1.-Escribaunaexpresin quedefinaunaondatransversalquesedesplazaalo largo deunacuerda en la direccin +x, con una longitud de onda de 11.4 cm, una frecuencia de 385 Hz y unaamplitud de 2.13 cm.y = (2.13 cm) Sen|2 11.4 cm ] x (2 385 Hz) tjy = (2.13 cm) Sen|0.175 radcm ] x |770 rads ] tj2.-La ecuacin de una onda transversalque se desplaza poruna cuerda muy larga est dadapory= (6.0 cm) sin [(2.0radf m) x+ (4.0radf s) t]Calcule a) la amplitud, b) la longitud de onda, c) la frecuencia, d) la velocidad, e) la direccin depropagacin de la onda y f) la velocidad transversal mxima de una partcula de la cuerda.a) Amplitud de 6cm (se puede observar directamente en la ecuacin)b)Sabemos que: =2 k, sustituyendo tenemos: =2 2 radfm= 1 m; k se obtiene directamente dela ecuacin.c)Sabemos que:f =2 , sustituyendo tenemos:f =4 radfs2 = 2 Hz; se obtiene directamente dela ecuacin.d)Sabemos que: v = f = 2 Hz1 m = 2 mf se)Va en el sentido de x; se deduce al observar el signo del segundo termino en el argumento dela ecuacin de onda.f)Lavelocidadtranseversalestadadaporlaprimeraderivadadelaecuacindeondaconrespecto al tiempo vy =oyot= A Cos(kx +t), por lo tanto sera:vy = (4 radf s)(6 cm)Cos[(2 radf m) x +(4 radf s) t]vy = (0.24 mf s)Cos[(2 radf m) x +(4 radf s) t]vy, mx = A = (4 radf s)(0.06 m) = 0.24 mf svy, mx =0.24 "mfs"vy,mx =0.753982 mfs3.-La ecuacin de una onda transversal en una cuerda es:y = (1.8 mm) Sin[(23.8 radf m) x +(317 radf s) t]La cuerda est bajo una tensin de 16.3 N. Determine su densidad lineal de masa.Para determinarla densidad linealde masa usamos:v =FT = FTv2.La velocidad estadada por v = f k , de tal forma que =FT|k ]2= FTk22.Sustituimos FT, y k para obtener : =16.3 - (23.8)23172"kgfm" =0.0918804 kgfm- 0.092 kg/m - 92 g/m4.-Unobservadormideunaintensidadde1.13W/m2 aunadistanciadesconocidadeunafuente de ondas esfricas cuya salida de potencia se ignora. El observador camina 5.30 m acer-cndose a la fuente, y mide una intensidad de 2.41 W/m2 en este nuevo lugar.Calcule la salidade potencia de la fuente.Ls frmula de la intensidad de onda es:I =Pm4 r2 Pm = I4 r2Para este problema tenemos:Pm = I1 4 r2Pm = I2 4 (r 5.3 m)2Donde I1 = 1.13 W f m2, I2 = 2.41 W f m2 y r es la distancia inicial a la que se encuentra el obser-vador.Igualamos ambas ecuacines:I1 4 r2= I2 4 (r 5.3 m)2Despejamos r de la ecuacin:I1I2= | r5.3 mr ]2= |1 5.3 mr ]2= 1 10.6r+28.09r2I1I2 1 =28.0910.6 rr2| I1I2 1] r2+10.6 r 28.09 = 0Resolvemos la ecuacin para obtener el valor de r:2Tarea-Fisica 03-Ondas.nbLs frmula de la intensidad de onda es:I =Pm4 r2 Pm = I4 r2Para este problema tenemos:Pm = I1 4 r2Pm = I2 4 (r 5.3 m)2Donde I1 = 1.13 W f m2, I2 = 2.41 W f m2 y r es la distancia inicial a la que se encuentra el obser-vador.Igualamos ambas ecuacines:I1 4 r2= I2 4 (r 5.3 m)2Despejamos r de la ecuacin:I1I2= | r5.3 mr ]2= |1 5.3 mr ]2= 1 10.6r+28.09r2I1I2 1 =28.0910.6 rr2| I1I2 1] r2+10.6 r 28.09 = 0Resolvemos la ecuacin para obtener el valor de r:Solve_1.132.41 1 r2+10.6 r 28.09 =0, rr 3.14587, r 16.8119Descartamos elprimervalorya que no eslgico que alacercarse elobservador,la fuente seencuentreaunadistanciamayoralainicial.UsamoselsegundovalorylosustituimosenPm = I1 4 r2Pm == 1.13 - 4 - (16.81194121414946)2"W"Pm =4013.51 W5.- Determine la amplitud de la onda resultante cuando se combinan dos ondas senoidales quetienen igual frecuencia y que se desplazan en la misma direccin, si su amplitud es de 3.20 cm yde 4.19 cm, y si su fase difiere en /2 rad.Alencontrarsedesfasadaslasondasen f 2,utilizaremoslasiguientefr-mula:A = A12+A22+2 A1 A2Cos()A = (3.2)2+(4.19)2+2 - (3.2) - (4.19) - Cos[ f 2] "cm"A =5.2722 cm6.-Una cuerda de naylon de una guitarra tiene una densidad de masa linealde 7.16 g/m,y sehalla bajo una tensin de 152 N.Los soportes fijos estn separados por una distancia de 89.4cm.La cuerda vibra en elpatrn de onda estacionaria que aparece en la figura.Calcule a)larapidez, b) la longitud de onda y c) la frecuencia de las ondas componentes cuya superposicinda origen a esta vibracin.a)La velocidad se encuentra dada por:v =FTTarea-Fisica 03-Ondas.nb 3a)La velocidad se encuentra dada por:v =FTv =1527.16 103"mfs"v =145.702 mfsb)Podemosobservarenlaimagenquelavibracindelacuerdaconcuerdaconeltercerarmnico, por lo tanto la longitud de onda esta dada por: =2 L3 =2 - 89.43"cm". =59.6 cmc)Sabemos que: = vf =145.7020.596"Hz"f =244.466 Hz7.-Las vibraciones de un diapasn de 622 Hz generan ondas estacionarias en una cuerda sujetacon grapasen ambosextremos.Larapidezdeondaen lacuerdaes388 m/s.Laondaesta-cionaria tiene cuatro ciclos y una amplitud de 1.90 mm.a)Qu longitud tiene la cuerda? b)Escriba una ecuacin para obtener el desplazamiento de la cuerda en funcin de la posicin y eltiempo.a)Elnmero de armnico esta dado por dos veces elnmero de ciclos, en este caso son 4 ciclospor lo que corresponde al 8 armnico. La longitud de la cuerda esta dada por:L = n2Para obtener usamos: = vfDe esta forma tenemos que:L = nv2 f4Tarea-Fisica 03-Ondas.nba)Elnmero de armnico esta dado por dos veces elnmero de ciclos, en este caso son 4 ciclospor lo que corresponde al 8 armnico. La longitud de la cuerda esta dada por:L = n2Para obtener usamos: = vfDe esta forma tenemos que:L = nv2 fL =8 -388.2 - 622"m"L =2.49518 mb)La ecuacin de la onda es del tipo y(x, t) = A Sen(kx t), donde k y estan dadas por:k =2 =2 fv = 2 fk =2 - 622388."radfm"k =10.0725 radfm =2 - 622. "radfs" =3908.14 radfsLa ecuacin para esta onda es:y = (1.9 mm) Sen[(10.0725 radf m) x (3908.14 radf s) t]8.-Una onda con frecuencia de 493 Hztiene una rapidezde 353 m/s.a)A qu distancia seencuentran dos puntos cuya fase difiere en 55.00? b) Encuentre la diferencia de fase entre dosdesplazamientos en el mismo punto, pero en momentos que difiere 1.12 ms.a)Sabemos que esta dado por: = vfPodemos usar una regla de tres para establecer una relacin con la longitud de onda de estaforma:x55 =360 x =55 360 x =55360 -353493 - (100.) "cm"x =10.9393 cmb)Siconocemos elperiodo T, podemos saber eltiempo que tarda la onda en completar un ciclo.Podemos hacer una realacin con una simple regla de tres, sirecorre 2 rad en eltiempo quedura un ciclo (periodo T), entonces tenemos que:2 T=1.12103s = 2 1.12103sTDonde T =1

, sustituimos numricamente:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 5b)Siconocemos elperiodo T, podemos saber eltiempo que tarda la onda en completar un ciclo.Podemos hacer una realacin con una simple regla de tres, sirecorre 2 rad en eltiempo quedura un ciclo (periodo T), entonces tenemos que:2 T=1.12103s = 2 1.12103sTDonde T =1

