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Transformada de Transformada de LaplaceLaplace
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Transformada de Laplace
[ ]
Laplace de compleja le variabjs
dte)t(f)s(F)t(f0
st
ω+σ=
== ∫∞
−L
f(t) función temporal
f(t) = 0 para t < 0t
f(t)
[ ] [ ])s(G)s(F
)t(g)t(f)t(gf(t) si
===LL Cambio de
variable t ⇒ s
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Transformada de Laplace
Si la ecuación algebraica se resuelve en s, se puede encontrar la solución de la ecuación diferencial (Transformada inversa de Laplace) utilizando una tabla de transformadas, o bien mediante la técnica de expansión en fracciones parciales.
•La Transformada de Laplace es un método operacional que puede utilizarse para resolver ecuaciones diferenciales lineales.
•Transforma ecuaciones diferenciales en ecuaciones algebraicas de una variable compleja s.
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Transformada de Laplace
[ ] [ ])s(G)s(F
)t(g)t(f)t(gf(t) si
===LL
Cambio de variable t ⇒ s
Resolución del problema en el dominio s X(s)
Interpretación y expresión de la solución en el dominio t
Cambio de variable s ⇒ t
[ ] ∫∞
∞−
− ==j
j
st1 dse)s(X)s(X)t(x L
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Transformada de LaplaceDominio temporal Dominio de Laplace
Tomar £(TABLA)
Tomar £-1
(TABLA)
PASO 4
PASO 1
Factorizar D(s)
Descomponer en fracciones simples
PASO 3
Resolver
Y(s)=N(s) / D(s)
PASO 2
Solución
y (t)
Cond. Inic.Ec.Dif.Ord.
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Propiedades de la T. Laplace (I)
[ ]
s)(f
s)s(Fdt)t(f
dt)(df)(sf)s(Fs
dt)t(fd)(f)s(sF
dt)t(df
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
)(t +−−=
−−=
−=
+=+
∫0
000
1
0
22
2
L
LL
L
• Linealidad
• Diferenciación en el dominio del tiempo
[ ] ∫∞ −==0
stdte)t(f)s(F)t(fL
• Integración en el dominio del tiempo
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Propiedades de la T. Laplace (II)
)s(sFlim)t(flim0st
=→∞→
[ ] )s(Fe)dt(f sd=- -L• Desplazamiento en el tiempo
• Teorema del valor final
•Teorema de convolución
NOTA: Este teorema sólo es válido si “s F(s)” no tiene polos sobre el eje imaginario o con parte real positiva.Es válido solamente si, existe lim f tt →∞ ( )
• Teorema del valor inicial
sF(s)limf(t)lims0t ∞→→
=
)s(G)s(Fd)t(g)(f0
=
ττ-t∫
∞L
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Propiedades de la T. Laplace (III)•Transformación de variables. Cambio de escala
• Traslación en el campo complejo
( )[ ] s)F(t/fL ααα =
( )[ ] ( )αα
α s/F1tfL =:α Constante positiva
[ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 α±=
(t)fe(t)f 1t
2αm=
:α Constante
• Diferenciación en el campo complejo
[ ]ds
dF(s)tf(t)L −=
