Post on 25-Sep-2020
Глава 2. Некоторые классические задачи
математической физики
1. Уравнение Гельмгольца (Δu+cu=-f)
в неограниченной области
1. Поведение решения на бесконечности при
различных с.
1)
2 0С æ
1( ) ( ) ,4
QM
Q
QMD
eu M f Q dV
ær
r
(1)
где f(M) – финитная функция, supp .f D
Теорема 1.
Классическое решение уравнения
равномерно стремящееся к нулю на бесконечности,
единственно.
2 ( )u u f M æ (2)
Доказательство:
Так как равномерно,
то
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )u M u M V M u M u M
Применим к шару принцип максимума:
2 0. 0V V V æ
0, 0 : ( ) ,R V M r R
rK ( ) , .rV M M K
В силу произвольности и получим, что r
1 2( ) 0 ( ) ( ).V M u M u M
Единственное решение, равномерно стремящееся к нулю
на бесконечности:
(3) 1
( ) ( ) .4
QM
Q
QMD
eu M f Q dV
ær
r
2) 2 , , 0С k k k ik k
При временной зависимости это решение
соответствует расходящейся волне.
i te
Единственное решение, равномерно стремящееся к нулю на
бесконечности
(4) 1
( ) ( ) .4
QMik
Q
QMD
eu M f Q dV
r
r
3) 2 0С k
Оба решения уравнения Гельмгольца
2 ( )u k u f M
(5) 1
( ) ( ) .4
QMik
Q
QMD
eu M f Q dV
r
r
( )u M
одинаково убывают на бесконечности.
2. Условия излучения Зоммерфельда
Из двух фундаментальных решений
(6) 0
0
( )M Mik
M M
ev M
r
r
нужно выбрать решение, соответствующее расходящейся
волне (временная зависимость ). i te
1) 00 0 M M MM r r r
Расходящейся сферической волне соответствует ,
а сходящейся .
(7) 2
1.
ik ikdv e eik ikv o
dr r r r
r r
( )v M
( )v M
Расходящаяся сферическая волна должна удовлетворять
соотношению
(8) 1
, ( ) ,i tuiku o u v M e
r r
а сходящаяся - соотношению
(9) 1
, ( ) .i tuiku o u v M e
r r
2) 0 0M
(10)
2 2 2
0 0 0 0
2
0 0
1 1 1 1
2 cos 1 2 cos
1 1 1 11 2 cos ... 1
2
R rr r rr r r r r
r rO
r r r r r
,ikR ikRe e R
r R R R r
0 cos 11
r rRO
r R r
(11)
(12)
2
ikR ikR ikRe e R e Rik
r R R r R r
(13)
1.
ikR ikRe eik o
r R R r
(14)
И в этом случае расходящиеся сферические волны
удовлетворяют соотношению
1, ,
ikRi tu e
iku o u er r R
а сходящиеся - соотношению
(15) 1
, .ikR
i tu eiku o u e
r r R
Замечание 1. В силу специального выбора ядер введенные
выше потенциалы удовлетворяют условиям излучения
Зоммерфельда: (16) ( ) 1 ,u M O r
(17) 1
.u
iku or r
Замечание 2. Для двумерных задач условия излучения
Зоммерфельда имеют вид:
(18) ( ) 1 ,u M O r
(19) lim 0.r
ur iku
r
Замечание 3. И.Н. Векуа показал, что условие (18) является
следствием условия(19).
3) Теорема единственности:
Теорема 2.
Классическое решение уравнения Гельмгольца
где k – вещественное, удовлетворяющее условиям излучения
Зоммерфельда (16), (17), единственно.
2 3( ), ,u k u f M M (20)
Доказательство.
