T-valoareaNucleolul

Multimea Weber

Τ-valoarea (Tijs, 1980)

● T-valoarea e un compromis admisibil intre 2 vectori: M(v) = (M

1(v),...,M

n(v)) – vectorul marginal (utopie)

Mi(v) = v(N) – v(N-{i}) – contributia marginala a lui i la N

m(v) = (m1(v), ..., m

n(v)) – vectorul dreptului minim

mi(v) = max(v(S) – Σm

j(v)) – dreptul minim al lui i

j Є S\{i} R(S,i) – restul pentru i in SM(v) si m(v) sunt margine superioara si inferioara pentru elementele samburelui

T – valoarea. Teorema

● Fie xЄC(v). Atunci mi(v)≤x

i≤M

i(v), oricare iЄN

● Dem.: (i) x

i = x(N) – x(N\{i}) = v(N) – x(N\{i}) ≤ v(N) – v(N\{i}) = M

i(v)

(ii) dem ca: daca iЄS, atunci v(S) – ΣMj(v) ≤ x

i

jЄS\{i} (i)

● Obs: xi = x(S) – x(S\{i}) ≥ v(S) – x(S\{i}) ≥ v(S) – ΣM

j(v)

jЄS\{i}

T-valoarea

● E(v) – {xЄRn | Σxi = v(N) , i=1,n} (hiperplanul vectorilor

eficienti pentru v)● Def: este cvasi-balansat daca:

(i) m(v) ≤ M(v) (mi(v)≤M

i(v), oricare iЄN)

(ii) Σmi(v) ≤ v(N) ≤ ΣM

i(v), i=1,n

Notatie QN – multimea jocurilor cvasi-balansate● Def: pentru vЄQN, t(v) este unicul vector de plata eficient

pe segmentul [m(v), M(v)] situat in hiperplanul E al vectorilor eficienti

● QN include BAN (multimea jocurilor cu jocuri balansate - cu C(v) nevid)

Exemplu

● Vanzator – jucatorul 1● Cumparatori potentiali – jucatorii 2 si 3● Valoarea bunului: v(1)=0, v(1,2) = 100, v(1,3) = 200,

v(1,2,3) = 200, v(S) = 0 in rest● M(N,v) = (200, 0, 100)● m(v) = (100, 0, 0)● t(v) = (150, 0, 50)

T-valoarea

● Def: f:QN->RN are proprietatea dreptului minim daca f(v) = m(v) + f(v – m(v)), oricare vЄQN

● Def: f:QN->RN are proprietatea de proportionalitate restrictiva daca f(v) e un multiplu al lui M(v) in cazul cand m(v) = 0

● Teorema – o caracterizare a t-valorii (Tijs, 1987)fie f:Qn->R

● f = t f eficienta f are proprietatea dreptului minim (iii) f e proportionala restrictiv

(vЄQn => w = v – m(v) Є Qn)

Alte proprietati

● (i) Rationalitate individuala: t(i) ≥ v(i), oricare iЄN ● (ii) Proprietatea jucatorului fictiv: t(i) = v(i), i=jucatorul fictiv● Anonimitate ● Invarianta la echivalenta strategica (S-eq)● Dem:

(i) vЄQN => m(v)≤t(v)≤M(v). Deci ti(v)≥m

i(v)≥R({i},i)=v(i)

(ii) daca i este jucator fictiv, atunci v(i) = R({i},i) ≤ m

i(v) ≤ t

i(v) ≤ M

i(v) = v(i)

(iii) t(v) = m(v) + α(M(v) – m(v)) = αM(v) daca vЄQn

0 = {vЄQn | m(v) = 0}

T-valoarea pentru jocurile de tip cost

● M(c) – marginal cost vector M

i(c) = c(N) – c(N\{i})

● m(c) = maximal contribution vector m

i(c) = min(c(S) – ΣM

j(c))

S:iЄS jЄS\{i} ● Def: este un joc quasi-balansat daca:

