreptată de la primul mediu spre al doilea mediu, coincizând cu normala la suprafaţa de separare. Planul xOz , care conţine normala la suprafaţa de separare a celor două medii şi direcţia de propagare a undei incidente, se numeşte plan de incidenţă. Axa Oy este perpendiculară pe planul foii, fiind orientată dinspre foaie înspre noi.
Se presupune că mediile dielectrice sunt medii ideale (omogene, izotrope, liniare,
nedisipative şi conservative). Nu avem reflexii multiple, deoarece interfaţa este foarte subţire, iar cele două medii separate au o întindere nelimitată (medii semiinfinite).
Vectorii intensitate de câmp electric pentru unda incidentă, cea reflectată şi respective cea refractată au forma:
( )rk t ie E E ii
i 0i
rrrr ⋅−ω
= (5.123)
( )rrr
r 0r
rk t ie E E
ϕ+⋅−ω=
rrrr
(5.124)
- 64 -
( )ttt
t0t
rk t ie E E
ϕ+⋅−ω=
rrrr
(5.125)
unde, conform relaţiei (5.58) :
i1
ii
uv
k rr⋅
ω= ,
r1
rr
uv
k rr⋅
ω= ,
t2
tt
uv
k rr⋅
ω= (5.126)
Am presupus că unda incidentă este uniformă şi liniar polarizată, vectorul de undă i
kr
fiind real şi orientat în direcţia de propagare a undei incidente, determinată de versorul i
ur . Originea vectorului r
r este în punctul O care se află pe suprafaţa de separare. De asemenea,
se presupune că i 0
Er
este o mărime reală. Întrucât unda incidentă este plană, rezultă că toate
razele incidente sunt paralele. Deoarece suprafaţa de separare este plană, rezultă că legile reflexiei şi refracţiei trebuie să fie aceleaşi pentru toate punctele de pe interfaţă. Aşadar razele reflectate trebuie să fie paralele între ele şi de asemenea razele refractate trebuie să fie paralele între ele.
La interfaţa z = 0 sau yu x u ryx
rrr+=
Σ trebuie îndeplinite condiţiile la limită şi
anume continuitatea componentelor tangenţiale ale câmpurilor electrice şi magnetice (
t2 t1E E = ,
t2 t1H H = ) , respectiv continuitatea componentelor normale ale inducţiilor
electrice şi magnetice ( n 2n 1
D D = , n 2n 1
B B = ) . Aceste relaţii sunt o consecinţă a faptului că pe suprafaţa de separare z = 0 dintre cele două medii dielectrice nu avem curenţi superficiali, respective distribuţii superficiale de sarcini electrice. Componenta tangenţială a lui E
r este continuă de-a lungul suprafeţei de separare atunci când componenta tangenţială a
lui ri
E Err
+ în mediul 1 este egală cu componenta tangenţială a lui t
Er
în mediul 2 :
( ) ( ) ( )tgttgrtgi
E E Errr
=+ (5.127)
Această relaţie trebuie să fie satisfăcută pentru orice moment t şi în orice punct de coordonate (x, y, 0).
Astfel, condiţiile la limită sunt îndeplinite numai dacă argumentele celor trei exponenţiale din relaţiile (5.123) – (5.125) sunt egale:
tttrrrii rk t rk t rk t ϕ+⋅−ω=ϕ+⋅−ω=⋅−ω
ΣΣΣ
rrrrrr (5.128)
Această relaţie este satisfăcută pentru orice moment t dacă;
ω=ω=ω=ω tri
(5.129)
adică în urma reflexiei şi refracţiei la suprafaţa de separare a doi dielectrici transparenţi pulsaţia radiaţiei electromagnetice incidente rămâne neschimbată. Din egalitatea termenilor liberi rezultă:
tr 0 ϕ=ϕ= (sau = π ) (5.130)
adică în urma reflexiei şi refracţiei nu se introduce un defazaj între unda incidentă şi unda reflectată, respective refractată; valoarea π se obţine dacă anumite amplitudini sunt negative. Prin urmare, undele reflectate şi transmise sunt sau în fază, sau în opoziţie de fază cu undele incidente. Din (5.128) rezultă:
Σ⋅ rk
i
rr =
Σ⋅ rk
r
rr =
Σ⋅ rk
t
rr (5.131)
- 65 -
Deci componentele lui i
kr
, r
kr
şi t
kr
paralele la interfaţă sunt egale. Dacă 0 ky i= ,
atunci 0 kyr = , 0 k
yt = , ca în figura de mai sus. Rezultă că vectorii
ikr
, r
kr
şi t
kr
sunt
coplanari, planul determinat de aceşti vectori fiind numit plan de incidenţă. Am obţinut prima lege a fenomenului de reflexie – refracţie: razele incidente, reflectate şi refractate sunt coplanare.
Folosind relaţiile (5.129) , (5.130) şi componentele versorilor ( ) , i cos , 0 , isin ui
r
( )i cos , 0 , isin u r
′−′r şi ( )r cos , 0 ,r sin u t
r , relaţiile (5.123) – (5.125) devin:
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−ω
=
v
i cos z isin x t ie E E 1
i 0i
rr (5.132)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′−′−ω
=
v
i cos z isin x t ie E E 1
r 0r
rr (5.133)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−ω
=
v
r cos z r sin x t ie E E 2
t0t
rr (5.134)
Vectorii Er
, Hr
şi kr
formează un triedru tridreptunghic (în ordinea indicată), atât în unda incidentă, cât şi în cea reflectată sau refractată. În general vectorii E
r şi H
r nu oscilează
în planul de incidenţă, dar se pot descompune în două componente, una aflată în planul de incidenţă şi alta normală pe acest plan. De aceea vom considera separat două unde: una în care vectorul intensitate de câmp electric se află în planul de incidenţă, iar vectorul intensitate de câmp magnetic este perpendicular pe planul de incidenţă (ca în figura de mai sus, unde orientarea vectorilor ; u , H , E
iii
rrr ; u , H , E
rrr
rrr
tttu , H , E rrr
respectă regula burghiului drept) şi
una în care orientările celor două câmpuri sunt inversate. Condiţia de continuitate (5.127) poate fi explicitată pe baza figurii şi a relaţiilor
(5.132) – (5.134) (reamintim că în acest caz z = 0 ):
vsinrx t i
er cosE v
isinx t iei cosE
vsinix t i
ei cosE 2 t0
1r 0
1i 0
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ′⋅−ω
⋅′−⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω
⋅ (5.135)
Această ecuaţie este adevărată pentru orice x numai dacă:
v
r sin v
i sin v
i sin
211
=′= (5.136)
Din această relaţie obţinem a doua lege a reflexiei: i = i′ (5.137)
(unghiul de incidenţă este egal cu unghiul de reflexie) şi legea a doua a refracţiei (legea lui Snell):
211
2
2
1
2
1 n nn
c/nc/n
vv
rsin i sin ==== (5.138)
unde am folosit relaţia (5.68) . Legea lui Snell se enunţă şi sub forma conservării cantităţii n⋅sin i atunci când o undă electromagnetică traversează o interfaţă:
- 66 -
r sinn i sinn21⋅=⋅ (5.139)
5.7.2. Relaţiile lui Fresnel
Folosind (5.136) , relaţia (5.135) se reduce la:
( ) r cos E i cos E E t0r 0i 0
=− (5.140)
Din relaţiile (5.54) şi (5.126) obţinem:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛×⋅
ω
ωµ=×
ωµ=
ii1
i
1ii
1i
E uv
1 E k 1 Hrrrrr
⇒ ( )ii
11i
E u v
1 Hrrr
×µ
=
( )rr
11r
E u v
1 Hrrr
×µ
=
( )tt
22t
E u v
1 Hrrr
×µ
=
(5.141)
Deoarece toţi vectorii intensitate de câmp magnetic au direcţia şi sensul axei Oy , putem abandona semnul de vector. Din (5.141) obţinem:
t22
tr11
ri11
iE
v1 H , E
v1 H , E
v1 H ⋅
µ=⋅
µ=⋅
µ= (5.142)
Pe baza relaţiilor (5.142) , (5.132) – (5.134) şi (5.136) , condiţia de continuitate a componentei tangenţiale a lui H de-a lungul suprafeţei de separare Σ se exprimă astfel:
( ) ( ) ( )tgttgrtgi
H H H =+ ⇒ ( ) Ev
1 E Ev
1 t0
22r 0i 0
11
⋅µ
=+µ
(5.143)
Eliminând t0
E între relaţiile (5.140) şi (5.143) obţinem:
( ) ( ) r cos E Evv
i cos E Er 0i 0
11
22r 0i 0
+µ
µ=− ⇒
i cos r cosvv
E r cosvv
i cos E11
22r 0
11
22i 0 ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+⋅
µ
µ=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
µ
µ− ⇒
r cosv i cosvr cosv i cosv
EE
2211
2211
i 0
r 0
µ+µ
µ−µ=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.144)
Am pus indicele ⇓ întrucât am considerat cazul în care vectorii ri
E , Err
şi t
Er
sunt
paraleli la planul de incidenţă (ca în figura de mai sus). Pe baza relaţiei (5.68) obţinem:
11
1
11111
Z 1 v =ε
µ=
µεµ=µ ,
22
222
Z v =ε
µ=µ (5.145)
- 67 -
r cos Z i cosZr cos Z i cosZ
EE
21
21
i 0
r 0
+
−=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.146)
Înlocuind (5.145) şi (5.146) în (5.143) obţinem:
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−+⋅=+=
r cos Z i cosZ i cos Z2
EZZ
r cos Z i cosZ
r cos Z i cosZ 1 E
ZZ
E E ZZ
E21
1i 0
1
2
21
21i 0
1
2r 0i 0
1
2 t0
⇒
r cos Z i cosZ i cos Z2
EE
21
2
i 0
t0
+=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.147)
Din (5.138) şi (5.145) rezultă:
rsin i sin
vv
ZZ
2
1
22
11
2
1 ⋅µ
µ=
µ
µ= (5.148)
Pentru medii dielectrice pure (nemagnetice):
021 µ=µ=µ ⇒
rsin i sin
ZZ
2
1 =
În acest caz, relaţiile (5.146) şi (5.147) devin:
=⋅+⋅⋅−⋅=
+⋅
−⋅=
+⋅
−⋅
=⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
r cosr sin i cosi sinr cosr sin i cosi sin
r cos i cosr sini sin
r cos i cosr sini sin
r cos i cos
ZZ
r cos i cosZZ
EE
2
1
2
1
i 0
r 0
=
( )( )( )( )r i cos
r isin r i cosr isin
i cosr sin r cosi sinr sini sin r cosi cos
r sini sin r cosi cos i cosr sin r cosi sin
++−−
=⋅+⋅⋅−⋅⋅
⋅+⋅⋅−⋅ ⇒
=⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
EE
i 0
r 0 ( )( )r i tg
r i tg+− (5.149)
r cosr sin i cosi sin i cosr sin 2
r cos i cosr sini sin
i cos 2 r cos i cos
ZZ
i cos 2 EE
2
1i 0
t0
⋅+⋅⋅⋅=
+⋅
⋅=
+⋅
⋅=⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⇒
( ) ( ) r i cosr i sin i cosr sin 2
EE
i 0
t0
−⋅+⋅⋅=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.150)
(5.146) şi (5.147) sau (5.149) şi (5.150) sunt relaţiile lui Fresnel în cazul în care vectorul
iEr
vibrează paralel cu planul de incidenţă. Se constată că dacă undele incidente sunt
plan polarizate atunci şi undele reflectate şi refractate vor fi tot plan polarizate, vectorii r
Er
şi
tEr
vibrând tot în planul de incidenţă. Dacă în figura anterioară se schimbă sensul lui r
Er
(este
- 68 -
evident că se schimbă şi sensul lui r
Hr
) ca în figura de mai jos, atunci în (5.140) r 0
E − trece
înr 0
E , iar în (5.143) r 0
E trece în r 0
E − (deoarece r
Hr
are sensul opus axei Oy). În acest caz
în ecuaţiile (5.146) şi (5.149)r 0
E trece în r 0
E − :
i cos Zr cosZ i cos Zr cosZ
EE
12
12
i 0
r 0
+
−=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.146’)
=⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
EE
i 0
r 0 ( )( )r i tg
r i tg +−
− (5.149’)
Relaţiile (5.147) şi (5.150) rămân neschimbate.
Pentru a face distincţie între cele două situaţii prezentate în figurile de mai sus, vom exprima relaţiile lui Fresnel (5.149) şi (5.150) în funcţie de raportul indicilor de refracţie, folosind relaţia (5.138) :
r cos i cos
r sini sin
r cos i cosr sini sin
EE
i 0
r 0
+⋅
−⋅=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⇒
( )( )
r cos i cosn/nr cos i cosn/n
EE
12
12
i 0
r 0
+
−=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.151)
r cos i cosr sini sin
i cos 2 EE
i 0
t0
+⋅
⋅=⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⇒
r cos i cosnn
i cos 2 EE
1
2i 0
t0
+⋅
⋅=⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.152)
Din relaţia (5.152) se constată că unda transmisă este întotdeauna în fază cu unda incidentă (
t0E şi
i 0E sunt în fază la interfaţă deoarece raportul lor este întotdeauna pozitiv).
