MODUL 8

MODEL-MODEL ARW MUSIMAN

Secara umum model ARW Musiman dinyatakan sebagai model :

ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)S yang mempunyai bentuk umum sbb :

dengan :

p,d,q = orde AR, diff, MA non musiman (NS)P,D,Q = orde AR, diff, MA musiman (S)3,4,6,12

Polynomial AR(p)NS

Polynomial MA(q)NS

- Polynomial AR(P)S

- Polynomial MA(Q)S

Macam-Macamnya :

1). MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF STASIONER2). MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF NON STASIONER3). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN MULTIPLIKATIF STASIONER4). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN5). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN MUSIMAN6). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN DAN MEAN MUSIMAN

1. MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF STASIONER

Bentuk Umum Model ini adalah : Jenis-Jenis Model ini antara lain :

A) MODEL SAR -ARIMA(1,0,0)12 ATAU ARIMA(0,0,0)(1,0,0)12

dengan

Secara teoritis dapat ditunjukkan bahwa mean, varian, Autokovariansi, ACF dan PACF dari model SAR ini adalah :

dan

DARI AUTOKOVARIANSI TSB MAKA ACF DAN PACF MODEL SAR DAPAT DITURUNKAN SEBAGAI BERIKUT :

DAN

B. MODEL SMAMODEL ARIMA(0,0,0)(0,0,1)12

dengan

Secara teoritis dapat ditunjukkan bahwa mean, varian, Autocovariansi, ACF dan PACF model SMA adalah :

dan

DARI AUTOKOVARIANSI TSB MAKA ACF DAN PACF MODEL SMA DAPAT DITURUNKAN SEBAGAI BERIKUT :

DAN

C. MODEL SARMAMODEL ARIMA(0,0,0)(1,0,1)12

Secara teoritis dapat ditunjukkan bahwa mean, varian, Autocovariansi, ACF dan PACF model SARMA adalah :

Jika disederhanakan diperoleh :

Sedang variansinya adalah :

Jika disedserhanakan maka diperoleh :

Selanjutnya dengan menggunakan sifat-sifat variansi, maka diperoleh :

atau

Sedang untuk Autokovariansinya dapat diturunkan sebagai berikut :

Dengan melihat model-model sebelumnya, maka dapat disederhanakan

Jika disederhanakan lebih lanjut maka diperoleh :

Jika proses ini diteruskan, maka diperoleh bentuk umum Autokovariansi model SARMA sebagai berikut :

Sehingga ACF untuk model SARMA adalah :

Dengan menggunakan Rumus Darbin (1960) maka PACF untuk model SARMA adalah :

2). MODEL ARIMA(P,D,Q)s MUSIMAN NON MULTIPLIKATIF NON STASIONER

Bentuk Umum ARW jenis ini adalah

Jenis-Jenis Model yang termasuk kelompok ini, antara lain :

a). Model SARI (0,0,0)(1,1,0)12b). Model SIMA (0,0,0)(0,1,1)12c). Model (0,0,0)(1,1,1)12

( Model SARIMA )

Differencing dalam model ini D = 3,4,6,12.

Biasanya disimbulkan dengan

Dalam praktek, jika data asli belum di defferncing, maka nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat pada lag-lag 12,24,36,48,.. dan turun seperti garis lurus, sehingga untuk menstasionerkan dilakukan operator differencing musiman

Jika data setelah didefferencing musiman, maka nilai ACF dan PACFnya akan mengikuti nilai-nilai ACF dan PACF model ARIMA musiman yang stasioner, sesuai dengan orde SAR dan SMA atau ARIMA (P,0,Q)12 = SARMA(P,Q) = ARMA(P,Q)12

3). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN MULTIPLIKATIF STASIONER

Beberapa Model yang termasuk dalam kelompok ini, antara lain :

a). Model ARIMA(0,0,1)(0,0,1)12 MASMAb). Model ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12ARSARc). Model ARIMA(0,0,1)(1,0,0)12MASARd). Model ARIMA(1,0,0)(0,0,1)12ARSMA

a). Bentuk Umum Model MASMA :

Sebagaimana model-model di atas, maka rata-rata, variansi , ACF dan PACF dari model MASMA dapat dinyatakan sebagai berikut :

,

Dengan demikian ACF Model MASMA adalah

b). Bentuk Umum Model ARSAR :

Sebagaimana model sebelumnya, secara teoritis ACF dari model ARTSAR ini adalah :

dan nilai

PACFnya tidak nol pada lag 1, 12 dan lag 13.

c). Bentuk Umum Model MASAR :

Secara teoritis bentuk MASAR ini mempunyai ACF tidak sama dengan nol pada lag 1, 11, 12, 13, 23, 24, 25 , ... atau secara umum pada lag 1, S-1, S, S+1, 2S-1, 2S, 2S+1,...