ΣMi(c) ≤ c(N) ≤ Σm

i(c) i=1,n

T-valoarea pentru jocurile de tip cost

● Proprietatea marginilor pentru samburele jocului: Pentru toti xЄC(c) = {xЄRn | x(N) = c(N), x(S)≤c(S), SЄ2N} (*) M(c) ≤ x ≤ m(c) (pe coordonate)

● Jocurile de cost balansate sunt quasi-balansate Dem: luam xЄC(v). Atunci (*) implica

Σmi(c) ≤ Σx

i = c(N) ≤ Σm

i(c), i=1,n

Mi(c) ≤ x

i ≤ m

i(c), oricare iЄN

σ-valoarea (Tijs, 1980)

● Def: este semibalansat daca (i) v(i) ≤ M

i(N,v), oricare iЄN (i(v)=(v(1),...,v(n))≤M(N,v))

(ii) Σv(i) ≤ v(N) ≤ ΣMi(N,v)

iЄN iЄNSBN = {vЄGN | v este semibalansat}

● Def: σ:SBN -> RN (σ-valoarea) definita prin σ(v) = αi(v) + (1-α)M(N,v), oricare vЄSBN, unde αЄ[0,1] este unic determinat prin Σσ

i(v) = v(N), iЄN

Exemplu

● Vanzator (jucatorul 1) ● Cumparatori potentiali (jucatorii 2 si 3)● v(1,2) = 100, v(1,3) = 200, v(1,2,3) = 200 si v(S) = 0 in rest● i(v) = (0, 0, 0) M(N,v) = (200, 0 ,100) ● σ(v) = (400/3, 0, 200/3) t(v) = (150, 0, 50)● D.p.d.v geometric, σ-valoarea σ(v) a unui joc semibalansat

este unicul punct de intersectie al segmentului [i(v), M(v)] cu hiperplanul E(v) = {xЄRn | Σx

i = v(N), iЄN} al vectorilor

eficienti pentru v● Pentru orice joc convex are loc σ(v) = t(v)● SBN include BAN (multimea jocurilor balansate = cu C(v)

nevid)

Nucleolul (the nucleolus – D. Schweidler, 1969)

● Nu(v), vЄGN: I(v) nevida● xЄRN, oricare SЄ2N\{null, N}:

e(S,x) = v(S) – x(S), cu x(S) = Σxi, iЄS – excesul lui S

cu privire la alocatia xS

1, S

2, ..., S

2n-2 – ordine fixata

(e(S1,x), e(S

2,x),...,e(S

2n-2, x)), oricare xЄI(v)

rearanjam componentele vectorului exceselor celor 2n-2 coalitii in raport cu x astfel incat:

Θ(x) = [... ≥ e(S,x) ≥ ... | S nevid si diferit de N]

Nucleolul

● In definitia nucleolului ordinea lexicografica ≤L pe RP joaca un

rol important: x, yЄRp: x ≤

L y daca x

1 < y

1 sau

x1 = y

1, x

2 < y

2 sau

p = 2n-2 x1 = y

1, x

2 = y

2, x

3 < y

3 sau

...● Exemplu: N={1,2,3} v(1)=3, v(2)=6, v(1,2)=10

S={1} {2} {1,2}x1=(4,6) -1 0 0 v(S)-x1(S) Θ(x1)=(0,0,-1) x2=(3,7) 0 -1 0 v(S)-x2(S) Θ(x2)=(0,0,-1) x3=(31/2, 61/2) -1/2 -1/2 0 v(S)-x3(S) Θ(x3)=(0,1/2,1/2) Θ(x3)≤

LΘ(x1) Θ(x3)≤

LΘ(x2) Nu(v)={x3}

● N(v) = {xЄI(v) | Θ(x)≤LΘ(y), oricare yЄI(v)}

Nucleolul

● Teorema: fie un joc cu C(v) nevid. Atunci Nu(v)ЄC(v)

