Aula 3_2 Potencial Elétrico IIFísica Geral e Experimental IIIProf. Cláudio GraçaCapítulo 3

Resumo da Aula

• E(r) a partir de V(r)– Exemplo: dipolo

• Equipotenciais e Condutores• Forma diferencial da Lei de Gauss• Distribuição de carga em condutores• Aplicações

∫∫ =Δ⇒⋅−=ΔB

A

B

A

dVVsdEV rr

sdEdVrr

⋅−=

Portanto podemos escrever que a diferença de potencial dV entre dois pontos que distam ds um do outro como sendo

Para temos que xEE

rr=

⇒=⋅ dxEsdE x

rrdxEdV x−=

oudxdVEx −=

→ o campo elétrico é igual a menos derivada do potencial elétrico com respeito a alguma coordenada

CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO

Forma diferencial da Lei de Gauss

CAMPO ELÉTRICO A PARTIR DO POTENCIAL ELÉTRICO

Distribuição de carga tem simetria esférica → drEsdEdV r−=⋅−= rr

drdVEr −=⇒

dxdVEx −= dy

dVEy −=dzdVEz −=

Em geral, o potencial elétrico é uma função de todas as três coordenadas espaciais → ),,( zyxV

A variação no potencial é nula para qualquer deslocamento perpendicular ao campo elétrico

Isso é consistente com a noção de que as superfícies equipotenciais são perpendiculares ao campo:Campo elétrico uniforme Carga pontual Dipolo elétrico

e VE −∇=r

)( zyx ez

ey

ex

rrr

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇é uma equação diferencial, onde → o operador gradiente

Cálculo do Campo E a partir do potencial em um condutor

oo

VEερ

ερ =∇−=⋅∇ 2

rr

02 =∇ V

Equação de Poisson

Equacão de Laplace

Para o caso unidimensional

dsdVE −=

E espaço livre onde ρ=0

0=dsdV

Potencial de condutor isolado

Forma diferencial da Lei de Gauss

oo

o

V)V(

E

ερ

ερ

ερ

=∇−=−∇⋅∇

=⋅∇

2r

rr

0 0 cosq dV q E dsθ− =

cos dVEds

θ = −

xVEx

∂= −∂

ˆ ˆ ˆ( )

E VV V Vx y zx y z

= −∇∂ ∂ ∂= − + +∂ ∂ ∂

r

Equação de Poisson e equacão de Laplace

02 =∇ V

E a partir de V

E a partir de V

oo

o

V)V(

E

ερ

ερ

ερ

=∇−=−∇⋅∇

=⋅∇

2r

rr

02 =∇ V

ˆ ˆ ˆ( )

E VV V Vx y zx y z

= −∇∂ ∂ ∂= − + +∂ ∂ ∂

r

Equação de Poisson

e equacão de Laplace

Para o caso unidimensional

dsdVE −=

E espaço livre onde ρ=0

0=dsdV

Potencial constante, ou campoelétrico nulo (interior do condutores)

VE ∇−=rr

E a partir de V?• Pode-se obter o E a partir de V utilizando as relações:

Expressando na forma vetorial:

• E é o valor negativo do gradiente de V

Ex = − ∂V∂x

Ey = − ∂V∂y

Ez = − ∂V∂z

• Coordenadas cartesianas: zzVy

yVx

xVV

∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

r

• Coordenadas esféricas: φφ∂

∂θ

+θθ∂

∂+∂∂=∇ ˆV

sinr1ˆV

r1r

rVV

r

E a partir de V: exemplo

• Considere o seguinte potencial elétrico:

kz2jx2i)y2x6(E +−−−=r

Ex = − ∂V∂x

= −6x − 2y Ey = − ∂V∂y

= −2x Ez = − ∂V∂z

= 2z

V(x, y, z) = 3x2 + 2xy − z2

• Como se descreve este campo elétrico?

... Expressando como vetor:

Dipolo Elétrico z

aa

θ

+q

-q

r

r1r2• O potencial para r >> a:

• Calculando E em coordenadas esféricas:

E r = − ∂V∂r

E θ = − 1r

∂V∂θ

= − 2 aq4πε o

−2 cos θr 3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

= − 2 aq4πε o

− sin θr 3

⎛ ⎝ ⎜

⎞ ⎠ ⎟

Momento de dipolo

V r aqr

( ) cos= 14

20

2πεθ

⇒

r E = 2 aq

4πε or 3 2 cos θ( )ˆ r + (sin θ ) ˆ θ ( )

POTENCIAL ELÉTRICO EM UM CONDUTOR CARREGADO

Considere um condutor de formato arbitrário com um excesso de carga positiva

O condutor está em equilíbrio eletrostático ⇒

• toda a carga permanece na superfície, e E = 0 dentro do condutor• o campo elétrico na face externa do condutor é perpendicular àsuperfície

Todos os pontos na superfície de um condutor carregado em equilíbrio eletrostático estão no mesmo potencial elétrico;

0 =⋅−=−=Δ ∫B

AAB sdEVVV

rr

090cos ==⋅ orrEdssdE

• E é sempre perpendicular ao deslocamento ds entre dois pontos da superfície. Então

→

A densidade superficial de carga não é uniforme

→ como o campo elétrico é zero dentro do condutor, concluímos que o potencial é constante em todo lugar dentro do condutor e igual a seu valor na superfície.

