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  • TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.

    EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1

    Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 1

    EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I – TRIGONOMETRÍA

    Relaciones fundamentales:

    2 2

    2 2

    sen α cos α 1 sen α + cos α = 1 tg α = cotg α = sec α =

    cos α sen α cos α

    1 1 cosec α = cotg α = 1 + tg α = sec

    sen α tg α 2 2α 1 + cotg α = cosec α

    En general podemos:

    a) Empezar en uno de los dos miembros de la igualdad (el que parezca más complicado) y

    llegar al otro, operando y/o usando las relaciones fundamentales anteriores.

    b) Se trabaja en ambos miembros, operando y/o usando las relaciones fundamentales

    anteriores, hasta llegar a una igualdad evidente.

    c) A veces, aunque no es común, se puede multiplicar en cruz y resolver la nueva igualdad.

    Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas:

    1) 

      

    cotg cosec - sen =

    sec

    2) cos4  - sen4  - 2 cos2= -1

    3) tg α sen α + cos α = sec α

    4) sen3 · cos  + cos3  · sen  = sen  · cos 

    5)  

      

    cos cos + = 2 sec

    1 - sen 1 + sen

    6) 4 4 2 2sen α - cos α = sen α - cos α

    7)  

      

    2 2sec - tg sen

    cosec

    8)      tg + 2cos cosec = sec cosec cotg α

    9) 

      

    cos tg + = sec

    1 + sen

    10)  

      

    cos cos + = 2tg

    cosec + 1 cosec - 1

    11) 

      

    tg = cos 2

    tg 2 - tg

  • TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.

    EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1

    Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 2

    12) 1 - sen α cos α

    = cos α 1 + sen α

    13) 2

    2

    tg α sen α =

    1 + tg α

    14) (1 - senα)(1 + senα) = sec

    1

    15) cos α sen α

    + = sen α + cos α 1 - tg α 1 - cotg α

    16) 1 - cosα

    1 + cosα = cosec  - cotg 

    17)  sen 6α + sen 2α

    = - cotg 2 cos 6α - cos 2α

    18)  

        

    tg + tg = tg tg

    cotg + cotg

    19) ) 

         

    sen( = tg tg

    cos cos

  • TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.

    EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1

    Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 3

    Soluciones

    1) 1 1   

                 

    2 2sen cos cos cosec - sen = sen cos

    sen sen sen sen

         

    cotg cotg cos

    sec

    2) cos4  - sen4  - 2 cos2=

      2

     2 4 21 - sen α sen α 2cos α = 41 +sen α    2 4 22sen α sen α 2cos α =

    2 2= 1- 2(sen α + cos α) = 1 - 2 = -1

    3)    2 2 2sen α sen α sen α + cos α 1

    tg α sen α + cos α = sen α + cos α = + cos α = = secα cos α cos α cos α cos α

    4) sen3 · cos  + cos3  · sen  = sen  · cos  = sen  · cos  ( 2 2

    1

    sen α + cos α ) = sen  · cos 

    5)        

          

        

    cos 1 + sen + cos 1 - sen cos cos +

    1 - sen 1 + sen 1 - sen 1 + sen

                

     2 2 cos + cos sen + cos - cos sen 2 cos

    = 2 sec 1 - sen cos

    6)     4 4 2 2 2 2 2 2

    1

    sen α - cos α = sen α + cos α sen α - cos α sen α - cos α

    7)   

    2 2 2

    2 2 2 2 2 2

    1 sen α 1 - sen α cos α -

    sec α - tg α 1cos α cos α cos α cos α= = sen α 1 1 1 1cosec α

    sen α sen α sen α sen α

    8)          

    2 2sen α 1 sen α 2 cos α sen α + 2 cos α tg + 2cos cosec = + 2 cos α

    cos α sen α cos α sen α cos α senα

                 

    2 21 + cos α 1 cos α 1 1 cos α sec cosec cotg α

    cos α senα cos α senα cos α senα cos α senα senα

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    EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1

    Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 4

    9)  

               

        

    2 2 sen 1cos sen cos sen sen cos tg + = +

    1 + sen cos 1 + sen cos 1 + sen   cos 1 + sen 

       

    1 sec

    cos

    10)

                    

      2 2

    1 1 cos + 1 + cos - 1

    sen sencos cos 2cotg α 2 + = = 2tg α

    cosec + 1 cosec - 1 cosec - 1 cotg α cotg α

    11)  1

    1 1

           

              

       

    2

    3 3

    2 2

    tg tg tg tg tg tg =

    2tg 2tg tg tg tg2 - tg tg tg - tg tg tg

     1 

    2tg

    tg  1 

     2tg

    2 2 2

    2 22

    22

    2

    cos α - sen αsen α 1 -

    1 - tg α cos αcos α= = = sen α1 + tg α

    1 + cos α

    2 2

    2

    cos α + sen α

    cos α

    2 2cos α - sen α = = cos2α

    1

    12) Podemos multiplicar en cruz para ”conseguir” otra igualdad y demostrar la nueva:

       En cruz

    21 - sen α cos α= 1 - sen α 1 + sen α = cos α cos α 1 + sen α

    Esto sólo es válido para valores que no anulen el denominador.

        2 21- sen α 1+ sen α 1- sen α = cos α

    Otra forma (más común), multiplicando por el conjugado en el segundo miembro:

     

      

          

    2 2

    cos α 1 - sen α cos α 1 - sen α cos α 1 - sen α 1 - sen α

    1 + sen α 1 - sen α 1 - sen α cos α cos α

    13)    2 2

    2 2

    sen α

    tg α tg α tg α cos α

    1 + tg α sec α sec α 1

    cos α

     sen α

    14)  2 1

    (1 - senα) (1 + senα) = 1 - sen α = cos α = sec α

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    Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 5

    15)      

    2 2 2 2cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos α - sen α + + = +

    sen α cos α1 - tg α 1 - cotg α cos - sen α sen - cos α cos - sen α1 - 1 - cos α sen α

         cos sen α cos - sen α

    cos - sen α   cos sen α

    16)  

      

       2 2 2

         2 2

    1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α

    1 + cos α 1 + cos α 1 - cos α 1 - cos α sen α sen α

      1 cos α

    sen α sen α = cosec  - cotg 

    17) sen 6α + sen 2α 2

    = cos 6α - cos 2α

     sen4α cos2α

    - 2  sen4α 

     = - cotg 2

    sen2α

    18)      

           

        

    tg + tg tg + tg tg + tg = tg tg

    1 1 tg + tg cotg + cotg + tg tg tg tg

    19) )     

       

    sen α cos βsen( sen α cos β + senβ cos α = =

    cos cos cos α cos β cos α cos β

    senβ cos α +

    cos α   

     = tg tg

    cos β