● Dem: xЄI(v). Atunci xЄC(v) e(S,x) = v(S) – x(S) ≤ 0 oricare S Θ(v)≤0 Θ(v)≤

L0

Luam zЄC(v). Atunci Θ(Nu(v)) ≤LΘ(z)≤

L0

● Caracterizari axiomatice: C. Snijders ● Calcularea nucleolului este mai dificila decat calcularea

valorii Shapley sau a t-valorii● Pentru jocuri speciale: procedura grafica● Pentru toate jocurile cu I(v) nevid, multimea

{Θ(x) | xЄI(v)} este compacta si exista un singur element x'ЄI(v) astfel ca Θ(x') este minimul lexicografic pentru {Θ(x) | xЄI(v)}

Nucleolul

● Fie cu N = {1,2} si r=v(1,2) – v(1) – v(2) > 0● Atunci fiecare element al lui I(v) este de forma

xα = (1-α)f1 + αf2 cu αЄ[0,1], unde f1=(v(1,2) – v(2), v(2)) si f2=(v(1), v(1,2)-v(1)) Θ(xα) = (0, -αr, -(1-α)r) daca αЄ[0,1/2] (0, -(1-α)r, -αr) daca αЄ[1/2,1] (intrucat e({1},xα) = -(1-α)r; e({2}, xα)=...=-αr Θ(x1/2) = (0, (-1/2)r, (-1/2)r)≤

LΘ(xα). Deci Nu(v)=x1/2

Mai mult, Nu(v) = 1/2(f1 + f2) = Φ(v) = t(v)

Determinarea nucleolului unui joc

● Metoda generala: rezolvarea unei succesiuni de programe liniare (prin utilizarea algoritmului simplex primal/dual)

● Folosirea samburelui C(v) si/sau a proprietatilor nucleolului privind jucatorii simetrici si jucatorii fictivi

|C(v)| = 1 => η(v) = C(v)C(v) consta din vectori plata care sunt functii liniare de

un parametru => η(v) are componente aceleasi functii liniare de acel parametru

Determinarea nucleolului unui joc

● Metoda grafica (cand componentele nucleolului depind de un parametru)

● Pas 1: determinam valorile parametrului din conditia η(v)ЄI(v)● Pas 2: se calculeaza excesele tuturor coalitiilor SЄ2N\{null,N}● Pas 3: se reprezinta grafic functiile exces in intervalul

determinat in Pas 1● Pas 4: se traseaza graficul functiei maximul functiilor exces si

se determina valoarea parametrului pentru care aceasta functie isi atinge minimul

Determinarea nucleolului unui joc Exemplu

● 3 jucatori● 2 resurse in cantitatile (0,3), (1,1), (5,9)● un produs cu cost 50/unitate fabricat in 1 unitate + 2 unitati● v(3) = 200, v(1,2) = 50, v(1,3)=v(2,3)=250, v(1,2,3)=300,

v(S) = 0 in rest ●η

1(v) = η

2(v) -> η

3(v) = v(N) – η

1(v) – η

2(v), deci

η(v) = (x, x, 300-2x). Pas 1 => 0 ≤ x ≤ 50, ..., Pas 4 => x = 100/3

Criteriul lui Kohlberg (1971)

● Fie vЄGN si xЄI(v) cu xiv({i}) oricare iЄN. Notam cu

ε1, ε2,..., εk(x) excesele coalitiilor SЄ2N\{null,N}{i},iЄN cu privire la x ordonate descrescator si cu Bi multimea coalitiilor asociate cu excesul εi, iЄ{1,2,...,k(x)}. Imputatia x este nucleul jocului v pentru toti 1≤j≤k(x),

UBt, t=1,j este o colectie balansata (echilibrata)● Exemplu (Rafels & all, 1999):

aratati ca x = (10/3, 10/3, 70/3) este nucleolul jocului v(1)=v(2)=0, v(3)=20, v(1,2)=5, v(1,3)=v(2,3)=25, v(1,2,3)=30

Exemplu - rezolvare

● Verificam ca xiv({i}), i=1,2,3

● Calculam excesele coalitiilor SЄ2N\{null,N} S= {1} {2} {3} {1,2} {1,3} {2,3} e(S,x;v) -10/3 -10/3 -10/3 -5/3 -5/3 -5/3