Din relaţiile (5.151) şi (5.138) rezultă că r 0
E şi i 0
E pot fi în fază (raportul r 0
E / i 0
E este
pozitiv) sau în opoziţie de fază (raportul r 0
E / i 0
E este negativ), în funcţie atât de raportul
12n/n , cât şi de valorile unghiurilor i şi r . Astfel
r 0E şi
i 0E sunt în fază dacă numărătorul
din membrul drept al relaţiei (5.151) este pozitiv (în acest caz numitorul este pozitiv).
i cos nn
1
2 > cos r ⇒ i cos r sini sin > cos r ⇒ sin i ⋅ cos i − sin r ⋅ cos r > 0 ⇒
sin 2i − sin 2r > 0 ⇒ 2
2r 2i cos2
2r 2isin 2 +⋅− > 0 ⇒ sin (i − r) cos (i + r) > 0 ⇒
i > r şi i + r < 2π
(1
n < 2
n )
(aer – sticlă)
(5.153)
sau:
i < r şi i + r > 2π (5.154)
- 69 -
(1
n > 2
n )
(sticlă - aer)
În cazul figurii de mai sus, comparând relaţiile (5.149’) şi (5.149) , în locul relaţiei (5.151) obţinem (se schimbă semnul):
( )( )
ir cosn/n r cos i cosn/n r cos
EE
12
12
i 0
r 0
+
−=
⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.155)
În acest caz r 0
E şi i 0
E sunt în fază dacă sin (r − i) cos (i + r) > 0 ⇒
i > r şi i + r > 2π
(1
n < 2
n )
(aer – sticlă)
(5.153’)
sau:
i < r şi i + r < 2π
(1
n > 2
n )
(sticlă - aer)
(5.154’)
În cazul incidenţei pe suprafaţa aer – sticlă ( 1,5 n 1; n21== ), reprezentarea grafică a
rapoartelor ( ) ( )⇓⇓ i 0 t0i 0r 0
E/E , E/E în funcţie de unghiul de incidenţă i ne arată că r 0
E este
în fază cu i 0
E dacă este îndeplinită relaţia (5.153’) corespunzătoare figurii de la pagina 68 şi
nu relaţia (5.153) corespunzătoare figurii de la pagina 63.
Se constată că raportul ( )⇓i 0r 0
E/E se anulează pentru B
i i = care verifică relaţia:
2 r i
B
π=+ (5.156)
Rezultă că în cazul în care este îndeplinită această relaţie nu există undă reflectată atunci când unda incidentă este polarizată cu vectorul ei
iEr
paralel cu planul de incidenţă
(unda trece prin interfaţă fără reflexie). Unghiul de incidenţă B
i (la trecerea aer – sticlă
Bi = 56,30) este numit unghi Brewster sau unghi de polarizare, deoarece o undă incidentă
nepolarizată pentru care B
i i = este reflectată ca o undă polarizată în care vectorul ei r
Er
este
perpendicular pe planul de incidenţă. Pentru B
i i = relaţia (5.138) devine:
12BB
B
B
BB n/n i tg i cosi sin
i
2sin
i sin
rsin i sin
===⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −π
= ⇒ nn
arctg i1
2B= (5.157)
- 70 -
Relaţia (5.157) permite determinarea indicelui de refracţie relativ (
12n/n ) dacă
Bi
este cunoscut din experienţă. Pentru a obţine legăturile dintre amplitudinile undelor incidente, reflectate şi
transmise (relaţiile lui Fresnel) în cazul în care unda incidentă este polarizată cu i
Er
perpendicular pe planul de incidenţă, vom scrie condiţiile de continuitate a componentelor tangenţiale ale vectorilor E
r şi H
r la suprafaţa de separare a celor două medii:
0
H
0
H
0
H , H H H , E E E ,
0
E
0
E
0
Eyt yr y it xr x xiyt yr y it xr x xi
=
=
=
+
=
=+=+
=
=
=
+
=
(5.158)
Deoarece ri
E , Err
şi t
Er
sunt paraleli cu axa Oy , iar ri
H , Hrr
şi t
Hr
sunt în planul xOz
(nu au componente pe axa Oy ), din relaţiile (5.158) obţinem:
t0r 0i 0E E E =+ (5.159)
t xr x xi H H H =+ (5.160)
unde r x xi
H , H şi t x
H se determină pe baza relaţiilor (5.141) :
0E0i cos0isin
kji
v1 E u
v1 H
i11
ii11
i
rrr
rrr
µ=×
µ= ⇒ i cos E
v1 H
i11
xi⋅
µ−= (5.161)
0E0i cos 0isin
kji
v1 E u
v1 H
r11
rr11
r−
µ=×
µ=
rrr
rrr ⇒ i cos E
v1 H
r11
r x⋅
µ= (5.162)
0E0r cos0rsin
kji
v1 E u
v1 H
t22
tt22
t
rrr
rrr
µ=×
µ= ⇒ r cos E
v1 H
t22
t x⋅
µ−= (5.163)
Înlocuind în (5.160) , obţinem:
( ) r cos Ev
1 i cos E E v
1t
22ir
11
⋅⋅µ
−=−µ
⇒
- 71 -
( ) r cos Ev
1 i cos E E v
1 t0
22i 0r 0
11
⋅⋅µ
−=−µ
(5.164)
La acelaşi rezultat se ajunge dacă se foloseşte relaţia (5.160) şi figura de mai jos ( r cosH i cosH i cosH
tri−=+− ⇒ ( ) r cosH i cos H H
t0i 0r 0−=− ):
Eliminând
t0E între relaţiile (5.159) şi (5.164) , obţinem:
( ) ( ) r cos E E v
1 i cos E E v
1r 0i 0
22i 0r 0
11
+µ
−=−µ
⇒
( ) ( ) r cos E E i cos E E ZZ
r 0i 0i 0r 01
2 +−=− ⇒
( )[ ] ( )[ ] r cos i cos Z/Z E r cos i cos Z/Z E12i 012r 0
−=+ ⇒
r cos i cos ZZ
r cos i cos ZZ
EE
1
2
1
2
i 0
r 0
+
−
=⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.165)
Din relaţia (5.159) rezultă:
r cos i cos ZZ
r cos i cos ZZ
r cos i cos ZZ
E E r cos i cos
ZZ
r cos i cos ZZ
E E
1
2
1
2
1
2
i 0i 0
1
2
1
2
i 0 t0
+
−++
=
+
−
+= ⇒
r cos i cos ZZ
i cos ZZ
2
EE
1
2
1
2
i 0
t0
+
⋅⋅
=⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.166)
(5.165) şi (5.166) constituie a doua pereche de relaţii Fresnel. Pentru medii nemagnetice:
1
2
2
1
nn
rsin isin
ZZ
== (5.167)
În acest caz, relaţiile lui Fresnel (5.165) şi (5.166) devin:
- 72 -
r cos i cos nn
r cos i cos nn
EE
2
1
2
1
i 0
r 0
+⋅
−⋅
=⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.168)
r cos i cos nn
i cos nn
2
EE
2
1
2
1
i 0
t0
+⋅
⋅⋅
=⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.169)
sau:
r cos i cos i sinr sin
r cos i cos i sinr sin
EE
i 0
r 0
+⋅
−⋅=
⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⇒
EE
i 0
r 0 =⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ( )( )r isin
r isin +−
− (5.170)
r cos i cos i sinr sin
i cos i sinr sin2
EE
i 0
t0
+⋅
⋅⋅=
⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
EE
i 0
t0 =⊥⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛( )r isin
i cosrsin 2+⋅⋅ (5.171)
Din relaţia (5.168) se constată că r 0
E şi i 0
E sunt în fază dacă:
r cos i cosnn
2
1 −⋅ > 0 ⇒ 2
1
nn
> 1 ⇒ 1
n > 2
n ⇒ i < r şi cos i > cos r (5.172)
Reflexia are loc cu un defazaj egal cu π dacă:
2
1
nn
< 1 ⇒ 1
n < 2
n ⇒ i > r şi cos i < cos r (5.173)
La acelaşi rezultat se ajunge oe baza relaţiei (5.170) . Din (5.169) sau din (5.171) se constată că unda transmisă este întotdeauna în fază cu unda incidentă. În figurile de mai jos sunt illustrate cele două situaţii.
Unda transmisă este parţial polarizată, oricare ar fi unghiul de incidenţă. Utilizarea
unui număr sufficient de mare de plăci dielectrice poate face ca unda transmisă să aibă un grad de polarizare foarte mare (intensitatea luminii transmise este mult mai mare decât intensitatea luminii reflectate). În cazul incidenţei pe suprafaţa aer – sticlă, reprezentarea grafică a rapoartelor ( ) ( )
⊥⊥ i 0 t0i 0r 0E/E , E/E în funcţie de unghiul de incidenţă i este în
accord cu relaţia (5.173) .
- 73 -
Pentru medii dielectrice pure ( 1
r=µ ⇒
0 µ=µ ) , intensităţile undelor incidente,
reflectate şi refractate se exprimă cu ajutorul relaţiei (5.66):
2
t00
2tt
2
r 00
1rr
2
i 00
1ii
E 21 S I , E
21 S I , E
21 S I ⋅
µ
ε==⋅
µ
ε==⋅
µ
ε==
rrr (5.174)
Fluxurile de energie medii în unitatea de timp şi pe unitatea de suprafaţă a interfeţei sunt:
i cos I uu I uu S iniiniii
=⋅=⋅=Φrrrrr
(5.175)
i cos I uu I uu S rnrrnrrr
−=⋅=⋅=Φrrrrr
(5.176)
r cos I uu I uu S tnttnttt
=⋅=⋅=Φrrrrr
(5.177)
(proiecţiile mediilor temporale ale vectorilor Poynting pe direcţia normalei la suprafaţa de separare), unde
nur este versorul normalei la suprafaţa de separare, de componente 0 , 0 , 1 ,
iar ( ) ( ) i cos 0, i,sin u , i cos 0, i,sin uri
−rr şi ( )r cos 0, r,sin u
t
r sunt versorii direcţiilor de
propagare a undelor. Se defineşte coeficientul de reflexie R şi coeficientul de transmisie T prin rapoartele:
R
i
r
Φ
Φ= ⇒
2
i 0
r 0
i
r
EE
II
R ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛== (5.178)
T
i
t
Φ
Φ= ⇒
i cosr cos
EE
i cosr cos
II
T2
i 0
t0
1
2
i
t ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ε
ε=⋅= (5.179)
Deoarece: ( )
1
2
1r 0
2r 0
1
2
nn
5.70
=εε
εε=
ε
ε (5.180)
rezultă:
i cosr cos
EE
nn
T2
i 0
t0
1
2 ⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (5.181)
Întrucât am neglijat pierderile, energia totală se conservă, adică:
R + T = 1 (5.182)
- 74 -
Relaţiile (5.178) , (5.181) şi (5.182) sunt valabile atât pentru undele ale căror vectori intensitate de câmp electric sunt în planul de incidenţă, cât şi pentru undele la care vectorii
riE , Err
şi t
Er
sunt paraleli cu interfaţa.
Din figura de mai sus se constată că pentru unghiul Brewster 0 R , i
B=
⇓ şi 1 T =
⇓ ,
în acord cu figura de la pagina 69. În cazul incidenţei normale (i = r = 0) , cele două perechi de ecuaţii Fresnel sunt
identice (planul de incidenţă este nedefinit). În acest caz, din relaţiile (5.155) , (5.168) , (5.178) , (5.152) , (5.169) şi (5.181) obţinem:
211
2
i 0
r 0
1
2
1
2
2
1
2
1
i 0
r 0
1
2
1
2
i 0
r 0 n nn
; EE
nn
1
nn
1
1 nn
1 nn
EE
,
nn
1
nn
1
EE
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+
−
=
+
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓⊥⇓
2
21
21
n 1n 1
R ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛+
−= (5.183)
EE
1
nn
2 1
nn
nn
2
EE
, 1
nn
2 EE
i 0
t0
1
2
2
1
2
1
i 0
t0
1
2i 0
t0
⇓⊥⇓⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
+
=
+
⋅
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
( )221
21
1 n
4n T
+= (5.184)
( )( )( ) 1
1 n
1 n
1 n
4n n 2n 1 T R 2
21
2
212
21
21
2
2121 =+
+=
+
++−=+
La trecerea din aer în sticlă, 21
n = 1,5 , iar coeficientul de reflexie R calculate pe baza relaţiei (5.183) este destul de mare:
4% 0,04 2,50,5
1,5 11,5 1 R
22
==⎟⎠⎞
⎜⎝⎛=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
+−=
- 75 -
Dacă lumina trece prin 5 lentile are loc o pierdere prin reflexie de 20% din intensitatea luminii incidente (vezi relaţia (5.178) ). Pentru a avea un coefficient de reflexive mic se impune ca
21n să fie cât mai aproape de 1 .
