OGásdeFermiNão-interagente
Amecânicaquân9cadeumgásdeelétronsnão-interagentesemumacaixa
AequaçãodeSchrödingerindependentedotempodeumaparBculacomenergiaεemtrêsdimensõesédadapor
Comoummodelosimplesdoselétronsemummetalvamossubs9tuiroefeitodetodososíonsporumpotencialqueéindependentedaposição,,eignorararepulsãoCoulombianaentreoselétrons.
Seoselétronses9veremmuitoligadosnointeriordometal,égrande,setomarmosolimiteemoverozerodaenergiaparaofundodessepoçoconfinante,podemosescrever
(dentrodacaixa)
(foradacaixa)
Temosagoradeterminarosníveisdeenergiaassociadosaessepotencial.Afunçãodeondatridimensional,podeserescritacomooprodutodetrêsfunçõesdeondaunidimensionais:,inserindoestaformanaequaçãodeondaedividindopelafunçãodeondatemos
Umavezqueostrêstermosentrecolchetessãoindependentesentresi,aequaçãoacimaterásoluçãoapenasseostrêstermosforemseparadamenteiguaisàconstantes,,epodemosescreverasequaçõesresultantescomo
sendoqueparaaequaçãodeSchrödingersersa9sfeitatemosque
Assoluçõespara,etêmtodasamesmaforma,quenocasodeédadapor
Opotencialqueestásendoconsideradorequerqueafunçãodeondaseanulenasparedesdacaixa.PorconveniênciaseráconsideradoumcubodeladoigualaL.Impondoqueseanuleemx,youz= 0fazcomque,impondoqueseanuleemx,youz= L,requerque,sendoquesão inteiros
Afunçãodeondaentãofica
ondeastrêsconstantesAiforamcombinadasemumaúnicaconstante,aqualédeterminadapelacondiçãodenormalização
Fazendo-seaintegralobtemos
Temosentãoque
e
Existeumaoutracondiçãodecontornoquepodemosu9lizarnasfunçõesdeondaquemaislargamenteu9lizadaemXsicadoestadosólido.Éachamadacondiçãoperiódocadecontorno.
L
ConsideremosumsólidounidimensionaldecomprimentoL,vamos“dobrá-lo”ejuntarasduasextremidadesdemaneiraaformarumcírculo,oquepodeserfeitoemumasegundadimensão
Acon9nuidadedafunçãodeondarequerque
Emduasdimensões,asextremidadespodemserconectadasemumaterceiradimensãoformandoumtoro
Emtrêsdimensõesesseprocessorequerumaquartadimensãoparaaformaçãodeumtoronoespaçoquadrimensional
Emtodososcasosareceitaéamesmaeem3Dteremos
AssoluçõesdaequaçãodeSchrödingerpodemagoraserescritasemtermosdeondasplanas
ondeéumfatordenormalizaçãoapropriado
Acondiçãoperiódicadecontornotomaaforma
edeformaanálogaparaasdireçõesyez,
ousejadevemoster,oquerequerqueou
Aexpressãoparaaenergiaserá
com
Comopodeassumirvaloresposi9vosposi9vosenega9vos,ascomponentesdovetordeondatambémpodemterambosossinais,oquecorrespondeaondassepropagandonosdoissen9dosparaqualquerdireção.Destaforma,temosquenocasodeumacaixacomparedesrígidasafunçãodeondaresultantecorrespondeaumaondaestacionária,enquantonocasodascondiçõesperiódicasdecontornotemosondaspropagantes
Soluçõesdo9poondapropagantesãoemgeralpreferidasporqueelaspodemsernaturalmenteassociadasaofluxodeprobabilidade,S,queédefinidoemmecânicaquân9cacomo
Adensidadedecorrenteporelétron,,ficadadapor
ondevéavelocidadedoelétron.