Para determinar como a carga se distribui num condutor não esférico, vamos analisar um sistema simples

O sistema consiste em duas esferas condutoras carregadas de raio r1 e r2, onde r1 > r2, ligadas por um fino fio condutor

Supomos que as duas esferas são tão separadas que o campo elétrico duma esfera não influencia o campo eléctrico da outra esfera.Como as duas esferas são ligadas por um fio condutor ⇒ supomos que todo o sistema é um único condutor e que todos os pontos devem estar no mesmo potencial

2

2

1

1

rqk

rqkV ee ==

⇒ que esfera maior tem a maior quantidade de carga.

2

1

2

1 rr

qq =⇒

21

11 r

qkE e= 22

22 r

qkE e=Campo elétrico em cada condutor

Distribuição de carga nos condutores

Esta é a quarta propriedade listada para os condutores em equilíbrio eletrostático:

212

221

212

221

22

2

21

1

2

1

rrrr

rqrq

rqk

rqk

EE

e

e

===1

2

2

1 rr

EE =⇒

→ quer dizer que o campo elétrico próximo àesfera menor é maior que o campo próximo àesfera maior.

→ Como o campo elétrico próximo à superfície de um condutor é proporcional à densidade superficial de carga, a esfera menor tem a maior densidade superficial de carga.

Campo forte

Maior densidade superficial de carga

Campo fraco

Menor densidade superficial de carga

• NUM CONDUTOR DE FORMA IRREGULAR, A CARGA POR UNIDADE DE ÁREA É MÁXIMA NOS LOCAIS ONDE É MÍNIMO O RAIO DE CURVATURA DA SUPERFÍCIE

Distribuição de carga nos condutores

Exemplo: Duas esferas condutoras. A esfera menor tem raio a e carga Q positiva , e a esfera maior de raio c não está carregada (neutra).

Ao aproximarmos as duas esferas: - A esfera menor atrai as cargas negativas da esfera maior e repele as cargas positivas.

As curvas pontilhadas azuis correspondem as interseções das superfícies equipotenciais com a página.

Como varia o potencial a partir o centro da esfera 1 até para a direita da esfera 2, considerando que b é a distância entre a superfície da esfera menor e o centro da esfera maior ?

Distribuição de carga nos condutores

Uma cavidade dentro de um condutor em equilíbrio

Considere um condutor de formato arbitrário contendo uma cavidade.

Se não há cargas dentro da cavidade, o campo elétrico dentro da cavidade tem de ser zero, independentemente da carga na superfície externa do condutor.

Todo ponto no condutor está no mesmo potencial ⇒

quaisquer dois pontos A e B na superfície da cavidade têm de estar no mesmo potencial

0 =⋅−=−=Δ ∫B

AAB sdEVVV

rrassim 0=− AB VV

Por isso E deve ser zero.

Esta propriedade pode ser utilizada para blindar um equipamento eletrónico ou até mesmo todo um laboratório dos campos externos cercando-o com paredes condutores.

Distribuição de carga nos condutores

Blindagem eletrostática

No século XIX, por Michael Faraday, através da seguinte experiência: Eletrizou uma grande gaiola metálica, até que ela soltasse faíscas.

Utilizando um eletroscópio, verificou que:1º O interior da gaiola não ficou eletrizado.2º As cargas em excesso foram tão distanciadas umas das outras que se concentraram na superfície da gaiola.

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A blindagem eletrostática mostra que uma pessoa dentro de um carro atingido por um raio nada sofrerá, pois a estrutura metálica do carro isola o seu interior das influencias elétricas externas.

Blindagem eletrostática

• Nas linhas de alta tensão, é usual e aconselhável evitar ângulos agudos na trajetória dos condutores, pois podem haver nestas regiões de “pontas”, grandes densidades de carga e de força elétrica, que provocam a dispersão espontânea de cargas elétricas (efeito coroa), que se manifesta sob a forma de eflúvios fluorescentes com certa luminosidade. O fenômeno é facilitado pela presença de umidade no ar.

Efeito Corona (Coroa)

Rigidez dielétrica e efeito das pontas

• O fenômeno do poder das pontas ocorre porque, em um condutor eletrizado a carga tende a se acumular nas regiões pontiagudas, criando um campo elétrico maior que nas regiões mais planas.

• Se aumentarmos continuadamente a carga elétrica no condutor, a intensidade do campo elétrico em torno dele aumentará também, até que na região pontiaguda o valor da rigidez dielétrica do ar será ultrapassado antes que isto ocorra nas demais regiões. Portanto nas proximidades da região pontiaguda que o ar se tornará condutor e será através da ponta que a carga se escoará.

Er

Rigidez dielétrica e efeito das pontas

Microscópio Ionico de efeito de campo

Os átomos de ferro são colocados sobre uma superfície de nitreto de cobre e ligados por dois átomos de nitrogênio (azul) em uma estrutura regular separada por um átomo de cobre (amarelo). [Imagem: SebastianLoth/CFEL]

Menor byte magnético já feitoVinte átomos de ferro formam a menor unidade de armazenamento magnético já construída

Field IonicMicroscopic

http://www.nims.go.jp/apfim/fim.html

Prof. Caio Castro CastilhoUFBa

Transistor de efeito de campo