Глава 2. Некоторые классические задачи

математической физики

1. Уравнение Гельмгольца (Δu+cu=-f)

в неограниченной области

1. Поведение решения на бесконечности при

различных с.

1)

2 0С æ

1( ) ( ) ,4

QM

Q

QMD

eu M f Q dV

ær

r

(1)

где f(M) – финитная функция, supp .f D

Теорема 1.

Классическое решение уравнения

равномерно стремящееся к нулю на бесконечности,

единственно.

2 ( )u u f M æ (2)

Доказательство:

Так как равномерно,

то

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )u M u M V M u M u M

Применим к шару принцип максимума:

2 0. 0V V V æ

0, 0 : ( ) ,R V M r R

rK ( ) , .rV M M K

В силу произвольности и получим, что r

1 2( ) 0 ( ) ( ).V M u M u M

Единственное решение, равномерно стремящееся к нулю

на бесконечности:

(3) 1

( ) ( ) .4

QM

Q

QMD

eu M f Q dV

ær

r

2) 2 , , 0С k k k ik k

При временной зависимости это решение

соответствует расходящейся волне.

i te

Единственное решение, равномерно стремящееся к нулю на

бесконечности

(4) 1

( ) ( ) .4

QMik

Q

QMD

eu M f Q dV

r

r

3) 2 0С k

Оба решения уравнения Гельмгольца

2 ( )u k u f M

(5) 1

( ) ( ) .4

QMik

Q

QMD

eu M f Q dV

r

r

( )u M

одинаково убывают на бесконечности.

2. Условия излучения Зоммерфельда

Из двух фундаментальных решений

(6) 0

0

( )M Mik

M M

ev M

r

r

нужно выбрать решение, соответствующее расходящейся

волне (временная зависимость ). i te

1) 00 0 M M MM r r r

Расходящейся сферической волне соответствует ,

а сходящейся .

(7) 2

1.

ik ikdv e eik ikv o

dr r r r

r r

( )v M

( )v M

Расходящаяся сферическая волна должна удовлетворять

соотношению

(8) 1

, ( ) ,i tuiku o u v M e

r r

а сходящаяся - соотношению

(9) 1

, ( ) .i tuiku o u v M e

r r

2) 0 0M

(10)

2 2 2

0 0 0 0

2

0 0

1 1 1 1

2 cos 1 2 cos

1 1 1 11 2 cos ... 1

2

R rr r rr r r r r

r rO

r r r r r

,ikR ikRe e R

r R R R r

0 cos 11

r rRO

r R r

(11)

(12)

2

ikR ikR ikRe e R e Rik

r R R r R r

(13)

1.

ikR ikRe eik o

r R R r

(14)

И в этом случае расходящиеся сферические волны

удовлетворяют соотношению

1, ,

ikRi tu e

iku o u er r R

а сходящиеся - соотношению

(15) 1

, .ikR

i tu eiku o u e

r r R

Замечание 1. В силу специального выбора ядер введенные

выше потенциалы удовлетворяют условиям излучения

Зоммерфельда: (16) ( ) 1 ,u M O r

(17) 1

.u

iku or r

Замечание 2. Для двумерных задач условия излучения

Зоммерфельда имеют вид:

(18) ( ) 1 ,u M O r

(19) lim 0.r

ur iku

r

Замечание 3. И.Н. Векуа показал, что условие (18) является

следствием условия(19).

3) Теорема единственности:

Теорема 2.

Классическое решение уравнения Гельмгольца

где k – вещественное, удовлетворяющее условиям излучения

Зоммерфельда (16), (17), единственно.

2 3( ), ,u k u f M M (20)

Доказательство.