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Propiedades I
[ ]
[ ] [ ] )s(bG)s(aFdte)t(gbdte)t(fadte)t(bg)t(af)t(bg)t(af
)s(bG)s(aF)t(bg)t(af
0
st
0
st
0
st +=+=+=+
+=+
∫∫∫∞
−∞
−∞
−L
L
[ ] )s(sF)0(fdtse)t(f)t(fedtedt
)t(dfdt
)t(df
dtsedu)t(fveudtdt
)t(dfdvduvuvdvu
dtedt
)t(dfdt
)t(df)0(f)s(sFdt
)t(df
0
st
00
stst
stst
0
st
+−=+==
−==⇒==−=
=
−=
∫∫
∫ ∫
∫
∞−
∞∞−−
−−
∞−
L
LL
[ ] ∫∞
−==0
stdte)t(f)s(F)t(fL
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Propiedades II[ ]
[ ]
)s(Fede)(fedee)(fde)(fdte)dt(f
t;d0tdtdte)dt(f)dt(f
)s(Fe)dt(f
sd
0
ssd
0
ssd
d
)d(s
0
st
0
st
sd
−∞
τ−−∞
τ−−∞
−
+τ−∞
−
∞−
−
=ττ=ττ=ττ=−
∞=τ⇒∞=−=τ⇒=τ=−−=−
=−
∫∫∫∫
∫L
L
)(f)0(f)0(f)(f)0(f)t(f
)0(fdttd
)t(fd)0(fdtetd
)t(fdlim)s(sFlim
)0(fdtetd
)t(fd)s(sF)s(sFlim)t(flim
0
00
st
0s0s
0
st
0st
∞=+−∞=+=
=+=+=
+==
∞
∞∞−
→→
∞−
→∞→
∫∫
∫
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Propiedades III
)s(G)s(Fde)(gde)(f
de)(gde)(fde)(gde)(f
dde)(g)(fdtde)t(g)(fdted)t(g)(f
t;0tt
dted)t(g)(fd)t(g)(f
)s(G)s(Fd)t(g)(f
0
s
0
s
s
0
ss
0
s
0
)(s
0 0
st
0
st
0
0
st
00
0
=αα
ττ=
=αα
ττ=αα
ττ=
=α
τατ=
ττ−τ=
ττ−τ
∞=α⇒∞=τ−=α⇒=α=τ−
ττ−τ=
ττ−τ
=
ττ−τ
∫∫
∫∫∫ ∫
∫ ∫∫ ∫∫ ∫
∫ ∫∫
∫
∞α−
∞τ−
∞
τ−
α−∞
τ−∞
τ−
α−∞
τ−
∞
τ−
∞τ+α−
∞ ∞−
∞−
∞
∞−
∞∞
∞
L
L
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Transformada de Laplace de funciones básicas (I)
[ ]sk
sekdtkedte)t(f)s(F)t(f
0
st
0
st
0
st =−====∞−∞
−∞
− ∫∫L
f(t) función escalónf(t) = 0 para t < 0f(t) = k para t >= 0
t
f(t)=k
f(t) función rampaf(t) = 0 para t < 0f(t) = kt para t >= 0
t
f(t)=kt
20
sKdte.Kt)s(F st == ∫
∞−
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t
∫ ∫∞ ∞
+α−−α−
α+===
0 0
t)s(stt
sKdteKdte.e.K)s(F
f(t) función exponencialf(t) = 0 para t < 0f(t) = ke-αt para t ≥ 0
Tablas de transformadas de lasfunciones mas comunes
Transformada de Laplace de funciones básicas (II)
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Tabla de las transformadas más comunes
t n e-αt
e-αt
t n
1
1Impulso unitario
F(s)f(t)
s1
1ns!n+
α+s1
1+α+ n)s(!n
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Tabla de las transformadas más comunes
wtA sen. A ws w
. 2 2+
A wt.cos A ss w
. 2 2+
A e wtat. sen− A w
s a w( )+ +2 2
A e wtat. cos− A s a
s a w+
+ +( )2 2
f(t) F(s)
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Método de reducción en fracciones parciales
F s N sD s
N ss p s p s p s pn
( ) ( )( )
( )( )( )( )...( )
= =+ + + +1 2 3
En los sistemas de control cuyo comportamiento se rige por una ecuación diferencial de coeficientes constantes, la función F(s) tiene normalmente la forma:
s ps p
s pn
= −= −
= −
1
2
...son las raíces del polinomio D(s)donde:
Estas raíces podrán ser: reales simples, reales múltiples, complejas simples, complejas múltiples.
