Kestabilan SistemAhmad Juheri
4211410021
PendahuluanSuatu sistem dikatakan stabil apabila tercipta kondisi dimana tanggapan (response) sistem bersifat terbatas jika diberikan masukan sistem yang bersifat terbatas pula.
contoh
f(t) = A sin ωt , maka harga maksimum dari f(t) tidak akan melebihi A (terbatas pada A)
Konsep Umum KestabilanBila diberikan perssamaan fungsi alih dari suatu system loop tertutup
dimana n >m
Zero : akar-akar dari pembilang (nominator)
• Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function nol
Pole : akar akar dari penyebut (denominator)
• Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function tak hingga
,))...()((
))...()((
)(
)(
21
21
n
m
pspsps
zszszs
sR
sC
Pole - Zero
Definisi Kestabilan• Total respon output sistem :
Definisi kestabilan (berdasar natural response):
•Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga
•Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu mendekati tak hingga
•Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi teratur
• Definisi kestabilan (berdasar total response):
•Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang terbatas juga.
•Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang tidak terbatas
)()()( tctctc naturalforced
Kriteria Sistem Stabil• Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( )
menghasilkan :
• Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau
• Respon sinusoidal yang teredam
Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga sistem stabil
• Sistem yang stabil hanya mempunyai poles sistem close loop di sebelah kiri bidang s
• Sistem yang tidak stabil mempunyai poles sistem close loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih dari 1 poles di sumbu imajiner
• Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di sumbu imajiner dan poles di sebelah kiri
ate
Apakah Sistem Ini Stabil?
Apakah Sistem Ini Stabil?
contohDimana m = 1 kg , b = 0.75 N-sec m dan k = 1.25 N m dan asumsi pada saat t = 0 nilai y(0)=0 dan Tentukan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan.
persamaan dinamik system mekanik
0)0()0( .
ydt
dy
)()(2
2
tutkydt
dyb
dt
ydm
JawabDengan menggunakan transformasi laplace didapatkan
Dengan memasukan nilai nilai yang telah diketahui diperoleh
Jika diberi masukan undak satuan maka
Dengan menggunakan metode pecahan bagian terkecil diperoleh
)()()]0()([)]0()0()([.
2 sUsKYyssYbysysYsm
25.175.0
1
)(
)(
)()25.175.0)((
)()()25.1(]0)()[75.0(]0)0()()[1(
2
2
2
sssU
sY
sUsssY
sUsYssYssYs
Dengan menggunakan transformasi laplace balik didapatkan
Persamaan diatas menyatakan suatu tanggapan yang berosilasi dengan amplitudo yang berkurang terhadap waktu secara eksponensial . Berdasarkan pengertian kestabilan maka system mekanik ini bersifat stabil
Program Matlab• num = [0 0 1];
• den = [1 0.75 1.25];
• num1 = [0 0 0 1];
• den1 = [1 0.75 1.25 0];
• [z,p,k]=residue(num1,den1)
• step (num,den)
• grid on
• title('Tanggapan terhadap masukan undak satuan')
• ylabel('keluaran')
• xlabel('t detik')
• syms s t;
• fs=1/(s^3+0.75*s^2+1.25*s);
• figure(1)
• ft=ilaplace(fs)
• figure(2)
• zplane(num,den)
Untuk menentukan apakah suatu sistem bersifat stabil atau tidak terdapat beberapa cara yang dapat digunakan berbagai metoda diantaranya
•Persamaan karakteristik
•Kriteria Routh
•Kriteria Hurwitz
• Kriteria Continued Fraction
Persamaan KarakteristikDalam analisa kestabilan, seringkali yang digunakan adalah akar-akar dari persamaan denominator yaitu pole-pole. Karena seringnya penggunaan persamaan denominator ini untuk menganalisa karakteristik kestabilan suatu sistem, maka persamaan denominator ini diberi nama persamaan karakteristik.
Persamaan Karakteristik
0)()(1
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sHsG
sG
sR
sC
ContohJika diketahui fungsi alih dari diagram disamping
Adalah
Maka persamaan karakteristiknya adalah
Berubah menjadi
Maka akar-akarnya adalah r1= -4 dan r2=-1
Karena kedua akar nyata dari persamaan diatas bernilai negatif maka sistem bersifat stabil
Pada matlab untuk mencari akar dapat menggunakan fungsi roots
Kriteria Kestabilan Routh
• Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk :
• Hal pertama memfaktorkan A(s)• A(s) : persamaan karakteristik
• Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan• Kriteria Kestabilan Routh
• Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut
)(
)(
...
...
)(
)(
11
10
11
10
sA
sB
asasasa
bsbsbsb
sR
sC
nnnn
mmmm
Kriteria Kestabilan Routh• Kriteria ini merupakan metode aljabar untuk
menentukan kestabilan dalam wawasan s (laplace)
• Cara ini akan menunjukkan adanya akar-akar yang tidak stabil beserta jumlahnya tetapi tidak menentukan nilai atau kemungkinan cara untuk mencegah ketidakstabilan.
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
1. Tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial s:
2. Semua koefisien persamaan karakteristik harus positif. Jika tidak, sistem tidak stabil.
3. Jika semua koefisien positif, susun koefisien polinomial dalam baris dan kolom dengan pola:
0... 11
10
nnnn asasasa
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
10
11
212
43214
43213
43212
75311
6420
...
...
...
.
.
.
.
.
gs
fs
ees
dddds
ccccs
bbbbs
aaaas
aaaas
n
n
n
n
n
1
30211 a
aaaab
1
50412 a
aaaab
1
70613 a
aaaab
1
21311 b
baabc
1
31512 b
baabc
1
41713 b
baabc
1
21211 c
cbbcd
1
31312 c
cbbcd
Prosedur Kriteria Kestabilan Routh
• Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap. Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga.
• Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil (memenuhi kriteria kestabilan Routh)
• Koefisien persamaan karakteristik semua positif (jika semua negatif maka masing – masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif)
• Semua suku kolom pertama pada tabel Routh mempunyai tanda positif.
contoh
• Diketahui persamaan karakteristik
Maka dapat disusun dalam barisan routh menjadi
Kriteria kestabilan HurwitzCara lain menetukan stabilitas sebuah sistem adalah metoda Hurwitz. Dengan metoda Hurtwitz ini dilakukan pemeriksaan apakah semua akar-akar persamaan karakteristik memiliki bagian nyata yang negatif. Hal ini ditentukan dengan cara menggunakan determinan. Persamaan karakteristik dibuat dalam bentuk determinan berikut
contoh
• Suatu persamaan karakteristik
• maka
Metode Nyquist• Diagram Nyquist dipergunakan untuk memprediksi
kestabilan dan performansi dari sistem looop tertutup dengan mengamati tingkah laku loop terbukanya.
• Stabilitas dari sistem kontrol loop tertutup dapat ditentukan langsung dengan menghitung kutub dari fungsi transfer loop tertutup. Sebaliknya, kriteria kestabilan Nyquist memungkinkan stabilitas ditentukan tanpa menghitung kutub loop tertutup.
• sistem dikatakan stabil jika memiliki pole atau zero di separuh sisi kanan (right-half plane) bidang kompleks atau dengan kata lain, Nyquist Plot Diagram yang terbentuk tidak melingkupi titik (-1,j0).
• Sistem tidak stabil jika memiliki pole atau zero loop terbuka di separuh sisi kiri (right-half plane) atau dengan kata lain, Nyquist Plot Diagram yang terbentuk melingkupi titik (-1,j0).
contoh
Contoh 2
Top Related