[1º CC.SS.] (Tema 7, libro Anaya). Iniciación del cálculo de Derivadas. Aplicaciones.

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1. Crecimiento de una función en un intervalo.

• Definición: Se llama Tasa de Variación Media de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un intervalo [𝑎, 𝑏] al cociente:

𝑇.𝑉.𝑀. [𝑎, 𝑏] =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎

También se puede expresar de la siguiente forma:

𝑇.𝑉.𝑀. [𝑎, 𝑎 + ℎ] =𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)

ℎ

La T.V.M. coincide con la pendiente de la recta que une los puntos 𝐴 𝑎, 𝑓(𝑎) y 𝐵(𝑏, 𝑓(𝑏)), y que forma un ángulo α con el eje 𝑋:

𝑇.𝑉.𝑀. 𝑎, 𝑏 = 𝑡𝑔 𝛼 =𝑓 𝑏 − 𝑓(𝑎)

𝑏 − 𝑎=∆𝑦∆𝑥

2. Crecimiento de una función en un punto: DERIVADA.

El crecimiento de la función en un punto se mide mediante la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. Se llama derivada de 𝑓 en 𝑥 = 𝑎 (siendo 𝑎 la abscisa del punto) y se expresa 𝑓´(𝑎), que se lee 𝑓  prima de 𝑎.

𝑓´(𝑎) = lim!→!

𝑓 𝑥 − 𝑓(𝑎)𝑥 − 𝑎

= lim!→!

𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎)ℎ

La derivada de 𝑓 en 𝑥 = 𝑎 (pendiente de la recta tangente) es el límite de las pendientes de las rectas secantes. Dicho de otra manera, es el límite de la T.V.M., con ℎ → 0 (tasa de variación instantánea).

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Gráficamente sería algo como esto:

Aquí se recogen distintas derivadas de la misma función, en distintos puntos. Como se ve, la derivada de la función en un punto es la recta tangente a la misma por ese punto. Más adelante se estudiará, pero ya podemos observar que dependiendo del signo de la pendiente de la recta tangente, se puede estudiar el crecimiento y decrecimiento de la función en un determinado punto.

3. Derivada de una función.

Se llama función derivada de 𝑓 (o simplemente derivada de 𝑓) a una función 𝑓´ que asocia a cada punto valor 𝑥,  la pendiente de la curva 𝑓(𝑥) en ese punto. Se calculará:

𝐷  𝑓 𝑥 = 𝑓´ 𝑥 = lim!→!

𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)ℎ

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4. Reglas para obtener las derivadas de algunas funciones importantes.

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5. Aplicaciones de la derivada de una función.

• Cálculo de la derivada en un punto. o 1º) Se obtiene la expresión general de 𝑓´ 𝑥 . o 2º) Se sustituye en la expresión 𝑓´(𝑥) el valor de 𝑥 = 𝑎, para hallar 𝑓´(𝑎).

• Obtención de tramos en donde la curva crece o decrece. o Si 𝒇´ 𝒙 > 0, la función es creciente, y si 𝒇´ 𝒙 < 0 es decreciente.

• Obtención de las abscisas de los puntos singulares. o Se llaman punto singulares a los puntos de tangente horizontal, es decir, a los

puntos en los que la derivada es cero. Pueden ser máximos, mínimos y puntos de inflexión.

• Obtención de las abscisas en las cuales la derivada tiene un cierto valor. o 𝑓´ 𝑥 = 𝑘. o El caso más útil es hallar los valores de 𝑥 para los cuales 𝑓 𝑥 cambia de creciente

a decreciente, o viceversa. Éste será el caso 𝑓´ 𝑥 = 0.

6. Representación de funciones polinómicas.

• Se hallan sus dos ramas infinitas: lim!→!! 𝑓(𝑥) y lim!→!! 𝑓(𝑥). • Se resuelve la ecuación 𝑃´ 𝑥 = 0, para obtener los puntos singulares.

• Se unen los puntos obtenidos entre sí con las ramas infinitas. Cuidado con dibujar más puntos singulares de los que hay.

• Si se puede, conviene obtener los puntos de corte con los ejes para ganar precisión.

Ejemplo. Pág 186 y 187 Anaya.

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7. Representación de funciones racionales. 𝒚 = 𝑷(𝒙)𝑸(𝒙)

• Asíntotas verticales. Estudiando las raíces del denominador.

• Asíntotas horizontales y oblicuas. i. Si 𝑔𝑟  𝑃 𝑥 ≤ 𝑔𝑟  𝑄(𝑥), hay asíntota horizontal.

ii. Si 𝑔𝑟  𝑃 𝑥 = 𝑔𝑟  𝑄 𝑥 + 1, hay asíntota oblícua. iii. Si 𝑔𝑟  𝑃 𝑥 ≥ 𝑔𝑟  𝑄 𝑥 + no hay asíntota horizontal ni oblicua, pero sí

ramas infinitas en ±∞.

• Puntos singulares (máximos, mínimos y puntos de inflexión). Sus abscisas son las soluciones de 𝑓´(𝑥).

• Otros puntos.

Ejercicios del tema para practicar en clase.

T.V.M. Pág. 177 – 1 y 2.

Crecimiento de una función en un punto. Derivada. Pág. 178 – 1; 179 – 2.

Función derivada de otra. Pág. 180 – 1 y 2. Pág. 182.

Aplicaciones de la función derivada. Pág. 184 – 1.

Representación de funciones polinómicas. Pág. 187 – 1.

Representación de funciones racionales. Pág. 189 – 1.

Ejercicios final del tema para realizar en casa.

Pág. 194 – 198.

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Ejercicios resueltos

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