Elementos finitos en la industria Sesión III
Sesión III
III.1 SÓLIDOS 3D
III.1.1 EJEMPLOS III.1.2 TEORÍA BÁSICA III.1.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN III.1.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO III.1.5 MATRICES DEL ELEMENTO III.1.6 EXPRESIONES DERIVADAS III.1.7 VALIDACIÓN
III.2 SÓLIDOS 2D
III.2.1 EJEMPLOS III.2.2 TEORÍA BÁSICA III.2.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN III.2.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO III.2.5 MATRICES DEL ELEMENTO III.2.6 EXPRESIONES DERIVADAS III.2.7 VALIDACIÓN
-1-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
III.1 SÓLIDOS 3D
III.1.1 EJEMPLOS
• Los problemas que analizaremos en esta sección tienen las siguientes características.
♦ Un volumen de material con geometría complicada
♦ Cargas:
◊ Fuerzas de cuerpo en el volumen
◊ Tracciones sobre la superficie
♦ Apoyos:
◊ Sujeción sobre la superficie del cuerpo que controla los desplazamientos
• Ejemplos de estructuras sólidas se muestran a continuación:
-2-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
Conectores
Engranes
-3-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
Motores
Piezas mecánicas:
-4-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
Presas:
-5-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
III.1.2 TEORÍA BÁSICA
• Modelo básico
{ }uS2
S1
{ }t
{ }bV
• Esfuerzo en un punto
-6-
• Deformación
τ 11τ 12
τ 13
τ 23
τ 21
τ 33
τ 22
τ 31
τ 32
x2
x3
x1
x3
x2
R*
P*
Q*
P
Configuración inicial
Configuración final
QR
{ }u
x1
Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
♦ Deformación normal
ε∂∂
ε∂∂
ε∂∂11
1
122
2
233
3
3
= =ux
ux
ux
=
♦ Distorsión
2
3
3
223
2
1
1
212
1
3
3
113 x
uxu
xu
xu
xu
xu
∂∂
∂∂
γ∂∂
∂∂
γ∂∂
∂∂
γ +=+=+=
• Relación constitutiva elástica lineal
{ } [ ]{ }τ ε= D
♦ En términos del módulo de Young E y el coeficiente de Poisson ν
( )( )
ττττττ
ν ν
ν ν νν ν
ν
ν
ν
ν
εεεγγγ
11
22
33
12
23
13
11
22
33
12
23
13
1 1 2
1 0 01 0 0 0
1 0 0 012
0 012
012
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
=+ −
−−
−
−
−
−
0⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨
⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪
⎫
⎬
⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪
E
Sim
• Equilibrio por trabajo virtual 0=Wδ
{ } { } { } { } { } { }δε τ δ δT T
VV
T
S
dV u b dV u t dS= +∫∫∫∫∫∫ ∫∫
-7-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
III.1.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN
• La forma estándar de la interpolación es
{ } [ ]{ }uNu =ˆ
• Desplazamiento virtual { } [ ]{ }uNu δδ =ˆ
• Se define la deformación real y virtual { } [ ]{ }
[ ][ ]{ }[ ]{ }uB
uNu
===∂∂ε ˆˆ
{ } [ ]{ }uB δεδ =ˆ
• Substituyendo en el trabajo virtual
{ } { } { } { } { } { }δε τ δ δT T
VV
T
S
dV u b dV u t dS= +∫∫∫∫∫∫ ∫∫
{ } [ ] [ ]{ } { } [ ] { } { } [ ] { }T TT T T
V V
u B D dV u N b dV u N tδ ε δ δ= +∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫T
S
dS
{ } [ ] [ ][ ]{ } [ ] { } [ ] { } 0T T TT
V V S
u B D B u dV N b dV N t dSδ δ⎧ ⎫⎛ ⎞⎪ ⎪− + =⎨ ⎬⎜ ⎟⎪ ⎪⎝ ⎠⎩ ⎭∫∫∫ ∫∫∫ ∫∫
Fuerza interna Fuerza
• Por tanto, la ecuación de equilibrio es
{ } { }int extF F=
-8-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
[ ] [ ]{ } { }
[ ] { } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] { }0 0
T
V
T T T T
V S V V