5.7.3. Reflexia totală
Pe baza relaţiilor (5.152) , (5.167) şi (5.181) obţinem:
r cosrsin i cosisin rsin i cos2
EE
i 0
t0
⋅+⋅⋅⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓
⇒ ( ) ( )r i cosr isin rsin i cos2
EE
i 0
t0
−⋅+⋅⋅=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓
(5.185)
( ) ( ) i cosr cos
r icosr isinrsinicos4
rsin isin
i cosr cos
EE
nn
T 22
222
i 0
t0
1
2 ⋅−⋅+
⋅⋅⋅=⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⇓⇓
⇒
( ) ( )r icosr isin2rsin 2i sin T 22 −⋅+
⋅=⇓
(5.186)
( ) i cosr cos
r isinicosrsin4
rsin isin
i cosr cos
EE
nn
T 2
222
i 0
t0
1
2 ⋅+⋅⋅⋅=⋅⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⊥⊥
⇒
( )r isin2rsin 2i sin T 2 +
⋅=⊥
(5.187)
Din relaţiile (5.186) şi (5.187) rezultă că pentru 2
r π= obţinem sin 2r = 0 şi deci
⊥⇓= T T = 0 . În acest caz, din (5.167) rezultă:
1
2C
nn
2sin
i sin=
π ⇒
1
2C n
n i sin = (5.188)
În cazul când 2
n < 1
n (ca exemplu se consideră trecerea radiaţiei din sticlă în aer),
pentru C
i i ≥ are loc fenomenul de reflexie totală (nu avem radiaţie transmisă). În acest caz:
1 isin nn
r sin2
1 ≥= (5.189)
La trecerea unei unde electromagnetice din sticlă în aer ( ) 1 n ; 1,5 n21== unghiul
critic de incidenţă C
i pentru care 2 / r π= este de 41,80. Pentru i = 600 rezultă sin r = 1,3.
Sinusul nu poate fi supraunitar decât pentru valori complexe ale argumentului r . Astfel, pentru i >
Ci nu există nici un unghi real după care să aibă loc refracţia luminii în cel de-al
doilea mediu. Deşi, pentru i > C
i , coeficientul de reflexie R este egal cu unitatea,
pătrunderea undei în cel de-al doilea mediu trebuie să aibă loc în orice caz pe o distanţă comparabilă cu lungimea de undă a radiaţiei, pentru a putea fi satisfăcută continuitatea componentelor tangenţiale ale intensităţii câmpului electric şi a celui magnetic. Unda care pătrunde în mediul al doilea se întoarce în primul mediu din diferite plane situate în imediata vecinătate a suprafeţei de separare Σ .
- 76 -
Mediul 2 acţionează ca o inductanţă pură alimentată de la o sursă de tensiune alternativă (puterea se scurge într-un sens, apoi în sens opus, astfel că valoarea medie a puterii scurse este zero).
Presupunem că r este o mărime complexă de forma:
r = A + i B (5.190)
Pe baza formulei:
i2
xi e xie x sin−−=
obţinem:
sin r = sin (A + i B) = ( ) ( )
i2 Be A i e B e A ie
i2
B i +A i e
B i +A ie −−−
=−
− (5.191)
Deoarece sin r este o mărime reală (conform relaţiei (5.189) ) vom lua A = 2/π . Rezultă:
r = 2π + i B (5.192)
B;ch 2
Be Be i 2
Bei Bei r sin =−+=+−
=
( ) ( )Bsh i
2
Be Bei
2
B i +Ai e
B i +Aie r cos −=
⎟⎠⎞⎜
⎝⎛ −−
=−
+=
(5.193)
( ) 1 r sin i 1 r sin rsin 1 r cos 222 −=−−±=−±= m ⇒
1 r sin i r cos 2 −−= (5.194)
Am ales semnul − în faţa radicalului din (5.194) pentru a fi în acord cu a doua
relaţie din (5.193) . Pentru i = 600 rezultă sin r = 1,3 ; B = 0,75 ; r = 2π + 0,75 i ;
cos r = − 0,83 i . Utilizând forma exponenţială a unui număr complex:
2 i
e b i a
ϕ±ρ=± , 22 b a +=ρ ,
ab
2 tg =ϕ
putem scrie relaţiile (5.151) , (5.168), (5.152) şi (5.169) sub forma:
⇓
⇓
⇓
⇓
ϕ=
ϕ−
ρ
ϕ
ρ=−−
−+=
+
−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ie
2 i
e
2 i
e 1 r sin i i cos n
1 r sin i i cos n
r cos i cos nr cos i cos n
EE
2
21
2
21
21
21
i 0
r 0 (5.195)
( ) ( )⊥
⊥
⊥
⊥
⊥
ϕ=
ϕ=
−−
−+
=+
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛i 0r 02
21
2
21
21
21
i 0
r 0 E i
e E ; i
e 1 r sini
ni cos
1 r sini n
i cos
r cos
ni cos
r cos n
i cos
EE
(5.196)
- 77 -
2 i
e1 r sin icosn
i cos 2 1 r sini i cosn
i cos 2 r cos i cosn
i cos 2 EE
222
21
2
2121i 0
t0
⇓⇓ϕ
−⋅−+
=−−
=+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛(5.197)
2 i
e1 r sin n
icos
ni cos 2
1 r sini
ni cos
ni cos 2
r cos
ni cosn
i cos 2
EE
22
21
2
21
2
21
21
21
21
i 0
t0
⊥⊥ϕ
−⋅−+
=−−
=+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.198)
unde:
21
2
21
2
ni cos
1 r sin 2
tg, i cosn1 r sin
2 tg −=
ϕ−=ϕ
⊥⇓ ⇒ 2
tgn 2
tg 2
21⇓⊥
ϕ=
ϕ (5.199)
Înlocuind sin r cu 21
ni sin (conform relaţiei (5.189) ) în (5.197) – (5.199) obţinem:
2 i
e 1
nisin icosn
i cos 2 EE
2
21
222
21i 0
t0
⇓
⇓
ϕ
⋅
⋅−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ (5.200)
( )
2 i
en
nisinn icos
i cos 2 2 i
e1 r sinn icos
i cos 2 EE
2
212
21
22
21
222
21
2i 0
t0
⊥⊥
⊥
ϕ
⋅
−⋅+
=
ϕ
⋅−+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⇒
( ) E t0
=⊥
( )⊥
⊥
⋅
ϕ
⋅− i 02
21
E2 i
en 1
i cos 2 (5.201)
i cosn
1 n
isin
2
tg21
2
21
2
−
=ϕ
⇓ ⇒ i cosn
n isin
2 tg 2
21
2
21
2
⋅
−=
ϕ⇓ (5.202)
i cos
1 n
isin n
2
tg2
21
2
21−
=ϕ
⊥ ⇒ i cos
n isin
2 tg
2
21
2 −=
ϕ⊥ (5.203)
Dacă în locul relaţiei (5.151) folosim relaţia (5.155) obţinem:
- 78 -
2e
2 i
e i cosn i 1 r sin
i cosn i 1 r sin
i cosn 1 r sini
i cosn 1 r sini
i cosn r cosi cosn r cos
EE
21
2
21
2
21
2
21
2
21
21
i 0
r 0 =ϕ′
ϕ′−
=+−
−−=
+−−
−−−=
+
−=′⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓
⇓
⇓
= ⇓ϕ′− i
e ⇒ ⇓
⇓
ϕ ′′=′⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ie
EE
i 0
r 0 , ⇓⇓
ϕ′−=ϕ ′′ (5.204)
1 r sin
i cosn
2tg
2
21
−=
ϕ′⇓ ⇒
2
21
2
2
21
n isin
i cosn arctg 2
−
⋅−=ϕ ′′
⇓ (5.205)
=ϕ′
⋅+−
π
⋅⋅=+−
⋅⋅=′⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓⇓
2 i
eicosn 1 r sin
2 i
e i cos2 i cosn i 1 r sin
i cos2i EE
22
21
221
2i 0
t0
= icosn r sin 1
2
2 i
e i cos 222
21
2 −−
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ π−ϕ ′′
⋅
⇓
(5.206)
Din (5.195) , (5.196) şi (5.204) rezultă:
1 EE
EE
Ri 0
r 0
i 0
r 0 =⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
∗
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛= (5.207)
adică reflexia totală are loc fără pierderi. Aşadar, deşi pătrunde şi în mediul al doilea, unda se reflectă totuşi în totalitate. Din
relaţiile (5.195) – (5.205) se constată că există un defazaj între amplitudinile undelor reflectate şi transmise faţă de amplitudinea undei incidente. Întrucât, în general, diferenţa de fază
⊥⇓ϕ−ϕ=ϕ dintre cele două unde polarizate în planuri perpendiculare are valori
diferite de πn , unda reflectată total este polarizată eliptic. Pentru i = 600 rezultă ⊥
ϕ = 95,70
( 1,5 / 1 n21= ) .
Din relaţiile (5.134) , (5.193) şi (5.194) obţinem:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −−⋅−ω
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅+⋅−ω
⋅=2
2
t02
t0t
v1 r sin z i r sin x t i
eE v
r cosz r sin x t ieE E
rrr ⇒
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω
⋅δ
−
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω
⋅
−ω−
⋅= 2z t0
22
2
t0t
vrsin x t i
e
z
eE v
rsin x t ie
v1 r sin z
eE Errr
(5.208)
unde z
δ este distanţa de atenuare în direcţia perpendiculară la interfaţă:
- 79 -
( )Bsh 2
Bsh k
1 5.58
Bsh
v
1 r sin
v 2
2
2
2
2z ⋅π
λ==⋅ω
=−ω
=δ (5.209)
Din relaţia (5.208) rezultă că în cazul unghiului de refracţie complex ( i > C
i ) unda
pătrunde în mediul al doilea, dar se atenuează rapid, amplitudinea ei scăzând exponenţial cu distanţa. Astfel această undă se propagă în lungul axei Ox şi este atenuată în lungul axei Oz. Unda descrisă de relaţia (5.208) care se propagă paralel cu suprafaţa de separare, pătrunzând în mediul al doilea numai pe o distanţă foarte mică (de ordinul lungimii de undă) se numeşte undă evanescentă. Pentru i = 600 , 1,5 / 1 n
21= , rezultă 2,5/
2zλ=δ .
Pentru a pune în evidenţă undele evanescente, se consideră un mediu cu indicele de refracţie
2n aflat între două piese cu indicele de refracţie
1n >
2n . Dacă grosimea mediului
intermediar d < λ , atunci unda pătrunde în cea de-a doua piesă (are loc fenomenul de reflexive totală frustată). Fenomenul este analog cu efectul tunel din mecanica cuantică (avem un efect tunel optic). Amplitudinea undei evanescente este maximă la unghiul critic (limită)
Ci .
În cazul în care una incidentă este polarizată cu
iEr
perpendicular pe planul de incidenţă, din relaţiile (5.113) , (5.141) , (5.163) , (5.201) , (5.208) şi (5.209) obţinem:
( )rsink r cosi v
E
0E0r cos0rsin
kji
v1
vE u
H22
t
t2222
ttt
⋅+⋅−µ
=µ
=µ
×=
rr
rrrrr
r (5.210)
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω
⋅δ−
⋅⋅=⊥
2z t0t
vrsin x t i
e/z
ejE Err
(5.211)
( ) E t0
=⊥
( )⊥
⊥
⋅
ϕ
⋅−
⋅i 02
21
E2 i
en 1
i cos 2 ⇒ ( ) ( ) ( )2i 02
21
2
t0 t0E
n 1icos4 E E
⊥⊥⊥⋅
−⋅=∗ (5.212)
- 80 -
( ) ( )rsin k r cos i v
Evrsin x t i
e/z
ejE Re21 H E Re
21 S
22
t2z t0ttt
rrrrrr+−
µ
∗⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω
⋅δ−
⋅⋅=∗×=⊥
i k jrrr
=× , 2isin i cosi sin2n
isin r sin , k i j21
=⋅⋅⋅=−=×rrr
( ) ( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω−
⋅δ−
⋅µ
∗⋅
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−ω
⋅δ−
⋅= ⊥
⊥r sin
vrsin x t i
e/z
ev
Evrsin x t i
e/z
eERe21 S 2z
22
t02z t0t x
( ) , n1 v ,r sin
v1/z2
eEn 1
icos421 S
20
0
2
222
22
z2
i 02
21
2
t x⋅
ε
µ=
ε
µ=µ⋅
µ⋅
δ−⋅⋅
−⋅⋅=
⊥
( )1
1
2
2
21
2
212
0
0z2
i 02
21
2
t xn
nnn
nn
, n
i sinn/z2
eEn 1
icos2 S ==⋅⋅µ
ε⋅
δ−⋅⋅
−⋅=
⊥
( ) z2
i 02
21
1
0
0t x
/z2eE
n 1
2i sinicosn S
δ−⋅⋅
−
⋅⋅
µ
ε=
⊥ (5.213)
unde
=
−
=
−
=
−ω
=−ω
=δ 1
nisin
1
nisin k
1 1
nisin
v
1 r sin
v
2
21
2
2
2
21
2
22
21
2
2
2
2z
D
= 1
nisin n 2
1
nisin n 2
21
2
2
0
2
21
2
2
0
−π
λ=
−
D (5.214)
0 Szt = deoarece 1 r sin i r cos 2 −=∗ este o mărime complexă care face ca
zt S să
fie o mărime pur imaginară (partea reală lipseşte). Expresia lui Szt
este obţinută din St x
,
înlocuind sin r cu rcos∗ . Mărimea cos i este reală, pentru că şi i este real. Deoarece 0 S S
zt yt == rezultă că propagarea undei evanescente în mediul al
doilea are loc paralel cu interfaţa, în sensul pozitiv al axei Ox .
i S St x t
rr⋅=
⊥⊥ (5.215)
Din relaţia (5.210) obţinem:
2 i
e i , 1 r sin v
E i
vr cosE
H 2
22
t
22
tt x
π
=−⋅µ
=µ
−= (5.216)
- 81 -
0 Hyt = (5.217)
22
tzt v
r sinE Hµ
=
zt t xtu i u u rrr
+= (5.218)
Deoarece sin r este real şi pozitiv, iar cos r este imaginar şi negativ, există un defazaj egal cu 2/π între componentele x şi z ale lui
tHr
. De aceea vectorul t
Hr
se roteşte
cu viteza unghiulară ω . Din acest motiv 0 Szt = (componenta
zt S îşi schimbă sensul la
fiecare jumătate de perioadă). Astfel t
Hr
nu este transversal la direcţia de propagare a undei
evanescente neuniforme. Într-o undă plană neuniformă de forma (5.208) suprafeţele echifaze sunt plane, dar amplitudinea pentru o suprafaţă echifază dată nu este uniformă (propagarea are loc paralel cu axa x , iar atenuarea în lungul axei z ). Deoarece în unda transmisă planele echiamplitudine x = constant diferă de planele echifază z = constant , direcţia de propagare a planelor echiamplitudine diferă de direcţia de propagare a planelor echifază, aceste două direcţii făcând între ele un unghi de 900 (cazul reflexiei totale).
