Kestabilan SistemAhmad Juheri

4211410021

PendahuluanSuatu sistem dikatakan stabil apabila tercipta kondisi dimana tanggapan (response) sistem bersifat terbatas jika diberikan masukan sistem yang bersifat terbatas pula.

contoh

f(t) = A sin ωt , maka harga maksimum dari f(t) tidak akan melebihi A (terbatas pada A)

Konsep Umum KestabilanBila diberikan perssamaan fungsi alih dari suatu system loop tertutup

dimana n >m

Zero : akar-akar dari pembilang (nominator)

• Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function nol

Pole : akar akar dari penyebut (denominator)

• Nilai variabel Laplace s yang menyebabkan nilai transfer function tak hingga

,))...()((

))...()((

)(

)(

21

21

n

m

pspsps

zszszs

sR

sC

Pole - Zero

Definisi Kestabilan• Total respon output sistem :

Definisi kestabilan (berdasar natural response):

•Sistem stabil jika natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga

•Sistem tidak stabil jika natural response mendekati tak hingga saat waktu mendekati tak hingga

•Sistem marginally stable jika natural response tetap/konstan atau berosilasi teratur

• Definisi kestabilan (berdasar total response):

•Sistem stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang terbatas juga.

•Sistem tidak stabil jika setiap input yang dibatasi mengahasilkan output yang tidak terbatas

)()()( tctctc naturalforced

Kriteria Sistem Stabil• Suatu sistem dengan pole di sebelah kiri bidang s ( )

menghasilkan :

• Respon eksponensial yang meluruh (decay), atau

• Respon sinusoidal yang teredam

Berarti natural response mendekati nol saat waktu mendekati tak hingga sistem stabil

• Sistem yang stabil hanya mempunyai poles sistem close loop di sebelah kiri bidang s

• Sistem yang tidak stabil mempunyai poles sistem close loop di sebelah kanan bidang s dan atau mempunyai lebih dari 1 poles di sumbu imajiner

• Sistem yang marginally stable mempunyai 1 pole di sumbu imajiner dan poles di sebelah kiri

ate

Apakah Sistem Ini Stabil?

Apakah Sistem Ini Stabil?

contohDimana m = 1 kg , b = 0.75 N-sec m dan k = 1.25 N m dan asumsi pada saat t = 0 nilai y(0)=0 dan Tentukan tanggapan sistem terhadap masukan undak satuan.

persamaan dinamik system mekanik

0)0()0( .

ydt

dy

)()(2

2

tutkydt

dyb

dt

ydm

JawabDengan menggunakan transformasi laplace didapatkan

Dengan memasukan nilai nilai yang telah diketahui diperoleh

Jika diberi masukan undak satuan maka

Dengan menggunakan metode pecahan bagian terkecil diperoleh

)()()]0()([)]0()0()([.

2 sUsKYyssYbysysYsm

25.175.0

1

)(

)(

)()25.175.0)((

)()()25.1(]0)()[75.0(]0)0()()[1(

2

2

2

sssU

sY

sUsssY

sUsYssYssYs

Dengan menggunakan transformasi laplace balik didapatkan

Persamaan diatas menyatakan suatu tanggapan yang berosilasi dengan amplitudo yang berkurang terhadap waktu secara eksponensial . Berdasarkan pengertian kestabilan maka system mekanik ini bersifat stabil

Program Matlab• num = [0 0 1];

• den = [1 0.75 1.25];

• num1 = [0 0 0 1];

• den1 = [1 0.75 1.25 0];

• [z,p,k]=residue(num1,den1)

• step (num,den)

• grid on

• title('Tanggapan terhadap masukan undak satuan')

• ylabel('keluaran')

• xlabel('t detik')

• syms s t;

• fs=1/(s^3+0.75*s^2+1.25*s);

• figure(1)

• ft=ilaplace(fs)

• figure(2)

• zplane(num,den)

Untuk menentukan apakah suatu sistem bersifat stabil atau tidak terdapat beberapa cara yang dapat digunakan berbagai metoda diantaranya

•Persamaan karakteristik

•Kriteria Routh

•Kriteria Hurwitz

• Kriteria Continued Fraction

Persamaan KarakteristikDalam analisa kestabilan, seringkali yang digunakan adalah akar-akar dari persamaan denominator yaitu pole-pole. Karena seringnya penggunaan persamaan denominator ini untuk menganalisa karakteristik kestabilan suatu sistem, maka persamaan denominator ini diberi nama persamaan karakteristik.