2

1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0,u M u M V M u M u M V k V

Рассмотрим шар и запишем для точки третью

формулу Грина:

( ) 1 , 1 .V

V M O r ikV o rr

RK RM K

1( )

4

PM PM PM

R R

ikr ikr ikr

p P

PM P PM PM

V e e eikV d V P ik d

r r r r r

2

1 1 1 1 1( ) 0

4 4

PM

R R

ikr

P P R

PM

eo V P o d o d

r r r r

1 2( ) 0 ( ) ( ).V M u M u M

1( ) ( )

4

1( )

4

PM PM

R

PM PM PM PM

R

ikr ikr

P

PM P PM

ikr ikr ikr ikr

P

PM PM PM P PM

e V eV M V P d

r r r r

e V e e eikV ikV V P d

r r r r r r

Следствие. Единственным решением уравнения

Гельмгольца (20) при вещественном , удовлетворяющим

условиям излучения Зоммерфельда (16),(17), является

интеграл

(21) 1( ) ( ) ,

4

QMikr

Q

QMD

eu M f Q dV

r

2 0k

где f(M) – финитная функция, supp .f D

3. Принцип предельного поглощения

Единственное решение уравнения Гельмгольца с

комплексным коэффициентом

равномерно стремящееся к нулю на бесконечности, имеет

вид:

Пусть f(M) – финитная функция, supp .f D

, 0,k k ik k

1 1( ) ( ) ( )

4 4

QM QM QMikr ikr kr

Q Q

QM QMD D

e e eu M f Q dV f Q dV

r r

(22)

Функция

0

1( ) lim ( ) ( )

4

QMikr

Qk

QMD

eu M u M f Q dV

r

(23)

является решением уравнения Гельмгольца с

положительным вещественным коэффициентом : 2

k2

( )u k u f M

(24)

Дополнительным условием, позволяющим выделить

решение уравнения Гельмгольца (24), соответствующее

расходящимся волнам, является требование, чтобы

функция являлась пределом ограниченного решения

уравнения Гельмгольца с комплексным коэффициентом

при , где .

( )u M

k k ik 0k

4. Принцип предельной амплитуды

Рассмотрим уравнение колебаний с периодической правой

частью: 2 ( , ), ( , ) ( ) ,i t

ttu a u F M t F M t f M e (25)

3( ,0) 0, ( ,0) 0; .tu M u M M (26)

Со временем в системе установятся колебания с частотой

вынуждающей силы:

( , ) ( ) ,i tu M t V M e (27)

где V(M) – предельная амплитуда колебаний

( ) lim ( , ) ,i t

tV M u M t e (28)

2 ( ), .V k V f M ka

(29)

Требование, чтобы V(M) было предельной амплитудой

колебаний с нулевыми начальными условиями,

представляет то дополнительное условие, которое нужно

присоединить к волновому уравнению Гельмгольца для

выделения единственного решения.

То есть нужно найти решение уравнения Гельмгольца (29),

являющееся предельной амплитудой для решения уравнения

колебаний (25) с начальными условиями (26):

,1 1 ( )( , ) ,

4 4

QM

at atM M

QM i t r a

Q Q

QM QMK K

F Q t r a f Qu M t dV e dV

r r

f(M) – финитная функция, supp .f D

1( ) lim ( , ) ( ) .

4

QMikr

i t

Qt

QMD

eV M u M t e f Q dV

r

5. Парциальные условия излучения

Рассмотрим плоский волновод с локальной

нерегулярностью.

При волновод регулярный: его заполнение

однородно и геометрия сечения постоянна.

0,x x a

Нормальные волны (моды) – частные решения вида

( , ) ( ),i xu x y e y (30)

где – постоянная распространения, - функция сечения. ( )y

Поле в волноводе удовлетворяет уравнению Гельмгольца: ( , )u x y

2 10, ( , ) (0, ),u k u x y V b (31)

где

222 ( , ) ( , ) ( , ),k x y k x y ik x y

(32)

Электродинамический случай: где

- волновое число, - диэлектрическая проницаемость.

2

1

2 2

2

2

, 0,

( , ) ( , ), 0 ,

, .

k const x

k x y k x y x a

k const x a

2 2

0( , ) ( , ),k x y k x y

0k c ( , )x y

1( ,0) 0, ( , ) 0,u x u x b x (33)

- граничные условия (например, идеально проводящие стенки).

(30), (31), (33) =>

( ) ( ) 0, 0 ,

(0) 0, ( ) 0,

y y y b

b

(34)

(35)

где 2 2.k

(34), (35) => 2

2( ) sin , , ( 1,2,...)n n

ny ny n

b b b(36)

Существует счетное множество нормальных волн (мод) вида:

при ( 0, ).x x a

2( , ) ( ), , ( 1,2,...)ni x

n n n nu x y e y k n

(37)

Пусть на неоднородность падает слева нормальная волна

индекса с амплитудой . В сечении парциальные

условия излучения при временной зависимости имеют

вид:

0n0nA 0x

i te

0 0 0

(1) (1)

,

00

( 1, 2, ...)( ) 2 ,

b

n n n n n n

x

nu

i u y dy i Ax

(38)

Аналогично ставятся условия в сечении .

