Από τα βέλη αδύνατους...
32
Από τα βέλη στους αδύνατους αριθμούς Ν.Σ. Μαυρογιάννης, Δρ Μαθηματικών Πειραματικό Λύκειο Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης Περίληψη (που υποκαθιστά εξηγήσεις που δόθηκαν προφορικά) Παρουσιάζονται συνοπτικά μία σειρά μαθημάτων που δίνω τα τελευταία χρόνια στους μαθητές μου της Θετικής Κατεύθυνσης της Β' Λυκείου αμέσως μετά την διδασκαλία των διανυσμάτων. Διαρκούν περίπου 3 διδακτικές ώρες. Σκοπός είναι να γίνει μία "φυσική" εισαγωγή στους μιγαδικούς αριθμούς με την βοήθεια των διανυσμάτων. Η βασική ιδέα (εξ΄ής και ο τίτλος της ομιλίας), που φυσικά δεν είναι καινούργια είναι να προσπαθήσουμε να εισαγάγουμε ένα πολλαπλασιασμό στα διανύσματα του επιπέδου κατά τρόπο ώστε να μιμηθούμε, κατά το δυνατόν τον πολλαπλασιασμό των πραγματικών αριθμών. Τεχνικά μιλώντας το πρόβλημα είναι να "μετατραπεί" ο διανυσματικός χώρος των διανυσμάτων του επιπέδου σε μία πραγματική Άλγεβρα και τελικά σε σώμα. Αυτό γίνεται προβάλλοντας διαδοχικές "αξιώσεις" ώσπου στο τέλος ορίζεται ο πολλαπλασιασμός των μιγαδικών. Η διάταξη που έχω επιλέξει δεν είναι η συντομώτερη (υπάρχουν στην βιβλιογραφία και πια σύντομες). Η αργοπορία είναι εσκεμμένη για να δοθεί στους μαθητές η χρονική δυνατότητα να εξοικειωθούν με τη νέα κατασκευή. 'Οταν τελειώσω συνηθίζω να δίνω, στο περιθώριο των μαθημάτων μου απλές υπολογιστικές ασκήσεις μιγαδικών προκειμένου η νέα γνώση να γίνει ευσταθής.
Transcript of Από τα βέλη αδύνατους...
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης, Δρ
Μαθηματικών Πειραματικό
Λύκειο
Ευαγγελικής Σχολής Σμύρνης
Περίληψη
(που
υποκαθιστά
εξηγήσεις
που
δόθηκαν
προφορικά)Παρουσιάζονται
συνοπτικά
μία
σειρά
μαθημάτων
που
δίνω
τα
τελευταία
χρόνια
στους
μαθητές
μου
της
Θετικής
Κατεύθυνσης
της
Β' Λυκείου
αμέσως
μετά
την
διδασκαλία
των
διανυσμάτων. Διαρκούν
περίπου
3 διδακτικές
ώρες. Σκοπός
είναι
να
γίνει
μία
"φυσική" εισαγωγή
στους
μιγαδικούς
αριθμούς
με
την
βοήθεια
των
διανυσμάτων. Η βασική ιδέα
(εξ΄ής
και
ο
τίτλος
της
ομιλίας), που
φυσικά
δεν
είναι
καινούργια
είναι
να
προσπαθήσουμε
να
εισαγάγουμε
ένα
πολλαπλασιασμό
στα
διανύσματα
του
επιπέδου
κατά
τρόπο
ώστε
να
μιμηθούμε, κατά
το
δυνατόν
τον
πολλαπλασιασμό
των
πραγματικών
αριθμών. Τεχνικά
μιλώντας
το
πρόβλημα
είναι
να
"μετατραπεί" ο
διανυσματικός
χώρος
των
διανυσμάτων
του
επιπέδου
σε
μία
πραγματική
Άλγεβρα
και
τελικά
σε
σώμα. Αυτό
γίνεται
προβάλλοντας
διαδοχικές
"αξιώσεις" ώσπου
στο
τέλος
ορίζεται
ο
πολλαπλασιασμός
των
μιγαδικών. Η
διάταξη
που
έχω
επιλέξει
δεν
είναι
η
συντομώτερη
(υπάρχουν
στην
βιβλιογραφία
και
πια
σύντομες). Η
αργοπορία
είναι
εσκεμμένη
για
να
δοθεί
στους
μαθητές
η
χρονική
δυνατότητα
να
εξοικειωθούν
με
τη
νέα
κατασκευή. 'Οταν
τελειώσω
συνηθίζω
να
δίνω, στο
περιθώριο
των
μαθημάτων
μου
απλές
υπολογιστικές
ασκήσεις
μιγαδικών
προκειμένου
η
νέα
γνώση
να
γίνει
ευσταθής.