2
1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,u M u M V M u M u M V k V
Рассмотрим шар и запишем для точки третью
формулу Грина:
( ) 1 , 1 .V
V M O r ikV o rr
RK RM K
1( )
4
PM PM PM
R R
ikr ikr ikr
p P
PM P PM PM
V e e eikV d V P ik d
r r r r r
2
1 1 1 1 1( ) 0
4 4
PM
R R
ikr
P P R
PM
eo V P o d o d
r r r r
1 2( ) 0 ( ) ( ).V M u M u M
1( ) ( )
4
1( )
4
PM PM
R
PM PM PM PM
R
ikr ikr
P
PM P PM
ikr ikr ikr ikr
P
PM PM PM P PM
e V eV M V P d
r r r r
e V e e eikV ikV V P d
r r r r r r
Следствие. Единственным решением уравнения
Гельмгольца (20) при вещественном , удовлетворяющим
условиям излучения Зоммерфельда (16),(17), является
интеграл
(21) 1( ) ( ) ,
4
QMikr
Q
QMD
eu M f Q dV
r
2 0k
где f(M) – финитная функция, supp .f D
3. Принцип предельного поглощения
Единственное решение уравнения Гельмгольца с
комплексным коэффициентом
равномерно стремящееся к нулю на бесконечности, имеет
вид:
Пусть f(M) – финитная функция, supp .f D
, 0,k k ik k
1 1( ) ( ) ( )
4 4
QM QM QMikr ikr kr
Q Q
QM QMD D
e e eu M f Q dV f Q dV
r r
(22)
Функция
0
1( ) lim ( ) ( )
4
QMikr
Qk
QMD
eu M u M f Q dV
r
(23)
является решением уравнения Гельмгольца с
положительным вещественным коэффициентом : 2
k2
( )u k u f M
(24)
Дополнительным условием, позволяющим выделить
решение уравнения Гельмгольца (24), соответствующее
расходящимся волнам, является требование, чтобы
функция являлась пределом ограниченного решения
уравнения Гельмгольца с комплексным коэффициентом
при , где .
( )u M
k k ik 0k
4. Принцип предельной амплитуды
Рассмотрим уравнение колебаний с периодической правой
частью: 2 ( , ), ( , ) ( ) ,i t
ttu a u F M t F M t f M e (25)
3( ,0) 0, ( ,0) 0; .tu M u M M (26)
Со временем в системе установятся колебания с частотой
вынуждающей силы:
( , ) ( ) ,i tu M t V M e (27)
где V(M) – предельная амплитуда колебаний
( ) lim ( , ) ,i t
tV M u M t e (28)
2 ( ), .V k V f M ka
(29)
Требование, чтобы V(M) было предельной амплитудой
колебаний с нулевыми начальными условиями,
представляет то дополнительное условие, которое нужно
присоединить к волновому уравнению Гельмгольца для
выделения единственного решения.
То есть нужно найти решение уравнения Гельмгольца (29),
являющееся предельной амплитудой для решения уравнения
колебаний (25) с начальными условиями (26):
,1 1 ( )( , ) ,
4 4
QM
at atM M
QM i t r a
Q Q
QM QMK K
F Q t r a f Qu M t dV e dV
r r
f(M) – финитная функция, supp .f D
1( ) lim ( , ) ( ) .
4
QMikr
i t
Qt
QMD
eV M u M t e f Q dV
r
5. Парциальные условия излучения
Рассмотрим плоский волновод с локальной
нерегулярностью.
При волновод регулярный: его заполнение
однородно и геометрия сечения постоянна.
0,x x a
Нормальные волны (моды) – частные решения вида
( , ) ( ),i xu x y e y (30)
где – постоянная распространения, - функция сечения. ( )y
Поле в волноводе удовлетворяет уравнению Гельмгольца: ( , )u x y
2 10, ( , ) (0, ),u k u x y V b (31)
где
222 ( , ) ( , ) ( , ),k x y k x y ik x y
(32)
Электродинамический случай: где
- волновое число, - диэлектрическая проницаемость.
2
1
2 2
2
2
, 0,
( , ) ( , ), 0 ,
, .
k const x
k x y k x y x a
k const x a
2 2
0( , ) ( , ),k x y k x y
0k c ( , )x y
1( ,0) 0, ( , ) 0,u x u x b x (33)
- граничные условия (например, идеально проводящие стенки).
(30), (31), (33) =>
( ) ( ) 0, 0 ,
(0) 0, ( ) 0,
y y y b
b
(34)
(35)
где 2 2.k
(34), (35) => 2
2( ) sin , , ( 1,2,...)n n
ny ny n
b b b(36)
Существует счетное множество нормальных волн (мод) вида:
при ( 0, ).x x a
2( , ) ( ), , ( 1,2,...)ni x
n n n nu x y e y k n
(37)
Пусть на неоднородность падает слева нормальная волна
индекса с амплитудой . В сечении парциальные
условия излучения при временной зависимости имеют
вид:
0n0nA 0x
i te
0 0 0
(1) (1)
,
00
( 1, 2, ...)( ) 2 ,
b
n n n n n n
x
nu
i u y dy i Ax
(38)
Аналогично ставятся условия в сечении .