Sedang PACFnya menggunakan Durbin (1960) adalah sebagai berikut : adanya dua lag peak PACF pada lag 1 dan lag 12, dimana setelah lag 1 PACF turun eksponensial dan peak lagi pada lag 12 kemudian turun eksponensial seiring bertambahnya lag k

d). Bentuk Umum Model ARSMA :

Secara teoritis bentuk ARSMA ini mempunyai ACF akan menyerupai PACF dari model ARIMA(0,0,1)(1,0,0)12, yakni adanya dua lag peak

ACF pada lag 1 dan lag 12, dimana setelah lag 1 nilai ACF akan turun eksponensial, peak lagi pada lag 12dan kemudian turun eksponensial menuju nol seiring bertambahnya lag k. Namun demikian PACF dari model ini akan menyerupai PACF model ARIMA(0,0,1)(1,0,0)12, yakni bernilai sama dengan nol hanya pada lag 1, 11, 12,13, 23, 24, 25 atau secara umum pada lag 1, S-1, S, S+1, 2S-1, 2S, 2S+1,...

4). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN

Bentuk Umum Model ini adalah :

Dimana orde d berbeda dengan nol, hal ini menunjukkan bahwa model adalah non stasioner dalam rata-rata non musiman.

Contoh :

Model ARIMA(1,1,0)(1,0,0)12 d=1 non stasioner mean dalam non musiman ( model biasa ). Jika model ini disederhanakan diperoleh :

Dalam model ini nilai ACF dan PACFnya dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. Data asli sebelum didefferencing : Nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat (garis lurus). Untuk menstasionerkan dilakukan differencing non musiman (d=1, d=2).==> Wt

2. Data setelah didefferncing, nilai ACF dan PACFnya akan mengikuti nilai ACF dan PACF dari model ARIMA yang stasioner, sesuai dengan orde AR dan orde MA yakni ARIMA(p,0,q)(P,0,Q)12 dalam contoh ini modelnya menjadi ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12

5). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN MUSIMAN

Bentuk Umum Model ini adalah :

Dimana orde D berbeda dengan nol, hal ini menunjukkan bahwa model adalah non stasioner dalam rata-rata musiman.

Contoh :

Model ARIMA(1,0,0)(1,1,0)12 D=1 non stasioner mean dalam musiman. Jika model ini disederhanakan diperoleh : Dalam model ini nilai ACF dan PACFnya dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. Data asli sebelum didefferencing : Nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat (garis

lurus) pada lag kelipatan musimannya (12,24,36,..). Untuk menstasionerkan dilakukan differencing musiman, biasanya (D=1, D=2).==>.Wt

2. Data setelah didefferncing, nilai ACF dan PACFnya akan mengikuti nilai ACF dan PACF dari model ARIMA musiman yang stasioner, sesuai dengan orde AR dan orde MA yakni ARIMA(p,0,q)(P,0,Q)12 dalam contoh ini modelnya menjadi ARIMA(1,0,0)(1,0,0)12

6). MODEL ARIMA(p,d,q)(P,D,Q)s MUSIMAN NON STASIONER DLM MEAN NON MUSIMAN DAN MEAN MUSIMAN

Bentuk Umum Model ini adalah :

Dimana orde d dan D berbeda dengan nol, hal ini menunjukkan bahwa model adalah non stasioner dalam rata-rata non musiman maupun musiman.