Sees9versendodiscu9dootransporteelétricodeumdadoelétronquetemoosnúmerosquân9cos,,deve-seu9lizarnafórmuladacorrenteosvetoresdeonda
Devemosnotarqueadensidadedeestadosnoespaçodosvetoresdeondanocasodassoluçõesdo9poondaestacionáriaéiguala
L3
π 3 =Vπ 3
aopassoquenocasodassoluções9poondapropaganteadensidadefica
L3
2π( )3= V
8π 3
ouseja,adensidadenocasodasondasestacionáriasé8vezesmaiorquenocasodasondaspropagantes.
Entretanto,nocasodasondasestacionáriasosestadosocupamapenasooctantecomvetoresdeondacomcomponentesposi9vas(li>0),aopassoquenocasodasondaspropagantesosvetoresdeondapodemtercomponentesposi9vasenega9vas(li>0eli<0)ocupandotodososoitooctantes,ouseja,temos8vezesmaisvetoresdeondanocasodasondaspropagantes.Nofinalonúmerodeestadosnosdoiscasosseráomesmo.
Quandoconsideramosumsistemamacroscópico,,temosquenestecasoascomponentesdovetordeonda,,setornamvariáveisessencialmenteconBnuas
L→∞
Assimsendo,temosqueassomasnoespaçodovetordeondasetransformamemintegraisdaseguinteforma
GásdeFermiNão-interagenteem0K
Aindaéprecisodiscu9rosefeitosdoPrincípiodaExclusãodePauliedatemperaturanogásdeelétronsnãointeragente;vamoscomeçarcomoprimeiroefeito.
OPrincípiodaExclusãodizqueapenasumelétron(fermion)podeocuparumdadoestadoquân9co.Comooelétronpossuiummomentoangulardespin½,comprojeções,issosignificaqueteremosdoisestadosdespinparacadaestadodesignadopelovetordeondak.Assimafórmulaqueforneceaconversãodasomanosestadoskparaumaintegraldeveserescritacomo
Destaforma,se9vermosNelétronsnacaixaemT=0K,entãoosistemadeveestarnaenergiamaisbaixaounoestadofundamentaletodososestadosquân9coscomenergiaεF(chamadadeenergiadeFermi)devemestarocupadoseosestadosacimadaenergiadeFermidevemestarvazios.
Portantotemos,
Sendoogásdeelétronsisotrópico,podemossubs9tuirpor.Usandoque,temos
Podemostambémescrever
onde
queéonúmerodeestadosporunidadedeenergia,ousimplificando,densidadedeestados
U9lizandoumresultadoqueacabamosdeverificar,podemosescreveraenergiadeFermicomo
U9lizandoarelaçàoentreaenergiaeovetordeondapodemosescrever
queéovetordeondadeFermi
PodemosdefinirtambémomomentodeFermiatravésdarelação,com
Éú9lpensarnastrêscomponentesdekcomocons9tuindoumespaçochamadodeespaço-k(bemcomoumespaço-p)
Osestadosocupados(k < kF)eosestadosdesocupados(k >kF)sãoseparadosporumasuperXcieesférica,chamadadeesferadeFermi.
QuandoT > 0,estadoscomk >kF passarãoaserocupados,veremoscomodeterminaraocupaçãodessesestadosemseguida
AEstaBs9cadeFermi-Dirac
com
gl númerodeestadosentre l e l +1
l = 3 l = 4g3 = 2π ⋅3⋅ 4 − 3( ) ≈19Exemploemduasdimensões
gl = 4π l2Δl (trêsdimensões)
gl = 2π lΔl (duasdimensões)
Elétrons(fermions)obedecemoPrincípiodeExclusãodePauli
Vamosconsiderarocasoemqueg = 4 e n = 2
w(g,n) = w(4,2) = 6 éonúmerodeconfiguraçõescompaBveiscomoPrincípiodeExclusão,ouseja,dequantasformaspodemosdistribuir2elétronsem4estadosdeacordocomoPrincípiodeExclusão.