Условия (38) – нелокальные.
x a
1
0
( , ) ( ) ( ), (39)
Z ( ) ( , ) ( ) ( 1, 2,...) (40)
n n
n
b
n n
u x y Z x y
x u x y y dy n
Из (38), (40) следует, что парциальные условия излучения – это условия, которые накладываются на коэффициенты Фурье Zn(x)
в разложении функции U(x,y) по функциям сечения
Пусть D-область между сечениями x=0 и x=a:
Краевая задача имеет вид:
где постоянные распространения нормальных волн.
( ) :n y
0 0 0
(1) (1)
,(0) (0) 2 (41)n n n n n n nZ i Z i A
0 ,0 .D x a y b
0 0 0
2
(1) (1)
,
0 0
( , ) 0, ( , ) , (42)
( ,0)=0, ( , ) 0, 0 , (43)
( ) 2 ( 1,2,.
b
n n n n n n
x
u k x y u x y D
u x u x b x a
ui u y dy i A n
x
(2)
0
..), (44)
( ) 0 ( 1,2,...), (45)
b
n n
x a
ui u y dy n
x
( ) 2 ( 1,2,...; 1,2)l
n l nk n l
Условия (45) означают отсутствие волн приходящих из (то есть
справа).
Теорема 3. Пусть
Тогда классическое решение задачи (42)-(45) единственно.
Доказательство
Предположим существование двух решений:
Умножим (42) на и проинтегрируем по области D
(интегрирование по частям):
2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 0, , 0( 1,...; 1, 2).l l l l
n n n nk k ik k i n l
01 2 ( , ) ( , ) ( , ) (42) (45), 0.nu x y u x u u x y A
u
2
0 0 0 0 0
22 22
0 0 0 0
0, (46)
a b b b
x x
x a x
a b a b
x y
u u k u u dxdy u u dy u u dy
u u dxdy k u dxdy
1 2( , ) ( , )u x y u x y
Аналогично получаем:
1 0
( , ) ( ), ( , ) ( ) ( 1,2,...) (47)
b
n n n n
n
u a y C y C u a y y dy n
10 0
(2) (2)
1 10
2(2)
1
( , ) ( )
( , ) ( )
. (48)
b b
x n x nx an
b
n n n n n n
n n
n n
n
u u dy C u a y y dy
i C u a y y dy i C C
i C
2(1)
010
, (49)
b
x n nxn
u u dy i B
где
(46), (48), (49)
Возьмём в (51) мнимую часть:
1 0
(0, ) ( ), (0, ) ( ) ( 1,2,...) (50)
b
n n n n
n
u y B y B u y y dy n
2
2(2) (1)
1 1
2
22
0 0 0 0
0 (51)
n n n n
n n
a b a b
i C i B
grad u dxdy k u dxdy
2 2 2(2) (1) 2
1 1 0 0
0 (52)
a b
n n n n
n n
C B k u dxdy
1 2
(52) 0, ( , ) ; 0 ( =1,2,...) ( , ) 0;
0 ( 1, 2,...) (0, ) 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ),
( , ) .
n
n
u x y D C n u a y
B n u y u x y u x y u x y
x y D
Замечание. Пользуясь принципом предельного поглощения,
можно показать, что единственность имеет место и в случае
вещественного коэффициента
6. Излучение волн. Квадрупольный излучатель Поверхность шара радиуса a колеблется так, что радиальная
составляющая скорости на поверхности равна
Вычислить интенсивность и мощность такого излучателя второго
порядка – квадрупольного излучателя.
Звуковое давление удовлетворяет уравнению колебаний:
где
2( , ).k x y
0 1 3cos 2 (53)4
i t
a
VV e
rV r a
( , )p M t
22 2 0
2 0, , (54)
p pc p c
t
С – скорость звука, и -давление и плотность среды в невозмущенном состоянии, -показатель адиабаты.
