23/07/2014
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO AMAZONASFACULDADE DE TECNOLOGIADEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
Resistência II –Torção
Aula Expositiva Baseada e com Figuras Retiradas do Livro
Resistência dos Materiais / BEER E JOHNSTON
Introdução
Introdução
Momento Torçor
( )∫ ∫== dAdFT τρρ
Componentes de Cisalhamento
Deformação
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2
Deformação
maxmax e γργφγcL
c ==
LL
ρφγρφγ == ou
Tensão em Regime Elástico
∫∫ == dAc
dAT 2max ρτρτ
e max J
T
J
Tc ρττ ==
maxγργ Gc
G = maxτρτc
=
γτ G= maxγργc
=
( )∫ ∫== dAdFT τρρ
Jcmaxτ=
421 cJ π=
( )41
422
1 ccJ −= π
Tensão Normal
( )
max
0
0max45
0max0max
2
2
245cos2
o ττσ
ττ
===
=°=
A
A
A
F
AAF
Modos de Ruptura por Torção
A barra BC é vazada com diametros internos e externos de 90 mm e 120mm, respectivamente. As barras AB e CD são sólidas de diâmetro d. Determine(a) a mínima e máxima tensão de cisalhamento em BC, (b) o diametro d dos eixosAB e CD para que a tensão máxima não exceda a 65 MPa.
Problema Resolvido
( )
CDAB
ABx
TT
TM
=⋅=
−⋅==∑
mkN6
mkN60 ( ) ( )mkN20
mkN14mkN60
⋅=
−⋅+⋅==∑
BC
BCx
T
TM
Problema Resolvido
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( ) ( ) ( )[ ]46
4441
42
m1092.13
045.0060.022
−×=
−=−= ππccJ
( )( )
MPa2.86
m1092.13
m060.0mkN2046
22max
=×
⋅=== −J
cTBCττ
MPa7.64
mm60
mm45
MPa2.86
min
min
2
1
max
min
=
==
τ
τττ
c
c
MPa7.64
MPa2.86
min
max
=
=
τ
τ
m109.38
mkN665
3
32
42
max
−×=
⋅===
c
cMPa
c
Tc
J
Tcππτ
mm8.772 == cd
Problema Resolvido
Exercício
Para um valor de To = 50 N.cm, determinar o ângulo naextremidade livre do eixo e a tensão máxima de cisalhamentonas barras. Adotar G = 50 kPa.
Substituir a unidade in por cm
Seções Diferentes
L
cφγ =max
JG
Tc
G== max
maxτγ
JG
TL=φ
∑=i ii
ii
GJ
LTφ
max L
cφγ =
Exercício
Determine a tensão máxima e a rotação da extremidade livreda barra em balanço. (G=800 tf/cm²).
20 cm 20 cm 20 cm 20 cm 20 cm 20 cm
10 c
m
8 c
m
P=0,5 tfP P P P P P
AB C D E F G
Barras Estaticamentes Indeterminadas
ftlb9012
21 ⋅=+ AA TJL
JLT
ABBA T
JL
JLT
GJ
LT
GJ
LT
12
21
2
2
1
121 0 ==−=+= φφφ
ftlb90 ⋅=+ BA TT
Exemplo
L 4 L
T
x
A C B
x D d
Determine a relação D/d para que a capacidade do eixoseja máxima. (G=800 tf/cm²; τ ≤ 1 tf/cm²)
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Deformações Plásticas
J
Tc=maxτ
( ) ∫=∫=cc
ddT0
2
022 ρτρπρπρρτ
Materiais Elastoplásticos
Tensão Residual
( ) 0=∫ dAτρJ
Tcm =′τ
Torção em Elementos não-circulares
Gabc
TL
abc
T3
22
1max == φτ
Torção em paredes finas
( ) ( )qttt
xtxtF
BBAA
BBAAx
===
∆−∆==∑τττ
ττ0
( ) ( )
tA
T
qAdAqdMT
dAqpdsqdstpdFpdM
2
22
2
0
0
=
===
====
∫∫
τ
τ
∫=t
ds
GA
TL24
φ
Exemplo
4 m
m
4 mm
3 m
m
5 mm
4 m
m
4 mm
100 mm
60 m
m
B
D
A
C
BA
DC
Um tubo de alumínio de seção retangular de 60x100 mm foi fabricado por extrusão. Determinar a tensão de cisalhamento em cada uma das quatro paredes do tubo, quando este fica submetido a um momento de torção de 3 kNm, adotando:
• Espessura da parede constante de 4mm
• Que por defeito no processo de fabricação as paredes AB e AC são de 3 mm de espessura, e as paredes BC e CD são de 5 mm.
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Projeto de Transmissão de Eixos
f
PPT
fTTP
πω
πω
2
2
==
==
Exemplo:
11 - Determine o diâmetro de um eixo que deve transmitir uma potência de 200 HP, girando a 250 rpm, sendo a tensão admissível de 900 kgf/cm².
Quais as dimensões de um eixo vazado com diâmetro interno igual a d=0,75D; mantidas as demais condições. Qual a relação entre os ângulos unitários de torção, correspondentes a esses eixos.
f
PPT
fTTP
πω
πω
2
2
==
==
max J
Tc=τ
Cavalo-Vapor - CV (735,5W) e Horse-Power - HP (745,7W)Cavalo-Vapor - CV (735,5W) e Horse-Power - HP (745,7W)
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