Aceste fenomene sunt importante, având aplicaţii în transmisia şi prelucrarea informaţiei cu ajutorul fibrelor optice, precum şi în optica integrată pe baza ghidurilor de undă optice planare (straturi dielectrice cu simetrie plană). O fibră optică este formată dintr-un miez cu indice de refracţie
1n şi un înveliş cu indicele de refracţie
2n <
1n . Lumina este
transmisă prin fibră prin refexii totale la suprafaţa dintre miez şi înveliş. Fibrele optice se asamblează în fascicule, protejate de o teacă elastică. Frecvenţele optice fiind de 106 ori mai mari decât cele radio, capacitatea de transmisie a informaţiei printr-un canal optic este mult mai mare. Pierderile într-o fibră optică sunt foarte mici (0,15 dB/km pentru m 1,5 µ=λ ). Diametrul unei fibre optice este sub 0,1 mm. O prismă cu reflexie totală permite schimbarea direcţiei unui fascicul.
5.7.4. Reflexia şi refracţia pe medii conductoare
Din relaţiile (5.134) şi (5.136) rezultă:
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−−ω
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−ω
=
vr cos z
visin x t i
e E
vr cos z r sin x t i
e E E 21 t0
2 t0t
rrr
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⋅ω⋅ω−ω 2
21
2
21
t0
nisin 1 z
v isin x
v t i
e E
mr
Deoarece:
- 82 -
0
2
20
1
0
111
1
n
v ,
n
n2 n2
c2 n
c
v DD=ω=
λ
π=π⋅
πω=⋅ω=ω (*)
(ωπ=λ c2
0 este lungimea de undă în vid, iar πλ= 2/
00D ) , atunci
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛−⋅⋅−ω
=2
21
2
0
2
0
1
t0t
nisin 1 z
n isin x
n t i
e E ED
mDrr
(5.219)
Presupunem că nn
n 1
221
= >> 1 . Această condiţie este îndeplinită la reflexia şi
refracţia undelor electromagnetice pe un mediu conductor ( ; 1,000268 aern n1
== 8
2101,1 ) MHz 1 ( cuprun n ⋅==ν= ). Desigur că mediul al doilea trebuie să fie un
conductor foarte bun ( 117 m 105,8 cupru−−Ω⋅=σ ).
Întrucât:
sin i < 1 ⇒ isin 2 << 1 ⇒ 2
21
2
nisin <<< 1
putem aproxima radicalul din relaţia (5.219) cu 1 . Atunci:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅⋅−ω
=
z n
isin x n
t i
e E E 0
2
0
1
t0t
Dm
Drr (5.220)
Deoarece pentru ∞→ z trebuie ca 0 Et→ (unda transmisă este aproape uniformă,
dar este puternic atenuată) vom alege semnul − în faţa coeficientului lui z din (5.220) . În plus:
1 n
isin 1 r cos 2
21
2
≈−+= ⇒ 0 r ≈ (5.221)
(unghiul de refracţie este complex, dar la un conductor foarte bun partea imaginară a lui r este neglijabilă şi 0 r ≈ ). Rezultă:
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅−⋅−ω
=
z n
isin x n
t i
e E E0
2
0
1
t0t
DDrr (5.222)
Deoarece z x ≈ (de acelaşi ordin de mărime), sin i < 1 , 1
n << 2
n ⇒
1n sin i <<
2n ⇒ isin x
n
0
1 ⋅D
<< zn
0
2 ⋅D
rezultă:
( ) z k t ie E
z n
t i
e E E 2 t0
0
2
t0t
⋅∗−ω→
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛⋅−ω
=rDrr
(5.223)
unde:
- 83 -
( ) ( )δ−=−ωµσ=−=
∗→ω= i 1 i 1 2
b i a 5.107
k v
n
220
2
D (5.224)
(am folosit relaţia (*) şi am înlocuit indicele de refracţie 2
n cu mărimea complexă ∗2
n ,
astfel că în locul lui 2
k am pus ∗2
k ). Atunci (5.223) devine:
δ−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
δ−ω
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⋅
δ−−ω
=
z z t ie E
z i 1 t i
e E E t0 t0t
rrr (5.225)
sau:
z t i
e z
e E E t0t
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
δ−ω
⋅δ−
⋅=rr
(5.225’)
Se constată că unda transmisă în mediul conductor este puternic atenuată în direcţia axei z , iar direcţia de propagare este în lungul normalei la interfaţă, indiferent de unghiul de incidenţă. (Ţinând seama de aproximaţiile făcute, se spune că unda traversează într-o direcţie aproape perpendiculară pe suprafaţa de separare dintre dielectric şi metal). Pentru δ= z amplitudinea undei transmise scade de e ori.
În aproximaţia considerată ( n 2
>> n 1
, cos r ≈ 1 ) din relaţiile (5.152) , (5.155),
(5.168) şi (5.169) obţinem:
/2 i , n2
r cos i cosni cos2
EE
2121i 0
t0 π≠≈+
⋅=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓
(5.226)
/2 i , 1 i cosn r cosi cosn r cos
EE
21
21
i 0
r 0 π≠−≈+
−=⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⇓
(5.227)
1 r cos
ni cos
r cos n
i cos
EE
21
21
i 0
r 0 −≈+
−
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⊥
(5.228)
0 n
i cos2 r cos
ni cos
ni cos2
EE
21
21
21
i 0
t0 ≈≈+
=⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⊥
valabile şi la suprafaţa de separare a doi dielectrici dacă
21n >> 1
(5.229)
Se constată că R este foarte apropiat de unitate ( 1,17 masuratcupruR = ). Într-un
supraconductor σ este real şi tinde la infinit, iar δ tinde la zero ( 1 R ≈ ). Chiar dacă fasciculul incident este plan polarizat, fasciculul reflectat şi cel transmis
sunt polarizate eliptic. Măsurând defazajul între componentele undei reflectate
⇓⊥ϕ−ϕ şi coeficientul de
reflexie R se poate determina partea reală şi partea imaginară a indicelui de refracţie complex.
- 84 -
5.8. Ghiduri de undă
Un ghid de undă este o structură tubulară cu pereţii metalici sau dielectrici, având o formă cilindrică sau rectangulară. În interiorul tubului se află mediul (neconductor) în care se propagă undele electromagnetice. La frecvenţe înalte, singurul mod practice de generare şi de transmisie a radiaţiei electromagnetice necesită folosirea unor ghiduri de undă a căror secţiune transversală este comparabilă cu lungimea de undă a radiaţiei.
Vom analiza propagarea undelor electromagnetice într-un ghid cu secţiunea rectangulară acând pereţii perfect conductori (metalici). Presupunem că mediul de propagare este omogen, izotrop, liniar, staţionar, neconductor, neutru din punct de vedere electric ( 0
lib=ρ ) şi fără pierderi. Pentru o undă care se propagă în sensul pozitiv al axei z putem
scrie: ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )zk t i
e ky ,xE jy ,xE iy ,xE zk t i
e E E zz oy o xo
z0
−ω++=
−ω=
rrrrr (5.230)
( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( )zk t ie ky ,xH jy ,xH iy ,xH
zk t ie H H z
z oy o xoz
0
−ω++=
−ω=
rrrrr (5.231)
Înlocuind Er
şi Hr
în ecuaţiile lui Maxwell obţinem:
0 j , tD j H
liblib=
∂∂+=×∇
rrrr(mediul de propagare este un dielectric, 0 E j 0,
lib=σ==σ
rr) ⇒
H =×∇r
E D , k y
H
x
H j
xH
z
H i
z
H
yH
xyzxyzrrrrr
ε=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂+⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂−
∂
∂
x0y 0zz 0 E i H k i
yH
εω=+∂
∂ (5.232)
y 0z 0
x0zE i
xH
H k i εω=∂
∂−− (5.233)
z 0 x0y 0 E i
yH
x
Hεω=
∂
∂−
∂
∂ (5.234)
H B , tB E
rrr
rµ=
∂∂−=×∇ ⇒
x0y 0zz 0 H i E k i
yE
µω−=+∂
∂ (5.235)
y 0z 0
x0zH i
xE
E k i µω−=∂
∂−− (5.236)
z 0 x0y 0 H i
yE
x
Eµω−=
∂
∂−
∂
∂ (5.237)
H B , 0 Brrr
µ==⋅∇ ⇒
0 H k i y
H
xH
z 0z
y 0 x0 =−∂
∂−
∂
∂ (5.238)
- 85 -
0 , Elib
lib =ρε
ρ=⋅∇
r ⇒
0 E k i y
E
xE
z 0z
y 0 x0 =−∂
∂+
∂
∂ (5.239)
Vom exprima componentele transversale y 0 x0y 0 x0
H , H , E , E faţă de direcţia axei z
în funcţie de componentele longitudinale z 0z 0
H , E . Astfel din relaţiile (5.232) şi (5.236)
eliminăm componenta y 0
H , iar din (5.233) şi (5.235) eliminăm x0
H :
x
E E k i z 0
x0z=
∂
∂−− ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−εωµω−
yH
E i k i i z 0
x0z
⇒
( ) yH
xE
k k E i z 0z 0z
2
z
2
x0 ∂
∂µω+
∂
∂=−εµω ⇒
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂µω+
∂
∂
−=
yH
x
E k
k k i1 E z 0z 0
z2
z
2 x0 (5.240)
y 0zz 0 E k i
yE
+∂
∂ = ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛εω−
∂
∂−µω− E i
xH
k i i
y 0z 0
z
⇒
( )x
H
yE
k k E i z 0z 0z
2
z
2
y 0 ∂
∂µω−
∂
∂=−εµω ⇒
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂
∂µω−
∂
∂
−=
x
H
y
E k
k k i1 E z 0z 0
z2
z
2y 0 (5.241)
unde
D1 k =µεω= (5.242)
este mărimea vectorului de undă al unei unde plane uniforme, cu lungimea de undă λ , care ar traversa un mediu nelimitat de frontiere, iar
zk este mărimea vectorului de undă
corespunzător undei ghidate (z
k este real întrucât am presupus că nu există atenuare).
zzz
1 2 kD
=λπ= (5.243)
Înlocuind y 0
E din (5.241) în (5.235) obţinem x0
H :
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂µω−
∂
∂
−⋅+
∂
∂
µω−=
xH
y
E k
k k i1k i
yE
i
1 H z 0z 0z2
z
2zz 0
x0 ⇒
( ) x
H
k k i
k
k k
k 1
yE
i
1 H z 02
z
2z
2
z
2
2
zz 0 x0 ∂
∂⋅
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
∂
∂
µω−= , µεω= k 22 ⇒
- 86 -
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂εω−
−=
xH
k y
E
k k i1 H z 0
zz 0
2
z
2 x0 (5.244)
Înlocuind x0
E din (5.240) în (5.236) obţinem y 0
H :
( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂µω+
∂
∂
−⋅+
∂
∂
µω=
yH
x
E k
k k i1k i
xE
i
1 H z 0z 0z2
z
2zz 0
y 0 ⇒
( ) y
H
k k i
k
k k
k 1
xE
i
1 H z 02
z
2z
2
z
2
2
zz 0y 0 ∂
∂⋅
−+⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−+
∂
∂
µω= , µεω= k 22 ⇒
( ) ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂+
∂
∂εω
−=
yH
k x
E
k k i1 H z 0
zz 0
2
z
2y 0 (5.245)
z 0E şi
z 0H se determină prin rezolvarea ecuaţiilor de undă (5.27) şi (5.28) , iar
zk
se obţine din condiţiile la limită. Deoarece H B , 0 j , 0 liblib
rrrµ===ρ , relaţiile (5.27) şi
(5.28), scrise pentru componentele longitudinale ( )[ ] zk t i expE Ezz 0z
−ω⋅= ,
( )[ ] zk t i expH Hzz 0z
−ω⋅= devin:
tj
tE E liblib2
2
∂
∂µ+
ε
ρ∇=
∂∂⋅εµ−∆
rrr
⇒ ( ) 2
zzz2z
2
zk k i k i , 0
t
E E −=−−=
∂
∂⋅εµ−∆ , ( ) 2 i i ω−=ωω
⇒ 0 E E k y
E
x
Ez 0
2
z 0
2
z2z 0
2
2z 0
2
=ωµε+−∂
∂+
∂
∂ , µεω= k 22 ⇒
( ) 0 E k k y
E
x
Ez 0
2
z
22
z 0
2
2z 0
2
=−+∂
∂+
∂
∂ (5.246)
lib2
2
j tB B
rrr
×∇µ−=∂∂⋅εµ−∆ ⇒ ( )H B , 0
t
H H 2
z
2
zµ==
∂
∂⋅εµ−∆ ⇒
( ) 0 H k k y
H
x
Hz 0
2
z
22
z 0
2
2z 0
2
=−+∂
∂+
∂
∂ (5.247)
Un câmp electromagnetic arbitrar într-un mediu omogen, izotrop, fără surse, poate fi considerat ca o suprapunere de câmpuri mai simple care poartă numele de moduri. Astfel pentru 0 E
z 0= avem un câmp transversal electric TE , pentru 0 H
z 0= avem un câmp
transversal magnetic TM , iar pentru 0 Ez 0= , 0 H
z 0= avem un câmp transversal electric şi
magnetic TEM . Întrucât un câmp electromagnetic oarecare dintr-o regiune omogenă, izotropă, fără surse, poate fi considerat ca o sumă de câmpuri TE şi TM în raport cu o axă arbitrară (axa z ) , se poate spune că acest câmp este constituit prin suprapunerea unor câmpuri TEM .