Δύο
ματιέςΔύο
ματιές
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Μέρος
1Μέρος
1
…στους
φανταστικούς
αριθμούς…στους
φανταστικούς
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
… είναι
προφανές
ότι
δε μπορούμε
να
κατατάξουμε
την
τετραγωνική
ρίζα
ενός αρνητικού
αριθμού
μεταξύ
των
δυνατών
αριθμών, και
συνεπώς πρέπει
να
πούμε
ότι
αυτός
είναι
μια
αδύνατη
ποσότητα. Με αυτό
τον
τρόπο
οδηγούμεθα
στην
ιδέα
αριθμών
που
είναι από
την
φύση
τους
αδύνατοι…
Leonard Euler: Πλήρης
Εισαγωγή
στην
Άλγεβρα
1770
… είναι
προφανές
ότι
δε μπορούμε
να
κατατάξουμε
την
τετραγωνική
ρίζα
ενός αρνητικού
αριθμού
μεταξύ
των
δυνατών
αριθμών, και
συνεπώς πρέπει
να
πούμε
ότι
αυτός
είναι
μια
αδύνατη
ποσότητα. Με αυτό
τον
τρόπο
οδηγούμεθα
στην
ιδέα
αριθμών
που
είναι από
την
φύση
τους
αδύνατοι…
Leonard Euler: Πλήρης Εισαγωγή
στην
Άλγεβρα
1770
1η
Euler
17701η
Euler
1770
Η
παρούσα
απόπειρα
ασχολείται
με
την
το
ερώτημα
του πως
θα
παρουσιάσουμε
την
κατεύθυνση
με
όρους
αναλυτικούς… έστω
ότι
με
+1 επιλέγουμε
να
δηλώσουμε την
θετική
ευθύγραμμη
μονάδα
και
με
+ε
μία
άλλη
καθορισμένη
μονάδα
κάθετη
στην
θετική
μονάδα
που
έχει την
ίδια
αρχή….έχουμε… (+ε)(+ε)=-1
Caspar
Wessel: Eπί
της
αναλυτικής
παράστασης
της
κατεύθυνσης. Μία
απόπειρα. 1797
Η
παρούσα
απόπειρα
ασχολείται
με
την
το
ερώτημα
του πως
θα
παρουσιάσουμε
την
κατεύθυνση
με
όρους
αναλυτικούς… έστω
ότι
με
+1 επιλέγουμε
να
δηλώσουμε την
θετική
ευθύγραμμη
μονάδα
και
με
+ε
μία
άλλη
καθορισμένη
μονάδα
κάθετη
στην
θετική
μονάδα
που
έχει την
ίδια
αρχή….έχουμε… (+ε)(+ε)=-1
Caspar
Wessel: Eπί
της
αναλυτικής
παράστασης
της κατεύθυνσης. Μία
απόπειρα. 1797
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
2η Wessel
17972η Wessel
1797
Πράξεις
ΔιανυσμάτωνΠράξεις
Διανυσμάτων
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Μέρος
2Μέρος
2
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
ΠρόσθεσηΠρόσθεση
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Πολλαπλασιασμός
επί
αριθμόΠολλαπλασιασμός
επί
αριθμό
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Εσωτερικό
ΓινόμενοΕσωτερικό
Γινόμενο
Ερώτημα
Μπορούμε
να
έχουμε
ένα πολλαπλασιασμό
διανυσμάτων
που
το αποτέλεσμα
να
είναι
διάνυσμα;
Ερώτημα
Μπορούμε
να
έχουμε
ένα πολλαπλασιασμό
διανυσμάτων
που
