T-valoareaNucleolul
Multimea Weber
Τ-valoarea (Tijs, 1980)
● T-valoarea e un compromis admisibil intre 2 vectori: M(v) = (M
1(v),...,M
n(v)) – vectorul marginal (utopie)
Mi(v) = v(N) – v(N-{i}) – contributia marginala a lui i la N
m(v) = (m1(v), ..., m
n(v)) – vectorul dreptului minim
mi(v) = max(v(S) – Σm
j(v)) – dreptul minim al lui i
j Є S\{i} R(S,i) – restul pentru i in SM(v) si m(v) sunt margine superioara si inferioara pentru elementele samburelui
T – valoarea. Teorema
● Fie xЄC(v). Atunci mi(v)≤x
i≤M
i(v), oricare iЄN
● Dem.: (i) x
i = x(N) – x(N\{i}) = v(N) – x(N\{i}) ≤ v(N) – v(N\{i}) = M
i(v)
(ii) dem ca: daca iЄS, atunci v(S) – ΣMj(v) ≤ x
i
jЄS\{i} (i)
● Obs: xi = x(S) – x(S\{i}) ≥ v(S) – x(S\{i}) ≥ v(S) – ΣM
j(v)
jЄS\{i}
T-valoarea
● E(v) – {xЄRn | Σxi = v(N) , i=1,n} (hiperplanul vectorilor
eficienti pentru v)● Def: este cvasi-balansat daca:
(i) m(v) ≤ M(v) (mi(v)≤M
i(v), oricare iЄN)
(ii) Σmi(v) ≤ v(N) ≤ ΣM
i(v), i=1,n
Notatie QN – multimea jocurilor cvasi-balansate● Def: pentru vЄQN, t(v) este unicul vector de plata eficient
pe segmentul [m(v), M(v)] situat in hiperplanul E al vectorilor eficienti
● QN include BAN (multimea jocurilor cu jocuri balansate - cu C(v) nevid)
Exemplu
● Vanzator – jucatorul 1● Cumparatori potentiali – jucatorii 2 si 3● Valoarea bunului: v(1)=0, v(1,2) = 100, v(1,3) = 200,
v(1,2,3) = 200, v(S) = 0 in rest● M(N,v) = (200, 0, 100)● m(v) = (100, 0, 0)● t(v) = (150, 0, 50)
T-valoarea
● Def: f:QN->RN are proprietatea dreptului minim daca f(v) = m(v) + f(v – m(v)), oricare vЄQN
● Def: f:QN->RN are proprietatea de proportionalitate restrictiva daca f(v) e un multiplu al lui M(v) in cazul cand m(v) = 0
● Teorema – o caracterizare a t-valorii (Tijs, 1987)fie f:Qn->R
● f = t f eficienta f are proprietatea dreptului minim (iii) f e proportionala restrictiv
(vЄQn => w = v – m(v) Є Qn)
Alte proprietati
● (i) Rationalitate individuala: t(i) ≥ v(i), oricare iЄN ● (ii) Proprietatea jucatorului fictiv: t(i) = v(i), i=jucatorul fictiv● Anonimitate ● Invarianta la echivalenta strategica (S-eq)● Dem:
(i) vЄQN => m(v)≤t(v)≤M(v). Deci ti(v)≥m
i(v)≥R({i},i)=v(i)
(ii) daca i este jucator fictiv, atunci v(i) = R({i},i) ≤ m
i(v) ≤ t
i(v) ≤ M
i(v) = v(i)
(iii) t(v) = m(v) + α(M(v) – m(v)) = αM(v) daca vЄQn
0 = {vЄQn | m(v) = 0}
T-valoarea pentru jocurile de tip cost
● M(c) – marginal cost vector M
i(c) = c(N) – c(N\{i})
● m(c) = maximal contribution vector m
i(c) = min(c(S) – ΣM
j(c))
S:iЄS jЄS\{i} ● Def: este un joc quasi-balansat daca:
ΣMi(c) ≤ c(N) ≤ Σm