Persamaan Karakteristik

0)()(1

)()(1

)(

)(

)(

sHsG

sHsG

sG

sR

sC

ContohJika diketahui fungsi alih dari diagram disamping

Adalah

Maka persamaan karakteristiknya adalah

Berubah menjadi

Maka akar-akarnya adalah r1= -4 dan r2=-1

Karena kedua akar nyata dari persamaan diatas bernilai negatif maka sistem bersifat stabil

Pada matlab untuk mencari akar dapat menggunakan fungsi roots

Kriteria Kestabilan Routh

• Transfer function dari suatu sistem loop tertutup berbentuk :

• Hal pertama memfaktorkan A(s)• A(s) : persamaan karakteristik

• Pemfaktoran polinomial dengan orde lebih dari 2 cukup sulit, sehingga digunakan• Kriteria Kestabilan Routh

• Kriteria kestabilan Routh memberi informasi ada tidaknya akar positif pada persamaan karakterisitik bukan nilai akar tersebut

)(

)(

...

...

)(

)(

11

10

11

10

sA

sB

asasasa

bsbsbsb

sR

sC

nnnn

mmmm

Kriteria Kestabilan Routh• Kriteria ini merupakan metode aljabar untuk

menentukan kestabilan dalam wawasan s (laplace)

• Cara ini akan menunjukkan adanya akar-akar yang tidak stabil beserta jumlahnya tetapi tidak menentukan nilai atau kemungkinan cara untuk mencegah ketidakstabilan.

Prosedur Kriteria Kestabilan Routh

1. Tulis persamaan karakteristik sistem dalam bentuk polinomial s:

2. Semua koefisien persamaan karakteristik harus positif. Jika tidak, sistem tidak stabil.

3. Jika semua koefisien positif, susun koefisien polinomial dalam baris dan kolom dengan pola:

0... 11

10

nnnn asasasa

Prosedur Kriteria Kestabilan Routh

10

11

212

43214

43213

43212

75311

6420

...

...

...

.

.

.

.

.

gs

fs

ees

dddds

ccccs

bbbbs

aaaas

aaaas

n

n

n

n

n

1

30211 a

aaaab

1

50412 a

aaaab

1

70613 a

aaaab

1

21311 b

baabc

1

31512 b

baabc

1

41713 b

baabc

1

21211 c

cbbcd

1

31312 c

cbbcd

Prosedur Kriteria Kestabilan Routh

• Proses ini diteruskan sampai baris ke-n secara lengkap. Susunan lengkap dari koefisien berbentuk segitiga.

• Syarat perlu dan syarat cukup agar sistem stabil (memenuhi kriteria kestabilan Routh)

• Koefisien persamaan karakteristik semua positif (jika semua negatif maka masing – masing ruas dikalikan minus 1 sehingga hasilnya positif)

• Semua suku kolom pertama pada tabel Routh mempunyai tanda positif.

contoh

• Diketahui persamaan karakteristik

Maka dapat disusun dalam barisan routh menjadi

Kriteria kestabilan HurwitzCara lain menetukan stabilitas sebuah sistem adalah metoda Hurwitz. Dengan metoda Hurtwitz ini dilakukan pemeriksaan apakah semua akar-akar persamaan karakteristik memiliki bagian nyata yang negatif. Hal ini ditentukan dengan cara menggunakan determinan. Persamaan karakteristik dibuat dalam bentuk determinan berikut

contoh

• Suatu persamaan karakteristik

• maka

Metode Nyquist• Diagram Nyquist dipergunakan untuk memprediksi

kestabilan dan performansi dari sistem looop tertutup dengan mengamati tingkah laku loop terbukanya.

• Stabilitas dari sistem kontrol loop tertutup dapat ditentukan langsung dengan menghitung kutub dari fungsi transfer loop tertutup. Sebaliknya, kriteria kestabilan Nyquist memungkinkan stabilitas ditentukan tanpa menghitung kutub loop tertutup.  

• sistem dikatakan stabil jika memiliki pole atau zero di separuh sisi kanan (right-half plane) bidang kompleks atau dengan kata lain, Nyquist Plot Diagram yang terbentuk tidak melingkupi titik (-1,j0).  

• Sistem tidak stabil jika memiliki pole atau zero loop terbuka di separuh sisi kiri (right-half plane) atau dengan kata lain, Nyquist Plot Diagram yang terbentuk melingkupi titik (-1,j0).

contoh

Contoh 2