, sustituimos numricamente: =2 -1.12 1031493" rad" =1.10432 radO lo podemos convertir a grados si lo multiplicamos por 180 : == 1.10432 -180"" =198.778 9.-Una funcin simple est dada pory(x)= x( -x)en la regin O < x < .Se desea que estafuncin sea aproximada por una serie de funciones seno en la forma y(x) - a1 sin x+a3 sin 3x+a5sin 5x+ .a) Con un programa de graficacin, estime los valores de a1, a3 y a5 que ofrecen elmejorajustevisual.b)Useunprogramadematemticassimblicas(MapleoMathematica)para evaluar las integralesydonde n y m son enteros, pero no iguales entre s. c) Encuentre los valores exactos de los coefi-cientes an para n e {1, 2, 3, 4, 5}, evaluando para elloPor qu funciona este mtodo? Compare sus respuestas con el proceso de inspeccin visual.a)6Tarea-Fisica 03-Ondas.nbPlot_{x ( x), _k=13 52 k5Sin[(2 k 1) x], {x, 2,5 2 ,AxesLabel x, y, Ticks {Range_2,5 2,2, PlotRange 5y2(x) = _k=1352 k5Sin[(2 k 1) x]y1(x) = x( x)223 22 5 2x4224yPodemosobservarquean =52 k5,porlotanto,parak = 1, 2, 3tenemosquean (donden = _k=132 k 1)valdr:a1 =52 - 15a1 =52a3 =52 - 25a3 =564a5 =52 - 35a5 =5486Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 7b)In = _0Sin[n- x]2dxin =2 Sin[2 n ]4 nI0 == _0Sin[n- x] Cos[m- x] dxi0 =n+n Cos[m] Cos[n ] +mSin[m] Sin[n ]m2n2c)a1 =12 Sin[2 ]4_0x ( x) Sin[x] dxa1 =8a2 =12 Sin[4 ]8_0x ( x) Sin[2 x] dxa2 =0a3 =12 Sin[6 ]12_0x ( x) Sin[3 x] dxa3 =827 a4 =12 Sin[8 ]16_0x ( x) Sin[4 x] dxa4 =0a5 =12 Sin[10 ]20_0x ( x) Sin[5 x] dxa5 =8125 No tengo la menor idea de cual es la razn por la que este mtodo funciona.Paracompararconelprocesodeinspeccinvisual,observamoslagrficageneradaconlosvalores de an obtenidos en c):8Tarea-Fisica 03-Ondas.nbNo tengo la menor idea de cual es la razn por la que este mtodo funciona.Paracompararconelprocesodeinspeccinvisual,observamoslagrficageneradaconlosvalores de an obtenidos en c):Plot_{x ( x),8Sin[x] +827 Sin[3 x] +8125 Sin[5 x], {x, 2,5 2 ,AxesLabel x, y, Ticks {Range_2 , 2 ,2, PlotRange 5y2(x) =8 Sin[x] +827 Sin[3 x] +8125 Sin[5 x]y1(x) = x( x)223 22 x4224yVisualmente apenas hay una diferencia perceptible entre ambos mtodos, sin embargo es claroque el segundo es mucho ms preciso.10.-Demostrar explcitamente que las siguientes funciones satisfacen la ecuacin de onda:(a)y(x,t) = (x +vt)3; (b) y(x, t) = Aeik(x-vt), en donde A y k son constantes e i=1 ; (c) y(x, t) = lnk(x+vt).La ecuacin de onda es:o2yox2=1v2o2yot2Para comprobar que una funcin satisface la ecuacin de onda tenemos que llegar al siguienteresultado: o2yox2o2yot2=1v2Eseresultado seobtienealdividirlasegundaderivadaparcialdeycon respecto ax,porlasegunda derivada parcialde y con respecto a t; para poder ser considerada una solucin de laecuacin de onda el resultado siempre tendr que ser 1v2. a) y(x, t) = (x +vt)3 oyox= 3 (x +vt)2 o2yox2= 6 (x +vt) oyot= 3 v(x +vt) 2 o2yot2= 6 v2(x +vt) Hacemos la divisin: o2yox2o2yot2=6 (x+vt)6 v2(x+vt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. b) y(x, t) = Aeik(xvt), donde A y k son constantes e i = 1 . oyox= A i k eik(xvt)o2yox2= A i2k2eik(xvt) oyot= A i k v eik(xvt)o2yot2= A i2k2v2eik(xvt) Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=A i2k2eik(xvt)A i2k2v2eik(xvt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. c) y(x, t) = ln k(x +vt) = ln k +ln(x +vt) oyox=1x+vt o2yox2= 1(x+vt)2 oyot=vx+vt o2yot2= v2(x+vt)2 Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=1(x+vt)2v2(x+vt)2=1v2El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda.Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 9La ecuacin de onda es:o2yox2=1v2o2yot2Para comprobar que una funcin satisface la ecuacin de onda tenemos que llegar al siguienteresultado: o2yox2o2yot2=1v2Eseresultado seobtienealdividirlasegundaderivadaparcialdeycon respecto ax,porlasegunda derivada parcialde y con respecto a t; para poder ser considerada una solucin de laecuacin de onda el resultado siempre tendr que ser 1v2. a) y(x, t) = (x +vt)3 oyox= 3 (x +vt)2 o2yox2= 6 (x +vt) oyot= 3 v(x +vt) 2 o2yot2= 6 v2(x +vt) Hacemos la divisin: o2yox2o2yot2=6 (x+vt)6 v2(x+vt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. b) y(x, t) = Aeik(xvt), donde A y k son constantes e i = 1 . oyox= A i k eik(xvt)o2yox2= A i2k2eik(xvt) oyot= A i k v eik(xvt)o2yot2= A i2k2v2eik(xvt) Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=A i2k2eik(xvt)A i2k2v2eik(xvt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. c) y(x, t) = ln k(x +vt) = ln k +ln(x +vt) oyox=1x+vt o2yox2= 1(x+vt)2 oyot=vx+vt o2yot2= v2(x+vt)2 Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=1(x+vt)2v2(x+vt)2=1v2El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda.10Tarea-Fisica 03-Ondas.nbLa ecuacin de onda es:o2yox2=1v2o2yot2Para comprobar que una funcin satisface la ecuacin de onda tenemos que llegar al siguienteresultado: o2yox2o2yot2=1v2Eseresultado seobtienealdividirlasegundaderivadaparcialdeycon respecto ax,porlasegunda derivada parcialde y con respecto a t; para poder ser considerada una solucin de laecuacin de onda el resultado siempre tendr que ser 1v2. a) y(x, t) = (x +vt)3 oyox= 3 (x +vt)2 o2yox2= 6 (x +vt) oyot= 3 v(x +vt) 2 o2yot2= 6 v2(x +vt) Hacemos la divisin: o2yox2o2yot2=6 (x+vt)6 v2(x+vt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. b) y(x, t) = Aeik(xvt), donde A y k son constantes e i = 1 . oyox= A i k eik(xvt)o2yox2= A i2k2eik(xvt) oyot= A i k v eik(xvt)o2yot2= A i2k2v2eik(xvt) Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=A i2k2eik(xvt)A i2k2v2eik(xvt)=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. c) y(x, t) = ln k(x +vt) = ln k +ln(x +vt) oyox=1x+vt o2yox2= 1(x+vt)2 oyot=vx+vt o2yot2= v2(x+vt)2 Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=1(x+vt)2v2(x+vt)2=1v2El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda.11.-Una onda armnica en una cuerda con una masa de 0.05 kg/m y una tensin de 80 N tieneuna amplitud de 5 cm. Cada seccin de la cuerda se mueve con movimiento armnico simple auna frecuencia de 10 Hz. Hallar la potencia propagada a lo largo de la cuerda.La potencia media para una onda que viaja en una cuerda es:Pm =122A2Donde: =FT = 2 Sustituimos yen la frmula de la potencia media:Pm =12FT (2 )2A2Sustituimos valores numricos para obtener el resultado:Pm =12 (0.05)800.05 (2 - 10)2(0.05)2"W"Pm =9.8696 W12.-Una onda armnica con una frecuencia de 80 Hzy una amplitud de 0.025 m se propagahacia la derecha a lo largo de una cuerda con una velocidad de 12 m/s. (a) Escribir una expre-sin que sea adecuada para la funcin de onda de la misma. (b) Determinar la velocidad mx-ima de un punto de la cuerda. (c) Determinar la aceleracin mxima de un punto de la cuerda.a)Sabemos que: = 2 y k =vEncontramosyluegoencontramosk,paradespussustituirenlafuncindeonda[A Sen(kx t)]Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 11a)Sabemos que: = 2 y k =vEncontramosyluegoencontramosk,paradespussustituirenlafuncindeonda[A Sen(kx t)] = (2. - - 80) "radfs" =502.655 radfsk =502.654824574366912"radfm"k =41.8879 radfmLa funcin de onda es:y - (0.025 m) Sen[(41.9 radf m) x (502.7 radf s) t]b)La velocidad de un punto de la cuerda esta dada por la primera derivada parcial de y con resped-tao a t:y(x, t) = A Sen(kx t)oyot= ACos(kx t)LavelocidadmximaparaunpuntodeestaondasedarcuandoCos(kx t) = 1,detalmanera que:mx = Amx =0.025 - 502.7 "mfs"mx =12.5675 mfsc)La aceleracin en un punto de la cuerda esta dada porla segunda derivada parcialde yconrespecto de t:o2yot2= A2Sen(kx t)LaaceleracinmximaparaunpuntodeestaondasedarcuandoSen(kx t) = 1,detalmanera que:amx = A2amx =0.025 - (502.7)2"mfs2"12Tarea-Fisica 03-Ondas.nbamx =6317.68 mfs213.- En una cuerda real,una onda pierde cierta energa cuando se propaga a lo largo de sta.Talsituacin puede describirse por una funcin de onda cuya amplitud A(x) depende de x: y =A(x) sin(kx-t) = (A0e-bx) sin(kx -t) (a) Cules la potencia originaltransportada por la ondaen el origen? (b) Cul es la potencia transportada por la onda en el punto x, donde x > O?La potencia media esta dada por:Pm =122A2a)La amplitud esta en funcin de x,A(x) = A0 ebx porlo tanto hay que evaluarla en x = 0 parapoder usarla:A(0) = A0 eb(0) = A0 1 = A0Sustituimos en la frmula de la potencia media:Pm =122A2= 2A02b)Para una amplitud A(x), con x > 0 volvemos a evaluar:A(x) = A0 eb(x) = A0 ebxSustituimos nuevamente en la frmula de la potencia media:Pm =122A2= 2|A0 ebx]2= 2A0 e2 bx14.-El nivel acstico del ladrido de un perro es 50 dB. La intensidad de un concierto de rock es10000 vecessuperiora la delladrido de un perro.Culeselnivelacstico delconcierto derock?El nivel de intensidad en decibelios (dB) se obtiene con la siguiente frmula: = (10 dB) log10II0Donde:I0 = 1012W f m2El nivel de intensidad del ladrido del perro es 50dB, nicamete despejamos Iperro de la ecuacin:50 dB = (10 dB) log10 IperroI05 = log10 IperroI0105= IperroI0Iperro = 105 I0Evaluamos numricamente:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 13El nivel de intensidad en decibelios (dB) se obtiene con la siguiente frmula: = (10 dB) log10II0Donde:I0 = 1012W f m2El nivel de intensidad del ladrido del perro es 50dB, nicamete despejamos Iperro de la ecuacin:50 dB = (10 dB) log10 IperroI05 = log10 IperroI0105= IperroI0Iperro = 105 I0Evaluamos numricamente:Iperro =105- 10.12"Wfm2"iperro =1. 107Wfm2LaintensidaddelconciertodeRockes10000vecessuperioralaintensidaddelladridodelperro, asi que:Iconcierto =10000 - 1. 107"Wfm2"iconcierto =0.001 Wfm215.-Unartculosobrecontaminacinacsticasealaqueelniveldeintensidadsonoraengrandes ciudades ha estado aumentando en 1 dB anualmente. (a) A qu aumento porcentualde intensidad corresponde esto? Parece razonable este incremento? (b)Aproximadamenteen cuntos aos se duplicar la intensidad de sonido si se incrementa en 1 dB anualmente?a)Tenemos que:1 dB = (10 dB) log10 IciudadI0110= log10 IciudadI010110= IciudadI0Iciudad = | 1010] I0Evaluamos numricamente:Iciudad = 10.10- 1012"Wfm2"iciudad =1.258931012Wfm2Para obtener el porcentaje de aumento hacemos: IciudadI0I0100:Aumento ==1.25893101210121012- 100 "%cada ao"Aumento =25.893 %cada aoNoparecemuyrazonable,yaqueaprimeravistapareceexagerado;sinembargo,hayqueadmitirque esdficilserconciente delcambio de intensidad entre un ao y otro,porlo quequizs podra ser razonable ese incremento. 14Tarea-Fisica 03-Ondas.nbNoparecemuyrazonable,yaqueaprimeravistapareceexagerado;sinembargo,hayqueadmitirque esdficilserconciente delcambio de intensidad entre un ao y otro,porlo quequizs podra ser razonable ese incremento. b)Para que la ciudad doble su nivel de intensidad tenemos que: = (10 dB) log102IciudadI0 =10. Log10_2 - 10121012 "dB" =3.0103 dBEn aproximadamente 3 aos la ciudad doblara su intensidad de sonido.16.-Todas las personas que han acudido a un cocktail se encuentran hablando igual de ruidosa-mente.Sislo estuviese hablando una persona,elnivelde sonido sera de 72 dB.Calcularelnivel de sonido cuando las 38 personas hablan a la vez.Para obtener el nivel de intensidad de 38 personas hablando, primero hay que despejar el nivelde intensidad de una sola persona hablando y luego multiplicarlo por 38:72 dB = 10 dB log10 IpersonaI0Como ya se han hecho despejessimilaresanteriormente,esta vezlo omitimos,de talformaque el resultado esta dado por: Ipersona = 107.2I0Ipersona =107.2- 1012"Wfm2"ipersona =0.0000158489 Wfm2Multiplicamos el resultado por 38 para obtener el nivel de intensidad de 38 personas hablandoa la vez y luego lo sustituimos en = (10 dB) log1038 IpersonaI0para obtenerlo en decibeles:I38 =38 - 0.0000158489 "Wfm2"i38 =0.000602258 Wfm238 =10 - Log10_0.0006022581012 "dB"38 =87.7978 dB17.-De forma rutinaria se utiliza elefecto Dopplerpara medirla velocidad delviento en unatormenta.Una estacin meteorolgica utiliza un radarde 625 MHzde frecuencia.Lasondasproducidas por elinstrumento se reflejan en las gotas de lluvia de una tormenta situada a 50km de la estacin y cuando llegan de nuevo a la estacin meteorolgica su frecuencia es 325 Hzmayor. Suponiendo que el viento est directamente encarado hacia la antena del radar y que elinstrumento nicamente mide elcomponente radialde la velocidad, a qu velocidad sopla elviento?Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 1517.-De forma rutinaria se utiliza elefecto Dopplerpara medirla velocidad delviento en unatormenta.Una estacin meteorolgica utiliza un radarde 625 MHzde frecuencia.Lasondasproducidas por elinstrumento se reflejan en las gotas de lluvia de una tormenta situada a 50km de la estacin y cuando llegan de nuevo a la estacin meteorolgica su frecuencia es 325 Hzmayor. Suponiendo que el viento est directamente encarado hacia la antena del radar y que elinstrumento nicamente mide elcomponente radialde la velocidad, a qu velocidad sopla elviento?Debido a que la velocidad del viento es mucho menor que las velocidad de las ondas electromag-neticas del radar, cu, es conveniente usar la aproximacin dada por la frmula:A