i(c) i=1,n
T-valoarea pentru jocurile de tip cost
● Proprietatea marginilor pentru samburele jocului: Pentru toti xЄC(c) = {xЄRn | x(N) = c(N), x(S)≤c(S), SЄ2N} (*) M(c) ≤ x ≤ m(c) (pe coordonate)
● Jocurile de cost balansate sunt quasi-balansate Dem: luam xЄC(v). Atunci (*) implica
Σmi(c) ≤ Σx
i = c(N) ≤ Σm
i(c), i=1,n
Mi(c) ≤ x
i ≤ m
i(c), oricare iЄN
σ-valoarea (Tijs, 1980)
● Def: este semibalansat daca (i) v(i) ≤ M
i(N,v), oricare iЄN (i(v)=(v(1),...,v(n))≤M(N,v))
(ii) Σv(i) ≤ v(N) ≤ ΣMi(N,v)
iЄN iЄNSBN = {vЄGN | v este semibalansat}
● Def: σ:SBN -> RN (σ-valoarea) definita prin σ(v) = αi(v) + (1-α)M(N,v), oricare vЄSBN, unde αЄ[0,1] este unic determinat prin Σσ
i(v) = v(N), iЄN
Exemplu
● Vanzator (jucatorul 1) ● Cumparatori potentiali (jucatorii 2 si 3)● v(1,2) = 100, v(1,3) = 200, v(1,2,3) = 200 si v(S) = 0 in rest● i(v) = (0, 0, 0) M(N,v) = (200, 0 ,100) ● σ(v) = (400/3, 0, 200/3) t(v) = (150, 0, 50)● D.p.d.v geometric, σ-valoarea σ(v) a unui joc semibalansat
este unicul punct de intersectie al segmentului [i(v), M(v)] cu hiperplanul E(v) = {xЄRn | Σx
i = v(N), iЄN} al vectorilor
eficienti pentru v● Pentru orice joc convex are loc σ(v) = t(v)● SBN include BAN (multimea jocurilor balansate = cu C(v)
nevid)
Nucleolul (the nucleolus – D. Schweidler, 1969)
● Nu(v), vЄGN: I(v) nevida● xЄRN, oricare SЄ2N\{null, N}:
e(S,x) = v(S) – x(S), cu x(S) = Σxi, iЄS – excesul lui S
cu privire la alocatia xS
1, S
2, ..., S
2n-2 – ordine fixata
(e(S1,x), e(S
2,x),...,e(S
2n-2, x)), oricare xЄI(v)
rearanjam componentele vectorului exceselor celor 2n-2 coalitii in raport cu x astfel incat:
Θ(x) = [... ≥ e(S,x) ≥ ... | S nevid si diferit de N]
Nucleolul
● In definitia nucleolului ordinea lexicografica ≤L pe RP joaca un
rol important: x, yЄRp: x ≤
L y daca x
1 < y
1 sau
x1 = y
1, x
2 < y
2 sau
p = 2n-2 x1 = y
1, x
2 = y
2, x
3 < y
3 sau
...● Exemplu: N={1,2,3} v(1)=3, v(2)=6, v(1,2)=10
S={1} {2} {1,2}x1=(4,6) -1 0 0 v(S)-x1(S) Θ(x1)=(0,0,-1) x2=(3,7) 0 -1 0 v(S)-x2(S) Θ(x2)=(0,0,-1) x3=(31/2, 61/2) -1/2 -1/2 0 v(S)-x3(S) Θ(x3)=(0,1/2,1/2) Θ(x3)≤
LΘ(x1) Θ(x3)≤
LΘ(x2) Nu(v)={x3}
● N(v) = {xЄI(v) | Θ(x)≤LΘ(y), oricare yЄI(v)}
Nucleolul
● Teorema: fie un joc cu C(v) nevid. Atunci Nu(v)ЄC(v)
● Dem: xЄI(v). Atunci xЄC(v) e(S,x) = v(S) – x(S) ≤ 0 oricare S Θ(v)≤0 Θ(v)≤
L0
Luam zЄC(v). Atunci Θ(Nu(v)) ≤LΘ(z)≤
L0
● Caracterizari axiomatice: C. Snijders ● Calcularea nucleolului este mai dificila decat calcularea
valorii Shapley sau a t-valorii● Pentru jocuri speciale: procedura grafica● Pentru toate jocurile cu I(v) nevid, multimea
