3r - PRIPREMA ZA NATJECANJE IZ MATEMATIKE (5)

Prisjetimo se:

1. Ako je xtt =+ cossin i ytt =+ 33 cossin , dokaži da je 2

3 3xxy −= . (O 2006.)

2. Ako kutovi βα , trokuta ABC∆ zadovoljavaju jednakost ( ) βαβα 22 sinsinsin −=− , tada je

trokut ABC∆ ili pravokutan ili jednakokračan. Dokaži.

Zadaci s natjecanja:

3. U 14 sati udaljenost velike i male kazaljke sata je 13 cm, a u 9 sati 17 cm. Kolika je duljina

velike kazaljke?

4. Duljine stranica paralelograma ABCD su 13=AB i 14=BC , duljina jedne dijagonale je

21=AC . Odredi duljinu druge dijagonale. (O 2006.)

5. Zadan je paralelogram ABCD sa stranicama aAB = i bBC = te dijagonalama eAC = i

fBD = . Dokaži da vrijedi formula ( )2222 2 bafe +=+ .

6. Zadan je trokut sa stranicama 4== BCa i 5== CAb . Odredi polumjer opisane i polumjer

upisane kružnice ako je CABBCA ∠=∠ 2 .

7. U trokutu ABC nalazi se točka P takva da vrijedi °=∠ 40PAC , °=∠ 70PCA , °=∠ 20PBC i

°=∠ 10PCB . Odredi kutove trokuta ABC. (Ž 2006.)

8. Duljine dviju stranica trokuta su a i b, njima nasuprotni kutovi α i β , a visina na treću

stranicu ima duljinu v. Ako za kutove vrijedi 2πβα =+ ili

2πβα =− , dokažite da je onda

222111

vba=+ . (O 2007.)