το αποτέλεσμα
να
είναι
διάνυσμα;
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Μία
απάντηση
Το
εξωτερικό γινόμενο
Μία
απάντηση
Το
εξωτερικό γινόμενο
Ερώτημα
Μπορούμε
να
έχουμε
ένα πολλαπλασιασμό
διανυσμάτων
που
το αποτέλεσμα
να
είναι
συνεπίπεδο
διάνυσμα;
Ερώτημα
Μπορούμε
να
έχουμε
ένα πολλαπλασιασμό
διανυσμάτων
που
το αποτέλεσμα
να
είναι
συνεπίπεδο
διάνυσμα;
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Μια
(κακή) απάντηση: Ορίζουμε
το
γινόμενο
δύο
διανυσμάτων
να είναι
το
μηδενικό
διάνυσμα
Μια
(κακή) απάντηση: Ορίζουμε
το
γινόμενο
δύο
διανυσμάτων
να είναι
το
μηδενικό
διάνυσμα
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ερώτημα
Μπορούμε
να
έχουμε
ένα πολλαπλασιασμό
διανυσμάτων
που
να μοιάζει
με
τον
πολλαπλασιασμό
των πραγματικών
αριθμών;
Ερώτημα
Μπορούμε
να
έχουμε
ένα πολλαπλασιασμό
διανυσμάτων
που
να μοιάζει
με
τον
πολλαπλασιασμό
των πραγματικών
αριθμών;
Το
πρόβλημαΤο
πρόβλημαΜέρος
3Μέρος
3
Να
βρεθεί
ένας
τρόπος
πολλαπλασιασμού διανυσμάτων
τέτοιος
ώστε
να
«συνεργάζεται»
καλά: 1) Με
τον
εαυτό
του
2) Την
άλλη
πράξη
των
διανυσμάτων, την πρόσθεση
3) Την
πράξη
του
πολλαπλασιασμού διανυσμάτων
επί
αριθμό
4) Με
το
μέτρο
διανυσμάτων
Να
βρεθεί
ένας
τρόπος
πολλαπλασιασμού διανυσμάτων
τέτοιος
ώστε
να
«συνεργάζεται»
καλά: 1) Με
τον
εαυτό
του
2) Την
άλλη
πράξη
των
διανυσμάτων, την πρόσθεση
3) Την
πράξη
του
πολλαπλασιασμού διανυσμάτων
επί
αριθμό
4) Με
το
μέτρο
διανυσμάτων
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Μέρος
4Μέρος
4 Οι
αξιώσειςΟι
αξιώσεις
Ζητάμε
ένα πολλαπλασιασμό
μεταξύ διανυσμάτων
ας
τον
συμβολίσουμε με
⊙
με
τις
ιδιότητες:
Ζητάμε
ένα πολλαπλασιασμό
μεταξύ διανυσμάτων
ας
τον
συμβολίσουμε με
⊙
με
τις
ιδιότητες:
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Μέρος
5Μέρος
5 Η ΑντιμετώπισηΗ Αντιμετώπιση1. Παίρνοντας
ιδέες
από
το
εσωτερικό
γινόμενο1. Παίρνοντας
ιδέες
από
το
εσωτερικό
γινόμενο
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
2. Η
βασική
ιδέα2. Η
βασική
ιδέα
Η ισότητα:Η ισότητα:
επαρκεί
για
να
ορισθεί
το
εσωτερικό
γινόμενο
χάρη
στην «προπαίδεια»:
επαρκεί
για
να
ορισθεί
το
εσωτερικό
γινόμενο
χάρη
στην «προπαίδεια»:
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
3. Η
προετοιμασία3. Η
προετοιμασία