{Θ(x) | xЄI(v)} este compacta si exista un singur element x'ЄI(v) astfel ca Θ(x') este minimul lexicografic pentru {Θ(x) | xЄI(v)}
Nucleolul
● Fie cu N = {1,2} si r=v(1,2) – v(1) – v(2) > 0● Atunci fiecare element al lui I(v) este de forma
xα = (1-α)f1 + αf2 cu αЄ[0,1], unde f1=(v(1,2) – v(2), v(2)) si f2=(v(1), v(1,2)-v(1)) Θ(xα) = (0, -αr, -(1-α)r) daca αЄ[0,1/2] (0, -(1-α)r, -αr) daca αЄ[1/2,1] (intrucat e({1},xα) = -(1-α)r; e({2}, xα)=...=-αr Θ(x1/2) = (0, (-1/2)r, (-1/2)r)≤
LΘ(xα). Deci Nu(v)=x1/2
Mai mult, Nu(v) = 1/2(f1 + f2) = Φ(v) = t(v)
Determinarea nucleolului unui joc
● Metoda generala: rezolvarea unei succesiuni de programe liniare (prin utilizarea algoritmului simplex primal/dual)
● Folosirea samburelui C(v) si/sau a proprietatilor nucleolului privind jucatorii simetrici si jucatorii fictivi
|C(v)| = 1 => η(v) = C(v)C(v) consta din vectori plata care sunt functii liniare de
un parametru => η(v) are componente aceleasi functii liniare de acel parametru
Determinarea nucleolului unui joc
● Metoda grafica (cand componentele nucleolului depind de un parametru)
● Pas 1: determinam valorile parametrului din conditia η(v)ЄI(v)● Pas 2: se calculeaza excesele tuturor coalitiilor SЄ2N\{null,N}● Pas 3: se reprezinta grafic functiile exces in intervalul
determinat in Pas 1● Pas 4: se traseaza graficul functiei maximul functiilor exces si
se determina valoarea parametrului pentru care aceasta functie isi atinge minimul
Determinarea nucleolului unui joc Exemplu
● 3 jucatori● 2 resurse in cantitatile (0,3), (1,1), (5,9)● un produs cu cost 50/unitate fabricat in 1 unitate + 2 unitati● v(3) = 200, v(1,2) = 50, v(1,3)=v(2,3)=250, v(1,2,3)=300,
v(S) = 0 in rest ●η
1(v) = η
2(v) -> η
3(v) = v(N) – η
1(v) – η
2(v), deci
η(v) = (x, x, 300-2x). Pas 1 => 0 ≤ x ≤ 50, ..., Pas 4 => x = 100/3
Criteriul lui Kohlberg (1971)
● Fie vЄGN si xЄI(v) cu xiv({i}) oricare iЄN. Notam cu
ε1, ε2,..., εk(x) excesele coalitiilor SЄ2N\{null,N}{i},iЄN cu privire la x ordonate descrescator si cu Bi multimea coalitiilor asociate cu excesul εi, iЄ{1,2,...,k(x)}. Imputatia x este nucleul jocului v pentru toti 1≤j≤k(x),
UBt, t=1,j este o colectie balansata (echilibrata)● Exemplu (Rafels & all, 1999):
aratati ca x = (10/3, 10/3, 70/3) este nucleolul jocului v(1)=v(2)=0, v(3)=20, v(1,2)=5, v(1,3)=v(2,3)=25, v(1,2,3)=30
Exemplu - rezolvare
● Verificam ca xiv({i}), i=1,2,3
● Calculam excesele coalitiilor SЄ2N\{null,N} S= {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} e(S,x;v) -10/3 -10/3 -10/3 -5/3 -5/3 -5/3