foco- ucDonde A es la varicacion de la frecuancia debida al efecto Doppler. Donde u = uf ur.u - cA

focoEvaluamos numricamente (elradaresta fijo,asque u representara la velocidad delemisor;las gotas de lluvia reflejan las ondas del radar, as que son el emisor):u - 3 108-325625 106"mfs"u - 156 mfs18.-Una unidad de radar de la polica transmite microondas de frecuencia 3 1010 Hz. La veloci-dad de estas ondas en el aire es 3.0 108 m/s. Supngase que un coche se aleja de esta unidadde radar a una velocidad de 140 km/h. Cul es la diferencia de frecuenciaentre la seal trans-mitida y la seal recibida del coche?La frmula del efecto Doppler es:

recibida =ureceptoruemisorSi el emisor se mueve hacia el receptor, usamos el signo negativo en el denominador; mientrasque si el receptor se mueve hacia el emisor, usamos el signo positivo en el numerador.Para este problema nombremos 1 a la frecuencia que emite la unidad de radar, 2 a la frecuen-cia que recibe elcoche y que luego refleja hacia la unidad de radar, y 3 a la frecuencia que elcoche emite hacia el radar.Tenemos por lo tanto que:

2 =u2

1y3 =u2

2Para conocer 3 sustituimos 2 en la segunda ecuacin:

3 =u2 |u2 ] 1 = |u2 ]2

1 = |1 u2 ]2

1 = |1 2 u2v+ u22v2 ] 1Debido a que u22 v2,despreciamos eltermino u22v2 para poder conocer una aproximacin deA; ahora tenemos que restar 3 a 1.A - 1 3 - 1|1 2 u2v ] 1 -2 u2v

116Tarea-Fisica 03-Ondas.nbLa frmula del efecto Doppler es:

recibida =ureceptoruemisorSi el emisor se mueve hacia el receptor, usamos el signo negativo en el denominador; mientrasque si el receptor se mueve hacia el emisor, usamos el signo positivo en el numerador.Para este problema nombremos 1 a la frecuencia que emite la unidad de radar, 2 a la frecuen-cia que recibe elcoche y que luego refleja hacia la unidad de radar, y 3 a la frecuencia que elcoche emite hacia el radar.Tenemos por lo tanto que:

2 =u2

1y3 =u2

2Para conocer 3 sustituimos 2 en la segunda ecuacin:

3 =u2 |u2 ] 1 = |u2 ]2

1 = |1 u2 ]2

1 = |1 2 u2v+ u22v2 ] 1Debido a que u22 v2,despreciamos eltermino u22v2 para poder conocer una aproximacin deA; ahora tenemos que restar 3 a 1.A - 1 3 - 1|1 2 u2v ] 1 -2 u2v

1A - 2.140 - |10003600 ]3 108 |3 1010] "Hz"A - 7777.78 Hz19.-La conductora de un coche que viaja a 100 km/h hacia un acantilado verticalhace sonarbrevemente la bocina. Exactamente un segundo despus, ella escucha eleco y observa que sufrecuenciaesde840Hz.Aqudistanciadelacantiladoseencontrabaelcochecuandolaconductora hizo sonar la bocina y cul es la frecuencia del sonido emitido?Usamos la frmula del efecto Doppler, ya con los ajustes de signo hechos (+ en el numerador yaque el coche se acerca a la fuente del eco), para saber la frecuencia inicial emitido:

2 = v+u2vu1 1 1 = vu1v+u2 2Sustituimos numricamente convirtiendo amf s:

1 =340. 100 |10003600 ]340 +100 |10003600 ] (840) "Hz"

1 =713.112 HzLa frmula de la velocidad nos ayuda a obtener la distancia:v = dt d = tPero en este caso la velocidad estara dada por la velocidad delcoche mas la velocidad de lasondas de sonido que emite; pero dado que para oir eleco elsonido tuvo que haber llegado alacantilado y luego regresado alcoche,y mientras eleco rebotaba elcoche avanz una distan-cia, nos damos cuenta que el coche y la onda de sonido recorriern 2 veces la distancia. Ajusta-mos la frmula y queda de esta manera:d = (vcoche+vsonido)2t Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 17La frmula de la velocidad nos ayuda a obtener la distancia:v = dt d = tPero en este caso la velocidad estara dada por la velocidad delcoche mas la velocidad de lasondas de sonido que emite; pero dado que para oir eleco elsonido tuvo que haber llegado alacantilado y luego regresado alcoche,y mientras eleco rebotaba elcoche avanz una distan-cia, nos damos cuenta que el coche y la onda de sonido recorriern 2 veces la distancia. Ajusta-mos la frmula y queda de esta manera:d = (vcoche+vsonido)2t d =|100 |10003600 ] +340]2- 1. "m"d =183.889 m20.-En el instante t = 0, la forma de un pulso de onda en una cuerda viene dada por la funciny(x,0) = 0.12 m3(2.00 m)2+ x2en donde x est en metros. (a) Dibujar y(x, 0) en funcin de x. Expresar la funcin de onda y(x,t) en un instante t cualquiera si (b) el pulso se est moviendo en el sentido positivo de las x conuna velocidad de 10 m/s y (c) si se est moviendo en el sentido negativo de las x con una veloci-dad del mismo valor.a)Plot_0.1222+x2, x, 8, 8, PlotRange .04, AxesLabel x, y5 5x0.040.020.020.04yb)La funcin de onda viajando en elsentido +x es de la forma y(x, t) = f (kx ),pero como noconsideramosa k,la funcin queda de la formaf (x t);la velocidad esde 10 mf s,asiquetenemos que remplazar x por x t para tener la funcin de esta onda:y(x, t) =0.12 m3(2.00 m)2+(xt)2=0.12 m3(2.00 m)2+x(10 mfs) tj2c)Paraunaondaviajandoenelsentidodelasx,lafuncindeondaesdeltipoy(x, t) = f (x +t); la funcin para esta onda es:y(x, t) =0.12 m3(2.00 m)2+x+(10 mfs) tj218Tarea-Fisica 03-Ondas.nbb)La funcin de onda viajando en elsentido +x es de la forma y(x, t) = f (kx ),pero como noconsideramosa k,la funcin queda de la formaf (x t);la velocidad esde 10 mf s,asiquetenemos que remplazar x por x t para tener la funcin de esta onda:y(x, t) =0.12 m3(2.00 m)2+(xt)2=0.12 m3(2.00 m)2+x(10 mfs) tj2c)Paraunaondaviajandoenelsentidodelasx,lafuncindeondaesdeltipoy(x, t) = f (x +t); la funcin para esta onda es:y(x, t) =0.12 m3(2.00 m)2+x+(10 mfs) tj221.-Lasolasdelmarse mueven hacia la playa con una velocidad de 8.9 m/sy con una sepa-racin entre crestas de 15.0 m. Nos encontramos en un pequeo bote anclado junto a la costa.(a) Cules la frecuencia de las olas delmar? (b) Se leva elancla y nos movemos hacia elmarcon una velocidad de 15 m/s. Qu frecuencia de olas se observar entonces?a)La ongitud de onda y la velocidad se relacionan con la siguiente frmula para obtener la frecuen-cia:v = = v =8.915"Hz" =0.593333 Hzb)UsamoslafrmuladelefectoDopplerparasaberlanuevafrecuenciarecibida;tomamoselsigno + en el numerador ya que la lancha (receptor) se acerca a la fuente, tambien tomamos lavelocidad de la fuente como 0 ya que en realidad no esta en movimiento:

2 = vu2vu1 1 = v+u2v

1

2 =8.9 +158.9 (0.59333) "Hz"

