TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.
EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1
Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 1
EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I – TRIGONOMETRÍA
Relaciones fundamentales:
2 2
2 2
sen α cos α 1sen α + cos α = 1 tg α = cotg α = sec α =
cos α sen α cos α
1 1cosec α = cotg α = 1 + tg α = sec
sen α tg α2 2α 1 + cotg α = cosec α
En general podemos:
a) Empezar en uno de los dos miembros de la igualdad (el que parezca más complicado) y
llegar al otro, operando y/o usando las relaciones fundamentales anteriores.
b) Se trabaja en ambos miembros, operando y/o usando las relaciones fundamentales
anteriores, hasta llegar a una igualdad evidente.
c) A veces, aunque no es común, se puede multiplicar en cruz y resolver la nueva igualdad.
Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas:
1)
cotgcosec - sen =
sec
2) cos4 - sen4
- 2 cos2= -1
3) tg α sen α + cos α = sec α
4) sen3 · cos + cos3
· sen = sen · cos
5)
cos cos + = 2 sec
1 - sen 1 + sen
6) 4 4 2 2sen α - cos α = sen α - cos α
7)
2 2sec - tgsen
cosec
8) tg + 2cos cosec = sec cosec cotg α
9)
costg + = sec
1 + sen
10)
cos cos+ = 2tg
cosec + 1 cosec - 1
11)
tg = cos 2
tg 2 - tg
TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.
EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1
Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 2
12) 1 - sen α cos α
=cos α 1 + sen α
13) 2
2
tg αsen α =
1 + tg α
14) (1 - senα)(1 + senα) =sec
1
15) cos α sen α
+ = sen α + cos α1 - tg α 1 - cotg α
16) 1 - cosα
1 + cosα= cosec - cotg
17) sen 6α + sen 2α
= - cotg 2cos 6α - cos 2α
18)
tg + tg = tg tg
cotg + cotg
19) )
sen( = tg tg
cos cos
TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.
EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1
Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 3
Soluciones
1) 1 1
2 2sen cos coscosec - sen = sen cos
sen sen sen sen
cotgcotg cos
sec
2) cos4 - sen4
- 2 cos2=
2
2 4 21 - sen α sen α 2cos α = 41 +sen α 2 4 22sen α sen α 2cos α =
2 2= 1- 2(sen α + cos α) = 1 - 2 = -1
3) 2 2 2sen α sen α sen α + cos α 1
tg α sen α + cos α = sen α + cos α = + cos α = = secαcos α cos α cos α cos α
4) sen3 · cos + cos3
· sen = sen · cos = sen · cos (2 2
1
sen α + cos α ) = sen · cos
5)
cos 1 + sen + cos 1 - sen cos cos +
1 - sen 1 + sen 1 - sen 1 + sen
2 2
cos + cos sen + cos - cos sen 2 cos = 2 sec
1 - sen cos
6)
4 4 2 2 2 2 2 2
1
sen α - cos α = sen α + cos α sen α - cos α sen α - cos α
7)
2 2 2
2 2 2 2 2 2
1 sen α 1 - sen α cos α-
sec α - tg α 1cos α cos α cos α cos α= = sen α1 1 1 1cosec α
sen α sen α sen α sen α
8)
2 2sen α 1 sen α 2 cos α sen α + 2 cos αtg + 2cos cosec = + 2 cos α
cos α sen α cos α sen α cos α senα
2 21 + cos α 1 cos α 1 1 cos αsec cosec cotg α
cos α senα cos α senα cos α senα cos α senα senα
TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.
EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1
Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 4
9)
2 2 sen 1cos sen cos sen sen costg + = +
1 + sen cos 1 + sen cos 1 + sen cos 1 + sen
1sec
cos
10)
2 2
1 1cos + 1 + cos - 1
sen sencos cos 2cotg α 2+ = = 2tg α
cosec + 1 cosec - 1 cosec - 1 cotg α cotg α
11) 1
1 1
2
3 3
2 2
tg tg tg tg tg tg =
2tg 2tg tg tg tg2 - tg tg tg - tg tg tg
1
2tg
tg 1
2tg
2 22
2 22
22
2
cos α - sen αsen α1 -
1 - tg α cos αcos α= = =sen α1 + tg α
1 +cos α
2 2
2
cos α + sen α
cos α
2 2cos α - sen α= = cos2α
1
12) Podemos multiplicar en cruz para ”conseguir” otra igualdad y demostrar la nueva:
En cruz
21 - sen α cos α= 1 - sen α 1 + sen α = cos α
cos α 1 + sen α
Esto sólo es válido para valores que no anulen el denominador.
2 21- sen α 1+ sen α 1- sen α = cos α
Otra forma (más común), multiplicando por el conjugado en el segundo miembro:
2 2
cos α 1 - sen α cos α 1 - sen α cos α 1 - sen α 1 - sen α
1 + sen α 1 - sen α 1 - sen α cos α cos α
13) 2 2
2 2
sen α
tg α tg α tg α cos α
1 + tg α sec α sec α 1
cos α
sen α
14) 2 1(1 - senα) (1 + senα) = 1 - sen α = cos α =
sec α
TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.
EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1
Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 5
15)
2 2 2 2cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos α - sen α+ + = +
sen α cos α1 - tg α 1 - cotg α cos - sen α sen - cos α cos - sen α1 - 1 -cos α sen α
cos sen α cos - sen α
cos - sen α cos sen α
16)
2 2 2
2 2
1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α
1 + cos α 1 + cos α 1 - cos α 1 - cos α sen α sen α
1 cos α
sen α sen α= cosec - cotg
17) sen 6α + sen 2α 2
=cos 6α - cos 2α
sen4α cos2α
- 2 sen4α
= - cotg 2
sen2α
18)
tg + tg tg + tg tg + tg = tg tg
1 1 tg + tg cotg + cotg +tg tg tg tg
19) )
sen α cos βsen( sen α cos β + senβ cos α= =
cos cos cos α cos β cos α cos β
senβ cos α+
cos α
= tg tg
cos β