B D B dV u
N b dV N t dS B D dV B dVε τ
=
+ + −
∫∫∫
∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫
♦ En formato matricial [ ]{ } { }K u f=
♦ Con [ ] [ ] [ ][ ]K B D BT
V
= ∫∫∫ dV
{ } [ ] { } [ ] { }T T
V S
f N b dV N t d= +∫∫∫ ∫∫ S
III.1.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO
• Se define el tipo de elemento
3
2
1
4z
x
y
• Se define la interpolación de elementos finitos correspondiente
-9-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
♦ Forma nodal para el componente u1:
[ ]{ } [ ]
( )
( )
( )
( )
11
21
1 1 2 3 4 31
41
uuu N u N N N Nuu
⎧ ⎫⎪ ⎪⎪ ⎪= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎪ ⎪⎩ ⎭
Vzyx
NV
zyxN
Vzyx
NV
zyxN
66
664444
43333
3
22222
11111
δγβαδγβα
δγβαδγβα
+++=
+++=
+++=
+++=
444
333
222
111
1111
det6
zyxzyxzyxzyx
V =
44
33
22
1
44
33
22
1
44
33
22
1
444
333
222
1
111
det111
det
111
detdet
yxyxyx
zxzxzx
zyzyzy
zyxzyxzyx
−==
−==
δγ
βα
44
33
11
2
44
33
11
2
44
33
11
2
444
333
111
2
111
det111
det
111
detdet
yxyxyx
zxzxzx
zyzyzy
zyxzyxzyx
=−=
=−=
δγ
βα
-10-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
44
22
11
3
44
22
11
3
44
22
11
3
444
222
111
3
111
det111
det
111
detdet
yxyxyx
zxzxzx
zyzyzy
zyxzyxzyx
−==
−==
δγ
βα
33
22
11
4
33
22
11
4
33
22
11
4
333
222
111
4
111
det111
det
111
detdet
yxyxyx
zxzxzx
zyzyzy
zyxzyxzyx
=−=
=−=
δγ
βα
♦ u2 y u3 se interpolan en forma análoga
III.1.5 MATRICES DEL ELEMENTO
• Arreglo de componentes de desplazamiento
{ } [ ]{ }uNu =ˆ { }⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
3
2
1
ˆuuu
u { }{ }
{ } ⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧=
4
1
u
uu { }u
uuu
a
a
a
a
=
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
1
2
3
[ ]⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
41
41
41
000000000000
NNNN
NNN
• Deformaciones
-11-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
{ } [ ]{ }uuuu
yz
xz
xy
z
y
x
ˆˆˆˆ
0
0
0
00
00
00
ˆ
3
2
1
23
13
12
33
22
11
∂=⎪⎭
⎪⎬
⎫
⎪⎩
⎪⎨
⎧
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
⎪⎪⎪⎪
⎭
⎪⎪⎪⎪
⎬
⎫
⎪⎪⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪
⎨
⎧
=
γγγεεε
ε
• Matriz de rigidez [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ]4321 BBBBNB == ∂
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
=
yN
zN
xN
zN
xN
yN
zN
yN
xN
B
aa
aa
aa
a
a
a
a
0
0
0
00
00
00
⇒ [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
aa
aa
aa
a
a
a
a VB
γδβδ
βγδ
γβ
00
000
0000
61
Por tanto
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ]VBDBdVBDBK T
V
T == ∫∫∫
-12-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
[ ]
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]⎥
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
44434241
34333231
24232221
14131211
KKKKKKKKKKKKKKKK
K
[ ] [ ] [ ][ ]VBDBK bT
aab =
• Vector de fuerzas nodales equivalentes
{ } [ ] { } [ ] { }T T
V S
f N b dV N t d= +∫∫∫ ∫∫ S
◊ Ejemplo con fuerza de cuerpo constante:
{ } [ ]Tzyxzyxzyxzyx bbbbbbbbbbbbf41
=
◊ Tracción constante sobre la cara 123 (En forma análoga para las otras caras)
{ } [ ]Tzyxzyxzyx tttttttttS
f 0003123=
III.1.6 EXPRESIONES DERIVADAS
• Este es el postprocesamiento de la información
• Deformación:
{ } [ ]{ }uB=ε̂
• Esfuerzo:
{ } [ ] { } { }( ) { }00ˆˆ τεετ +−= D
-13-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
• Esfuerzo de Von Mises: (Calibrado con prueba de tensión)