2 =1.59332 Hz22.-De forma rutinaria se envan rayos de luz lserhacia la Luna para determinar la distanciaTierra-Luna.Sin embargo,para determinar la distancia con la mxima exactitud,debe tenerseen cuentaque lavelocidad de laluzen laatmsferaterrestre esel99.997 porciento de lavelocidad de la luz en el vaco. Suponiendo que la atmsfera de la Tierra tiene un espesor de 8km, estimar qu cambio en la distancia supone la correccin.Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 1922.-De forma rutinaria se envan rayos de luz lserhacia la Luna para determinar la distanciaTierra-Luna.Sin embargo,para determinar la distancia con la mxima exactitud,debe tenerseen cuentaque lavelocidad de laluzen laatmsferaterrestre esel99.997 porciento de lavelocidad de la luz en el vaco. Suponiendo que la atmsfera de la Tierra tiene un espesor de 8km, estimar qu cambio en la distancia supone la correccin.Sabemos que:d = t t = dvY como el tiempo total para llegar a la luna es igual tiempo que se viaja dentro de la atmsferamas el tiempo fuera de la atmsfera (en el espacio), tenemos que:ttotal = tatmsfera+tespacioSupongamos que la distancia total es la que se viaja dentro de la amsfera es d1 (8km=8000m)y la distancia de la atmsfera a la Luna es la distancia total menos el grosor de la atmsfera. Asique tenemos:ttotal =d1catmsfera + dd1c=ccatmsfera d1+d d1La frmula de la distancia corregida quedar asi:dcorregidad =ccatmsfera d1d1dcorregida =3 108(0.99997) |3 108]8000 8000 "m"dcorregida =0.240007 mEso es aproximadamente 24 cm de coreccin.23.-Examine detenidamente las dos fuentes puntuales S1 y S2 en la figura, que emiten ondas dela misma frecuencia fy amplitud A.Comienzan con la misma fase,y esta relacin de fase seconserva todo el tiempo. Considere el punto P, donde r1 es casi igual a r2. a) Demuestre que lasuperposicin de estas dos ondas genera una, cuya amplitud ym vara con la posicin P aproxi-madamente segnym = 2 Arcos k2(r1r2)donde r = (r1+r2)/2.b) Demuestre despus que la cancelacin totalocurre cuando r1-r2 = (n +12); donde n es un entero cualquiera, y que elreforzamiento totalocurre cuando r1 - r2 = n.Es una hiprbola el lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancia respecto a dospuntos fijos es una constante; los puntos fijos son los focos. Por eso, cada valor n da una lneahiperblicadeinterferenciaconstructiva.LaamplituddelasondasprocedentesdeS1 yS2difieren,las cancelaciones son parciales en los puntos donde r1 y r2 no son aproximadamenteiguales (cerca de las fuentes, por ejemplo).20Tarea-Fisica 03-Ondas.nb23.-Examine detenidamente las dos fuentes puntuales S1 y S2 en la figura, que emiten ondas dela misma frecuencia fy amplitud A.Comienzan con la misma fase,y esta relacin de fase seconserva todo el tiempo. Considere el punto P, donde r1 es casi igual a r2. a) Demuestre que lasuperposicin de estas dos ondas genera una, cuya amplitud ym vara con la posicin P aproxi-madamente segnym = 2 Arcos k2(r1r2)donde r = (r1+r2)/2.b) Demuestre despus que la cancelacin totalocurre cuando r1-r2 = (n +12); donde n es un entero cualquiera, y que elreforzamiento totalocurre cuando r1 - r2 = n.Es una hiprbola el lugar geomtrico de los puntos cuya diferencia de distancia respecto a dospuntos fijos es una constante; los puntos fijos son los focos. Por eso, cada valor n da una lneahiperblicadeinterferenciaconstructiva.LaamplituddelasondasprocedentesdeS1 yS2difieren,las cancelaciones son parciales en los puntos donde r1 y r2 no son aproximadamenteiguales (cerca de las fuentes, por ejemplo).a)Sumamos las funciones de dos ondas con igual amplitud:y1 = ASen(kr1t)y2 = ASen(kr2t)ym = y1+y2 = ASen(kr1t) +ASen(kr2t)ym = 2 A Cos12 (kr1t (kr2t))j Sen12 (kr1t +kr2t)jym = 2 A Cos12 k(r1r2)j Sen12 (k(r1+r2) 2 t)jPara t = 0 sym = 2 A Cos12 k(r1r2)j Sen12 k(r1+r2)jym -2 A(r1+r2)f2Cos12 k(r1r2)j -2 ArCos12 k(r1r2)jb)Supongamos que:r1r2 = |n +12 ] O lo que es lo mismo:r1r2 = n2 , para n = 1, 3, 5, 7 ... un nmero impar.Sabemos que k = 2 f ; sustituimos:ym -2 ArCos12 k| n2 ]j -2 ArCos | n2 ]j -2 ArCos n2 jComon = impar,siempretendremosunnumerosemienterode,loquehacequeCos n2 j = 0, por lo que la interferencia es destructiva y hay cancelacin total.Para el caso donde:r1r2 = nDonde n = 1, 2, 3, 4 ... un nmero entero. Tenemos entonces que:ym -2 ArCos12 k(n)j -2 ArCos[n]Alsern = entero,tenemosque Cos[n] = 1,porlo que la interferencia ser constructiva yhabr un reforzamiento total.Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 21a)Sumamos las funciones de dos ondas con igual amplitud:y1 = ASen(kr1t)y2 = ASen(kr2t)ym = y1+y2 = ASen(kr1t) +ASen(kr2t)ym = 2 A Cos12 (kr1t (kr2t))j Sen12 (kr1t +kr2t)jym = 2 A Cos12 k(r1r2)j Sen12 (k(r1+r2) 2 t)jPara t = 0 sym = 2 A Cos12 k(r1r2)j Sen12 k(r1+r2)jym -2 A(r1+r2)f2Cos12 k(r1r2)j -2 ArCos12 k(r1r2)jb)Supongamos que:r1r2 = |n +12 ] O lo que es lo mismo:r1r2 = n2 , para n = 1, 3, 5, 7 ... un nmero impar.Sabemos que k = 2 f ; sustituimos:ym -2 ArCos12 k| n2 ]j -2 ArCos | n2 ]j -2 ArCos n2 jComon = impar,siempretendremosunnumerosemienterode,loquehacequeCos n2 j = 0, por lo que la interferencia es destructiva y hay cancelacin total.Para el caso donde:r1r2 = nDonde n = 1, 2, 3, 4 ... un nmero entero. Tenemos entonces que:ym -2 ArCos12 k(n)j -2 ArCos[n]Alsern = entero,tenemosque Cos[n] = 1,porlo que la interferencia ser constructiva yhabr un reforzamiento total.24.-Considereunaondaestacionaria,queeslasumadedosondasquesiguendireccionesopuestas,pero quesonidnticasenlosdemasaspectos.Demuestrequelaenergacinticamxima de cada ciclo de la onda es 22y2mf.Laecuacindelainterferenciadedosondasqueviajanendiferentediraccinquedadelasiguiente manera:y(x, t) = 2 ymCos(t) Sen(k x)La energa cintica mxima de cada ciclo esta dada por:Ec mx =12 m(m)2 La velocidad la obtenemos al derivar la funcion de onda con respecto a t: =oyot=oot2 ymCos(t) Sen(k x) = 2 ymSen(t) Sen(k x)La velocidad mxima esta dada cuando Sen(t) = 1, de tal forma que:m = 2 ymSen(k x)Para obtener la energa cintica mxima sustituimos:dEc mx =12dm(m)2= ym22Sen2(k x) dmDonde: =dmdxdm = dxSustituimos dm e integramos desde kx = 0 hasta kx = :Ec mx = ]0ym22 Sen2(k x) dxEc mx = ym222 k= 2 2ym222Tarea-Fisica 03-Ondas.nbLaecuacindelainterferenciadedosondasqueviajanendiferentediraccinquedadelasiguiente manera:y(x, t) = 2 ymCos(t) Sen(k x)La energa cintica mxima de cada ciclo esta dada por:Ec mx =12 m(m)2 La velocidad la obtenemos al derivar la funcion de onda con respecto a t: =oyot=oot2 ymCos(t) Sen(k x) = 2 ymSen(t) Sen(k x)La velocidad mxima esta dada cuando Sen(t) = 1, de tal forma que:m = 2 ymSen(k x)Para obtener la energa cintica mxima sustituimos:dEc mx =12dm(m)2= ym22Sen2(k x) dmDonde: =dmdxdm = dxSustituimos dm e integramos desde kx = 0 hasta kx = :Ec mx = ]0ym22 Sen2(k x) dxEc mx = ym222 k= 2 2ym225.-Puede haber interferencia en las ondas con distinta frecuencia.(a) Demuestre que la resultante de las dos ondaspuede escribirse as(b) Qu es /k?(c) Describa en trminos cualitativos el movimiento de esta onda.a)La suma de esas dos ondas se resuelve con la siguiente identidad trigonomtrica ya que tienenigual amplitud:Sen 1+Sen 2 = 2 Cos12 (12) Sen12 (1+2)Sumamos las funciones de las dos ondas y obtenemos:y(x, t) = y1+y2 = ymSen(k1 x 1 t) +ymSen(k2 x 2 t)y(x, t) = 2 ymCos12 [(k1 x 1 t k2 x +2 t)] Sen12 [(k1 x 1 t +k2 x 2 t)]y(x, t) = 2 ymCos12 [(k1k2) x (1+2) t] Sen12 [(k1+k2) x (1+2) t]Para poder llegar a la ecuacin que indica el problema hay que considerar lo siguiente :Ak = (k1k2) xA = (12) tkx = (k1+k2)2xt = (1+2)2tb)k=(1+2)2(k1+k2)2=1+2k1+k2= Eso es equivalente a la velocidad de la onda resultante.c)La onda se mueve hacia la derecha y en su punto mximo tiene una amplitud igual al doble dela amplitud de sus ondas componentes; sin embargo las ondas componentes tienen frecuenciasdiferentes,porloqueinterfierenconstructivamenteydestructivamenteaintervalosdetiempo, lo que le da a la onda resultante una frecuencia de batido.Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 23a)La suma de esas dos ondas se resuelve con la siguiente identidad trigonomtrica ya que tienenigual amplitud:Sen 1+Sen 2 = 2 Cos12 (12) Sen12 (1+2)Sumamos las funciones de las dos ondas y obtenemos:y(x, t) = y1+y2 = ymSen(k1 x 1 t) +ymSen(k2 x 2 t)y(x, t) = 2 ymCos12 [(k1 x 1 t k2 x +2 t)] Sen12 [(k1 x 1 t +k2 x 2 t)]y(x, t) = 2 ymCos12 [(k1k2) x (1+2) t] Sen12 [(k1+k2) x (1+2) t]Para poder llegar a la ecuacin que indica el problema hay que considerar lo siguiente :Ak = (k1k2) xA = (12) tkx = (k1+k2)2xt = (1+2)2tb)k=(1+2)2(k1+k2)2=1+2k1+k2= Eso es equivalente a la velocidad de la onda resultante.c)La onda se mueve hacia la derecha y en su punto mximo tiene una amplitud igual al doble dela amplitud de sus ondas componentes; sin embargo las ondas componentes tienen frecuenciasdiferentes,porloqueinterfierenconstructivamenteydestructivamenteaintervalosdetiempo, lo que le da a la onda resultante una frecuencia de batido.26.-Demuestre que las siguientes funciones satisfacen la ecuacin de ondao2y (x, t)ox2= 1v2o2y (x, t)ot2 (a) y(x, t) = Acos(kx + t)(b) y(x, t) = Asin(kx - t)(c) En qu direcciones viajan estas ondas? Cmo lo sabe?(d) Para la onda de la parte (b), escriba las ecuaciones para la rapidez y la aceleracin transver-sales de una partcula en el punto x.Para demostrarlas hacemos:o2yox2o2yot2=1v2a)y(x, t) = ACos(kx +t)oyox= AkSen(kx +t)o2yox2= Ak2Cos(kx +t)oyot= ASen(kx +t)o2yot2= A2Cos(kx +t) Hacemos la divisin: o2yox2o2yot2=Ak2Cos(kx+t)A2Cos(kx+t)=k22=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. b)y (x, t) = ASen (kx t)oyox= AkCos(kx t)o2yox2= Ak2Sen(kx t)oyot= ACos(kx t)o2yot2= A2Sen(kx t) Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=Ak2Sen(kxt)A2Sen(kxt)=k22=1v2 c)La onda a) viaja hacia la izquierda y la onda b) viaja hacia la derecha. La direccin en la que viajala onda esta dada por el signo del segundo termino del argumento de la funcin. d)vy =oyot= ACos(kx t)ay =o2yot2= A2Sen(kx t)24Tarea-Fisica 03-Ondas.nbPara demostrarlas hacemos:o2yox2o2yot2=1v2a)y(x, t) = ACos(kx +t)oyox= AkSen(kx +t)o2yox2= Ak2Cos(kx +t)oyot= ASen(kx +t)o2yot2= A2Cos(kx +t) Hacemos la divisin: o2yox2o2yot2=Ak2Cos(kx+t)A2Cos(kx+t)=k22=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. b)y (x, t) = ASen (kx t)oyox= AkCos(kx t)o2yox2= Ak2Sen(kx t)oyot= ACos(kx t)o2yot2= A2Sen(kx t) Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=Ak2Sen(kxt)A2Sen(kxt)=k22=1v2 c)La onda a) viaja hacia la izquierda y la onda b) viaja hacia la derecha. La direccin en la que viajala onda esta dada por el signo del segundo termino del argumento de la funcin. d)vy =oyot= ACos(kx t)ay =o2yot2= A2Sen(kx t)Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 25Para demostrarlas hacemos:o2yox2o2yot2=1v2a)y(x, t) = ACos(kx +t)oyox= AkSen(kx +t)o2yox2= Ak2Cos(kx +t)oyot= ASen(kx +t)o2yot2= A2Cos(kx +t) Hacemos la divisin: o2yox2o2yot2=Ak2Cos(kx+t)A2Cos(kx+t)=k22=1v2 El resultado es 1v2, por lo tanto esta funcin es una solucin de la ecuacin de onda. b)y (x, t) = ASen (kx t)oyox= AkCos(kx t)o2yox2= Ak2Sen(kx t)oyot= ACos(kx t)o2yot2= A2Sen(kx t) Hacemos la divisin:o2yox2o2yot2=Ak2Sen(kxt)A2Sen(kxt)=k22=1v2 c)La onda a) viaja hacia la izquierda y la onda b) viaja hacia la derecha. La direccin en la que viajala onda esta dada por el signo del segundo termino del argumento de la funcin. d)vy =oyot= ACos(kx t)ay =o2yot2= A2Sen(kx t)27.-(a) Para una onda descrita por y(x, t) = Acos(kx - t), grafique y, vy y ay en funcin de x parat = 0. (b)Considere lossiguientespuntosde la cuerda (i)x= 0,(ii)x= /4k,(iii)x= /2k,(iv)x=3/4k, (v) x = /k, (vi) x = 5/4k, (vii) x = 3/2k y (viii) x = 7/4k. Para una partcula en cada unode estos puntos en t = 0, indique con palabras sila partcula se est moviendo y en qu direc-cin, y si est acelerando, frenando o tiene una aceleracin instantanea cero.a)y(x, t) = ACos(kx t) en Azulvy = ASen(kx t)en Rojoay = A2Cos(kx t) en VerdeLas grficas de las funciones con A = 1, k = 1 y = 2Plot_Cos[x], 2 Sin[x], 4 Cos[x], {x, 0,5 2 , Ticks {Range_0, 3 ,4423 45 43 27 42 9 45 24224b)(i) x = 0 La partcula est en un mximo no se mueve y tiene aceleracin instantanea igual a cero.(ii) x = f 4 k La partcula se est moviendo hacia abajo y est acelerado.(iii) x = f 2 kLa partcula se est moviendo hacia abajo (est en equilibrio justo ahora) y est acelerado.(iv) x = 3 f 4 kLa partcula se est moviendo hacia abajo y est acelerado.(v) x = f kLa partcula est en un mnimo no se mueve y tiene aceleracin instantanea igual a cero.(vi) x = 5 f 4 k La partcula se est moviendo hacia arriba y est frenando.(vii) x = 3 f 2 kLa partcula se est moviendo hacia arriba (est en equilibrio justo ahora) y est frenando.(viii) x = 7 f 4 kLa partcula se est moviendo hacia arriba y est frenando.26Tarea-Fisica 03-Ondas.nbb)(i) x = 0 La partcula est en un mximo no se mueve y tiene aceleracin instantanea igual a cero.(ii) x = f 4 k La partcula se est moviendo hacia abajo y est acelerado.(iii) x = f 2 kLa partcula se est moviendo hacia abajo (est en equilibrio justo ahora) y est acelerado.(iv) x = 3 f 4 kLa partcula se est moviendo hacia abajo y est acelerado.(v) x = f kLa partcula est en un mnimo no se mueve y tiene aceleracin instantanea igual a cero.(vi) x = 5 f 4 k La partcula se est moviendo hacia arriba y est frenando.(vii) x = 3 f 2 kLa partcula se est moviendo hacia arriba (est en equilibrio justo ahora) y est frenando.(viii) x = 7 f 4 kLa partcula se est moviendo hacia arriba y est frenando.28.-(a) Demuestre que la ecuaciny(x, t) = Acos[(xv - t)] = Acos2f(xv - t)puede escribirse comoy(x, t) = Acos[2 (x-vt)](b) Use y(x, t) para obtener una expresin para la velocidad transversal vy de una partcula de lacuerda en la que viaja la onda. (c) Calcule la rapidez mxima de una partcula de la cuerda. En qu circunstancias es igual a larapidez de propagacin v? Menor que v?a)Para demostrar la ecuacin usamos: = 2 k =vk =2 Hacemos las sustituciones y tenemos que:y(x, t) = ACos2 | xv t]j = ACos|xvt] = ACos(kx t)Factorizamos k y hacemos la sustitucin:y(x, t) = ACos(kx t) = ACos [k(x t)] = ACos 2 (x t)jDe esa forma se demuestra que se puede escribir de esa forma la ecuacin.b)Hacemos la primera derivada parcial y con respecto a t:y =oy(x,t)ot=ootACos(kx t) = ASen(kx t)c)La rapidez mxima se da cuando Sen(kx t) = 1:y mx = ACuando el producto de la amplitud y 2 es mayor que la longitud de onda, la velocidad de unapartcula es mayor que la velocidad de propagacin de la onda. Cuando la longitud de onda esmayorqueelproductodelaamplitudy2 ,lavelocidaddeunapartculaesmenorquelarapidez de propagacin. Si = 2 A, la velocidad de la partcula ser iguala la rapidez de propa-gacin de la onda.Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 27a)Para demostrar la ecuacin usamos: = 2 k =vk =2 Hacemos las sustituciones y tenemos que:y(x, t) = ACos2 | xv t]j = ACos|xvt] = ACos(kx t)Factorizamos k y hacemos la sustitucin:y(x, t) = ACos(kx t) = ACos [k(x t)] = ACos 2 (x t)jDe esa forma se demuestra que se puede escribir de esa forma la ecuacin.b)Hacemos la primera derivada parcial y con respecto a t:y =oy(x,t)ot=ootACos(kx t) = ASen(kx t)c)La rapidez mxima se da cuando Sen(kx t) = 1:y mx = ACuando el producto de la amplitud y 2 es mayor que la longitud de onda, la velocidad de unapartcula es mayor que la velocidad de propagacin de la onda. Cuando la longitud de onda esmayorqueelproductodelaamplitudy2 ,lavelocidaddeunapartculaesmenorquelarapidez de propagacin. Si = 2 A, la velocidad de la partcula ser iguala la rapidez de propa-gacin de la onda.29.-Una onda transversal con amplitud de 0.300 cm, longitud de onda de 12.0 cm y rapidez de6.00 cm/s que viaja en una cuerda se representa con y(x, t) del ejercicio 28. (a) En t = 0 calcule y a intervalos de 1.5 cm (es decir, en x = 0, x = 1.5 cm, x = 3.0 cm, etc.) de x =0 a x = 12 cm. Muestre los resultados en una grfica. sta es la forma de la cuerda en t = 0. (b) Repita los clculos para los mismos valores de x en t = 0.400 s y t = 0.800 s. Muestre grfica-mente la forma de la cuerda en esos instantes. En qu direccin viaja la onda?a)La funcin de onda queda de la siguiente manera:ACos2 (x t)jCon t = 0 s28Tarea-Fisica 03-Ondas.nba)La funcin de onda queda de la siguiente manera:ACos2 (x t)jCon t = 0 sPlot_{0.3 - Cos_2 12 (x), x, 0, 4 , AxesLabel "x(cm)", "y(cm)",GridLines 1.5, Dashed, 2 (1.5), Dashed, 3 (1.5), Dashed,4 (1.5), Dashed, 5 (1.5), Dashed, 6 (1.5), Dashed,7 (1.5), Dashed, 8 (1.5), Dashed, 0, Dashed2 4 6 8 10 12x(cm)0.30.20.10.10.20.3y(cm)b)Para t = 0.400 sPlot_{0.3 - Cos_2 12 (x 6 (0.4)), x, 0, 4 ,AxesLabel "x(cm)", "y(cm)", GridLines 1.5, Dashed,2 (1.5), Dashed, 3 (1.5), Dashed, 4 (1.5), Dashed, 5 (1.5), Dashed,6 (1.5), Dashed, 7 (1.5), Dashed, 8 (1.5), Dashed, 0, DashedTarea-Fisica 03-Ondas.nb 292 4 6 8 10 12x(cm)0.30.20.10.10.20.3y(cm)Para t = 0.800 sPlot_{0.3 - Cos_2 12 (x 6 (0.8)), x, 0, 4 ,AxesLabel "x(cm)", "y(cm)", GridLines 1.5, Dashed,2 (1.5), Dashed, 3 (1.5), Dashed, 4 (1.5), Dashed, 5 (1.5), Dashed,6 (1.5), Dashed, 7 (1.5), Dashed, 8 (1.5), Dashed, 0, Dashed2 4 6 8 10 12x(cm)0.30.20.10.10.20.3y(cm)Se est moviendo hacia la drecha.30.-Laecuaciny(x,t)=Acos(kx-t)paraunaondasenoidalpuedehacersemsgeneralincluyendo un ngulo de fase ,donde 0 s s 2 (en radianes)de modo que la funcin deonda y(x, t) se convierte en y(x, t) = Acos(kx - t + )(a) Dibuje la onda en funcin de x en t = 0 para = 0, = /4, = /2, = 3/4 y = 3/2.(b) Calcule la velocidad transversal vy = oy/ot.(c) En t = 0, una partcula de la cuerda que est en x = 0 tiene un desplazamiento de y = A/ 2 .Basta esta informacin para determinar el valor de ? Si adems sabemos que una partula enx = 0 se mueve hacia y = 0 en t = 0, qu valor tiene ?(d) Explique en una forma general qu debe saber acerca del comportamiento de la onda en uninstante dado para determinar el valor de .30Tarea-Fisica 03-Ondas.nb30.-Laecuaciny(x,t)=Acos(kx-t)paraunaondasenoidalpuedehacersemsgeneralincluyendo un ngulo de fase ,donde 0 s s 2 (en radianes)de modo que la funcin deonda y(x, t) se convierte en y(x, t) = Acos(kx - t + )(a) Dibuje la onda en funcin de x en t = 0 para = 0, = /4, = /2, = 3/4 y = 3/2.(b) Calcule la velocidad transversal vy = oy/ot.(c) En t = 0, una partcula de la cuerda que est en x = 0 tiene un desplazamiento de y = A/ 2 .Basta esta informacin para determinar el valor de ? Si adems sabemos que una partula enx = 0 se mueve hacia y = 0 en t = 0, qu valor tiene ?(d) Explique en una forma general qu debe saber acerca del comportamiento de la onda en uninstante dado para determinar el valor de .a)Las funcines cortan de manera descendente el eje de las y en el siguiente orden:ACos(x)ACos|x +4 ]ACos|x +2 ]ACos|x +3 2 ]ACos|x +3 4 ]Plot_{Cos[x], Cos_x + 4, Cos_x + 2, Cos_x +3 4 , Cos_x +3 2 ,x, 0, 3 , Ticks {Range_0, 3 ,4, AxesLabel x, y423 45 43 27 42 9 45 211 43 x1.00.50.51.0yb)y =oyot=ootACos(kx t +)y = ASen(kx t +)c)Si, podemos hacer lo siguiente para obtener el ngulo de desfase:A2= Cos() = ArcCosA2 El valor del ngulo de desfase es:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 31b)y =oyot=ootACos(kx t +)y = ASen(kx t +)c)Si, podemos hacer lo siguiente para obtener el ngulo de desfase:A2= Cos() = ArcCosA2 El valor del ngulo de desfase es: == ArcCos_12 =4d)Su funcin de onda, su amplitud y el punto en el que corta el eje y.31.-Un hilo de 50 cm de longitud vibra sometido a una tensin de 1.00 N.La figura muestracincoimgenesestroboscpicassucesivasdelhilo.Lalmparaproduce5000destellosporminuto y las observaciones revelan que el desplazamiento mximo se dio en los destellos 1 y 5,sin otros mximos intermedios. a) Calcule la longitud de onda, el periodo y la frecuencia de lasondasque viajan poreste hilo.b)En qu modo normal(armnico)est vibrando elhilo? c)Calculelarapidezdelasondasviajerasen elhilo.d)Con qurapidezseestmoviendo elpunto P cuando el hilo est en (i) la posicin 1 y (ii) en la posicin 3? e) Calcule la masa del hilo.a)La longitud de onda se puede extraer visualmente: = 50 cmLa frecuencia se obtiene de la siguiente manera: = |5000 destellosmin ] |1 min60 s ] |1 ciclo5 destellos]32Tarea-Fisica 03-Ondas.nba)La longitud de onda se puede extraer visualmente: = 50 cmLa frecuencia se obtiene de la siguiente manera: = |5000 destellosmin ] |1 min60 s ] |1 ciclo5 destellos] =5000.60 5"Hz" =16.6667 HzEl periodo se obtiene con:T =1

