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TRIGONOMETRÍA TEMA 3. EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1 Unidad 3Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 1 EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I TRIGONOMETRÍA Relaciones fundamentales: 2 2 2 2 sen α cos α 1 sen α + cos α = 1 tg α = cotg α= sec α = cos α sen α cos α 1 1 cosec α= cotg α = 1 + tg α = sec sen α tg α 2 2 α 1 + cotg α = cosec α En general podemos: a) Empezar en uno de los dos miembros de la igualdad (el que parezca más complicado) y llegar al otro, operando y/o usando las relaciones fundamentales anteriores. b) Se trabaja en ambos miembros, operando y/o usando las relaciones fundamentales anteriores, hasta llegar a una igualdad evidente. c) A veces, aunque no es común, se puede multiplicar en cruz y resolver la nueva igualdad. Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas: 1) cotg cosec - sen = sec 2) cos 4 - sen 4 - 2 cos 2 = -1 3) tg α sen α + cos α = sec α 4) sen 3 · cos + cos 3 · sen = sen · cos 5) cos cos + = 2 sec 1 - sen 1 + sen 6) 4 4 2 2 sen α - cos α = sen α - cos α 7) 2 2 sec - tg sen cosec 8) tg + 2cos cosec = sec cosec cotg α 9) cos tg + = sec 1 + sen 10) cos cos + = 2tg cosec +1 cosec -1 11) tg = cos 2 tg 2 - tg

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TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.

EJERCICIOS RESUELTOS . FICHA 3.1

Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 1

EJERCICIOS DE MATEMÁTICAS I – TRIGONOMETRÍA

Relaciones fundamentales:

2 2

2 2

sen α cos α 1sen α + cos α = 1 tg α = cotg α = sec α =

cos α sen α cos α

1 1cosec α = cotg α = 1 + tg α = sec

sen α tg α2 2α 1 + cotg α = cosec α

En general podemos:

a) Empezar en uno de los dos miembros de la igualdad (el que parezca más complicado) y

llegar al otro, operando y/o usando las relaciones fundamentales anteriores.

b) Se trabaja en ambos miembros, operando y/o usando las relaciones fundamentales

anteriores, hasta llegar a una igualdad evidente.

c) A veces, aunque no es común, se puede multiplicar en cruz y resolver la nueva igualdad.

Demuestra las siguientes igualdades trigonométricas:

1)

cotgcosec - sen =

sec

2) cos4 - sen4

- 2 cos2= -1

3) tg α sen α + cos α = sec α

4) sen3 · cos + cos3

· sen = sen · cos

5)

cos cos + = 2 sec

1 - sen 1 + sen

6) 4 4 2 2sen α - cos α = sen α - cos α

7)

2 2sec - tgsen

cosec

8) tg + 2cos cosec = sec cosec cotg α

9)

costg + = sec

1 + sen

10)

cos cos+ = 2tg

cosec + 1 cosec - 1

11)

tg = cos 2

tg 2 - tg

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TRIGONOMETRÍA – TEMA 3.

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Unidad 3│Trigonometría Matemáticas I - 1.º Bachillerato - 2

12) 1 - sen α cos α

=cos α 1 + sen α

13) 2

2

tg αsen α =

1 + tg α

14) (1 - senα)(1 + senα) =sec

1

15) cos α sen α

+ = sen α + cos α1 - tg α 1 - cotg α

16) 1 - cosα

1 + cosα= cosec - cotg

17) sen 6α + sen 2α

= - cotg 2cos 6α - cos 2α

18)

tg + tg = tg tg

cotg + cotg

19) )

sen( = tg tg

cos cos

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Soluciones

1) 1 1

2 2sen cos coscosec - sen = sen cos

sen sen sen sen

cotgcotg cos

sec

2) cos4 - sen4

- 2 cos2=

2

2 4 21 - sen α sen α 2cos α = 41 +sen α 2 4 22sen α sen α 2cos α =

2 2= 1- 2(sen α + cos α) = 1 - 2 = -1

3) 2 2 2sen α sen α sen α + cos α 1

tg α sen α + cos α = sen α + cos α = + cos α = = secαcos α cos α cos α cos α

4) sen3 · cos + cos3

· sen = sen · cos = sen · cos (2 2

1

sen α + cos α ) = sen · cos

5)

cos 1 + sen + cos 1 - sen cos cos +

1 - sen 1 + sen 1 - sen 1 + sen

2 2

cos + cos sen + cos - cos sen 2 cos = 2 sec

1 - sen cos

6)

4 4 2 2 2 2 2 2

1

sen α - cos α = sen α + cos α sen α - cos α sen α - cos α

7)

2 2 2

2 2 2 2 2 2

1 sen α 1 - sen α cos α-

sec α - tg α 1cos α cos α cos α cos α= = sen α1 1 1 1cosec α

sen α sen α sen α sen α

8)

2 2sen α 1 sen α 2 cos α sen α + 2 cos αtg + 2cos cosec = + 2 cos α

cos α sen α cos α sen α cos α senα

2 21 + cos α 1 cos α 1 1 cos αsec cosec cotg α

cos α senα cos α senα cos α senα cos α senα senα

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9)

2 2 sen 1cos sen cos sen sen costg + = +

1 + sen cos 1 + sen cos 1 + sen cos 1 + sen

1sec

cos

10)

2 2

1 1cos + 1 + cos - 1

sen sencos cos 2cotg α 2+ = = 2tg α

cosec + 1 cosec - 1 cosec - 1 cotg α cotg α

11) 1

1 1

2

3 3

2 2

tg tg tg tg tg tg =

2tg 2tg tg tg tg2 - tg tg tg - tg tg tg

1

2tg

tg 1

2tg

2 22

2 22

22

2

cos α - sen αsen α1 -

1 - tg α cos αcos α= = =sen α1 + tg α

1 +cos α

2 2

2

cos α + sen α

cos α

2 2cos α - sen α= = cos2α

1

12) Podemos multiplicar en cruz para ”conseguir” otra igualdad y demostrar la nueva:

En cruz

21 - sen α cos α= 1 - sen α 1 + sen α = cos α

cos α 1 + sen α

Esto sólo es válido para valores que no anulen el denominador.

2 21- sen α 1+ sen α 1- sen α = cos α

Otra forma (más común), multiplicando por el conjugado en el segundo miembro:

2 2

cos α 1 - sen α cos α 1 - sen α cos α 1 - sen α 1 - sen α

1 + sen α 1 - sen α 1 - sen α cos α cos α

13) 2 2

2 2

sen α

tg α tg α tg α cos α

1 + tg α sec α sec α 1

cos α

sen α

14) 2 1(1 - senα) (1 + senα) = 1 - sen α = cos α =

sec α

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15)

2 2 2 2cos α sen α cos α sen α cos α sen α cos α - sen α+ + = +

sen α cos α1 - tg α 1 - cotg α cos - sen α sen - cos α cos - sen α1 - 1 -cos α sen α

cos sen α cos - sen α

cos - sen α cos sen α

16)

2 2 2

2 2

1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α 1 - cos α

1 + cos α 1 + cos α 1 - cos α 1 - cos α sen α sen α

1 cos α

sen α sen α= cosec - cotg

17) sen 6α + sen 2α 2

=cos 6α - cos 2α

sen4α cos2α

- 2 sen4α

= - cotg 2

sen2α

18)

tg + tg tg + tg tg + tg = tg tg

1 1 tg + tg cotg + cotg +tg tg tg tg

19) )

sen α cos βsen( sen α cos β + senβ cos α= =

cos cos cos α cos β cos α cos β

senβ cos α+

cos α

= tg tg

cos β