● Ordonam excesele descrescator si identificam multimile Bi pentru εi:Excese ε1 = -5/3 ε2=-10/3 Multimi de coalitii B1={{1,2}, {1,3}, {2,3}} B2={{1},{2},{3}}

● Verificam daca multimile B1 si B1UB2 sunt echilibrate B1 = { {1,2}, {1,3}, {2,3} }ponderi ½ ½ ½ B1UB2 = { {1,2}, {1,3}, {2,3}, {1}, {2}, {3} } ponderi 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3 1/3

● Prin criteriul lui Kohlberg => x=(10/3, 10/3, 70/3) este Nu(v)

Multimea Weber (Weber set - 1982)

●Φ(v) = (1/n!)Σmσ(v), σЄπ(N) - valoarea Shapley●W(v) = conv{mσ(v) | σ: {1,...,n} -> N}●Exemple:

1) N={1,2,3} Φ(u{1,2}

) = (1/2 ,1/2, 0) W(v) = C(v) = conv( { (1,0,0), (0,1,0) } ) 2) N={1,2,3} v(1,2) = 0, v(1,3) = v(2,3) = v(1,2,3) = 1, v(i) = 0 (LLR game)

C(v) = { (0, 0, 1) } Φ(v) = (1/6, 1/6, 4/6) W(v) = conv{ (0,0,1), (1,0,0), (0,1,0) } include strict C(v)

Multimea Weber

● Teorema (R. Weber, 1988): fie vЄG N. Atunci C(v) este inclus in W(v)

● Dem: prin inductie dupa numarul jucatoriloretapa 1: daca |N| = 1, atunci I(v) = C(v) = W(v) = {(v(1))} pentru |N| = 2, consideram 2 cazuri: 1) I(v) = null. Atunci C(v) inclus in I(v) = Φ inclus in W(V) 2) I(v)null. Atunci

C(v)=I(v)=conv(f1,f2}=conv{mσ | σ:{1,2}->{1,2}} = W(v) etapa 2: |N| = n > 2 si C(v) inclus in W(v) pentru orice joc cu cel mult n jucatori. Deoarece C(v) si W(v) sunt multimi convexe se dem. Din xЄExt(C(v)) => xЄW(v)

Solutii bazate pe exces

● : e(S,x) = v(S) – x(S), xЄRN, x(S) = Σxi, iЄS

● I*(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0}● I(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0 si e({i}, x)≤0, oricare iЄN}● C(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0 si e(S,x)≤0 oricare S nevid}● Nu(v) = {xЄRN | e(N,x) = 0, Θ(x) ≤

L Θ(y), oricare yЄI(v)}

● KC(v) = { xЄC(v) | sij(x) = s

ij(x), oricare xy}, unde

sij(x) = max{e(S,x) | S inclus in N, iЄS, j nu Є S} – surplusul

lui i impotriva lui x w.r.t. x

Solutii bazate pe exces

● B inclus in 2N\{null,N}; numai coalitiile SЄBU{N} determina solutia jocului

● B-core: CB(v) = {xЄRN | e(N,x)=0, e(S,x)≤0, oricare SЄB}● B-kernelore: KCB(v)={xЄCB(v) | s

ijB(x) = s

jiB(x), oricare ij}

unde sijB(x) = max{e(S,x) | sЄB, iЄS, j nu Є S}

● B-nucleolus: NB(v) = {xЄI(v) | ΘB(x)≤LΘB(y), oricare yЄI(v)}

unde ΘB(x) = [...≥e(S,x)≥...|SЄB] este vectorul cu |B| componente constand din excesele coalitiilor SЄB w.r.t. x aranjate in ordine descrescatoare

Slide 1Slide 2Slide 3Slide 4Slide 5Slide 6Slide 7Slide 8Slide 9Slide 10Slide 11Slide 12Slide 13Slide 14Slide 15Slide 16Slide 17Slide 18Slide 19Slide 20Slide 21Slide 22Slide 23Slide 24