T =60 55000."s"T =0.06 sb)El modo armnico en el que vibra se obtiene visualmente, es el 2 armnico.c)La rapidez se extrae con: = =500060 50.5 "mfs" =8.33333 mfsd)La velocidad del punto P esta dada por:y = ACos()(i) Cuando P esta en la posicin 1, y vale:y = (0.15) 2 500060 5Cos_2 "mfs"y =0.(ii) Cuando P esta en la posicin 3, y vale:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 33y = (0.15) 2 500060 5Cos[] "mfs"y = 15.708 mfsEn esta psicin P vale 15.7 mf s, el signo nicamente indica la direccin en la que viaja.e)Tenemos que despejar de la siguiente ecuacin: =FT =FT2Recordamos que = mL; sustituimos y despejamos m:mL=FT2m = L FT2m =0.51||5000605 ] 0.5]2 1000 "gr"m =7.2 gr32.-Un oscilador vibra a 1250 Hz y produce una onda sonora que viaja a travs de un gas ideal a325 m/s, cuando la temperatura del gas es de 22.0 C. Para cierto experimento, usted necesitaque el oscilador produzca un sonido con longitud de onda de 28.5 cm en ese gas. Cul deberaser la temperatura del gas para permitir que se alcance esa longitud de onda?La longitud de onda esta dada por: = v