Ne vom ocupa numai de modurile transversal electrice TE , pentru care 0 Ez 0= . În
acest caz relaţiile (5.234) , (5.235) , (5.236) , (5.239) , (5.240) , (5.241) , (5.244) şi (5.245) devin:
- 87 -
y
H
x
H x0y 0
∂
∂=
∂
∂ (5.234’)
x0z
y 0H
k E ⋅µω−= (5.235’)
y 0z
x0H
k E ⋅µω= (5.236’)
y
E
xE y 0 x0
∂
∂−=
∂
∂ (5.239’)
( ) y
H
k k i E z 0
2
z
2 x0 ∂
∂⋅
−µω= (5.240’)
( ) x
H
k k i E z 0
2
z
2y 0 ∂
∂⋅
−µω−= (5.241’)
( ) x
H
k k i
k H z 0
2
z
2z
x0 ∂
∂⋅
−= (5.244’)
( ) y
H
k k i
k H z 0
2
z
2z
y 0 ∂
∂⋅
−= (5.245’)
Din relaţiile (5.235’) şi (5.236’) rezultă că ( )zk t i
e E E z x0x
−ω= şi
( )zk t ie H H z
y 0y
−ω= sunt în fază, iar
yE şi
xH sunt în opoziţie de fază. Din aceleaşi relaţii
obţinem:
0 HHk HH
k HE HE HE
y 0 x0z
x0y 0z
z 0z 0y 0y 0 x0 x0=⋅µω−⋅µω=++ (5.248)
adică părţile reale ale lui ⊥
E şi ⊥
H sunt ortogonale, având:
( ) ,
zk t ie E E z
0
−ω=
⊥⊥
rr ( ) ,
zk t ie H H z
0
−ω=
⊥⊥
rrjH iH H , jE iE E
y 0 x0 0y 0 x0 0
rrrrrr+=+=
⊥⊥
(5.249)
Din relaţiile (5.240’) , (5.241’) , (5.244’) , (5.245’) şi (5.249) rezultă:
( ) j x
H i
yH
k k i E z 0z 0
2
z
2 0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂⋅
−µω=
⊥
rrr, ( ) j
yH
i x
H
k k i H z 0z 0
2
z
2 0 ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛∂
∂−
∂
∂⋅
−µω=
⊥
rrr(5.250)
Din (5.235’) şi (5.236’) se constată că:
=µω=−= k
H
E
HE
z x0
y 0
y 0
x0 real (5.251)
- 88 -
( )x
y
y
x
H Re
E Re
H ReE Re
−= (5.252)
iar impedanţa undei
k
HE
Zz 0
0TE
µω==⊥
⊥ (5.253)
este o mărime reală pozitivă, dacă nu există pierderi. Relaţiile (5.250) se scriu compact sub forma:
( ) ( ) k H k k i
Ez 02
z
2 0
rr×∇⋅
−µω=
⊥ , ( ) z 02
z
2z
0H
k k i
k H
⊥⊥∇⋅
−=
r (5.254)
unde kr
este versorul axei Oz . În interiorul unui conductor perfect ( ∞=σ ) , intensitatea câmpului electric E
r este
nulă pentru orice tip de undă electromagnetică, deoarece ∞≠ jlib
r.
0
E
jlib
=⋅
∞=σ=
rr = finit (5.255)
Datorită continuităţii componentei tangenţiale a lui Er
la o interfaţă, rezultă că această componentă este nulă în imediata vecinătate a suprafeţei metalice perfect conductoare care constituie un perete al ghidului de undă.
Din ecuaţia a doua a lui Maxwell B i tB E
rr
rω−=
∂∂−=×∇ rezultă că în interiorul unui
conductor perfect 0 B =r
şi deci 0 H =r
, întrucât 0 E =r
conduce la 0 E =×∇r
. Datorită continuităţii componentei normale a lui B
r la o interfaţă, rezultă că această componentă este
nulă şi în imediata vecinătate a suprafeţei metalice perfect conductoare a ghidului. Datorită continuităţii componentei tangenţiale a lui H
r la suprafaţa de separare a două medii, rezultă
că această componentă este paralelă cu tangenta la suprafaţă în vecinătatea interfeţei, iar mărimea lui H
r tangenţial este egală cu densitatea de curent pe suprafaţă
Sjr
SSn j Hrrr
×= (5.256)
unde S
nr este versorul normalei la suprafaţă. Astfel densitatea de curent pe suprafaţă poate fi
diferită de zero pentru 0 E =r
şi ∞=σ . Din (5.254) rezultă că ⊥ 0
Er
este perpendicular pe
suprafaţă, iar z 0
H ∇ este tangent la suprafaţă (nu există o variaţie a lui z 0
H în direcţia
normală la suprafaţa metalică a ghidului, pe suprafaţă). Astfel condiţiile la limită pe suprafaţa unui conductor perfect al ghidului de undă sunt:
, 0 genttan
E =r
0 normal
B =r
, n j genttan
HSS
rrr×= z 0
H ∇ este tangent
(5.257)
- 89 -
În figura alăturată vectorii 0
Erşi Er
sunt
perpendiculari pe suprafaţa metalică zOx;
z 0H ∇ şi H
r sunt paraleli cu planul zOx; k
r
este versorul axei Oz ; sensul vectorilor 0
Erşi
HErr
× se determină pe baza regulii burghiului drept;
⊥ 0Er
din (5.254) coincide
cu Er
, având direcţia axei y . Am considerat numai modul transversal electric TE ce rezultă prin reflexia multiplă a unei unde plane pe feţele paralele cu planul yz. Unda se propagă în direcţia pozitivă a axei z, în urma acestor reflexii multiple de pereţii de sus şi de jos. i este unghiul de incidenţă dintre vectorul Poynting şi normala la faţa superioară.
Orientarea vectorilor Er
, Hr
şi HErr
× pentru unda reflectată se verifică prin rotirea planului haşurat din figura de mai sus. Presupunem că mediul de propagare este aerul (în locul lui k vom pune
0k ). Aplicând condiţiile la limită (5.257) la modul transversal electric
( TE ) , avem
0 E x0= ; 0 E
y 0≠ ; 0 E
z 0=
(componentă tangenţială) (componentă normală) (mod TE )
0 H x0≠ ; 0 H
y 0= ; 0 H
z 0≠
(componentă tangenţială) (componentă normală) (componentă longitudinală)
(5.258)
(5.259)
⎪⎪⎭
⎪⎪⎬
⎫
==∂
∂
==∂
∂
b , 0 y la 0 y
H
a , 0 x la 0 x
H
z 0
z 0
(nu există o variaţie a lui z 0
H în direcţia normală la
suprafaţa metalică a ghidului, pe suprafaţă, deoarece
z 0H ∇ este tangent)
(5.260)
;0 y
E x0 =
∂
∂ ;0
y
Ey 0 =
∂
∂ ;0
yE
z 0 =∂
∂ ;0
yH
x0 =∂
∂;0
y
Hy 0 =
∂
∂;0
yH
z 0 =∂
∂ ⇒ 0
y=
∂∂
( 0 E x0= ); (5.239’); ( 0 E
z 0= ); (5.234’); ( 0 H
y 0= ); (5.240’ , 0 E
x0= )
(5.261)
Folosind relaţia (5.261) , ecuaţia de undă (5.247) devine:
( ) 0 H k k x
Hz 0
2
z
2
02z 0
2
=−+∂
∂ (5.262)
sau:
0 H k x
Hz 0
2
x2z 0
2
=⋅+∂
∂ (5.263)
unde
- 90 -
2
z
2
0xk k k −= (5.264)
este o mărime reală dacă:
0k >
zk ⇒
0λ <
zλ (5.265)
adică lungimea de undă a unei unde plane în aer este mai mică decât lungimea de undă măsurată în lungul ghidului de undă care are ca mediu de propagare aerul. Soluţia ecuaţiei (5.263) este de forma:
xksin C x k cos C Hxxz 0
⋅′+⋅= (5.266)
Impunând prima condiţie la limită din relaţia (5.260) , obţinem:
a , 0 x la 0 x
Hz 0 ==
∂
∂ ⇒ 0 0 x xk coskC x k sinkC
xxxx==⋅⋅′+⋅⋅− ⇒
0 C =′ ⇒ x k cos C Hxz 0
⋅= ⇒ 0 ak sinkC ax x
Hxx
z 0 =⋅⋅−==
∂
∂ ⇒
0 ak sinx
= ⇒ π= n akx
, n = 1, 2, . . . ⇒ a
n kx
π= , n = 1, 2, . . . ⇒ (5.267)
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅π⋅= x
an cosC H
z 0 (5.268)
Introducând x
k din (5.267) în (5.264) , obţinem:
c k , k k
an
0
2
z
2
0
2 ω=−=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π ⇒
22
z an
c k ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ω= (5.269)
Din relaţiile (5.258) , (5.259) , (5.241’) , (5.244’) , (5.264) şi (5.268) obţinem:
0 E x0= ; ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π⋅π−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
µω−=
∂
∂⋅
−
µω−=
a xn sin
an C
an i
xH
k k i
E 2
0z 02
z
2
0
0y 0
⇒
axnsin C
n ia
E 0y 0
π⋅π
ωµ= ; 0 E
z 0= ; ( ) ⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π⋅π⋅−
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
=∂
∂⋅
−=
axn sin
anC
an i
k
xH
k k i
k H 2
zz 02
z
2z
x0
⇒ a
xn sinCn i
ak H z
x0
π⋅⋅π
−= ; 0 Hy 0= ;
axn cosC H
z 0
π⋅= (5.270)
Pentru n = 1 avem modul 1
TE , pentru
n = 2 avem modul de propagare 2
TE , . . . .
Amplitudinea y 0
E pentru n = 1 , 2 are aspectul
din figura alăturată.
Din relaţiile (5.230) , (5.231) şi (5.270) rezultă:
( )zk t iej
a xnsin C
na
i E z0TE −ω⋅⋅π⋅⋅
π
µω−=
rr (5.271)
- 91 -
( )zk t ie k
a xn cosC i
a xn sinC
nak
i H zzTE −ω⋅
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅π⋅+⋅π⋅⋅
π⋅=
rrr (5.272)
Din (5.271) rezultă că intensitatea câmpului electric formează unde staţionare de-a lungul axei x , iar din (5.272) se constată că intensitatea câmpului magnetic descrie o elipsă în planul y = constant. Exprimând sinusul sub forma exponenţială în (5.271) , obţinem:
2i
ix e ixe x sin−−= ⇒
⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −π−ω
−⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −π+ω
⋅π
ωµ−=
zk a
xn t ie
zk a
xn t ie
i21
naC
ji Ezz
0TErr
(5.273)
Primul termen din paranteza pătrată reprezintă o undă plană cu vectorul de undă
k k ; kk ia
n k01z1
rrrrr=⋅+⋅π−= (5.274)
Semnul − din faţa celui de-al doilea termen exponenţial din paranteza pătrată a ecuaţiei (5.273) arată că unda caracterizată prin vectorul de undă
k k ; kk ia
n k z 022
rrrrr=⋅+⋅=
π (5.275)
este defazată cu π faţă de unda cu vectorul de undă 1
kr
. Astfel factorul a
xnsin π din TEEr
explică formarea undei staţionare prin interferenţa dintre unda incidentă pe un perete al ghidului de undă şi unda reflectată de acel perete. Rezultă că oricare dintre cele două unde poate fi privită ca reflexia celeilalte pe peretele ghidului, adică unda TE se propagă în ghid prin reflexii succesive pe pereţii de sus şi de jos. În mod similar se poate exprima şi TEH
r. În
figurile de mai jos am reprezentat liniile de câmp electric, liniile de câmp magnetic şi vectorii
1kr
şi 2
kr
.