Условия (38) – нелокальные.

x a

1

0

( , ) ( ) ( ), (39)

Z ( ) ( , ) ( ) ( 1, 2,...) (40)

n n

n

b

n n

u x y Z x y

x u x y y dy n

Из (38), (40) следует, что парциальные условия излучения – это условия, которые накладываются на коэффициенты Фурье Zn(x)

в разложении функции U(x,y) по функциям сечения

Пусть D-область между сечениями x=0 и x=a:

Краевая задача имеет вид:

где постоянные распространения нормальных волн.

( ) :n y

0 0 0

(1) (1)

,(0) (0) 2 (41)n n n n n n nZ i Z i A

0 ,0 .D x a y b

0 0 0

2

(1) (1)

,

0 0

( , ) 0, ( , ) , (42)

( ,0)=0, ( , ) 0, 0 , (43)

( ) 2 ( 1,2,.

b

n n n n n n

x

u k x y u x y D

u x u x b x a

ui u y dy i A n

x

(2)

0

..), (44)

( ) 0 ( 1,2,...), (45)

b

n n

x a

ui u y dy n

x

( ) 2 ( 1,2,...; 1,2)l

n l nk n l

Условия (45) означают отсутствие волн приходящих из (то есть

справа).

Теорема 3. Пусть

Тогда классическое решение задачи (42)-(45) единственно.

Доказательство

Предположим существование двух решений:

Умножим (42) на и проинтегрируем по области D

(интегрирование по частям):

2 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ), 0, , 0( 1,...; 1, 2).l l l l

n n n nk k ik k i n l

01 2 ( , ) ( , ) ( , ) (42) (45), 0.nu x y u x u u x y A

u

2

0 0 0 0 0

22 22

0 0 0 0

0, (46)

a b b b

x x

x a x

a b a b

x y

u u k u u dxdy u u dy u u dy

u u dxdy k u dxdy

1 2( , ) ( , )u x y u x y

Аналогично получаем:

1 0

( , ) ( ), ( , ) ( ) ( 1,2,...) (47)

b

n n n n

n

u a y C y C u a y y dy n

10 0

(2) (2)

1 10

2(2)

1

( , ) ( )

( , ) ( )

. (48)

b b

x n x nx an

b

n n n n n n

n n

n n

n

u u dy C u a y y dy

i C u a y y dy i C C

i C

2(1)

010

, (49)

b

x n nxn

u u dy i B

где

(46), (48), (49)

Возьмём в (51) мнимую часть:

1 0

(0, ) ( ), (0, ) ( ) ( 1,2,...) (50)

b

n n n n

n

u y B y B u y y dy n

2

2(2) (1)

1 1

2

22

0 0 0 0

0 (51)

n n n n

n n

a b a b

i C i B

grad u dxdy k u dxdy

2 2 2(2) (1) 2

1 1 0 0

0 (52)

a b

n n n n

n n

C B k u dxdy

1 2

(52) 0, ( , ) ; 0 ( =1,2,...) ( , ) 0;

0 ( 1, 2,...) (0, ) 0 ( , ) 0 ( , ) ( , ),

( , ) .

n

n

u x y D C n u a y

B n u y u x y u x y u x y

x y D

Замечание. Пользуясь принципом предельного поглощения,

можно показать, что единственность имеет место и в случае

вещественного коэффициента

6. Излучение волн. Квадрупольный излучатель Поверхность шара радиуса a колеблется так, что радиальная

составляющая скорости на поверхности равна

Вычислить интенсивность и мощность такого излучателя второго

порядка – квадрупольного излучателя.

Звуковое давление удовлетворяет уравнению колебаний:

где

2( , ).k x y

0 1 3cos 2 (53)4

i t

a

VV e

rV r a

( , )p M t

22 2 0

2 0, , (54)

p pc p c

t

С – скорость звука, и -давление и плотность среды в невозмущенном состоянии, -показатель адиабаты.