Contoh :

Model ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 d=1, D=1 non stasioner mean dalam non musiman dan musiman. Jika model ini disederhanakan diperoleh :

Dalam model ini nilai ACF dan PACFnya dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. Data asli sebelum didefferencing : Nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat (garis lurus). Sedang nilai PACFnya terpotong setelah lag 1 atau lag 1 dan lag 2. Untuk menstasionerkan dilakukan differencing non musiman (d=1, d=2).==> Data hasil differencing satu non musiman dinyatakan sebagai

2. Data setelah didefferncing non musiman, nilai ACF mendekati satu dan turun secara lambat pada lag-lag kelipatan periode musimannya (12,24,36,…) dan penurunannya garis lurus. Misalnya dalam contoh di atas, setelah didif d=1 nilai ACF dan PACF seperti pada model ARIMA(0,0,q)(0,D,Q)12 dalam kasus ini modelnya menjadi ARIMA(0,0,1)(0,1,1)12

3. Hasil diff non musiman kemudian diff lagi musiman yakni (D=1 atau D=2). Data hasil diff musiman ( setelah terlebih dahulu didiff non musiman) dinotasikan sebagai :

4. Data setelah didefferncing non musiman dan differencing musiman, nilai ACF dan PACFnya akan mengikuti nilai ACF dan PACF dari model ARIMA musiman yang stasioner, sesuai dengan orde AR dan orde MA yakni ARIMA(p,0,q)(P,0,Q)12 Misalnya dalam kasus ini modelnya menjadi ARIMA(0,0,1)(0,0,1)12

BERIKUT AKAN DIBERIKAN CONTOH MODEL-MODEL YANG TERMASUK DALAM JENIS ARW MUSIMAN, PERLU DIKETAHUI BAHWA MUSIMANNYA DAPAT BERUPA TRIWULANAN (3 BLN), KUARTALAN (4 BLN ), SEMESTERAN (6 BLN) MAUPUN TAHUNAN (12 BLN ).

MODEL ANALISISNYA SAMA SEPERTI MODEL ARIMA BIASA ( NON MUSIMAN ), DENGAN MENGGUNAKAN 4 PRINSIP PEMODELAN STATISTIKA ( STATISTICAL MODELLING) :

PARSIMONYSIGNIFIKANSI PARAMETER

WHITE NOISE BERDISTRIBUSI NORMALMEMPUNYAI MSE, AIC,SBC, VARIAN YANG RELATIF KECIL

Contoh : Data Penerbangan Internasional

TSPLOT :

ACF PLOT :

PACF PLOT

KARENA DARI HASIL PLOT DI ATAS MENUNJUKKAN BAHWA MODEL BELUM STASIONER BAIK DALAM VARIAN MAUPUN DALAM MEAN, MAKA PERLU DILAKUKAN TRANSFORMASI BOX-COX DAN DIFFERENCING NON MUSIMAN ( d=1) KEMUDIAN PLOT ACF DAN PACF . LAGI HASILNYA SEBAGAI BERIKUT –

UJI TRANSFORMASI BOX-COX :

KARENA MASIH BELUM STASIONER MAKA PERLU DILAKUKAN DIFFERENCING MUSIMAN (D=1)12 HASILNYA SEBAGAI BERIKUT :

DARI PLOT TERAKHIR TERLIHAT BAHWA MODEL SUDAH STASIONER BAIK DALAM MEAN ATAU VARIAN SEHINGGA PERLU DIDUGA MODEL SEMENTARA . TERLIHAT BAHWA PLOT ACF MENUNJUKKAN BAHWA MODEL TSB SIGNIFIKAN PADA LAG 1,3 DAN 12 SEDANG PACF SIGNIFIKAN PADA LAG 1,3,9,12. SEHINGGA MODEL SEMENTARANYA ADALAH MODEL ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12 ATAU ARIMA (1,1,0)(1,1,0)12.

SELANJUTNYA DILAKUKAN UJI SIGNIFIKANSI PARAMETER DAN UJI DIAGNOSTIK MODEL TERMASUK WHITE NOISE BERDISTRIBUSI NORMAL ATAU TIDAK. HASILNYA SEBAGAI BERIKUT :

ARIMA Model: C1 ( DATA ASLI )

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 18412,3 0,100 0,100 1 17713,7 0,250 0,124 2 17661,0 0,299 0,116 3 17660,0 0,305 0,113 4 17660,0 0,306 0,113 5 17660,0 0,307 0,113 6 17660,0 0,307 0,113

Relative change in each estimate less than 0,0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T PMA 1 0,3066 0,0844 3,63 0,000SMA 12 0,1132 0,1018 1,11 0,268

Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12Number of observations: Original series 144, after differencing 131Residuals: SS = 17647,6 (backforecasts excluded) MS = 136,8 DF = 129