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Método de reducción en fracciones parciales
• RAICES REALES SIMPLES:
- La función F(s) se podrá descomponer en la siguiente forma:
- Aplicando la propiedad de linealidad de la transformada de Laplace
∑∏ =
=
+=
+++
++
+=
+==
n
1i i
i
n
n
2
2
1
1n
1ii
psA
psA
...ps
Aps
A
)p(s
N(s)D(s)N(s)F(s)
[ ]
+
++
+
+
+
==n
n
psA
psA
psA
sFtf 1-
2
21-
1
11-1- £....££)(£)(
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Método de reducción en fracciones parciales
• RAICES REALES SIMPLES:
- Por lo tanto la antitrasformada de Laplace es:
- La manera de calcular el valor de cada residuo Ai es la siguiente:
ipsii sFpsA−=
+= )()(
∑=
−=n
i
tpi
ieAtf1
.)(ip- polo del residuo
polo⇒⇒−
i
i
Ap
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 1:Hallar la antitrasformada de Laplace de:
SOLUCIONLa función F(s) la podemos poner en la forma:
A continuación calculamos los valores de Ai
Por tanto la transformada inversa de Laplace es:
( ) ( )( ) ( ) ( )652
43)(+++
++=
sssssssF
( ) ( )( ) ( ) ( ) 652652
43)( 3210
++
++
++=
+++++
=sA
sA
sA
sA
sssssssF
41
6s6)F(s)(s3152
5s5)F(s)(s2A
121
2s2)F(s)(s1A51
0sF(s)s0A
−=−=+==−=+=
−=−=+====
A
f t e e et t t( ) = − + −− − −15
112
215
14
2 5 6
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 2:Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCION
Vamos a calcular los Ai de otra forma:
Igualando los coeficientes:
Por tanto la solución es:
)3()1()2(10)(
+++
=ss
ssF
31)3()1()2(10)( 21
++
+=
+++
=S
AS
Ass
ssF
212121 AA3s)AA(20s10)1s(A)3s(A)2s(10 +++=+→+++=+
55320
1021
21
21 ==
+=+=
AAAA
AA
tt eetf 355)( −− +=
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Método de reducción en fracciones parciales
• RAICES REALES MÚLTIPLES:
- Los coeficientes A1...An se calculan según lo visto anteriormente y los ar de la siguiente manera:
ri
r
iin
n
ri
psa
psa
psa
psA
psA
pspspssN
sDsNsF
)(...
)()()(...
)(
))...()(()(
)()()(
221
1
1
21
++
++
++
++
+=
=+++
==
i
ii
ps
ri1r
1r
1
ps
ri1r
ps
rir
)ps()s(D)s(N
dsd
)!1r(1a
)ps()s(D)s(N
dsda)ps(
)s(D)s(Na
−=
−
−
−=
−
−=
+
−=
+=+=
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Método de reducción en fracciones parciales
• RAICES REALES MÚLTIPLES:
- Teniendo en cuenta que:
- Por lo tanto la Transformada inversa de F(s) será de la forma:
£-1 11
1
( ) ( )!s pt
re
ir
rp ti
+
=
−
−−
[ ]f t F s A e A e A e
ar
ta
rt a t a e
p t p tn
p t
r r r r p t
n
i
( ) ( ) . . ... .
( )! ( )!... .
= = + + + +
+−
+−
+ + +
− − −
− − − −
£-11 2
1 1 22 1
1 2
1 2
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 3:
Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCIÓN
Lo ponemos en la forma:
F s ss s s
( )( ) ( )( )
=+
+ + +1
2 4 32
2)3s)(s(FA4
3)4s)(s(FA
3sA
4sA
2sa
)2s(a
)3s)(4s()2s(1s)s(F
3s2
4s1
2112
22
−=+=
=+=
++
++
++
+=
++++
=
−=
−=
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 3:
- Por lo tanto la solución será:
t2t3t4 et21
45e2e
43)t(f −−−
−+−=
45
12s7s1s
dsd)2s)(s(F
dsda
21)2s)(s(Fa
2s2
2s
21
2s
22
=
+++
=+=
−=+=
−=−=
−=
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 4:
Hallar la antitransformada de Laplace de:
SOLUCIÓN
F s s ss
( )( )
=+ +
+
2
32 3
1
2C;0B;1ACBA3
BA22A1
C)1s(B)1s2s(A3s2sC)1s(B)1s(A3s2s
)1S(C
)1S(B
1SA
)1s(3s2s)s(F
22
22
323
2
===
++=+=
=
+++++=++
++++=++
++
++
+=
+++
=
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 4:
Por lo tanto la solución queda:
Y finalmente, la función temporal es:
F ss s
( )( )
=+
++
11
21 3
)t1(e)t(fete1)t(f 2tt2t +=→+= −−−
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Método de reducción en fracciones parciales
• RAICES COMPLEJAS CONJUGADAS:
- Supongamos el denominador de 2º orden cuyas raíces son: α +jwd- Los pasos a dar son los siguientes:
1. Obtener fracciones con un denominador de segundo grado (cuyas raíces son
complejas conjugadas) y un numerador de primer grado.