( ) ( ) ( ) ( )122 2 2 2 2 21 3
2VM x y y z z x xy yz xzσ σ σ σ σ σ σ σ σ σ⎧ ⎫⎡ ⎤= − + − + − + + +⎨ ⎬⎢ ⎥⎣ ⎦⎩ ⎭
• Esfuerzos principales:
1
2
3
000
x xy xz
xy y yz
xz yz z
σ σ σ σ νσ σ σ σ ν
νσ σ σ σ
⎡ ⎤− ⎧ ⎫ ⎧ ⎫⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥− =⎨ ⎬ ⎨ ⎬⎢ ⎥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪− ⎩ ⎭⎩ ⎭⎢ ⎥⎣ ⎦
τ
σn
σ3 σ2 σ1
• Esfuerzo Cortante Máximo (Tresca): (Calibrado con prueba de tensión)
1 3
2Tσ σσ −
=
III.1.7 VALIDACIÓN
• Ejercicio 4: Probeta en tensión
• Ejemplo 3: Soporte
-14-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
III.2 TEORÍA DE ELASTICIDAD EN 2D
III.2.1 CLASIFICACIÓN Y EJEMPLOS
• Los problemas que analizaremos son casos especiales de la teoría de elasticidad en 3D. Tenemos tres casos diferentes:
♦ Deformación plana
♦ Esfuerzo plano
♦ Axisimetría
• Ejemplos de problemas de deformación plana son: Túneles
-15-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
Presas:
-16-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
• Ejemplos de problemas de esfuerzo plano son: Vigas y ganchos
-17-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
Muros de corte
Vigas cortas:
-18-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
Conexiones
• Ejemplos de problemas de axisimetría son: Tanques:
-19-Dr. Sergio Gallegos Cázares
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Domos
-20-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
III.2.2 TEORÍA BÁSICA
• Deformación plana
♦ Restricciones a la teoría en 3D: ε γ γ33 13 230 0= = =
♦ Relaciones esfuerzo-deformación
( )( )
τττ
ν ν
ν νν ν
ν
εεγ
11
22
12
11
22
12
1 1 2
1 01 0
0 0 1 22
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪=
+ −
−−
−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪
⎩⎪
⎫
⎬⎪
⎭⎪
E
El esfuerzo normal en z queda fijo por
-21-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
( )( ) ( )τ νν ν
ε ε33 11 221 1 2=
+ −+
E
♦ Relaciones de compatibilidad sobrantes
ε∂∂
ε∂∂
γ∂∂
∂∂11
1
122
2
212
2
1
1
2
= = = +ux
ux
ux
ux
• Esfuerzo plano
♦ Restricciones a la teoría en 3D: τ τ τ33 13 230 0= =, =
♦ Relaciones esfuerzo-deformación
( )11 11
22 222
12 12
1 01 0
1 10 02
Eτ εντ ν ε
ν ντ γ
⎡ ⎤⎢ ⎥⎧ ⎫ ⎧⎪ ⎪ ⎪⎢ ⎥=⎨ ⎬ ⎨⎢ ⎥−⎪ ⎪ ⎪−⎩ ⎭ ⎩⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦
⎫⎪⎬⎪⎭
La deformación normal en z queda fija por
( )γ γ
ενν
ε ε
13 23
33 11 22
0
1
= =
= −−
+
♦ Relaciones de compatibilidad sobrantes
ε∂∂
ε∂∂
γ∂∂
∂∂11
1
122
2
212
2
1
1
2
= = = +ux
ux
ux
ux
• Axisimetría
z
r
Eje de revolución
-22-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
♦ Restricciones a la teoría en 3D: x rxx z
1
2
3
→→→
θ ∂∂θ
= 0
♦ Relaciones esfuerzo-deformación
( )( )
ττττ
ν ν
ν ν νν ν νν ν ν
ν
εεεγ
θ θ
r
z
rz
r
z
rz
E⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
=+ −
−−
−−
⎡
⎣
⎢⎢⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥⎥⎥
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
1 1 2
1 01 0
1 00 0 0 1 2
2
♦ Relaciones de compatibilidad sobrantes
ε∂∂
ε∂∂
γ∂∂
∂∂r z rz
ur
uz
ur
uz
= = = +1 3 3 1
( )
εθ θθθ =
+ −=
r u d rdrd
ur
1 1
III.2.3 FORMA DE LA INTERPOLACIÓN Y SU SUBSTITUCIÓN
• Es idéntica a la de teoría en 3D
-23-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
III.2.4 INTERPOLACIÓN Y DISEÑO DEL ELEMENTO
• Se define el tipo de elemento
32
-24-