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Από
την
σχέση:Από
την
σχέση:
προκύπτει
για
θα
ορίσουμε
το γινόμενο
μας
⊙
αν
συμπληρώσουμε
τον
πίνακα:
προκύπτει
για
θα
ορίσουμε
το γινόμενο
μας
⊙
αν
συμπληρώσουμε
τον
πίνακα:
που
γίνεται:που
γίνεται:
Χρειαζόμαστε
και
ένα
διάνυσμα
που
θα
παίξει
το
ρόλο
της μονάδας. Υπάρχουν
πολλές
επιλογές
χωρίς
όμως
ιδιαίτερη
σημασία:
Χρειαζόμαστε
και
ένα
διάνυσμα
που
θα
παίξει
το
ρόλο
της μονάδας. Υπάρχουν
πολλές
επιλογές
χωρίς
όμως
ιδιαίτερη
σημασία:
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Επομένως
μπορούμε
να
επιλέξουμε
σαν
μονάδα
το
διάνυσμα οπότε
και
μπορούμε
να
του
αλλάξουμε
το
σύμβολο
σε
Αποδεσμεύεται
έτσι
το
σύμβολο
που
μπορεί
να χρησιμοποιηθεί
σαν
νέο
«όνομα»
για
το
Επομένως
μπορούμε
να
επιλέξουμε
σαν
μονάδα
το
διάνυσμα οπότε
και
μπορούμε
να
του
αλλάξουμε
το
σύμβολο
σε
Αποδεσμεύεται
έτσι
το
σύμβολο
που
μπορεί
να χρησιμοποιηθεί
σαν
νέο
«όνομα»
για
το
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
i 1i
j
Πριν:Πριν: Μετά:Μετά:
Και
ο
πολλαπλασιασμός
μας
γίνεταιΚαι
ο
πολλαπλασιασμός
μας
γίνεται
( ) 2( ) ( ) ( )i i iiα β γ δ αγ αδ βγ βδ+ + = + + +1 1 1
και
αφού
υπάρχουν
κατάλληλα
p,q
ώστεκαι
αφού
υπάρχουν
κατάλληλα
p,q
ώστε
η
«προπαίδεια»
μας
γίνεταιη
«προπαίδεια»
μας
γίνεται
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
η
βασική
σχέση
πολλαπλασιασμού
γράφεται:η
βασική
σχέση
πολλαπλασιασμού
γράφεται:
( ) ( ) ( ) ( )i i p q iα β γ δ αγ βδ αδ βγ βδ+ + = + + + +1 1 1
και
πρέπει
τα
p, q
να
επιλεγούν
κατά
τέτοιο
τρόπο
ώστε
ο πολλαπλασιασμός
⊙
να
έχει
τις
επιθυμητές
ιδιότητες.
και
πρέπει
τα
p, q
να
επιλεγούν
κατά
τέτοιο
τρόπο
ώστε
ο πολλαπλασιασμός
⊙
να
έχει
τις
επιθυμητές
ιδιότητες.
Μέρος
6Μέρος
6 Οι
ΔοκιμέςΟι
ΔοκιμέςΟ
πολλαπλασιασμόςΟ
πολλαπλασιασμός
( ) ( ) ( ) ( )i i p q iα β γ δ αγ βδ αδ βγ βδ+ + = + + + +1 1 1
«περνάει»
εύκολα
τους
ελέχγους
για
αντιμεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα
και
επιμεριστικότητα
ως
προς
την
πρόσθεση. Επίσης
η
συμπεριφορά
του
προς
τον πολλαπλασιασμό
επί
αριθμό
είναι
πολύ
καλή.
«περνάει»
εύκολα
τους
ελέχγους
για
αντιμεταθετικότητα, προσεταιριστικότητα
και
επιμεριστικότητα
ως
προς
την
πρόσθεση. Επίσης
η
συμπεριφορά
του
προς
τον πολλαπλασιασμό
επί
αριθμό
είναι
πολύ
καλή.