0
z
2
z
kk
k
k i sin == r (5.276)
Din ecuaţia (5.269) se constată că pentru pulsaţii inferioare unei valori critice date de
- 92 -
ac n
C
π=ω , (5.277)
mărimea z
k devine imaginară, astfel că nu există nici o undă, iar câmpul descreşte
exponenţial cu z . Din relaţia (5.277) putem obţine lungimea de undă critică C
λ şi frecvenţa
critică C
ν :
a
c n c 2
C
π=λπ ⇒
na 2
C=λ (5.278)
CC
c λ
=ν ⇒ a 2n c
C=ν (5.279)
Astfel o undă electromagnetică se propagă în lungul ghidului de undă, fără să fie atenuată, numai dacă
ω > C
ω sau ν > C
ν sau λ < C
λ (5.280)
Ghidul de undă acţionează ca un filtru care lasă să treacă numai undele a căror frecvenţă este mai mare ca
Cν , care depinde de a , însă nu depinde de b . Pentru ca în ghid
să existe modul 1
TE trebuie ca
λ < 2a 1a2 = , (5.281)
iar pentru ca să lipsească modul 2
TE vom impune
λ > a 2a 2 = (5.282)
Viteza de fază este ( )
isin c
i sink
276.5
k v
0zf
=⋅ω
=ω= > c (5.283)
Folosind expresia (5.269) putem determina viteza de grup:
=ω=⋅⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω⋅=
ω⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ω=
ω
=ω= k c
c1
c 2
k 21
ddk
, a
n c
k ,
ddk
1 dkd v
z
2z
z22
zzz
g
( )isin c
1 i sinc
c 283.5
2 ⋅=
⋅= ⇒ isin c vg
⋅= < c (5.284)
Se constată că 2
gfc vv =⋅ (5.285)
Deoarece
kHE iHE
H0H
0E0kji
H Exyzy
zx
y=⋅∗−⋅∗=
∗∗=∗×
rr
rrr
rr
= ka xn sin
n
k C a i
a xn cos
a xn sin
n C a
i 222
z
22
0
2
0rr⋅π⋅
π⋅
µω+⋅π⋅π⋅
π
µω− ⇒
- 93 -
( ) ka xn sin
n
k C a H E Re 2
22z
22
0rrr⋅π⋅
π⋅
µω=∗×
atunci intensitatea undei transmise prin ghid este:
a xn sin
n
k C a H E Re
21 S I 2
22z
22
0 π⋅π⋅
µω=∗×==
rrr (5.286)
Intensitatea undei este independentă de y întrucât Er
şi Hr
, pentru modul TE considerat, nu depend de y . Dacă integrăm relaţia (5.286) peste secţiunea transversală a ghidului de undă obţinem:
22z
23
0
n 4
k C a b
b
0
a
0dydxI
π
µω=⋅⋅∫ ∫ (5.287)
unde am folosit formula:
42xsin
2x x sin 2 −=∫ ⇒
2a
a
0
4a xn 2sin
a2 xn
n a dx
a xn a
0sin 2 =
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ π
−ππ
=π∫
Astfel:
maxI2
b a a
0
b
0dxdy I ⋅=∫ ∫ (5.288)
( I este 0 la x = 0 , a unde Er
este 0 ; maxI corespunde lui 2 / a x = pentru n = 1 ).
Din (5.271) rezultă:
( )zk t sina xn sin
n C a
E Rez
0TE −ω⋅π⋅π
µω=
( )zk t sina xn sin
n 2
C a E Re
2 e
z
2222
2222
0020E
−ω⋅π⋅π⋅
ωµε=
ε=ρ (5.289)
a xn sin
n 4
C a e 2
22
2222
00E
π⋅π⋅
ωµε=ρ (5.290)
Se constată că pentru modul 1
TE ( n = 1 ) , densitatea de energie electrică medie este maximă la centrul ghidului ( x = a / 2) .
Relaţia (5.272) poate fi pusă sub forma:
( ) ( )[ ]zk t sin i zk t cos ka xn cosC i
a xn sinC
nak
i Hzz
zTE −ω⋅+−ω⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⋅π⋅+⋅π⋅⋅
π=
rrr ⇒
( ) ( ) kzk t cosa xn cosC izk t sin
a xn sin
nC ak
H Rezz
zTErrr⋅−ω⋅π⋅+⋅−ω⋅π⋅
π−=
- 94 -
( ) ( ) zk t cosa xn cosC zk t sin
a xn sin
n
Cak
2 H Re
2 m
z
222
z
2222
222
z02TE0E ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−ω⋅π+−ω⋅π⋅
π⋅
µ=
µ=ρ
a xn cosC
a xn sin
n
Cak
4 m 222
22
222
z0E ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ π+π⋅π⋅
µ=ρ (5.291)
Integrând relaţiile (5,290) şi (5.291) peste secţiunea transversală a ghidului şi folosind relaţia (5.269) , obţinem:
2b a
n 4
C a
a
0
b
0dxdy e 22
2222
00E
⋅π
ωµε=ρ∫ ∫ (5.292)
42xsin
2x dx x cos ,
2b a C
n
Cak
4
a
0
b
0dxdy m 22
22
222
z0E
+=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
π⋅
µ=ρ ∫∫ ∫
2
22
2
22
z
2
an
c k ,
2a
a xn a
0cos π⋅−ω==π∫ ⇒
2b a 1
anna
cna
4C
2b a 1
n
ak
4C
a
0
b
0dxdy m 222
222
222
222
022
22
z
2
0E
⋅⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+
ππ−
π⋅ωµ
=⋅⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡+
π⋅
µ=ρ∫ ∫ ⇒
00
2222
222
0
E
1 c , 2b a
c n 4
C a
a
0
b
0dxdy m
µε=⋅
π
ωµ=ρ∫ ∫ ⇒
a
0
b
0dxdy e
E∫ ∫ρ = a
0
b
0dxdy m
E∫ ∫ρ (5.293)
Din relaţiile (5.287) şi (5.284) , obţinem:
a
0
b
0dxdy m 2
2b a
c n 2
C a
k c2b a
n 2
k C a v/
a
0
b
0dxdy I
E222
222
0
z
222z
22
0g ∫ ∫∫ ∫ ρ=⋅
π⋅
ωµ=ω⋅⋅
π⋅
ωµ=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
a
0
b
0dxdy v/
a
0
b
0dxdy I
Eg ∫ ∫∫ ∫ ⋅ρ=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ , m e
EEEρ+ρ=ρ (5.294)
unde 2
02222
z
2
g c 2 a c n
1 c a
c n 1 c a
n c
c k c
v ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛π
λπ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛
ωπ−=⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ ω
ω=
ω= ⇒
2
0g a 2
n 1 c v ⎟
⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ λ−= (5.295)
sau
- 95 -
2
C
0g
1 c v ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛λ
λ−= (5.296)
Astfel energia transportată în unitatea de timp prin secţiunea transversală a ghidului este egală cu energia conţinută într-un volum al ghidului corespunzător unei lungimi egale cu viteza de grup
gv .
În cazurile reale, conductivitatea pereţilor ghidului este finită. Similar se tratează ghidurile de undă dielectrice la care reflexia totală apare în
interiorul unui dielectric mărginit de un alt dielectric cu indice de refracţie mai mic (drept exemplu se consideră fibra optică sau o peliculă din material transparent depusă pe un suport cu indice de refracţie mai mic).
5.9. Cavităţi rezonante
Prin închiderea la capete a unui ghid de undă se obţine o cavitate rezonantă. Cavităţile rezonante joacă, la frecvenţe înalte, acelaşi rol pe care îl are un circuit oscilant la frecvenţe
joase. Frecvenţa de rezonanţă a unui circuit oscilant LC2
1 π
=ν poate fi mărită prin
micşorarea inductanţei până când bobina se reduce la o singură spiră care leagă plăcile condensatorului plan. Dar inductanţa poate fi micşorată în continuare prin legarea în paralel a mai multor spire care unesc plăcile condensatorului la capete. Dacă înlocuim spirele cu o fâşie metalică se obţine o cavitate rezonantă prin modificarea unui circuit oscilant. În cazul laserului cu azot, pentru a asigura un puls de curent rapid în vederea creării inversiei de populaţie, se foloseşte un condensator plan format din două folii de cupru foarte apropiate între care se află textolit. Acest condensator are o inductanţă foarte mică.
Ecuaţia de undă (5.246) poate fi rezolvată prin metoda separării variabilelor. Se exprimă soluţia ecuaţiei ca un produs de două funcţii X(x) şi Y(y) , dependente fiecare nuai de câte o singură variabilă:
( ) ( ) ( )y Yx X y x, Ez 0
⋅= (5.297)
Impunând soluţiei (5.297) să verifice ecuaţia de undă (5.246) , obţinem:
( ) 0 Y X k k yYX
xXY 2
z
22
2
2
2
=−+∂∂⋅+
∂∂⋅ ⇒ (5.298)
0 k k yY
Y1
xX
X1 2
z
22
2
2
2
=−+∂∂⋅+
∂∂⋅ (5.299)
Variabilele x şi y fiind independente, primul termen al ecuaţiei (5.299) depinzând numai de x , iar al doilea termen depinzând numai de y , rezultă că această relaţie este satisfăcută numai dacă fiecare din aceşti termeni este egal cu o constantă, care trebuie să fie negativă, pentru a elimina cazurile banale în care soluţia este neperiodică. Deci:
22
2
M xX
X1 −=
∂∂⋅ , 2
2
2
N yY
Y1 −=
∂∂⋅ , 0 k k N M 2
z
222 =−+−− (5.300)
Rezultă ecuaţiile:
0 Y N yY , 0 X M
xX 2
2
22
2
2
=+∂∂=+
∂∂ (5.301)
Soluţiile acestor două ecuaţii sunt:
- 96 -
Ny cos B Ny sin B Y ,Mx cos A Mx sin A X2121
+=+= (5.302)
Pentru modurile TM (z 0
H = 0) , în cazul undelor progresive, soluţia generală pentru
( ) tz, y, x, Ez
este:
( ) ( )( ) ( )zk t ie Ny cosB Ny sin B Mx cosA Mx sin A tz, y, x, E z
2121z
−ω++=+ (5.303)
Din condiţiile la limită (componentele tangenţiale ale intensităţii câmpului electric trebuie să se anuleze pe pereţi) rezultă:
( ) 0 0 x Ez
==+ ⇒ ; 0 A2= ( ) 0 0 y E
z==+ ⇒ ; 0 B
2= (5.304)
( ) 0 a x Ez
==+ ⇒ ; 0 Ma sin = ⇒ π= m Ma ⇒ a
m M π= , m = 0, 1, 2, . . . (5.305)
( ) 0 b y Ez
==+ ⇒ ; 0 Nb sin = ⇒ π= m Nb ⇒ a
n N π= , n = 0, 1, 2, . . . (5.306)
( )11
zz
BA C , zk t i
eb
y n sina
x m sinC E =−ω
⋅π
⋅π⋅= +++ (5.307)
0 k k b
n a m 2
z
222
=−+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π−⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π− ⇒ 2
z
2 k k − = 22 N M + (5.308)
În cazul undelor regresive, obţinem: ( )
zk t i
eb
y n sina
x m sinC E zz
−ω⋅
π⋅π⋅= −− (5.309)
Din relaţiile (5.307) , (5.309) , (5.240) , (5.241) , (5.244) şi (5.245) , obţinem (pentru unda regresivă
zk trece în
zk − ) :
( )( )
zk t i
eNy sinMx cosN M i
M Ck E z
22z
x
mω⋅⋅⋅
+
±=
±
± ; 2
z
2 k k − = 22 N M + (5.310)
( )( )
zk t i
eNy cosMx sinN M i
N Ck E z
22z
y
mω⋅⋅⋅
+
±=
±
± (5.311)
( )( )
zk t i
eNy cosMx sinN M i
N C H z22x
mω⋅⋅⋅
+εω−=
±± (5.312)
( )( )
zk t i
eNy sinMx cosN M iM C H z
22y
mω⋅⋅⋅
+εω=
±± (5.313)
0 Hz=± (am considerat numai modurile TM ) (5.314)
unde am folosit relaţia (5.308) . Prin suprapunerea undelor progresive peste undele regresive obţinem:
( )( ) ( )
zk t i
eC zk t i
eCNy sinMx cosN M i
Mk E E E zz
22z
xxx ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +ω−
−ω⋅⋅⋅
+=+= −+−+ (5.315)
( )( ) ( )
zk t i
eC zk t i
eCNy cosMx sinN M i
Nk E E E zz
22z
yyy ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +ω−
−ω⋅⋅⋅
+=+= −+−+ (5.316)
- 97 -
( ) ( )
zk t ieC
zk t ieCNy sinMx sin E E E zz
zzz ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +ω+
−ω⋅⋅=+= −+−+ (5.317)
0 H H Hzzz=+= −+ (5.318)
( )( ) ( )
zk t i
eC zk t i
eCNy cosMx sinN M iN H H H zz
22xxx ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +ω+
−ω⋅⋅⋅
+εω−=+= −+−+ (5.319
( )( ) ( )
zk t i
eC zk t i
eCNy sinMx cosN M i
M H H H zz22yyy ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ +ω+
−ω⋅⋅⋅
+εω=+= −+−+ (5.320
Din condiţiile la limită impuse la z = 0, z = d , obţinem:
( ) 0 0 zEx
== ⇒ 0 C C =− −+ ⇒ −+ =C C
( ) 0 0 zEy
== ⇒ 0 C C =− −+ ⇒ C C C == −+
(5.321)
( ) 0 d zEx
== ⇒ 0 dki
e dki
e zz =−−
⇒
0 i 2
dk i e
dk ie zz
=−
− ⇒ 0 dk sinz= ⇒ π= p dk
z, p = 0, 1, 2, . . . ⇒
dp k
z
π= (5.322)
( ) 0 d zEy
== ⇒ 0 dki
e dki
e zz =−−
⇒ (5.322)
Folosind relaţiile (5.321) , (5.322) şi formula trigonometrică
zksin i 2
zk i e
zk ie
z
zz=
−− (5.323)
obţinem:
t iek sinNy sinMx coszkN MC M 2 E
zz22x
ω⋅⋅⋅⋅⋅+
−= (5.324)
t iek sinNy cosMx sinzkN MC N 2 E
zz22y
ω⋅⋅⋅⋅⋅+
−= (5.325)
t iezk cosNy sinMx sinC 2 Ezz
ω⋅⋅⋅⋅= (5.326)
( zk cos 2
zk i e
zk ie
z
zz=
−+ )
( ) t iezk cosNy cosMx sin
N M iC N 2 H
z22x
ω⋅⋅⋅⋅+εω−= (5.327)
( ) t iezk cosNy sinMx cos
N M iC M 2 H
z22y
ω⋅⋅⋅⋅+εω−= (5.328)
0 Hz= (5.329)
unde m = 1, 2, 3, . . . n = 1, 2, 3, . . . (5.330)
- 98 -
p = 0, 1, 2, 3, . . .