• Se define la interpolación de elementos finitos correspondiente
♦ Forma nodal
[ ]{ } [ ]( )
( )
( )
11
21 1 2 3
31
uu N u N N N u
u1
⎧ ⎫⎪ ⎪
= = ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
Ayx
NA
yxN
Ayx
N222
3333
2222
1111
γβαγβαγβα ++=
++=
++=
( ) ( ) ( 213132321
33
22
11
111
2 yyxyyxyyxyxyxyx
A −+−+−== )
y 1
( )x y3 3,
( )x y2 2,
( )x y1 1,
x
Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
12321321213
31213231312
23132132321
xxyyxyyxxxyyyxxyxxyyxyyx
−=−=−=−=−=−=−=−=−=
γβαγβαγβα
♦ u2 se interpolan en forma análoga
III.2.5 MATRICES DEL ELEMENTO
• Arreglo de componentes de desplazamiento
{ } [ ]{ }uNu =ˆ { } 1
2
ˆˆ ˆuu u⎧ ⎫= ⎨ ⎬⎩ ⎭
{ }{ }{ }{ }
1
2
3
uu u
u
⎧ ⎫⎪ ⎪= ⎨ ⎬⎪ ⎪⎩ ⎭
{ }uuua
a
a=⎧⎨⎩
⎫⎬⎭
1
2
[ ] 1 3
1 3
0 00 0N NN N N⎡ ⎤= ⎢ ⎥⎣ ⎦
• Deformaciones
{ } [ ]{ }uB=ε̂
{ }ε
εεγε θ
=
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
⎫
⎬⎪⎪
⎭⎪⎪
11
22
12
• Matriz de rigidez [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ][ ]321 BBBNB == ∂
-25-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
[ ]
⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
01
0
0
x
xy
y
x
∂∂
∂∂
∂∂
∂∂
∂ ⇒
[ ] [ ] [ ]
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
=
02
00
21
02
00
21
02
00
21
3
33
3
3
3
2
22
2
2
2
1
11
1
1
1
xAN
AB
xAN
AB
xAN
AB βγ
γβ
βγγ
β
βγγ
β
• Matriz de constitutiva
[ ] [ ] [ ][ ]DD DD DT=
⎡
⎣⎢
⎤
⎦⎥
33 31
31 44
[ ]D33
2 02 0
0 0=
++
⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
λ µ λλ λ µ
µ [ ]D31
0=⎡
⎣
⎢⎢⎢
⎤
⎦
⎥⎥⎥
λλ D44 2= +λ µ
Para deformación plana y esfuerzo plano
[ ] [ ]D D= 33
y además para esfuerzo plano
λλµ
λ µ←
+2
2
El volumen se calcula mediante
dydxtdV =
-26-Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
con →= xt π2 Caso axisimétrico →=1t Caso de deformación plana →= tt Caso de esfuerzo plano
• Matriz de rigidez
De esta forma, para esfuerzo y deformación planos se tiene
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=== ∫∫
333231
232221
131211
3333
KKKKKKKKK
AtBDBdxdytBDBK T
A
T
[ ] ( )( ) ⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+++
+++=
babababa
babababaab A
tKβµβγγµλγµββλγ
βµγγλβγµγββµλ2
24
Mientras que para el caso axisimétrico, se evalúan las integrales al centro del elemento
33321321 yyy
yxxx
x cc++
=++
=
[ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ]⎥
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=== ∫∫
333231
232221
131211
KKKKKKKKK
AtBDBdxdytBDBK ccTc
A
T
[ ] [ ] [ ][ ]cbTcacab BDBAxK π2=
• Vector de fuerzas nodales equivalentes
{ } [ ] { } [ ] { } [ ] [ ]{ } [ ] { }f N b dV N t dS B D dV BT
V
T
S
T
V
T
V
= + + −∫∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫∫∫ε τ0 0 dV
-27-
Dr. Sergio Gallegos Cázares
Elementos finitos en la industria Sesión III
◊ Para esfuerzo y deformación planos, bajo fuerza de cuerpo constante
{ }3
T
x y x y x yAf b b b b b b⎡ ⎤= ⎣ ⎦
bajo tracción constante sobre el lado 12
{ } 12 0 02
T
x y x yLf t t t t t⎡ ⎤= ⎣ ⎦
◊ Para el caso axisimétrico, bajo fuerza de cuerpo constante
{ } 23
T cx y x y x y
x Af b b b b b b π⎡ ⎤= ⎣ ⎦
bajo tracción constante sobre el lado 12
{ } 122 02
T
Lc x y x yLf x t t t tπ 0⎡ ⎤= ⎣ ⎦
III.2.6 EXPRESIONES DERIVADAS
• Igual a la teoría en 3D
III.2.7 VALIDACIÓN
• Ejercicio 5: Placa perforada
-28-Dr. Sergio Gallegos Cázares
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