● Ordonam excesele descrescator si identificam multimile Bi pentru εi:Excese ε1 = -5/3 ε2=-10/3 Multimi de coalitii B1={{1,2}, {1,3}, {2,3}} B2={{1},{2},{3}}
● Verificam daca multimile B1 si B1UB2 sunt echilibrate B1 = { {1,2}, {1,3}, {2,3} }ponderi ½ ½ ½ B1UB2 = { {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3} } ponderi 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3
● Prin criteriul lui Kohlberg => x=(10/3, 10/3, 70/3) este Nu(v)
Multimea Weber (Weber set - 1982)
●Φ(v) = (1/n!)Σmσ(v), σЄπ(N) - valoarea Shapley●W(v) = conv{mσ(v) | σ: {1,...,n} -> N}●Exemple:
1) N={1,2,3} Φ(u{1,2}
) = (1/2 ,1/2, 0) W(v) = C(v) = conv( { (1,0,0), (0,1,0) } ) 2) N={1,2,3} v(1,2) = 0, v(1,3) = v(2,3) = v(1,2,3) = 1, v(i) = 0 (LLR game)
C(v) = { (0, 0, 1) } Φ(v) = (1/6, 1/6, 4/6) W(v) = conv{ (0,0,1), (1,0,0), (0,1,0) } include strict C(v)
Multimea Weber
● Teorema (R. Weber, 1988): fie vЄG N. Atunci C(v) este inclus in W(v)
● Dem: prin inductie dupa numarul jucatoriloretapa 1: daca |N| = 1, atunci I(v) = C(v) = W(v) = {(v(1))} pentru |N| = 2, consideram 2 cazuri: 1) I(v) = null. Atunci C(v) inclus in I(v) = Φ inclus in W(V) 2) I(v)null. Atunci
C(v)=I(v)=conv(f1,f2}=conv{mσ | σ:{1,2}->{1,2}} = W(v) etapa 2: |N| = n > 2 si C(v) inclus in W(v) pentru orice joc cu cel mult n jucatori. Deoarece C(v) si W(v) sunt multimi convexe se dem. Din xЄExt(C(v)) => xЄW(v)
Solutii bazate pe exces
● : e(S,x) = v(S) – x(S), xЄRN, x(S) = Σxi, iЄS
● I*(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0}● I(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0 si e({i}, x)≤0, oricare iЄN}● C(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0 si e(S,x)≤0 oricare S nevid}● Nu(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0, Θ(x) ≤
L Θ(y), oricare yЄI(v)}
● KC(v) = { xЄC(v) | sij(x) = s
ij(x), oricare xy}, unde
sij(x) = max{e(S,x) | S inclus in N, iЄS, j nu Є S} – surplusul
lui i impotriva lui x w.r.t. x
Solutii bazate pe exces
● B inclus in 2N\{null,N}; numai coalitiile SЄBU{N} determina solutia jocului
● B-core: CB(v) = {xЄRN | e(N,x)=0, e(S,x)≤0, oricare SЄB}● B-kernelore: KCB(v)={xЄCB(v) | s
ijB(x) = s
jiB(x), oricare ij}
unde sijB(x) = max{e(S,x) | sЄB, iЄS, j nu Є S}
● B-nucleolus: NB(v) = {xЄI(v) | ΘB(x)≤LΘB(y), oricare yЄI(v)}
unde ΘB(x) = [...≥e(S,x)≥...|SЄB] este vectorul cu |B| componente constand din excesele coalitiilor SЄB w.r.t. x aranjate in ordine descrescatoare
Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24
Top Related