Установившийся процесс:

Радиальная составляющая скорости:

где Для полинома Лежандра имеет место формула:

0p 0( , ) ( ) .i tp M t p M e

0 0

1 1 , (55)rr

V p pV

it r r

.i t

r rV V e

2

2 23 1 1 3cos2( ) (cos ) (56)

2 4xP x P

2

0 0 2

0, , (57)

(cos ), , (58)

1( ), (59)

1( ),

p k p r a

pi V P r a

r

p O r

pikp o kr

r

. (60)c

2 ( )P x

Симметрия по

где

( ) ( , ) p M p r

(1)

0

( , ) ( ) (cos ), (61)n n n

n

p r C kr P

12

(1) (1)( ) ( ). (62)2n n

kr H krkr

2 0 0 (1)2

1(58), (61) (63)( )

C ic Vka

(1)2

0 0 2(1)2

( )( , ) (cos ), (64)

( )

krp r ic V P

ka

(1)2

0 2(1)2

( )( , ) (cos ). (65)

( )r

krV r V P

ka

Рассмотрим длинноволновый случай и дальнюю (волновую)

зону :

( 1)ka

( 1)kr(1) (1)

2 23 4

(1) 22

(1) 22

3 90 ( ) , ( ) ,

1 ( ) , (66)

( ) .

x x i x ix x

ix ix x e ex

iixix e ex

23 4

0 0 20 0 2 2

4

1

( , ) (cos ) (cos ), (67)9 9

( )

iikre e ic V k a ikrkrp r ic V P e e Pri

ka

3 40 2

2( , ) (cos ), (68)9r

iV k a ikrV r e e Pr

Интенсивность излучения квадруполя :

Мощность излучения квадруполя :

3 4

0 02

( , , ) Re ( , )

(cos ) cos( ), (69)9 2

i tP r t p r e

c V k aP t kr

r

3 4

02

( , , ) Re ( , )

(cos ) cos( ). (70)9 2

r r

i tV r t V r e

V k aP t kr

r

Y

0

21 ( , , ) ( , , ) , , (71)

T

rY P r t V r t dt TT

2 6 8 20 0 2

2

(cos ) (72)

162

c V k a PY

r

22 6 8

2 0 0

0 0

2sin (73)

405

c V k ar Y d d

7. Задачи математической теории дифракции

1 1 1, , ,D p

3 3 3, , D p

1S2S 3S

0 0, p const const

, (i=1,2,3)i ip const const

2

0

00

0

, ( 0,1, 2,3) (74)

, , (75)

, ( 1, 2,3), (76)

1( ) ,

i i i i i

i i

ii i

V k V f M D i

V V M S

V Vp p M S i

n n

V M O r

2 200 0

(77)

1 , (i=0,1,2,3) (78)ii

i

Vik V o kr p

r

2 2 2, , D p

Дифракция звуковой волны на бесконечном жёстком

цилиндре

На цилиндр радиуса a падает плоская звуковая волна, давление p0(x)

в которой можно представить в виде:

Обозначим: - полное давление,

давление в падающей волне, давление в отраженной

волне.

cos

0 0

1

( ) 2 ( ) ( )cos (79)ikx ikr n

n

n

p Ae Ae A J kr i J kr n

a

0x

0( , ) ( , ) ( , )sp r p r p r 0( , )p r

( , )sp r

ikxAe

Тогда получим задачу:

2

0

0, , (80)

0 , , (81)

1 , (82)

1 .

s s

s

s

ss

r

r

p k p r a

p ppr a

r r r

p O

pikp o

r

(83)

(1)

0

10 (1) (1)

0

( , ) ( ) cos . (84)

(79), (81), (84)

2( ) ( )( ), , (85)

( )( )

s n n

n

nn

nn

p r C H kr n

i J kaJ kaC A C A

H kaH ka

( =1,2,...).n

Радиальная составляющая скорости в рассеянной волне:

Волновая (дальняя) зона :

(1)

0 0

1( , ) ( )cos (86)sr n n

n

V r C H kr nic

( 1)kr

(1) 2 4

4

0

( )2( ) (87)

( )2( , ) ( ) cos (88)

n

n

s n

n

i kr nH kr e

kr

i krp r e C i n

kr