Установившийся процесс:
Радиальная составляющая скорости:
где Для полинома Лежандра имеет место формула:
0p 0( , ) ( ) .i tp M t p M e
0 0
1 1 , (55)rr
V p pV
it r r
.i t
r rV V e
2
2 23 1 1 3cos2( ) (cos ) (56)
2 4xP x P
2
0 0 2
0, , (57)
(cos ), , (58)
1( ), (59)
1( ),
p k p r a
pi V P r a
r
p O r
pikp o kr
r
. (60)c
2 ( )P x
Симметрия по
где
( ) ( , ) p M p r
(1)
0
( , ) ( ) (cos ), (61)n n n
n
p r C kr P
12
(1) (1)( ) ( ). (62)2n n
kr H krkr
2 0 0 (1)2
1(58), (61) (63)( )
C ic Vka
(1)2
0 0 2(1)2
( )( , ) (cos ), (64)
( )
krp r ic V P
ka
(1)2
0 2(1)2
( )( , ) (cos ). (65)
( )r
krV r V P
ka
Рассмотрим длинноволновый случай и дальнюю (волновую)
зону :
( 1)ka
( 1)kr(1) (1)
2 23 4
(1) 22
(1) 22
3 90 ( ) , ( ) ,
1 ( ) , (66)
( ) .
x x i x ix x
ix ix x e ex
iixix e ex
23 4
0 0 20 0 2 2
4
1
( , ) (cos ) (cos ), (67)9 9
( )
iikre e ic V k a ikrkrp r ic V P e e Pri
ka
3 40 2
2( , ) (cos ), (68)9r
iV k a ikrV r e e Pr
Интенсивность излучения квадруполя :
Мощность излучения квадруполя :
3 4
0 02
( , , ) Re ( , )
(cos ) cos( ), (69)9 2
i tP r t p r e
c V k aP t kr
r
3 4
02
( , , ) Re ( , )
(cos ) cos( ). (70)9 2
r r
i tV r t V r e
V k aP t kr
r
Y
0
21 ( , , ) ( , , ) , , (71)
T
rY P r t V r t dt TT
2 6 8 20 0 2
2
(cos ) (72)
162
c V k a PY
r
22 6 8
2 0 0
0 0
2sin (73)
405
c V k ar Y d d
7. Задачи математической теории дифракции
1 1 1, , ,D p
3 3 3, , D p
1S2S 3S
0 0, p const const
, (i=1,2,3)i ip const const
2
0
00
0
, ( 0,1, 2,3) (74)
, , (75)
, ( 1, 2,3), (76)
1( ) ,
i i i i i
i i
ii i
V k V f M D i
V V M S
V Vp p M S i
n n
V M O r
2 200 0
(77)
1 , (i=0,1,2,3) (78)ii
i
Vik V o kr p
r
2 2 2, , D p
Дифракция звуковой волны на бесконечном жёстком
цилиндре
На цилиндр радиуса a падает плоская звуковая волна, давление p0(x)
в которой можно представить в виде:
Обозначим: - полное давление,
давление в падающей волне, давление в отраженной
волне.
cos
0 0
1
( ) 2 ( ) ( )cos (79)ikx ikr n
n
n
p Ae Ae A J kr i J kr n
a
0x
0( , ) ( , ) ( , )sp r p r p r 0( , )p r
( , )sp r
ikxAe
Тогда получим задачу:
2
0
0, , (80)
0 , , (81)
1 , (82)
1 .
s s
s
s
ss
r
r
p k p r a
p ppr a
r r r
p O
pikp o
r
(83)
(1)
0
10 (1) (1)
0
( , ) ( ) cos . (84)
(79), (81), (84)
2( ) ( )( ), , (85)
( )( )
s n n
n
nn
nn
p r C H kr n
i J kaJ kaC A C A
H kaH ka
( =1,2,...).n
Радиальная составляющая скорости в рассеянной волне:
Волновая (дальняя) зона :
(1)
0 0
1( , ) ( )cos (86)sr n n
n
V r C H kr nic
( 1)kr
(1) 2 4
4
0
( )2( ) (87)
( )2( , ) ( ) cos (88)
n
n
s n
n
i kr nH kr e
kr
i krp r e C i n
kr