Vamosmostrarcomodeterminarw(g,n)paraumcasogeral
Vamosconsiderarinicialmentequeoselétronssejamdis9nguíveis
Nestecasotemos12configuraçõespossíveis
Esseresutadopodeserentendidodaseguintemaneira:temos4possibilidadesondecolocaroprimeiroelétron,devidoaoPrincípiodeExclusãotemosagoraapenas3estadosparacolocarosegundoelétron.Ousejaw=4x3=12
Portanto,nocasogenéricoemquetemosgestadosenelétronsteremos
w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )! g-n+1( )
Comooselétronssãoindis9nguíveis,devemosre9rarasconfiguraçõesquesãoidên9caspelapermutaçãodeduasparBculas
Nestecasotemosquesempreháduasconfiguraçõesidên9casseconsiderarmosasparBculasindis9nguíveis,ouseja,temosapenas6configuraçõesdis9ntas.IssoquerdizerquedevemosdividironúmerodeconfiguraçõesconsiderandoasparBculasdis9nguíveispelonúmerodepermutações(n!),quenestecasoseria2!=2
Portanto,nocasodefermions
w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )… g-n+1( )
n!Podemosescreverestaúl9maexpressõadeumaoutraforma
w g,n( ) = g g-1( ) g-2( )… g-n+1( ) g-n( ) g-n-1( )…1n! g-n( ) g-n-1( )…1
= g!n! g-n( )!
Seconsiderarmosaexpansãodobinômio
temosw(g,n)sãooscoeficientesdaexpansãobinomial
Consideremosagoraquetemosníveisdeenergiacomdegenerescênciagl comocupação nl Nestecasoonúmerototaldeconfiguraçõesserá
Destaforma,noequilíbrioosistemaseráencontradocommaiorprobabilidadeemumestadoquemaximizaonúmerodeconfiguraçõespossíveis(istoequivaleamaximizaraentropiadosistema)
Entretanto,essamaximizaçãodeveserfeitarespeitandoosvínculos
(númerototaldeparBculasfixo)
(energiatotalfixa)
Comoomáximodeumafunçãodemuitasvariáveiseomáximodessamesmafunçãoocorremparaosmesmovaloresdessavariável,émaisconvenientetrabalharmoscomln(W) doquecomW
lnW=ln w gl ,nl( )l∏⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ln wl
l∏⎛⎝⎜
⎞⎠⎟= ln
l∑ wl( )
Considerandoquetemosumnúmeromuitograndedeelétrons,podemosu9lizarnoscálculosachamadaaproximaçãodeS9rling
Assimobtemos
Amaximizaçãocomarestriçãodosvínculospodeserfeitaatravésdatécnicadosmul9plicadoresdeLagrange
ondeαeβsãoosmul9plicadoresdeLagrange
Destaformaobtemos
ou
e
resolvendoparanl
Temosqueiden9ficarosignificadoXsicodosmul9plicadoresdeLagrangeαeβ
Vamosinicialmentedefinir,ondeµéochamadopotencialquímicoα ≡ −βµ
Destaformatemos
(sendoqueosubíndicelfoiomi9donaexpressãoacima)
n= geβ ε−µ( ) +1
Masemaltastemperaturas,aocupaçãodeveseguiradistribuiçãodeBoltzmann
n=ge− ε−µ( ) kBT
Quandoatemperaturaéalta,estadosdealtaenergiasãoocupados,assimteremos
Portanto,podemosiden9ficar
Podemosreesceveraocupaçãocomo
sendoque
estaéachamadadistribuiçãodeFermi-Dirac
Para T→ 0
Se,entãoeε < µ e ε−µ( ) kBT → 0 f ε( )→1
ε > µSe,entãoee ε−µ( ) kBT →∞ f ε( )→ 0
ArepresentaçãográficadadistribuiçãodeFermi-Dirac
T=0
T≠0
Paratemperaturasarbitráriasopotencialquímicoµédeterminadopelaintegral
aintegralresultaem,quepodeserinver9daparaseobter
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