Nu luăm în considerare cazurile m = 0 , n = 0 , deoarece obţinem soluţia banală (toate componentele din (5.324) – (5.329) se anulează). Modul TM de ordinul cel mai mic este
110TM (m = 1, n = 1, p = 0).
Din relaţiile (5.242) , (5.305) , (5.308) şi (5.322) obţinem frecvenţele de rezonanţă ale modurilor TM din cavitate (în cavitate se formează unde staţionare tridimensionale):
νπ=ωεµω=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π= 2 , k ,
d p
bn
a m k 22
2222 ⇒
d p
bn
a m
21
222
pn m⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π
+⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ π+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛ π⋅
εµπ=ν (5.331)
În cazul modurilor TE se obţine aceeaşi relaţie (5.331) dar 0 p ≠ , iar dacă m = 0 ,
atunci 0 n ≠ (pentru n = 0 trebuie ca 0 m ≠ ) . Astfel modurile TE de ordinul cel mai mic sunt
101TE şi
011TE (pentru d a ≥ > b modul cu frecvenţa cea mai mică este
101TE ).
În acest caz se obţin relaţiile:
t iek sinNy sinMx cosN M
C N 2 Ez22x
ω⋅⋅⋅⋅+µω−= (5.332)
t iek sinNy cosMx sinN M
C M 2 Ez22y
ω⋅⋅⋅⋅+µω= (5.333)
0 Ez= (moduri TE ) (5.334)
( ) t iezk cosNy cosMx sin
N M i
k C M 2 H
z22z
x
ω⋅⋅⋅⋅+
= (5.335)
( ) t iezk cosNy sinMx cos
N M i
k C N 2 H
z22z
y
ω⋅⋅⋅⋅+
= (5.336)
t iezk sinNy cosMx cosC 2i Hzz
ω⋅⋅⋅⋅⋅= (5.337) unde
m = 0, 1, 2, 3, . . . sau m = 1, 2, 3, . . . n = 1, 2, 3, . . . n = 0, 1, 2, 3, . . . (5.338) p = 1, 2, 3, . . .
Numărul de moduri TE este egal cu numărul de moduri TM (în relaţiile (5.330) şi (5.338) am explicitat 30 de moduri posibile TE şi 36 de moduri posibile TM ).
Undele staţionare se formează datorită reflexiilor de pereţi. Pentru a excita în mod eficient un mod de oscilaţie se foloseşte un câmp de probă care se aplică în locul unde este maximă intensitatea câmpului electric caracteristică modului de vibraţie considerat.
5.10. Dispersia undelor electromagnetice
Prin dispersie se înţelege dependenţa indicelui de refracţie al unui mediu de lungimea de undă a radiaţiei care se propagă în mediul considerat. Este evident că mărimea vectorului de undă k şi viteza de fază vor depinde şi ele de lungimea de undă (sau de frecvenţa
λ=ν c/ ) a radiaţiei. Astfel undele plane uniforme de frecvenţe diferite vor străbate un mediu
- 99 -
care prezintă pierderi (cazul mediului conductor) la viteze de fază diferite. Există structuri de transmisie (ghidurile de undă) care prezintă dispersie, deşi mediul de transmisie nu prezintă pierderi. Datorită fenomenului de dispersie, o prismă descompune lumina albă în componentele sale spectrale de la roşu la violet.
Considerăm un mediu dielectric ( 0 =σ ⇒ 0 E jlib
=σ= ) , neutru din punct de
vedere electric ( 0 lib=ρ ) , nemagnetic ( 1
r=µ ⇒ H B
0µ= ) . În acest caz ecuaţiile lui
Maxwell se scriu sub forma:
tD
tD j H
lib ∂∂=
∂∂+=×∇
rrrr (5.339)
tH
tB E
0 ∂∂µ−=
∂∂−=×∇
rrr
(5.340)
0 B =⋅∇r
⇒ 0 H =⋅∇r
(5.341)
0 E lib =ε
ρ=⋅∇
r (5.342)
unde P E D
0
rrr+ε= (5.343)
Putem obţine o relaţie între intensitatea câmpului electric Er
şi polarizaţia electrică a mediului P
r dacă aplicăm operatorul rotor la relaţia (5.340) şi folosim formulele (5.339) şi
(5.343).
( ) ( ) 2
2
00 tD H
t E
∂∂⋅µ−=×∇
∂∂µ−=×∇×∇
rr ⇒
( )00
22
2
02
2
00
1 c , t
P tE E
0 E
µε=
∂∂µ−
∂∂εµ−=∆−
=
⋅∇∇rr
r
43421
r ⇒ (5.344)
t
P c1
tE
c1 E 2
2
2
0
2
2
2 ∂∂⋅
ε=
∂∂⋅−∆
rrr
(5.345)
Polarizaţia electrică Pr
este o proprietate a mediului în care se propagă unda electromagnetică, ce nu poate fi determinată numai pe baza ecuaţiilor lui Maxwell. Pentru a explica fenomenul de dispersie vom folosi modelul clasic elaborat de Lorentz, în care se analizează din punct de vedere microscopic interacţiunea dintre radiaţia electromagnetică şi mediul în care aceasta se propagă.
Se presupune că în unitatea de volum avem N atomi identici distribuiţi haotic (fiecare atom este neutru din punct de vedere electric), iar în fiecare atom există un electron optic (care se află la distanţă mai mare de restul atomului) de sarcină electrică e şi masă m ce oscilează în jurul restului atomului (un electron dintr-un atom răspunde la interacţiunea cu o radiaţie luminoasă ca şi cum ar fi legat de atom printr-un resort elastic). Acest model de oscilator al electronului (modelul Lorentz) se referă la modul în care un atom răspunde la o perturbaţie (sub influenţa câmpului electromagnetic electronul este deplasat faţă de poziţia de echilibru, dar în acelaşi timp este atras de restul atomului). În cazul unui atom format dintr-un nucleu şi un electron, forţa de legătură n eF
r este suficient de puternică pentru a menţine
electronul la distanţe destul de mici faţă de nucleu (nucleul este considerat staţionar, deoarece are masa mult mai mare decât aceea a electronului, iar acceleraţia imprimată nucleului la interacţiunea cu radiaţia electromagnetică este neglijabilă). Întrucât fenomenele
- 100 -
optice nu implică particule relativiste, vom neglija contribuţia magnetică la forţa Lorentz care acţionează asupra electronului. Ecuaţia de mişcare a lui Newton pentru electron este:
( ) ( )n er n eF t,er E e dt
erdm 2
2rrrr
r
+=⋅ (5.346)
unde r nr errrr
+= (5.347)
Deoarece r ≤
r 10 Å , λ roşu ≈ 7800 Å, λ violet ≈ 4000 Å ,
2
2
2
2
dt
rd
dterd
rr
≈ ( nr este ≈ constant)
rezultă că intensitatea câmpului electric nu este sensibilă la variaţiile foarte mici ale lui r r astfel că
( ) ( ) ( ) t,R E t,nr E t,er Errrrrr
≈≈
unde Rr
se referă la poziţia nucleului presupus staţionar. Astfel ecuaţia (5.346) devine:
relastic
k E e dt
rdm 2
2 rrr⋅−=⋅ (5.348)
unde am înlocuit forţa de legătură a electronului cu o forţă de natură elastică, în acord cu modelul lui Lorentz. Notând cu
0ω pulsaţia proprie a electronului,
melastic
k 2
0=ω , (5.349)
obţinem ecuaţia findamentală a modelului Lorentz (5.348) sub forma
E me r
dtrd 2
02
2 rrr
⋅=⋅ω+ (5.350)
În timp ce relaţia (5.345) exprimă legătura între Er
şi Pr
, relaţia (5.350) arată dependenţa lui r
r de E
r. Formula polarizaţiei electrice
r e N p N Prrr
== (5.351) exprimă legătura între P
r şi rr . Soluţiile ecuaţiilor cuplate (5.345) şi (5.350) vor dovedi
prezicerile modelului Lorentz privind interacţiunea dintre radiaţia luminoasă şi sistemul atomic.
Presupunem că intensitatea câmpului electric al unei unde liniar polarizate în planul xy , care se propagă în lungul axei z , în zona atomului, este de forma:
( ) ( ) zk t ieE tz, E
0
−ω⋅=
rr (5.352)
Astfel ecuaţia (5.350) devine:
( ) zk t ieE m
e r dt
rd0
2
02
2 −ω⋅⋅=⋅ω+
rrr
(5.353)
Pentru timpi mult mai mari decât timpul de relaxare putem neglija soluţia ecuaţiei omogene, astfel că păstrăm numai soluţia particulară a ecuaţiei neomogene:
- 101 -
( ) zk t ie
mE e
r 22
0
0−ω
⋅ω−ω
=
r
r (5.354)
Rezultă:
( ) zk t ie
m
E e N
P 22
0
0
2
−ω⋅
ω−ω=
r (5.355)
Deoarece Er
din relaţia (5.351) nu depinde de x şi y , rezultă că
( ) ( ) ( ) ( ) 22
22 i i
t , k k i k i ω−=ωω→∂∂−=−−→∆
Impunând condiţia ca Er
din (5.352) şi Pr
din (5.355) să verifice ecuaţia (5.345) obţinem:
E
me N
c E
c k 22
0
2
2
0
2
2
22 rr
⋅ω−ω
⋅εω−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+−
sau:
( )2
2
2
22
00
2
2
22 n
c
me N 1
c k ⋅ω=⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ω−ωε+ω= (5.356)
unde:
( )22
00
2
me N 1 n
ω−ωε+= (5.357)
este indicele de refracţie al mediului pentru radiaţia de pulsaţia ω . Relaţiile (5.356) şi (5.357) exprimă dependenţa de pulsaţie a mărimii vectorului de
undă şi a indicelui de refracţie. De aceea oricare din aceste formule poate fi considerată ca o relaţie de dispersie. Viteza de fază depinde de ω pe baza relaţiei:
nc
k v
f=ω= (5.358)
unde n este dat de (5.357) . Dacă exprimăm polarizaţia electrică în funcţie de polarizabilitatea electronică α sau în funcţie de susceptibilitatea electrică eχ (vezi relaţiile (2.99) şi
(2.100)): E N p N Prrr
α== (5.359) Ee P
0
rr⋅ε⋅χ= (5.360)
atunci comparând (5.359) şi (5.360) cu (5.355) scrisă sub forma:
( ) E m
e N P 22
0
2 rr⋅
ω−ω= (5.355’)
obţinem:
( ) me 22
0
2
ω−ω=α (5.361)
- 102 -
( ) α⋅ε
=ω−ωε
=χ N m
e N e0
22
00
2
(5.362)
Din (5.357) şi (5.362) rezultă:
e 1 n χ+= (5.363)
Rezultatele obţinute sunt valabile în gaze rarefiate, unde indicele de refracţie este foarte apropiat de 1 . În medii condensate, solide sau lichide, trebuie să folosim un câmp
electric efectiv 0
3P E
efE
ε+=
rrr
, în care se ţine seama de polarizarea substanţei. În acest caz
se obţine:
3e
2 n1 n
2
2 χ=
+− (5.364)
Pentru n apropiat de 1 , 3 2 n 2 ≈+ , iar relaţia (5.364) este identică formulei (5.363).