2. Obtener los valores de A y B
3. Descomponer y trasformar la fracción en transformadas de Laplacecuya
antitransformada está en las tablas.
012
2 asasaBAs++
+
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 5:
- Hallar la antitransformada de Laplace de la función:
SOLUCIÓN
Identificando coeficientes de potencias de s se obtienen A, B y C:
)52(3)( 2 ++
=sss
sF
52)52(3)( 22 ++
++=
++=
ssCsB
sA
ssssF
56
53
5353
200
−=
−=
==+=
+=C
B
AACA
BA
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Método de reducción en fracciones parciales
• EJEMPLO 5:
- Poniendo las fracciones como transformadas de Laplace conocidas:
- Y la solución será:
++
−++
+−=
++
+−= 22222 2)1(
221
2)1(11
53
5221
53)(
sss
ssss
ssF
−−= −− tetetf tt 2sen
212cos1
53)(
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Resolución de ecuaciones diferenciales
Ejemplo:
tdtdtd
=
u.udLyydydL
0tparae)t(u;td
)(yd;)(yu.tdudy
tdyd
tdyd t
−=
++
≥==−=++ −
502
0000502
2
2
22
2
)s(sU)s(Y)s(Y)s(Ys −U(0)-0.5U(s)=++2s2 10.5)U(s)(s1)2sY(s)(s2 −−=++
2s1U(s)+
=2)1)(s2s(s
2.5Y(s) 2 +++−
=
[ ])s(YL)t(y == −1
2)(s1)(s2.5Y(s) 2 ++
−=
...=
++
−−
2)(s1)(s2.5L 2
1
dominio t ⇒ dominio s ⇒ dominio t
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Descomposición en fracciones simples
( )( ) ( )222
2
)2s(1s)2s(c
)2s()1s()2s)(1s(b
)2s(1s1sa
+++
+++++
+++
+
++ ( )21sc
1sb
2sa +++
( )ttt2
21 te5.2e5.2e5.2
1s5.2
1s5.2
2s5.2L)t(y −−−− −+−=
+
−+
++
+−
=
[ ]1 )s(YL)t(y − ==
++
−−
2)(s1)(s2.5L 2
1
=++
−2)(s1)(s
2.52
=++
−2)(s1)(s
2.52
0ba =+
0cb2a =++ 32.52c2ba −=++
-2.5a = 2.5b = -2.5c =
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PROPIEDADES DE LA T. LAPLACE TRANSFORMADAS MÁS COMUNES Linealidad [ ] )()()()( sbGsaFtbgtaf +=+L f(t) F(s)
Impulso unitario 1 Diferenciación en el dominio del tiempo
dt
dfsfsFsdt
tfd
fssFdt
tdf
)0()0()()(
)0()()(
22
2
−−=
−=
L
L
)0(...)0('
)0()()(
102
1
−−
−
−−−
−−=
nn
nnn
n
fsfs
fssFsdt
tfdL
1 s1
Integración en el dominio del tiempo s
fssFdttf
t )0()()()1(
0
+−
−=
∫L [ ] )0(1)()( )(
11
)( +−
=+−
− ∑−= in
iinn
n fss
sFtfL nt 1
!+ns
n
Desplazamiento en el tiempo [ ] )()( sFedtf sd−=−L ate−
as +1
Teorema del valor inicial
sF(s)limf(t)lims0t ∞→→
= atnet − 1)(!
++ nasn
Teorema del valor final sF(s)limf(t)lim0st →∞→
= Asenwt 22 wswA+
Teorema de convolución )()()()(
0
sGsFdtgtf =
−∫
∞
ττL Acoswt 22 wssA+
( )[ ] s)F(t/fL ααα = Transformación de variables. Cambio de
escala
( )[ ] ( )αα
α s/F1tfL = α= constante positiva senwtAe at− 22)( was
wA++
Traslación en el campo complejo
Si [ ] F(s)(t)fL 1 = y [ ] )F(s(t)fL 2 α±= siendo α= constante, entonces (t)fe(t)f 1
t2
αm= wtAe at cos− 22)( wasas
A++
+
Diferenciación en el campo complejo [ ]
dsdF(s)tf(t)L −=
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