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48Chi-Square 11,0 40,5 50,1 68,0DF 10 22 34 46P-Value 0,355 0,009 0,037 0,019

ARIMA Model: C2 ( HASIL TRANFORMASI BOX-COX LOG (C1))

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 0,238530 0,100 0,100

1 0,208416 0,196 0,250 2 0,189208 0,274 0,400 3 0,179205 0,345 0,550 4 0,175569 0,396 0,621 5 0,175565 0,393 0,618 6 0,175565 0,393 0,618

Relative change in each estimate less than 0,0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T PMA 1 0,3932 0,0810 4,85 0,000SMA 12 0,6175 0,0754 8,19 0,000

Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12Number of observations: Original series 144, after differencing 131Residuals: SS = 0,171589 (backforecasts excluded) MS = 0,001330 DF = 129

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48Chi-Square 9,3 24,8 34,2 42,5DF 10 22 34 46P-Value 0,508 0,306 0,459 0,621

UJI NORMALITAS RESIDUAL

MTB > NormTest C2;SUBC> KSTest;SUBC> Title "UJI NORMALITAS WHITE NOISE".

BERIKUT UJI ALTERNATIF YANG LAIN YAKNI MODEL ARIMA(1,1,0)(1,1,0)12 HASILNYA SEBAGAI BERIKUT :

ARIMA Model: C2 ( HASIL TRANFORMASI BOX-COX LOG (C1))

Estimates at each iteration

Iteration SSE Parameters 0 0,317780 0,100 0,100 1 0,258128 -0,024 -0,050 2 0,219524 -0,149 -0,200 3 0,198525 -0,278 -0,350 4 0,193489 -0,369 -0,460 5 0,193442 -0,373 -0,473 6 0,193441 -0,373 -0,474 7 0,193441 -0,373 -0,474

Relative change in each estimate less than 0,0010

Final Estimates of Parameters

Type Coef SE Coef T PAR 1 -0,3733 0,0815 -4,58 0,000SAR 12 -0,4744 0,0823 -5,76 0,000

Differencing: 1 regular, 1 seasonal of order 12Number of observations: Original series 144, after differencing 131

Residuals: SS = 0,189647 (backforecasts excluded) MS = 0,001470 DF = 129

Modified Box-Pierce (Ljung-Box) Chi-Square statistic

Lag 12 24 36 48Chi-Square 13,7 33,4 47,6 54,2DF 10 22 34 46P-Value 0,185 0,056 0,061 0,189

KESIMPULAN :

DARI KEDUA HASIL TERSEBUT KEDUANYA SAMA-SAMA VALID AKAN TETAPI MSE YANG PALING KECIL ADALAH ALTERNATIF PERTAMA SEHINGGA DAPAT DIPASTIKAN BAHWA MODEL YANG SESUAI DAN VALID ADALAH MODEL I :YAKNI MODEL ARIMA(0,1,1)(0,1,1)12. DARI MODEL INI KEMUDIAN DILAKUKAN UNTUK PROSES PERAMALAN.

DENGAN DEMIKIAN MODEL YANG VALID DAPAT DINYATAKAN SEBAGAI :

PROSES PERAMALAN :

DALAM PROSES INI DIGUNAKAN MODEL YANG SUDAH MEMENUHI 4 PRINSIP UTAMA DI ATAS, DAN AKAN MENGGUNAKAN DATA ASLI ( 144 PENGAMATAN ), KEMUDIAN AKAN DIFORECAST 7 PENGAMATAN KEDEPAN ( AHEAD = 7 ) HASILNYA SEBAGAI BERIKUT :

Forecasts from period 144

95 Percent LimitsPeriod Forecast Lower Upper Actual 145 6,10981 6,03831 6,18131 146 6,05768 5,97405 6,14131 147 6,17860 6,08438 6,27282 148 6,19895 6,09523 6,30268 149 6,23103 6,11859 6,34346 150 6,36884 6,24832 6,48935 151 6,50444 6,37635 6,63253

Moto : Keberhasilan seseorang selalu didasari dengan DUIT yang maksimal, yakni Berdoa, Berusaha, Beriman dan Bertawakal (taqwa) kepada ALLAH Tuhan Yang Maha Sempurna. Amin Ya Robbal Alamin.

-----primabiner---