De tal forma que 1 y 2 se pueden obtenerde la siguiente manera: 1 =1

RT1M2 =1

RT2MSi despejamos la constante presente en ambas ecuaciones tenemos: 1T1=1

RM 2T2=1

RM Igualamos ambas ecuaciones: 1T1=2T2 Despejamos T2: T2T1=21 T2T1= |21 ]2 T2 = T1|21 ]2= T1|2 1 ]2 Sustituimos numricamente para obtener el resultado (convirtiendo la temperatura a Kelvins):34Tarea-Fisica 03-Ondas.nbLa longitud de onda esta dada por: = v

De tal forma que 1 y 2 se pueden obtenerde la siguiente manera: 1 =1

RT1M2 =1

RT2MSi despejamos la constante presente en ambas ecuaciones tenemos: 1T1=1

RM 2T2=1

RM Igualamos ambas ecuaciones: 1T1=2T2 Despejamos T2: T2T1=21 T2T1= |21 ]2 T2 = T1|21 ]2= T1|2 1 ]2 Sustituimos numricamente para obtener el resultado (convirtiendo la temperatura a Kelvins):T2 = (273.15+22)0.285 12503252"K"T2 =354.638 KPara convertir C restamos 273.15 K:T2 = (354.638273.15) "C"Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 35T2 =81.488 C33.-a) Demuestre que elcambio fraccionalen la rapidez delsonido (dv/v) debido a un cambiomuy pequeo en la temperatura dT est dado por dv/v = 12dT/T . Sugerencia: comience con laecuacinv =RTMb) La rapidez del sonido en el aire a 20 C es de 344 m/s. Utilice el resultado en el inciso a) paradeterminarelcambio en la rapidezdelsonido que corresponde a un cambio de 1.0 C en latemperatura del aire.a)Para demostrarlo tenemos que derivar por dt:ddT=RMdT1f2dT=12RMdT1f2=12 TRTM=2 TTenemos entonces que:ddT=2 TReacomodamos y obtenemos:d=dT2 T=12dT f Tb)Integrando obtenemos:A=12ATTDespejamos A:A =2ATTSuponemos que el cambio en la temperatura es de 1 C = 1 K; resolvemos numricamente:36Tarea-Fisica 03-Ondas.nbA =34421(20 +273.15)"mfs"A =0.58673 mfs34.-a) Una onda longitudinal que se propaga en un tubo lleno de agua tiene una intensidad de3.00106 W/m2 y su frecuencia es de 3400 Hz.Calcule la amplitud A y la longitud de onda para esa onda.La densidad delagua es de 1000 kg/m3 y su mdulo de volumen es de 2.18 109 Pa. b) Si el tubo est lleno con aire a una presin de 1.00 105 Pa y la densidad es de 1.20kg/m3, qu amplitud A y longitud de onda tendr una onda longitudinal con la misma intensi-dad y frecuencia que en el inciso a)? c) En qu fluido es mayor la amplitud, en agua o en aire?Calcule la razn entre ambas amplitudes. Por qu no es 1.00 dicha razn?a)Conocemos la siguiente ecuacin:I =12B2A2Despejamos la amplitud y tenemos:A =2 IB2Sabemos que = 2 , hacemos la sustitucin y resolvemos:A =2 3 1061000 2.18 109(2 3400)2"m"A =9.436321011mLa longitud de onda esta dada por: =

=Bf

=2.18 109f 10003400"m" =0.43426 mb)Repetimosloscalculosanterioresperoahoraconlosdatosparaelaire|B = 1.42 105 y = 1.2 kg f m3):Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 37b)Repetimosloscalculosanterioresperoahoraconlosdatosparaelaire|B = 1.42 105 y = 1.2 kg f m3):A ==2 3 1061.2 1.42 105(2 3400)2"m"A =5.64351109m ==1.42 105f 1.23400"m" =0.101175 mc)En el aire es mayor la amplitud.AaireAagua=5.643511099.436321011AaireAagua=59.8063La amplitud en el aire es casi 60 veces mayor. La razn de que no sea 1 es que para una mismafrecuencia,la amplitud necesaria en un medio mucho menos denso tiene que ser mayor paratransmitir la misma cantidad de energa.35.-La intensidad debida a varias fuentes de sonido independientes es la suma de las intensi-dades individuales. a) Cuando cuatro cuatrillizos lloran simultneamente, cuntos decibeles esmayor el nivel de intensidad de sonido que cuando llora uno solo? b) Para aumentar el nivel deintensidad de sonido,otra vezen elmismo nmero de decibelesque en a),cuntosbebsllorones ms se necesitan?a)El cambio en la intensidad se obtiene con:A = (10 dB) Log|4 IbebeIbebe ]A =10. - Log10[4] "dB"A =6.0206 dBb)Para volveraincrementaren esa misma cantidad elnivelde intensidad tenemosque multi-plicar por 4 elnmero de bebes llorando a la vez;pero como ya haba 4 bebes llorando sola-mente se necesitaran 12 bebes mas.38Tarea-Fisica 03-Ondas.nbb)Para volveraincrementaren esa misma cantidad elnivelde intensidad tenemosque multi-plicar por 4 elnmero de bebes llorando a la vez;pero como ya haba 4 bebes llorando sola-mente se necesitaran 12 bebes mas.36.-La frecuencia fundamentalde un tubo abierto esde 594 Hz.a)Qu longitud tiene estetubo? Si se tapa uno de los extremos del tubo, calcule b) la longitud de onda y c) la frecuenciade la nueva fundamental.Sabemos que para un tubo abierto:f =v2 LY para un tubo cerrado:f =v4 L Sabemos que la velocidad del sonido es v- 343 mf s.a) Despejamos L en la ecuacion de frecuencia para un tubo abierto y sustituimos los valores paraobtener:f =v2 L L =v2 L =343.2 (594)"m"L =0.288721 mLa longitud del tubo es de aproximadamente 29cm.b) Usamos la ecuacin de la frecuencia para un tubo cerrado y la igualamos con= v:v=v4 L = 4 L =4 (0.2887) "m" =1.1548 mc) Podemos que la ecuacin para la frecuencia fundamental en un tubo cerrado es la mitad que lafrecuencia fundamental de un tubo abierto:f =v4 L=12 | v2 L ]Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 39c) Podemos que la ecuacin para la frecuencia fundamental en un tubo cerrado es la mitad que lafrecuencia fundamental de un tubo abierto:f =v4 L=12 | v2 L ]f =5942"Hz"f =297 Hz37.-Usted sopla alrasde la boca de un tubo de ensayo vaco y produce la onda estacionariafundamental de la columna de aire de su interior. La rapidez del sonido en aire es de 344 m/s yeltubo acta como tubo cerrado.a)Sila longitud de la columna de aire es de 14.0 cm,qufrecuenciatieneestaondaestacionaria?b)Determinelafrecuenciadelaondaestacionariafundamental en la columna de aire, si el tubo de ensayo se llena hasta la mitad con agua.a) Sabemos que la frecuencia esta dada por: = vLa longitud de onda para un tubo cerrado esta dada por:L = n4Donde n es el nmero de armnico, en este caso vale 1. Despejamos y tenemos: = 4 L = 4 - 14 "cm" =56 cmAhora sustituimos y resolvemos: =3440.560"Hz" =614.286 Hzb) Al llenar el tubo hasta la mitad con agua, la longitud L se reduce a la mitad:L =142"cm"L =7 cm40Tarea-Fisica 03-Ondas.nbY como = 4 L tenemos que: =4 - 7 "cm" =28 cmLa frecuencia esta dada por: =3440.28"Hz" =1228.57 Hz38.-Dos guitarristas intentan tocar la misma nota con longitud de onda de 6.50 cm almismotiempo,pero uno de los instrumentos est ligeramente desafinado y,en vez de ello,toca unanota cuya longitud de onda es de 6.52 cm.Cules la frecuencia delpulso que estos msicosescuchan cuando tocan juntos?La frecuencia de batido esta dada por:

batido = A = 1 2Tomando = 343 mf s, las frecuencias se obtienen con: = v

1 ==343.065"Hz"

1 =5276.92 Hz

2 =3430.0652"Hz"

2 =5260.74 Hz

batido = (5276.925260.74) "Hz"

batido =16.18 Hz39.-a)Unafuentesonoraqueproduceondasde1.00 kHzsemuevehaciaun receptoresta-cionario a la mitad de la rapidez del sonido. Qu frecuencia oir el receptor? b) Suponga ahoraque la fuente est estacionaria y elreceptorse mueve hacia ella a la mitad de la rapidez delsonido. Qu frecuencia oye elreceptor? Compare su respuesta con la delinciso a) y expliquela diferencia con base en principios de la fsica.a)UsamoslaecuacindelefectoDopplerconlasadecuacionesnecesarias(denominadorconsigno negativo ya que el emisor se mueve hacia el receptor, y el receptor es esttico u2 = 0):

2 =vvu1 1Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 41a)UsamoslaecuacindelefectoDopplerconlasadecuacionesnecesarias(denominadorconsigno negativo ya que el emisor se mueve hacia el receptor, y el receptor es esttico u2 = 0):

2 =vvu1 1

2 =343343 3432(1000) "Hz"

2 =2000 Hzb)Adecuamos nuevamente la ecuacin de l efecto Doppler:

2 = v+u2v

1

2 =343 +3432343 (1000) "Hz"