Dacă într-un atom există Z electroni care răspund independent la un câmp electromagnetic, atunci în locul relaţiei (5.357) obţinem:
∑∑= λ−λ
λλ
ε⋅π+=
= ω−ωε+=
Z
1 i2
i
2
22
i2
0
2
2Z
1 i22
i0
2
cm 4e N 1
1
me N 1 n (5.365)
unde
ii
c 2 , c 2 λπ=ω
λπ=ω (5.366)
Dacă i
λ < λ , putem folosi dezvoltarea binomială
( ) ( ) . . . x1 m m 21 x m 1 x 1 2m +−++=+ (5.367)
care este valabilă pentru x < 1 . Obţinem:
2
2
i
1
2
2
i2
i
2
2
1 1
λ
λ+≈⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ−=
λ−λλ
−
( )∑∑= ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ+λ
επ+≈
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
= ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
λ
λ+λ
επ+=
Z
1 i2
2
i2
i2
0
2
221
Z
1 i2
2
i2
i2
0
2
2
1
c m 8e N 1
367.5
1
c m 4e N 1 n (5.368)
pentru cazul în care 1 n 2 − << 1 . Această relaţie se poate scrie şi astfel:
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛
λ+=− 2
B 1A 1 n (5.369)
unde A şi B sunt două constante care depind de natura mediului. Aceasta este formula lui Cauchy, care a fost determinată pe cale semiempirică în
1830, înainte de elaborarea teoriei electromagnetice a luminii. Conform acestei relaţii, indicele de refracţie creşte dacă lungimea de undă scade (la trecerea printr-o prismă radiaţia violetă este deviată mai mult decât radiaţia roşie).
Dacă 0
ω=ω , experienţa arată că n = 1 , în timp ce din formula (5.357) rezultă
∞= n , deci teoria anterioară este inaplicabilă.
- 103 -
Dacă se reprezintă grafic n în funcţie de
raportul 0
ωω se obţine o curbă de dispersie. Când
ω < 0
ω , n > 1 , în timp ce pentru ω >0
ω , n < 1
(nc v
f= > c). Porţiunea din vecinătatea lui
0ω în
care n scade odată cu creşterea pulsaţiei reprezintă dispersia anomală.
În cazul electronilor liberi, deoarece nu există forţe de legătură elastică, pulsaţiile de oscilaţie naturală
iω sunt nule, iar relaţia de dispersie devine mult mai simplă (folosim
(5.357)):
m
e N 1 n 2
0
2
ωε−= (5.370)
unde N este numărul de electroni din unitatea de volum. Acest caz se întâlneşte în straturile superioare ale atmosferei, unde radiaţia ultravioletă solară produce electroni liberi prin fotoionizare.
Radiaţiile X se propagă în sticlă cu viteza de fază f
v > c , la fel ca în cazul electronilor liberi, întrucât frecvenţele de oscilaţie naturale ale mediului sunt mult mai mici decât frecvenţele radiaţiilor incidente, astfel că n < 1 .
5.11. Absorbţia undelor electromagnetice
Culoarea unui obiect se explică pe baza absorbţiei selective a radiaţiilor de anumite frecvenţe şi împrăştierii sau transmiterii radiaţiilor corespunzătoare celorlalte frecvenţe din spectrul vizibil. Astfel un corp are culoarea verde dacă absoarbe toate radiaţiile din domeniul vizibil, cu excepţia radiaţiei verzi. Un corp este negru dacă absoarbe toate radiaţiile din domeniul vizibil. Absorbţia în lichide şi solide este mult mai complicată decât cea din gaze. Apa este transparentă în vizibil, dar absoarbe în infraroşul apropiat. Pulsaţia plasmei
0ω pentru electronii liberi din metale se situează de obicei în ultraviolet. De aceea radiaţiile
vizibile (ω < 0
ω ) nu pot penetra într-un metal, fiind complet reflectate, aşa cum undele radio
sunt reflectate de ionosferă. Această reflexie puternică explică luciul metalelor. Aurul are o culoare deosebită deoarece absorbţia se datorează electronilor legaţi în atom.
Prin introducerea unei forţe de frecare r F
f&r
rγ−= (5.371)
se elimină nedeterminarea pentru 0
ω=ω din relaţia (5.357) , se explică de ce nu luăm şi
soluţia corespunzătoare ecuaţiei omogene şi se evidenţiază mecanismul fizic al absorbţiei energiei electromagnetice. Forţa de frecare apare ca un efect al ciocnirilor dintre moleculele unui gaz. În locul ecuaţiilor (5.348) şi (5.353) vom scrie:
r relastic
k E e r m &rrr&&r γ−⋅−= (5.372)
( )zk t ieE
me r r 2 r
0
2
0
−ω⋅⋅=ω+δ+
rr&r&&r (5.373)
unde
m 2 γ=δ (5.374)
În regim staţionar, soluţia ecuaţiei (5.373) este de forma:
- 104 -
( )zk t ier r
0
−ω⋅=
rr (5.375)
Impunând soluţiei (5.375) să verifice ecuaţia (5.373) , obţinem:
00
2
000
22 Eme r r i 2 r , r r , r i r
rrrrr&&rr&r ⋅=ω+ωδ+ω−ω−=ω= ⇒
( )zk t ie
i 2
Eme
r , i 2
Eme
r 22
0
0
22
0
0
0
−ω⋅
ωδ+ω−ω
⋅=
ωδ+ω−ω
⋅=
r
r
r
r (5.376)
Am neglijat soluţia ecuaţiei omogene ( =ω+δ+ r r 2 r 2
0
r&r&&r 0 )
( ) t etsin b t cosa r00
δ−⋅ω′⋅+ω′⋅=′rrr
(5.377)
deoarece ea aduce o contribuţie tranzitorie de durată foarte scurtă. Această aproximaţie este valabilă pentru timpi mult mai mari decât timpul de relaxare
δ=τ′ 1 , deoarece în acest caz t e δ− << 1 (putem neglija soluţia (5.377) ). Pentru mediile
transparente la radiaţiile vizibile 1 1261 15
0s 10 10 ; s 10 , −− ÷≈δ≈ωω << ωω ,
0 astfel că
timpii care prezintă interes fizic sunt mult mai mari decât o perioadă optică
(t >>δ1 >>
ωω1 , 1
0
) . Rezultă că soluţia staţionară este valabilă pentru timpi mai mari decât
perioada vibraţiei oscilatorului (00
/ 2 T ωπ= ) şi cea a vibraţiei forţate ( ωπ= / 2 T ) care
este înlăturată la t = 0 , dar nu poate prezice răspunsul oscilatorului în interiorul primelor câteva cicluri după t = 0 . Restricţia cerută (t >> s 10 15− ) nu are semnificaţie reală în optică, deoarece sub s 10 13− nu există până în prezent posibilitatea de rezoluţie temporală.
Soluţia fizică este partea reală a lui rv din (5.376) :
Re rv = ( )
( ) ( ) ( ) ( ) zk t sin 4
f 2 zk t cos
4
f22222
0
0
22222
0
22
00 −ω⋅ωδ+ω−ω
ωδ+−ω⋅
ωδ+ω−ω
ω−ωrr
(5.378)
unde
00E
me f
rr⋅= (vezi FIZICA , vol. I , pag. 35) (5.379)
Astfel câmpul electric induce într-un atom un moment de dipol
Re pr
= r Re e r⋅ (5.380)
Datorită atenuării prin frecare, momentul de dipol nu oscilează în fază cu intensitatea câmpului electric aplicat (termenul proporţional cu ( )zk t sin −ω arată că există o întârziere de fază în răspunsul dipolului). De aceea se defineşte un moment de dipol complex
( )zk t ie
i 2
Eme
re p 22
0
0
2
−ω⋅
ωδ+ω−ω
⋅=⋅=
r
rr (5.381)
Deoarece α⋅ε
=χα=0
N e , E prr
, rezultă:
ωδ+ω−ω=α
i 2 me
22
0
2
, α⋅ε
=χ0
N e (5.382)
- 105 -
Impunând ca Er
din relaţia (5.352) şi
E i 2
me N
p N P 22
0
2
rrr⋅
ωδ+ω−ω==
să verifice (5.345) , obţinem:
E i 2
me N
c
E c
k 22
0
2
2
0
2
2
22 rr
⋅ωδ+ω−ω
⋅εω−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ω+− (5.383)
sau 22
22 n
c k ⋅ω= , unde
( ) i 2 me N 1 n 22
00
22
ωδ+ω−ωε+= (5.384)
În cazul mai multor electroni
ωδ+ω−ω==α ∑ i 2
me
j
22
j
2
Z
1j (5.385)
Deoarece polarizabilitatea este o mărime aditivă (conform relaţiei de mai sus), vom scrie separat contribuţia dipolilor nerezonanţi (indicele n ) şi a celor rezonanţi (indicele r ) în expresia lui 2n :
( ) =α⋅ε
+α⋅ε
+=α+αε
+=α⋅ε
+=χ+= ∑ N
N
1 N 1 N 1 e 1 nr
0
r
i in 0
in rn
00
2
= r
0
r2
n
N n α⋅ε
+ ⇒ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
ε
α+=
0
2
n
rr2
n
2
n
N 1 n n (5.386)
Al doilea termen din paranteză este subunitar, deoarece concentraţia dipolilor rezonanţi este mică. Folosind dezvoltarea binomială (5.367) obţinem:
0n
rrn n 2
N n n
ε
α+≈ (5.387)
Dacă ω este destul de departe de pulsaţiile de rezonanţă j
ω , atunci putem lua 0 ≈δ
fără să afectăm în mod apreciabil rezultatul. Pentru orice pulsaţie de rezonanţă j
ω suntem
aproape la rezonanţă dacă
jj δ≤ω−ω (5.388)
Condiţia cerută pentru a fi departe de rezonanţă este:
jω−ω >>
jδ (5.389)
Presupunem că există o pulsaţie 0j
ω=ω destul de apropiată de ω pentru a satisface
condiţia (5.388) , iar celelalte pulsaţii satisfac condiţia (5.389) . Întrucât o contribuţie importantă la α provine numai de la rezonanţă (
0j ω=ω , δ=δ
j ) , putem scrie relaţia
(5.385) astfel:
- 106 -
ωδ+ω−ω⋅=α
i 2 1
me 22
0
2
r (5.390)
Dacă
0ω−ω << ωω ,
0 (în acord cu (5.388) ) (5.391)
atunci ( )( ) ( )ω−ωω≈ω+ωω−ω=ω−ω 2
000
22
0
( ) ωδ+ω−ωω⋅=α
i 2 21
me
0
2
r ⇒
δ+ω−ω⋅
ω=α
i 1
m 2e
0
2
r (5.392)
Înlocuind r
α în (5.387) , obţinem:
( ) n i n n ,
i m 2
en 2N
n n 22
0
02
0n
rn
′′−′=δ+ω−ω
δ−ω−ω⋅
ω⋅
ε+= (5.393)
unde:
( ) 22
0
0
0n
2
rn
mn 4
eN n n
δ+ω−ω
ω−ω⋅
ωε+′=′ (5.394)
( ) 22
00n
2
rn mn 4
eN n n
δ+ω−ωδ⋅
ωε+′′=′′ (5.395)
nnnnn ; n n n ′′′+′= >>
nn ′′ (5.396)
Folosind relaţia de dispersie şi definiţia indicelui de refracţie complex, putem scrie formula (5.352) sub forma:
( ) ( ) ⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅′′−′−ω
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅−ω
⋅=⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ω−ω
⋅=−ω
⋅=z
cn i n t i
eE z
cn t i
eE nz
c t i
eE kz t i
eE tz, E0000
rrrrr
⇒ ( )⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ ⋅′−ω
⋅⋅′′ω−
⋅=zc
n t ie
zcn
eE tz, E0
rr (5.397)
Se constată că unda electromagnetică este atenuată exponenţial în lungul direcţiei de propagare. Deoarece intensitatea undei este proporţională cu pătratul amplitudinii vectorului Er
rezultă:
( ) ( ) ( ) z a e0 I z
cn 2
e0 I z I −⋅=⋅′′ω−
⋅= (5.398) unde ( )0 I este intensitatea undei pentru 0 z = , iar a este coeficientul de absorbţie datorat rezonanţei la pulsaţia
0ω .
( ) 22
00n
2
rn mcn 2
eN a
cn 2 a
δ+ω−ωδ⋅
ε⋅+′′=′′ω= (5.399)
n c 2 a
n′′⋅ω=′′ (5.400)
na ′′ este coeficientul de absorbţie datorat atomilor nerezonanţi. Din relaţia (5.398) se constată că absorbţia undei este determinată de partea
imaginară a indicelui de refracţie.
- 107 -
Graficul funcţiei ( )ω′ n se numeşte curbă de dispersie, iar graficul funcţiei ( )ω′′ n este o curbă de absorbţie. Viteza de fază a undei (5.397) este n / c ′ . Drept “indice de refracţie” se consideră partea reală a indicelui de refracţie complex. Dispersia anomală (porţiunea BC a curbei de dispersie) este prezentă numai în apropierea benzilor de absorbţie.
AB , CD ⇒
ω′
dnd > 0 (dispersie normală)
BC ⇒ ω′
dnd < 0 (dispersie anomală)