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Η
πρώτη
ιδιότητα
που
δίνει
κάποια
στοιχεία
είναι
η
ύπαρξη αντιστρόφου
δηλαδή
αν
τα
α, β
δεν
είναι
και
τα
δύο
μηδέν
να
υπάρχουν
x, y
ώστε:
Η
πρώτη
ιδιότητα
που
δίνει
κάποια
στοιχεία
είναι
η
ύπαρξη αντιστρόφου
δηλαδή
αν
τα
α, β
δεν
είναι
και
τα
δύο
μηδέν
να
υπάρχουν
x, y
ώστε:
δηλαδή
το
σύστημαδηλαδή
το
σύστημα
να
έχει
μοναδική
λύση
που
ισοδυναμεί
με
τις
συνθήκεςνα
έχει
μοναδική
λύση
που
ισοδυναμεί
με
τις
συνθήκες
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Υπάρχουν
άπειρα
ζεύγη
(
p, q
) που
ικανοποιούν
τις προηγούμενες
συνθήκες:
Υπάρχουν
άπειρα
ζεύγη
(
p, q
) που
ικανοποιούν
τις προηγούμενες
συνθήκες:
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Τα
άπειρα
ζεύγη
(
p, q
) μπορούν
να
περιοριστούν
δραματικά όταν
φθάσουμε
στην
απαίτηση:
Τα
άπειρα
ζεύγη
(
p, q
) μπορούν
να
περιοριστούν
δραματικά όταν
φθάσουμε
στην
απαίτηση:
0 και 1q p= = −
που
μετά
από
επεξεργασία
μας
δίνειπου
μετά
από
επεξεργασία
μας
δίνει
που
μας
οδηγεί
στην: που
μας
οδηγεί
στην:
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
ΣυμπέρασμαΣυμπέρασμαedΜέρος
7DEedΜέρος
7DE
Ο
πολλαπλασιασμός
διανυσμάτωνΟ
πολλαπλασιασμός
διανυσμάτων
( ) ( ) ( ) ( )i i iα β γ δ αγ βδ αδ βγ+ + = − + +1 1 1
έχει
τις
προαπαιτούμενες
ιδιότητες. Ο
πολλαπλασιασμός
με
την βοήθεια
συντεταγμένων
μπορεί
να
περιγραφεί
ως
εξής:
έχει
τις
προαπαιτούμενες
ιδιότητες. Ο
πολλαπλασιασμός
με
την βοήθεια
συντεταγμένων
μπορεί
να
περιγραφεί
ως
εξής:
( , ) ( , ) ( , )α β γ δ αγ βδ αδ βγ= − +
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Το
σύνολο
των
διανυσμάτων
του
επιπέδου
εφοδιασμένο
με
την πράξη
της
πρόσθεσης
και
του
πολλαπλασιασμού
⊙ ονομάζεται
σύνολο
μιγαδικών
αριθμών. Το
σύνολο
των
πολλαπλασίων του
i oνομάζεται
σύνολο
φανταστικών
αριθμών. Το
σύνολο
των
πολλαπλασίων
x1
του
1
θεωρείται
ότι
είναι
ένα
σύνολο πραγματικών
αριθμών.
Το
σύνολο
των
διανυσμάτων
του
επιπέδου
εφοδιασμένο
με
την πράξη
της
πρόσθεσης
και
του
πολλαπλασιασμού
⊙ ονομάζεται
σύνολο
μιγαδικών
αριθμών. Το
σύνολο
των
πολλαπλασίων του
i oνομάζεται
σύνολο
φανταστικών
αριθμών. Το
σύνολο
των
πολλαπλασίων
x1
του
1
θεωρείται
ότι
είναι
ένα
σύνολο πραγματικών
αριθμών.
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
ΕπίμετροΕπίμετροΜέρος
7Μέρος
7Πως
συμπεριφέρεται
γεωμετρικά
ο
πολλαπλασιασμός
⊙Πως
συμπεριφέρεται
γεωμετρικά
ο
πολλαπλασιασμός
⊙
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Από
τα
βέλη
στους
αδύνατους
αριθμούς
Ν.Σ. Μαυρογιάννης, Δρ Μαθηματικών Πειραματικό
Λύκειο
Ευαγγελικής
Σχολής
Σμύρνης
Παραπομπές
1.
L. Fuchs, Τ. Szele_Introduction
of Complex Numbers as Vectors of the Plane, The American
Mathematical
Monthly, 59, 9, 1952, 628-631
2.
A.A. Harkin, J.B. Harkin,
Geometry of Generalized Complex Numbers, Mathematics Magazine, 77, 2, 2005, 118-129
3.
Paul J. Nahin, Φανταστικές
Ιστορίες. Μετ. Τεύκρος
Μιχαηλίδης, Κάτοπτρο, 2004
4.
D. E. Richmond, Complex Numbers and Vector Algebra, The American Mathematical Monthly, Vol. 58, 9, 1951, 622-628
5.
Γιάννης
Θωμαϊδης, Ιστορική
Αναδρομή
στους
Μιγαδικούς
Αριθμούς, ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ
ΕΠΙΘΕΩΡΗΣΗ,Νο
21, 1981, σελιδες
95-109
6.
I.M. Υaglom,
Complex Numbers in Geometry, Academic Press, 1968
7.
Δικαία
Νικολή, Tα
Quaternions
του
Hamilton
και
τα
γινόμενα
του
Grassmann, Μεταπτυχιακή
Διπλωματική
Εργασία, Πανεπιστήμιο
Κρήτης, Τμήμα
Μαθηματικών,
2008