2 =1500 HzLa frecuencia en el inciso b) es menor que la del inciso a).40.-Unagrantormentaelctricaseaproximahaciaunaestacinmeteorolgicaa45.0mi/h(20.1 m/s). Si la estacin enva un haz de radar con frecuencia de 200.0 MHz hacia la tormenta,cul ser la diferencia de frecuencia, entre el haz emitido y el haz reflejado en la tormenta queregresaalaestacin?Tengacuidado de utilizarsuficientescifrassignificativas!(Sugerencia:considere que la tormenta refleja la misma frecuencia que la que recibe.)Usamos la ecuacin del efecto Doppler para la frecuencia que llega a la tormenta (la del efectoDoppler relativista):

2 =c+vcv 1Como las ondas son reflejadas hacia la estacin meteorolgica, la ecucin queda as:

3 =c+vcv 2 = c+vcv c+vcv 1 = c+vcv 1La diferencia de frecuancias esta dada por:A = 3 1 = c+vcv 1 1 = | c+vcv 1] 1 = |2 vcv ] 142Tarea-Fisica 03-Ondas.nbA =2 - 20.13 10820.1200 106"Hz"A =26.8 Hz41.-Un jetpasa volando a Mach 1.70 y altitud constante de 950 m.a)Qu ngulo a tiene elcono de la onda de choque? b) Cunto tiempo despus de pasar el avin directamente arribaomos el estampido snico? Desprecie la variacin de la rapidez del sonido con la altitud.a)El nmero de Mach esta dado por:Nmero de Mach = uvY el ngulo de Mach haya estado dado por:Sen = vu = arcsen| vu ]Para vu= (Nmero de Mach)1, evaluamos numricamente y tenemos: =ArcSin_11.7 "rad" =0.628875 radPara convertir a grados multiplicamos por 180: == 0.628875-180"" =36.0319 b)Tenemos que:Tan =altitudvjett= t =altitudvjetTan t =9501.7 - 343 - Tan[36.0319 ]"s"t =2.23981 s42.-a) Defienda esta afirmacin: En una onda sonora senoidal, la variacin de presin dada porla ecuacinp(x, t) = BkAsin(kx - t)es mxima donde el desplazamiento dado por la ecuaciny(x, t) = Acos(kx - t)es cero. b) Para una onda sonora senoidal dada por la ecuacin anterior con amplitud A = 10.0m y longitud de onda = 0.250 m, grafique eldesplazamiento y y la fluctuacin de presin pen funcin de x en t = 0. Muestre al menos dos longitudes de onda en sus grficas. c) El desplaza-miento y en una onda sonora no senoidalse muestra en la figura como funcin de x en t = 0.Dibuje una grfica que muestre la fluctuacin de presin p en esta onda en funcin de x en t =0.Esta onda sonora tiene la misma amplitud de 10.0 m que la onda delinciso b).Tiene lamisma amplitud de presin? Por qu? d) Se cumple necesariamente la afirmacin delincisoa), si la onda no es senoidal? Explique su razonamiento.Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 4342.-a) Defienda esta afirmacin: En una onda sonora senoidal, la variacin de presin dada porla ecuacinp(x, t) = BkAsin(kx - t)es mxima donde el desplazamiento dado por la ecuaciny(x, t) = Acos(kx - t)es cero. b) Para una onda sonora senoidal dada por la ecuacin anterior con amplitud A = 10.0m y longitud de onda = 0.250 m, grafique eldesplazamiento y y la fluctuacin de presin pen funcin de x en t = 0. Muestre al menos dos longitudes de onda en sus grficas. c) El desplaza-miento y en una onda sonora no senoidalse muestra en la figura como funcin de x en t = 0.Dibuje una grfica que muestre la fluctuacin de presin p en esta onda en funcin de x en t =0.Esta onda sonora tiene la misma amplitud de 10.0 m que la onda delinciso b).Tiene lamisma amplitud de presin? Por qu? d) Se cumple necesariamente la afirmacin delincisoa), si la onda no es senoidal? Explique su razonamiento.a)El mdulo de volumen B se define como:B = p(x, t) f (dVf V) Despejamos la funcin de la presin:p(x, t) = B (dVf V)El cambio de volumen (dVf V) esta dado por:dVV=oy(x,t)oxSustituimos el cambio de volumen en la ecuacin para p(x, t):p(x, t) = Boy(x,t)oxResolvemos la derivada parcial:p(x, t) = Boy(x,t)ox= BooxACos(kx t) = B kA Sen(kx t)Si observamos la funcin de onda y su funcin de onda de presin, podemos apreciar que estandesfasadas en f 2;ese desfase causa que cuando en una de ellas hay un mximo,en la otrahaya un mnimo (para el intervalo A 0).b)[Funcindeonday(x, t) = A Cos(kx t)enazul,Funcindelapresindeondap(x, t) = B k A Sen(kx t) en guinda]Con la longitud de onda indicada en el problema.Consideramos k =2 =2 0.25 m, A = 10 106m, t = 0.44Tarea-Fisica 03-Ondas.nba)El mdulo de volumen B se define como:B = p(x, t) f (dVf V) Despejamos la funcin de la presin:p(x, t) = B (dVf V)El cambio de volumen (dVf V) esta dado por:dVV=oy(x,t)oxSustituimos el cambio de volumen en la ecuacin para p(x, t):p(x, t) = Boy(x,t)oxResolvemos la derivada parcial:p(x, t) = Boy(x,t)ox= BooxACos(kx t) = B kA Sen(kx t)Si observamos la funcin de onda y su funcin de onda de presin, podemos apreciar que estandesfasadas en f 2;ese desfase causa que cuando en una de ellas hay un mximo,en la otrahaya un mnimo (para el intervalo A 0).b)[Funcindeonday(x, t) = A Cos(kx t)enazul,Funcindelapresindeondap(x, t) = B k A Sen(kx t) en guinda]Con la longitud de onda indicada en el problema.Consideramos k =2 =2 0.25 m, A = 10 106m, t = 0.Plot_{ 10 Cos_2 0.25x ,2 0.2510 Sin_2 0.25x , {x, 60,6,PlotRange 260, AxesLabel "x(m)", "y(m)", Ticks {Range_0,2,28,GridLines 0.0625, Dashed, 2 (0.0625), Dashed, 3 (0.0625), Dashed,4 (0.0625), Dashed, 5 (0.0625), Dashed, 6 (0.0625), Dashed,7 (0.0625), Dashed, 8 (0.0625), Dashed, 0, Dashed28143 287x(m)200100100200y(m)Podemos apreciar que la afirmacin delinciso a) se cumple;ya que cuando en la grfica de lafuncin hay un mnimo (0),en la grfica de la presin hay un mximo (A).Esto es debido aldesfase de f 2 que hay entre ambas funciones.c)Sabemos que la funcin de la presin es:p(x, t) = Boy(x,t)oxLa primera derivada de una funcin nos da la pendiente de esta; de de tal forma que cuando lapendiente de la funcion mostrada en la figura es negativa,la presin tomara un valor positivoconstante. Cuando la funcin mostrada en la figura es positiva, la presin toma un valor nega-tivo constante. Abajo se muestra un bosquejo de como se vera la funcin de la presin:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 45Podemos apreciar que la afirmacin delinciso a) se cumple;ya que cuando en la grfica de lafuncin hay un mnimo (0),en la grfica de la presin hay un mximo (A).Esto es debido aldesfase de f 2 que hay entre ambas funciones.c)Sabemos que la funcin de la presin es:p(x, t) = Boy(x,t)oxLa primera derivada de una funcin nos da la pendiente de esta; de de tal forma que cuando lapendiente de la funcion mostrada en la figura es negativa,la presin tomara un valor positivoconstante. Cuando la funcin mostrada en la figura es positiva, la presin toma un valor nega-tivo constante. Abajo se muestra un bosquejo de como se vera la funcin de la presin:Plot[, x, 0, .55, PlotRange 1, AxesLabel "x", "p", GridLines 0.125, Dashed, 2 (0.125), Dashed, 3 (0.125), Dashed, 4 (0.125), Dashed,0, Dashed, Ticks .125, .25, .375, .5, ]0.125 0.25 0.375 0.5xpLa presin no tiene la misma amplitud que la onda original,porque cuando y(x, t) esta en unmximo o en un mnimo , p(x, t) esta en un mnimo o en un mximo respectivamente. Ademslas ondas de la presin parecen tener siempre una amplitud mayor a la de la onda original. d)Creoqueparaunaondaperidicalaafirmacindelincisoa)secumple,peronoporesodescarto que haya algunas excepciones.43.-Un tubo de rgano tiene dos armnicos sucesivos con frecuencias de 1372 y 1764 Hz. a) Eltubo est abierto o cerrado? Explique su respuesta.b)De qu armnicosse trata? c)Qulongitud tiene el tubo?Para un tubo abierto la frecuencia de los armnicos esta dada por:

n = n1con n = 1, 2, 3, 4, 5 ...Para un tubo cerrado solo estan presentes los armnicos impares

n = n1con n = 1, 3, 5, 7, 9 ...Restamos las ecuaciones de dos armnicos seguidos en un tubo abierto para obtener 1:

n (n+1) = n1 (n +1) 1 = 1 46Tarea-Fisica 03-Ondas.nbPara un tubo abierto la frecuencia de los armnicos esta dada por:

n = n1con n = 1, 2, 3, 4, 5 ...Para un tubo cerrado solo estan presentes los armnicos impares

n = n1con n = 1, 3, 5, 7, 9 ...Restamos las ecuaciones de dos armnicos seguidos en un tubo abierto para obtener 1:

n (n+1) = n1 (n +1) 1 = 1

1 = (1764 1372) "Hz"

1 =392 HzParaobtenerelnmerodearmnicoalquepertenecelafrecuenciatenemosquedespe-jarlo:

n = n1 n = n

1n =1372392.n =3.5n =1764392.n =4.5Como sabemos los armnicos solo pueden ser multiplos enteros del armnico fundamental, detal forma que el tubo no es abierto.Ahora probamos con un tubo cerrado (armnicos seguidosimpares):

n (n+2) = n1 (n +2) 1 = 2 1Dividimos la 1 que obtuvimos mas arriba para conocer la frecuencia fundamental : =3922"Hz" =196 HzCon esta nueva frecuencia fundamental obtenemos el nmero de armnico para las dos frecuen-cias dadas:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 47Con esta nueva frecuencia fundamental obtenemos el nmero de armnico para las dos frecuen-cias dadas:n =1372196n =7n =1764196n =9Al ser nmeros enteros concluimos que se trata de un tubo cerrado.b)Se trata de los armnicos 7 y 9c)Para un tubo cerrado tenemos que: =v4 L L =v4 L =343.4 (196)"m"L =0.4375 m44.-a)DeterminelasprimerastresfrecuenciasdemodonormalparauntubodelongitudLcerrado en ambos extremos. Explique su razonamiento. b) Use los resultados del inciso a) paraestimar las frecuencias de modo normal de una ducha. Explique la relacin entre estas frecuen-cias y la observacin de que al cantar en la ducha sonamos mejor, sobre todo si cantamos conciertas frecuencias.a)La condicin de onda estacionaria es:

n = nv2 L En este caso n = 1, 2, 3 de tal forma que:

1 =343 mfs2 L, 2 =343 mfsL, 3 = 3 343 mfs2 Lb)Considerando una ducha con L = 1.5 m las frecuencias sern:48Tarea-Fisica 03-Ondas.nba)La condicin de onda estacionaria es:

n = nv2 L En este caso n = 1, 2, 3 de tal forma que:

1 =343 mfs2 L, 2 =343 mfsL, 3 = 3 343 mfs2 Lb)Considerando una ducha con L = 1.5 m las frecuencias sern:

1 =3432 (1.5)"Hz"

1 =114.333 Hz

2 =3431.5"Hz"

2 =228.667 Hz

3 =33432 (1.5)"Hz"

3 =343. HzSegn Zemansky& Searsdcimosegundaedicin,esasfrecuenciasestan normalmente en elrango de los hombres, as que es ms probable que los hombres canten mejor en la ducha.45.-Un murcilago vuela hacia una pared, emitiendo un sonido constante cuya frecuencia es de2.00 kHz.Elmurcilago escucha su propio sonido mselsonido reflejado porla pared.Conqu rapidez deber volar para escuchar una frecuencia del pulso de 10.0 Hz?Usamos la frmula delefecto Doppler con las adecuaciones necesarias [elmurcilago (emisor)viaja hacia la pared (receptor) de tal forma que el signo del denominador es (-); la velocidad dela pared es 0] para el primer momento (del murcilago a la pared):

2 =vvum 1Hacemos lo mismo, pero ahora para el momento en que el sonido regresa al murcilago (ahoralospapelesse invierten de talforma que elemisortiene velocidad 0 y elreceptoreselqueviaja hacia el emisor (signo + en el numerador): 3 = v+umv

2 Sustituimos 2 en la frmula del efecto Doppler para la frecuencia que regresa al murcilago: 3 = v+umv

2 = | v+umv ] |vvum ] 1 = v+umvum 1 La frecuencia de batido esta dada por: batido = A = 3 1 = 10 Hz Sustituimos el valor de 3 y despejamos la velocidad del murcilago um. | v+umvum ] 1 1 = | v+umvum 1] 1 = | v+umv+umvum ] 1 = |2 umvum ] 1 A = |2 umvum ] 1 A(v um) = 2 um 1 Av Aum = 2 um 1 Av = 2 um 1+Aum = (2 1+A) um um =Av2 1+A SustituimosnumricamenteparaobtenerlavelocidaddelmurcilagosabiendoqueA = 10 Hz y v = 343 mf s:Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 49Usamos la frmula delefecto Doppler con las adecuaciones necesarias [elmurcilago (emisor)viaja hacia la pared (receptor) de tal forma que el signo del denominador es (-); la velocidad dela pared es 0] para el primer momento (del murcilago a la pared):

2 =vvum 1Hacemos lo mismo, pero ahora para el momento en que el sonido regresa al murcilago (ahoralospapelesse invierten de talforma que elemisortiene velocidad 0 y elreceptoreselqueviaja hacia el emisor (signo + en el numerador): 3 = v+umv

2 Sustituimos 2 en la frmula del efecto Doppler para la frecuencia que regresa al murcilago: 3 = v+umv

2 = | v+umv ] |vvum ] 1 = v+umvum 1 La frecuencia de batido esta dada por: batido = A = 3 1 = 10 Hz Sustituimos el valor de 3 y despejamos la velocidad del murcilago um. | v+umvum ] 1 1 = | v+umvum 1] 1 = | v+umv+umvum ] 1 = |2 umvum ] 1 A = |2 umvum ] 1 A(v um) = 2 um 1 Av Aum = 2 um 1 Av = 2 um 1+Aum = (2 1+A) um um =Av2 1+A SustituimosnumricamenteparaobtenerlavelocidaddelmurcilagosabiendoqueA = 10 Hz y v = 343 mf s:um =10. 3432 (2000) +10"mfs"um =0.855362 mfs46.-Una onda sonora de 2.00 MHz viaja por elabdomen de una mujer embarazada y es refle-jada por la pared cardiaca del feto, que se mueve hacia el receptor de sonido al latir el corazn.El sonido reflejado se mezcla con el transmitido, detectndose 85 pulsos por segundo. La rapi-dezdelsonido en eltejido corporalesde 1500 m/s.Calcule larapidezde lapared cardiacafetal, en el instante en que se hace la medicin.Usamos la frmula del efecto Doppler con las adecuaciones necesarias:

2 = vucv

1Hacemos lo mismo, pero ahora para el momento en que el sonido regresa al murcilago (ahoralospapelesse invierten de talforma que elemisortiene velocidad 0 y elreceptoreselqueviaja hacia el emisor (signo + en el numerador): 3 =vv+uc 2 Sustituimos 2 en la frmula del efecto Doppler para la frecuencia que regresa al murcilago: 3 = | vucv ] |vv+uc ] 1 = vucv+uc 1 Al igual que el problema anterior tenemos que: batido = A = 1 3 = 85 Hz Restamos y luego despejamos la velocidad de la pared del corazn: 1 vucv+uc 1 = A |1 vucv+uc ] 1 = | v+ucv+ucv+uc ] 1 = |2 ucv+uc ] 1 = A 2 uc 1 = A(v +uc) = Av +Auc 2 uc 1Auc = (2 1A) uc = Av uc =Av2 1A Sustituimos numricamente considerando A = 85 Hz, v = 1500 mf s:50Tarea-Fisica 03-Ondas.nbUsamos la frmula del efecto Doppler con las adecuaciones necesarias:

2 = vucv

1Hacemos lo mismo, pero ahora para el momento en que el sonido regresa al murcilago (ahoralospapelesse invierten de talforma que elemisortiene velocidad 0 y elreceptoreselqueviaja hacia el emisor (signo + en el numerador): 3 =vv+uc 2 Sustituimos 2 en la frmula del efecto Doppler para la frecuencia que regresa al murcilago: 3 = | vucv ] |vv+uc ] 1 = vucv+uc 1 Al igual que el problema anterior tenemos que: batido = A = 1 3 = 85 Hz Restamos y luego despejamos la velocidad de la pared del corazn: 1 vucv+uc 1 = A |1 vucv+uc ] 1 = | v+ucv+ucv+uc ] 1 = |2 ucv+uc ] 1 = A 2 uc 1 = A(v +uc) = Av +Auc 2 uc 1Auc = (2 1A) uc = Av uc =Av2 1A Sustituimos numricamente considerando A = 85 Hz, v = 1500 mf s:uc =85 1500.2 |2 106] 85"mfs"uc =0.0318757 mfsMultiplicamos por 100 cmf m para obtener aproximadamente 3.19 cmf s.47.-a) Demuestre que la ecuacinfR=c vc +vfS puede escribirse as:fR =fS |1 vc ]1f2 |1 +vc ]1f2b) Use el teorema binomial para demostrar que, si vc, esto es aproximadamente igual afR =fS1vc

c)Un avin de reconocimiento sin piloto emite una sealde radio cuya frecuencia es de 243MHz. Est volando directamente hacia un ingeniero de pruebas que est en tierra. El ingenierodetecta pulsosentre la sealrecibida y una seallocalque tambin tiene una frecuencia de243 MHz. La frecuencia del pulso es de 46.0 Hz. Calcule la rapidez del avin. (Las ondas de radioviajan a la velocidad de la luz, c = 3.00 108 m/s.)Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 51 47.-a) Demuestre que la ecuacinfR=c vc +vfS puede escribirse as:fR =fS |1 vc ]1f2 |1 +vc ]1f2b) Use el teorema binomial para demostrar que, si vc, esto es aproximadamente igual afR =fS1vc

c)Un avin de reconocimiento sin piloto emite una sealde radio cuya frecuencia es de 243MHz. Est volando directamente hacia un ingeniero de pruebas que est en tierra. El ingenierodetecta pulsosentre la sealrecibida y una seallocalque tambin tiene una frecuencia de243 MHz. La frecuencia del pulso es de 46.0 Hz. Calcule la rapidez del avin. (Las ondas de radioviajan a la velocidad de la luz, c = 3.00 108 m/s.)a)Si dividimos por c la ecuacin dada obtenemos:

R =1vc1+vc

s =1vc1+vc

s = s|1 vc ]1f2|1 + vc ]1f2b)El teorema binomial dice que si x 1:(1 +x)n- 1 +n xDe tal forma que si vcpodemos aproximar de la siguiente forma:|1 vc ]1f2- 1 v2 cy tambin:|1 + vc ]1f2- 1 v2 cDe tal forma que:

R = s|1 vc ]1f2|1 + vc ]1f2- s|1 v2 c ]2- s|1 vc ]c)La frecuencia que recibe el ingeniero esta dada por la aproximacin:

R - s|1 vc ]Despejamos :

R - s| cvc ]

s c s v - c R

s c c R - s vv - c sR

sComo podemos apreciar s R = A; hacemos la sustitucin y resolvemos numricamente:52Tarea-Fisica 03-Ondas.nba)Si dividimos por c la ecuacin dada obtenemos:

R =1vc1+vc

s =1vc1+vc

s = s|1 vc ]1f2|1 + vc ]1f2b)El teorema binomial dice que si x 1:(1 +x)n- 1 +n xDe tal forma que si vcpodemos aproximar de la siguiente forma:|1 vc ]1f2- 1 v2 cy tambin:|1 + vc ]1f2- 1 v2 cDe tal forma que:

R = s|1 vc ]1f2|1 + vc ]1f2- s|1 v2 c ]2- s|1 vc ]c)La frecuencia que recibe el ingeniero esta dada por la aproximacin:

R - s|1 vc ]Despejamos :

R - s| cvc ]

s c s v - c R

s c c R - s vv - c sR

sComo podemos apreciar s R = A; hacemos la sustitucin y resolvemos numricamente: =3 10846.0243 106"mfs" =56.7901 mfs48.-La figura muestra la fluctuacin de presin p de una onda sonora no senoidal en funcin dex para t = 0. La onda viaja en la direccin +x. a) Dibuje una grfica que muestre la fluctuacin depresin p como funcin de t para x = 0. Muestre al menos dos ciclos de oscilacin. b) Dibuje unagrfica que muestre eldesplazamiento y en esta onda en funcin de x en t= 0.En x = 0,eldesplazamiento en t = 0 es cero. Muestre almenos dos longitudes de onda. c) Dibuje una gr-fica que muestre el desplazamiento y en funcin de t para x = 0. Muestre al menos dos ciclos deoscilacin.d)Calcule la velocidad y aceleracin mximasde un elemento delaire porelqueviaja esta onda sonora.e) Describa cmo debe moverse elcono de un altavoz en funcin de tpara producir la onda sonora de este problema.a)Aqu una aproximacin de como se podra ver la grfica de la presin contra el tiempo:Plot[0, x, 0, 10, AxesLabel "t(s)", "p(Pa)", Ticks None]Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 53t(s)p(Pa)b)*Grfica extraida de Zemansky & Sears dcimosegunda edicin.c)Plot_{2.8 - Sin_2 55x, x, 0, 120, AxesLabel "t(s)", "y(m)", PlotRange 320 40 60 80 100 120t(s)321123y(m)d)La velocidad mxima esta dada por:vy = oyox v =pBDonde es la velocidad delsonido,B = 1.42 105 para elcaso delaire y la presin es la mx-ima que alcanza p = 40 Pa.54Tarea-Fisica 03-Ondas.nbd)La velocidad mxima esta dada por:vy = oyox v =pBDonde es la velocidad delsonido,B = 1.42 105 para elcaso delaire y la presin es la mx-ima que alcanza p = 40 Pa.vmx =40 - 3431.42 105"mfs"vmx =0.0966197 mfsSi multiplicamos por 100 obtenemos una velocidad mxima aproximada de 9.66 cmf s. La acel-eracinmximaestadadaporlapendientemximadelapresindivididaporladensidad(1.2 kg f m3 para el aire); la pendiente mxima de la presin se obtiene de la grfica (y f x):amx =80 f 0.11.2"mfs2"amx =666.667 mfs2e)El cono del altavoz se deber mover hacia adelante y hacia atrs con una aceleracin constante.Tarea-Fisica 03-Ondas.nb 55